Methodus Inveniendi Lineas Curvas ex Proprietatibus Variationis Curvaturae. Auctore Nicolao Landerbeck, Mathes. Profess. in Acad. Upsaliensi Adjuncto: Communicated by Nevil Maskelyne, D. D. F. R. S. and Astronomer Royal

XXV. Methodus Inveniendi Lineas Curvas ex proprietatibus Variationis Curvaturae. Authore Nicolao Landerbeck, Mathef. Profess. in Acad. Upsaliensi Adjuncto: communicated by Nevil Maskelyne, D.D.F.R.S. and Astronomer Royal. Read March 13, 1783. PARS PRIMA. QUALITAS curvaturae in diversis lineis diversisque earum punctis diversa reperitur. Circulo ubique eadem est curvatura, quae in alia quavis curva, continue crescendo vel decrescendo, figuram ab uniformi circuli variat; quo enim majori velocitate progresiens crescit vel decrescit curvaturae radius, eo citius curvae a circuli osculatorii curvatura deflectit; et quo majori celeritate isochrona ipsa curva crescit vel decrescit, eo citius fertur motu angulari radius curvedinis et remotius idem curvaturae gradus locum obtinet, quo circulus curvam osculans eam in angulo majori vel minori in puncto contactus simul fecat. Haec curvaturae a circulari aberratio, quae curvaturae variatio nuncupatur, et si alia in alia curva gaudeat proprietate, mensurari et exprimi potest generaliter per rationem fluxionum radii curvedinis et curvae, quae ratio proinde variationis index censenda est, ut in opere, quod Methodus Fluxionum inscribitur, illustrissimus Newtonus nos docuit. Demonstravit praeterea MacLaurinus in propositione trigesima sexta Tractatus de Fluxionibus, quod index hic variationis curvaturae curvae cujuscunque fit ut tangens anguli, linea punctum in curva et centrum curvaturae evolutae jungente et radio curvaturae in isto puncto comprehensi; cujus analytica expressione, quae pro quavis curva calculo differentiali facile habetur, intima curva- Methodus Inveniendi Lineas Curvas, &c. rum examinare licet, ut non solum punctum ejusdem curvae, ubi inequabilitas curvaturae est vel nulla vel datae magnitudinis vel minima vel maxima vel infinita determinare, sed etiam curvas inter se comparare valeant mathefeos periti, ut quibus punctis curvatura sit æqualis et similis discernere queant. Methodum ex proprietatibus variationis curvaturae inveniendi curvas explicatam adhuc non vidi, quæ, si detecta et explicata fuerit, quantum mathefeos scientiae interfit, quemque præbeat usum in problematibus tam mathematicis quam physicis solvendis, quæ a curvatura dependent, mathematicorum est judicare, quorum etiam judicio, quæ ad methodum hanc explicandam feci tentamina subjicio. THEOREMA I. Si curvae cujußdam LC, ad axin concavæ vel convexæ, index variationis curvaturae, seu tangens anguli DCF, radio curvaturae CD in puncto C et linea CF, punctum C et centrum curvaturae F evolutæ QD jungente, comprehensi, dicitur T, sinus anguli BCDp, positio sinu toto 1, arcus curvae LCz, coordinatæ orthogonales AB, BCx et y earumque fluxiones dp, dz, dx et dy respective dicantur, erit \[ \frac{d^2x}{dx} = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}}. \] Sumatur DM unitati æqualis et ducatur DE axi AB et MN ipsi DE normales, et describatur arcus circuli MP; erit MN = p et DN = \sqrt{1-p^2}. Quoniam ob similitudinem triangulorum DNM et CHG, erit DN (\sqrt{1-p^2}) : MN (p) :: CG (dx) : GH (dy). Methodus Inveniendi Lineas Curvas \[(dy) \text{ et } dy = \frac{pdx}{\sqrt{1-p^2}}, \text{ eamque ob caussam DN} (\sqrt{1-p^2}) : DM\] \[(1) :: CG (dx) : CH (dz) \text{ et } dz = \frac{dx}{\sqrt{1-p^2}}.\] Si radius curvaturae CD sit R et ponatur constans, ejus enim fluxio ex coordinatarum non dependet, erit lineae BE fluxio \(= -dx\). Propter similitudinem triangulorum CBK, KED et NDM erit DM (1) : MN \((p) :: CK + KD (R) : BE = R\), cujus fluxio \(Rdp = -dx\) et \(R = -\frac{dx}{dp}\), et si hujus aequationis fluxiones fumantur, posita \(dp\) constante, habetur \(dR = -\frac{ddx}{dp}\), quae per \(dz = \frac{dx}{\sqrt{1-p^2}}\) divisa dat \[T' \left(=\frac{dT}{dz}\right) = -\frac{ddx\sqrt{1-p^2}}{dxdp}, \text{ qua prodit } \frac{ddx}{dx} = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}}.\] Cor. 1. Si tangens anguli BCD designetur per \(r\), erit \(p = \frac{r}{\sqrt{1+r^2}}, \sqrt{1-p^2} = \frac{1}{\sqrt{1+r^2}}\) et \(dp = \frac{dr}{1+r^2}\), unde \(\frac{ddx}{dx} = -\frac{Tdr}{1+r^2}\). Cor. 2. Si secans anguli BCD dicatur S, erit \(p = \frac{\sqrt{s^2-1}}{s}, \sqrt{1-p^2} = \frac{1}{s}\) et \(dp = \frac{ds}{s^2\sqrt{s^2-1}}, \text{ quo } \frac{ddx}{dx} = -\frac{Tds}{s\sqrt{s^2-1}}\). Cor. 3. Si cosinus \(q\), cotangens \(t\) et cosecans \(v\) dicantur, valores \(\frac{ddx}{dx}\) eadem habent formam, signis mutatis. Schol. 1. Quum inventa fit \(T' = -\frac{ddx\sqrt{1-p^2}}{dxdp}\), methodum habemus perfacilem calculandi generaliter variationem curvaturae uniufcujusque curvae; data enim relatione inter fluxiones coordinatarum, quae per aequationem hujus formae \(dy = Xdx\) exhibetur, ubi \(X\) functio est abscissae \(x\), datur \(\frac{p}{\sqrt{1-p^2}} = X\), qua \(x\) per \(p\) et \(p\) per \(x\) exprimi poteat. Si variatio curvaturae per \(p\) exprefsa desideretur, ponatur \(x = P\), quantitatis \(p\) functioni, et fluxionibus bus primis \( dx = P dp \) et secundis \( ddx = P dp^2 \), posita \( dp \) constante, sumtis, valoribusque pro \( dx \) et \( ddx \) substitutis, habetur curvæ propositæ index variationis curvaturæ \( T = -\frac{P}{\sqrt{1-p^2}} \), denotantibus \( P \) et \( P \) functiones quantitatis \( p \). Si vero index variationis curvaturæ exprimenda sit per \( x \), æquatione \( X = \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} \) inveniatur \( p = X \) et \( \sqrt{1-p^2} = \sqrt{1-X^2} \), sumtisque æquationis \( p = X \) primis et secundis fluxionibus, \( dp \) constante habita, erit \( dp = X dx \) et \( o = X ddx + X dx^2 \), qua \( ddx = -\frac{X dx^2}{X} \), et substitutione debita \( T = \frac{X \sqrt{1-X^2}}{X} \), significantibus \( X, X, \) et \( X \) functiones abscissæ \( x \). Schol. 2. Hoc adhibito theoremate inveniantur curvæ, si inter \( T \) et \( p \), \( T \) et \( r \) vel \( T \) et \( s \) detur quædam relatio. Sit enim \( T = P \), functioni quantitatis \( p \), habetur \( \frac{ddx}{dx} = -\frac{P dp}{\sqrt{1-p^2}} \), et facta integratione log. \( dx = -\int \frac{P dp}{\sqrt{1-p^2}} + \log. Adp \), quæ, si \( N \) sit numerus, cujus logarithmus hyperbolicus \( r \), evadit log. \( dx = -\log. N \int \frac{P dp}{\sqrt{1-p^2}} + \log. Adp \), et si \( N \int \frac{P dp}{\sqrt{1-p^2}} \) ponatur \( F \) et transfeundo a logarithmis ad quantitates absolutas, erit \( dx = \frac{Adp}{F} \), cujus si sumantur integralia, obtinetur \( x + C = \int \frac{Adp}{F} \), qua æquatione \( p \) per \( x \) exprimi possit. Sit \( p = X \), functioni abscissæ \( x \), erit \( \sqrt{1-p^2} = \sqrt{1-X^2} \), \( dy = \left( \frac{pdx}{\sqrt{1-p^2}} \right) = \frac{X dx}{\sqrt{1-X^2}} \) et integratione \( y = \int \frac{X dx}{\sqrt{1-X^2}} \) æquatio, qua curvarum natura innotescit. Patet hinc, quod, quoties \( \int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} \) per logarithmos sumi non possit, curva, quae quaeritur, fit transcendens; ut vero sit algebraica, requiritur, non solum ut \( \int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} \) sit integrale logarithmicum, sed etiam ut \( \int \frac{Adp}{F} \) et \( \int \frac{Xdx}{\sqrt{1-X}} \) sint quantitates, quae absolutam admittant æquationem. Exempl. 1. Si invenienda fit curva, cujus variatio curvaturæ \( T = \frac{3\sqrt{1-p^2}}{p} \). Per theorema habetur \( \frac{dxdx}{dx} \left( = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}} \right) = -\frac{3dp}{p} \), quam æquationem integrando et corrigendo prodit log. \( dx \left( = \log. \frac{1}{p^3} + \log. -\frac{adp}{2} \right) = \log. -\frac{adp}{2p^3} \), et a logarithmis ad quantitates absolutas tranfeundo \( dx = -\frac{adp}{2p^3} \), et iterum integrando et corrigendo \( x+C \left( = -\int \frac{adp}{2p^3} \right) = \frac{a}{4p^2} \), ex qua æquatione habetur \( p = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{C+x}} \) et \( \sqrt{1-p^2} = \frac{\sqrt{4C+4x-a}}{2\sqrt{C+x}} \), unde sequitur, quod sit \( y \left( = \int \frac{pdx}{\sqrt{1-p^2}} \right) = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{4C+4x-a}} \) \( = \sqrt{a} \cdot \sqrt{4C+4x-a} \), qua æquatione constat, curvam effè parabolam apollonianam, cujus parameter principalis \( a \). Exempl. 2. Si curva quaeritur, cujus variatio curvaturæ \( T = \frac{1-3p^2}{p\sqrt{1-p^2}} \), theoremate habetur \( \frac{dxdx}{dx} \left( = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}} \right) = \frac{3p^2-1}{p\cdot 1-p^2} \cdot dp \), cujus æquatio integralis correcta erit log. \( dx \left( = \log. \frac{1}{p\cdot 1-p^2} + \log. adp \right) = \log. \frac{adp}{p\cdot 1-p^2} \), vel, facto a logarithmis transitu, \( \frac{dx}{a} = \frac{dp}{p\cdot 1-p^2} \) et integratione \( \frac{x}{a} + C = \log. \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} \), unde si \( N \) sit numerus, merus, cujus logarithmus hyperbolicus \( r \), erit \( \frac{p}{\sqrt{1-p^2}} = N^x + C \). et \( y = \int \frac{pdx}{\sqrt{1-p^2}} \int N^x + C dx \), curva igitur est logarithmica. **Exempl. 3.** Si curvaturae variatio fit \( T = \frac{3 \cdot (a^2 + b^2) \cdot r}{a^2 r^2 \pm b^2} \), quaeritur curva. Per corollarium primum habetur \( \frac{d^2x}{dx} (= -\frac{Tdr}{1+r^2}) \) \( = -\frac{3 \cdot (a^2 + b^2) \cdot rdr}{a^2 r^2 \pm b^2 \cdot 1 + r^2} \) et integratione facta log. \( dx (= \log. \frac{1+r^2}{a^2 r^2 \pm b^2}) \) \( + \log. \frac{-b^2 a^2 dr}{2 \cdot 1 + r^2} \) \( = \log. \frac{-b^2 a^2 dr}{2 \cdot a^2 r^2 \pm b^2} \), vel, sumendo quantitates absolutas, \( dx = \frac{b^2 a^2 dr}{2 \cdot a^2 r^2 \pm b^2} \), et integratione \( C = x = \frac{a^2 r}{2 \sqrt{a^2 r^2 \pm b^2}} \), ex qua aequatione \( r = \frac{b \cdot 2C \pm 2x}{a \sqrt{2C \pm 2x}^2 - a^2} \) et \( y (= \int rdx) = \int \frac{b \cdot 2C \pm 2x \cdot dx}{a \sqrt{2C \pm 2x}^2 - a^2} \), aequatio indolem curvarum exprimens, quae si \( C = \frac{a}{2} \) erit \( y = \frac{b \sqrt{ax \mp x^2}}{a} \), aequatio pro sectionibus conicis. **Exempl. 4.** Proponatur invenire curvam, cujus curvaturae variatio \( T = \frac{2 \cdot 2s^2 - 3}{s^2 - 2 \cdot \sqrt{s^2 - 1}} \), per secantem anguli BCD expressa, datur. Per corollarium secundum curvam consequi licet; sed per substitutionem \( T = \frac{2 \cdot 3p^2 - 1}{p \cdot 2p^2 - 1} \) habetur, erit \( \frac{d^2x}{dx} (= -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}} = \frac{2 \cdot 1 - 3p^2 \cdot dp}{p \cdot 2p^2 - 1}) \), integratione log. \( dx (= \log. \frac{1}{p^2 \sqrt{2p^2 - 1}} + \log. adp) = \log. \frac{adp}{p^2 \sqrt{2p^2 - 1}} \) et adhibendo quantitates absolutas. Methodus Inveniendi Lineas Curvas solutas \( dx = \frac{ap}{p^2\sqrt{2p^2 - 1}} \) cujus æquatio integralis \( x + C = \frac{a\sqrt{2p^2 - 1}}{p} \) dat \( p = \frac{a}{\sqrt{2a^2 - x + C^2}} \) et \( \sqrt{1 - p^2} = \frac{\sqrt{2 - x + C^2}}{\sqrt{2a^2 - x + C^2}} \), quo \( y = \int \frac{pdx}{\sqrt{1 - p^2}} \) \( = \int \frac{adx}{\sqrt{a^2 - x + C^2}} \) æquatio pro curva, quæ sinuum vocatur. **THEOREMA II.** Si cosinus anguli BCD sit \( q \), positio radio \( r \), et reliquæ determinationes maneant ut in theoremate præcedenti, erit \[ \frac{ddy}{dy} = \frac{Tdq}{\sqrt{1 - q^2}}. \] Nam propter triangulorum DMN et CHG similitudinem \( MN(\sqrt{1 - q^2}) : DN(q) :: HG(dy) : CG(dx) \) et \( MN(\sqrt{1 - q^2}) : MD(1) :: HG(dy) : CH(dz) \) erit \( dx = \frac{qdy}{\sqrt{1 - q^2}} \) et \( dz = \frac{dy}{\sqrt{1 - q^2}} \). Per similitudinem triangulorum CDK, KED, et NDM, erit \( MD(1) : DN(q) :: DK + KC(R) : y + DE \), unde \( Rq = y + DE \), sumptisque fluxionibus \( Rdq = dy \), qua \( R = \frac{dy}{dq} \), radius enim curvaturæ ut constans suppositus, \( DE \) etiam constans erit, et si ulterius sumantur fluxiones, \( dq \) constante habita, erit \( dR = \frac{ddy}{dq} \), qua divisa per \( dz = \frac{dy}{\sqrt{1 - q^2}} \) provenit \( T = \frac{dR}{dz} = \frac{ddy\sqrt{1 - q^2}}{dydq} \) et \[ \frac{ddy}{dy} = \frac{Tdq}{\sqrt{1 - q^2}}. \] **Cor. I.** Si cotangens anguli BCD dicatur \( t \), erit \( q = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} \), \( \sqrt{1 - q^2} = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \), \( dq = \frac{dt}{1 + t^2} \) et \( \frac{ddy}{dy} = \frac{Tdt}{1 + t^2} \). Cor. 2. Si coscens anguli BCD sit \( v \), erit \( q = \frac{\sqrt{v^2 - 1}}{v} \), \[ \sqrt{1 - q^2} = \frac{1}{v}, \quad dq = \frac{dv}{v \sqrt{v^2 - 1}} \quad \text{et} \quad \frac{ddy}{dy} = \frac{T}{v \sqrt{v^2 - 1}}. \] Schol. 1. Si per æquationem hujus formæ \( dx = Y dy \), ubi \( Y \) functio est ordinatæ \( y \), relatio datur inter coordinatarum fluxiones æquatione \( T = \frac{ddy \sqrt{1 - q^2}}{ayaq} \), eodem calculandi modo ac in scholio r. variatio curvaturæ \( T = \frac{Q \sqrt{1 - q^2}}{Q} \) generaliter in \( q \) habetur, significantibus \( Q \) et \( Q \) functiones cosinus \( q \). Pari calculandi ratione ac in eodem Scholio curvaturæ variatio \( T = \frac{Y \sqrt{1 - Y^2}}{Y} \), denotantibus \( Y \), \( Y \) et \( Y \) functiones ordinatæ \( y \), inveniri potest. Schol. 2. Per hoc theorema natura curvae habetur ex data relatione inter \( T \) et \( q \), \( T \) et \( r \) vel \( T \) et \( s \), &c. Nam si fit \( T = Q \), functioni cosinus \( q \), erit \( \frac{ddy}{dy} = \frac{Q dq}{\sqrt{1 - q^2}} \), et integratione log. \( dy = \int \frac{Q dq}{\sqrt{1 - q^2}} + \log. B dq \), vel log. \( dy = \log. N \int \frac{Q dq}{\sqrt{1 - q^2}} + \log. B dq \), si \( N \) fit numerus, cujus logarithmus hyperbolicus 1; et si \( N \int \frac{Q dq}{\sqrt{1 - q^2}} \) indicatur \( G \), et facto a logarithmis transitu, prodit \( dy = \frac{B dq}{G} \), et per integrationem \( y + C = \int \frac{B dq}{G} \) ex qua \( q \) in \( y \) datur. Sit \( q = Y \), functioni ordinatæ \( y \), erit \( \sqrt{1 - q^2} = \sqrt{1 - Y^2} \) et \( x = \int \frac{y dy}{\sqrt{1 - q^2}} \) \( = \int \frac{Y dy}{\sqrt{1 - Y^2}} \) generalis æquatio, indolem curvarum exprimens. Vol. LXXIII: P p p Ad Ad hæc idem est observandum ac in theoremate præcedenti, quod si \( \int \frac{Q dq}{\sqrt{1-q^2}} \) integrale sit logarithmicum et \( \int \frac{B dp}{G} \) et \( \int \frac{Y dy}{\sqrt{1-Y^2}} \) quantitates perfecte integrabiles, curva evadit algebraica, si vero aliter evenerit, semper transcendens. Ex. 1. Propositum esto invenire curvam, cujus variatio curvaturæ \( T = \frac{I}{q \sqrt{1-q^2}} \). Per theorema habetur \( \frac{ddy}{dy} \left( = \frac{T dq}{\sqrt{1-q^2}} \right) = \frac{dq}{q \cdot \sqrt{1-q^2}} \), integratione et correctione peracta, log. \( dy \left( = \log. \frac{q}{\sqrt{1-q^2}} + \log. - adq \right) = \log. - \frac{aqdq}{\sqrt{1-q^2}} \), et adhibendo quantitates absolutas \( dy = - \frac{aqdq}{\sqrt{1-q^2}} \), et denuo integrando erit \( y + C \left( = - a \int \frac{qdq}{\sqrt{1-q^2}} \right) = a \sqrt{1-q^2} \), unde \( \sqrt{1-q^2} = \frac{Y+C}{a} \) et \( q = \frac{\sqrt{a^2-Y+C^2}}{a} \) et \( x \left( = \int \frac{qdy}{\sqrt{1-q^2}} \right) = \frac{dy \sqrt{a^2-y+C^2}}{y+C} \) et si \( C = 0 \) pro venit \( x = \int \frac{dy \sqrt{a^2-y^2}}{y} \), qua constat, curvam esse tracteriam. Ex. 2. Quænam est curva, cujus curvaturæ variatio \( T = \frac{3q^2-2}{q \sqrt{1-q^2}} \)? Vi theorematis habetur \( \frac{ddy}{dy} \left( = \frac{T dq}{\sqrt{1-q^2}} \right) = \frac{3q^2-2}{q \cdot \sqrt{1-q^2}} \cdot dq \), integratione et correctione log. \( dy \left( = \log. \frac{I}{q \sqrt{1-q^2}} + \log. - adq \right) = \log. - \frac{adq}{q \sqrt{1-q^2}} \), hoc est \( dy = - \frac{adq}{q \sqrt{1-q^2}} \), et iterum integrando \( y + C \left( = - a \int \frac{dq}{q \sqrt{1-q^2}} \right) = a \sqrt{1-q^2} \), qua habetur \( \frac{q}{\sqrt{1-q^2}} = \frac{a}{y+C} \) et \( x \left( = \int \frac{qdy}{\sqrt{1-q^2}} \right) = \int \frac{ady}{y+C} \), et si \( C = 0 \), \( x = \int \frac{dy}{y} \) æquatio pro logarithmica ordinaria. THEOREMA III. Manentibus iisdem ac in theoremate primo, erit \( \frac{ddz}{dz} = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}} \) vel etiam \( \frac{ddz}{dz} = \frac{Tdq}{\sqrt{1-q^2}} \). Est enim \( dz = \frac{dx}{\sqrt{1-p^2}} \) et \( dx = dz\sqrt{1-p^2} \), quare \( R(-\frac{dx}{dp}) = -\frac{dz\sqrt{1-p^2}}{dp} \), cujus fluxiones \( dR = -\frac{ddz\sqrt{1-p^2}}{dp} \), posita arcus MP fluxione \( \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) constante, per \( dz \) divisae dant \( T(\frac{dR}{dz}) = -\frac{ddz\sqrt{1-p^2}}{dzdp} \), qua sequitur \( \frac{ddz}{dz} = -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}} \). Et quum fluxio arcus circuli æqualis fit negativæ fluxioni complimenti, erit etiam \( \frac{ddz}{dz} = \frac{Tdq}{\sqrt{1-q^2}} \). Cor. Si sint ut antea tangens anguli BCD, \( r \) et secans \( s \), habetur \( \frac{ddz}{dz} = -\frac{dr}{1+r^2} = -\frac{ds}{s\sqrt{s^2-1}} \). Schol. 1. Si alterutra æquationum formae \( dx = Zdz \) et \( dy = Zdz \), inter fluxiones abscissæ vel ordinatæ et curvae, relatio detur, per formulam \( T = -\frac{ddz\sqrt{1-p^2}}{dzdp} \) vel \( T = \frac{ddz\sqrt{1-q^2}}{dzdq} \), variatiocurvaturæ in \( p \), \( \frac{P\sqrt{1-p^2}}{P} \), in \( q \), \( \frac{Q\sqrt{1-q^2}}{Q} \), et in \( z \), \( \frac{Z\sqrt{1-z^2}}{Z} \), eodem ac antea habetur, posita fluxione quantitatis \( \int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) constante. Schol. 2. Ope hujus theorematis invenire licet indolem curvae, si inter \( T \) et \( p \), \( T \) et \( q \), &c. relatio detur. Sit \( T = P \), functioni \( Ppp^2 \) sinu. finus \( p \), erit \( \frac{ddz}{dz} = -\frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} \), facta integratione et correctione debita, log. \( dz = -\int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} + \log. \frac{Edp}{\sqrt{1-p^2}} \), vel log. \( dz = -\log. N \int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} + \log. \frac{Edp}{\sqrt{1-p^2}} \), si \( N \) fit basis logarithmorum hyperbolicorum, atque posit \( N \int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} = H \), et facto de logarithmis transitu, \( dz = \frac{Edp}{H\sqrt{1-p^2}} \), et iterum integrando \( z + C = \int \frac{Edp}{H\sqrt{1-p^2}} \), unde \( p \) per \( z \) habetur. Sit \( p = Z \), functioni arcus curvae \( z \), erit \( \sqrt{1-p^2} = \sqrt{1-Z^2} \), \( x (= \int dz \sqrt{1-p^2}) = \int dz \sqrt{1-z^2} \) et \( y (= \int pdz) = \int Zdz \), quorum alterutra curvarum indoles cognoscitur. Pari modo procedendum est, si \( T = Q \), quantitatas \( q \) functioni. Hinc facile colligitur, quod, quoties \( \int \frac{Pdp}{\sqrt{1-p^2}} \) sit integrale logarithmicum et quantitates \( \int \frac{Edp}{H\sqrt{1-p^2}} \) et \( \int dz \sqrt{1-Z^2} \) vel \( \int Zdz \) perfectae integrabiles, curvae erunt rectificabiles et algebraicae, quoties relatio inter \( x \) et \( z \) vel inter \( y \) et \( z \) in relationem algebraicam \( x \) et \( y \) resolvi possit. Exempl. 1. Si desideretur curva, cujus curvaturae variatio \( T = \frac{2\sqrt{1-p^2}}{p} \). Per theorema est \( \frac{ddz}{dz} (= -\frac{Tdp}{\sqrt{1-p^2}}) = -\frac{2dp}{p} \) et integratione log. \( dz (= \log. \frac{1}{p^2} + \log. \frac{adp}{\sqrt{1-p^2}}) = \log. \frac{adp}{p^2\sqrt{1-p^2}} \), qua \( dz = \frac{a\cdot p}{p^2\sqrt{1-p^2}} \), et denuo integrando \( z + C = -\frac{a\sqrt{1-p^2}}{p} \), qua habetur betur \( p = \frac{a}{\sqrt{a^2 + z + C^2}} \), \( \sqrt{1 - p^2} = \frac{z + C}{\sqrt{a^2 + z + C^2}} \) et \( x (= \int dz \sqrt{1 - p^2}) = \frac{z + C \cdot dz}{\sqrt{a^2 + z + C^2}} \); si \( C = 0 \), evadit \( x (= \int \frac{dz}{\sqrt{a^2 - z^2}}) \) \( = -a + \sqrt{a^2 - z^2} \), curva igitur est catenaria. Exempl. 2. Sit variatio curvaturae \( T = \frac{\sqrt{1-q^2}}{q} \), quaeritur curva. Vi theorematis erit \( \frac{d dz}{dz} (\equiv \frac{T dq}{\sqrt{1-q^2}}) = \frac{dq}{q} \) et integratione log. \( dz \) \( (= \log_q + \log_{\sqrt{1-q^2}}) = \log_q \frac{aq dq}{\sqrt{1-q^2}}, \) qua \( dz = \frac{aq dq}{\sqrt{1-q^2}} \) et rursus integrando \( z + C = -a \sqrt{1-q^2}, \) unde \( q = \frac{\sqrt{a^2 - z + C^2}}{a} \), \( \sqrt{1-q^2} = \frac{z+C}{a} \) et \( y (= \int dz \sqrt{1-q^2}) = \int \frac{z+C \cdot dz}{a}, \) si \( C = -a \) patet curvam esse cycloideam. THEOREMA IV. Retentis antea adhibitis denominationibus, erit \( \frac{dR}{RT} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). Quoniam DM (1) : CD (R) :: \( -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} : dz \) habetur \( dz = -\frac{R dp}{\sqrt{1-p^2}}, \) quae æquatio per \( T \) multiplicata dat \( T dz = -\frac{RT dp}{\sqrt{1-p^2}}, \) et quum \( dR = T dz, \) prodit \( \frac{dR}{RT} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). Schol. 1. Hujus theorematis subsidio inveniri potest curvarum indoles, si inter \( R \) et \( T \) detur quædam relatio. Sit \( R = K, \) quantitatis \( T \) functioni, habetur per hoc théorema \( \frac{dK}{KT} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}}, \) et et facta integratione \( \int \frac{dK}{KT} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). Quoniam \( \int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) arcus est circuli, cujus sinus \( \sqrt{1-p^2} \), si ponatur \( \int \frac{dK}{KT} + C = n \) et \( N \) numerus, cujus logarithmus hyperbolicus \( r \), erit \( \sqrt{1-p^2} = \frac{N^{r/\sqrt{-1}} - N^{-r/\sqrt{-1}}}{2\sqrt{-1}} \), functioni quantitatis \( T \), unde per hanc æquationem \( T \) in \( p \) vel substitutione \( T \) in \( q \) vel \( r \), &c. exprimi potest. Cognita relatione inter \( T \) et \( p \) vel \( T \) et \( q \), \( r \), &c. relationem inter coordinatas vel inter curvam et abscissam vel ordinatam per theoremata præcedentia inveniendi aditus patet. Hinc facile colligitur, quod quoties \( \int \frac{dK}{KT} \) non fit per arcus circularis integrabilis curva semper fit trinsecendens. Ex. 1. Quænam est curva, si relatio inter \( R \) et \( T \) per æquationem \( R = \frac{a \cdot 4 + T^2}{4} \) detur. Theorematis auxilio erit \( \frac{2dT}{4+T^2} (= \frac{dR}{RT}) = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) et integratione \( \int \frac{2dT}{4+T^2} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \), ubi \( \int \frac{2dT}{4+T^2} \) arcus est circuli, cujus sinus \( \frac{T}{\sqrt{4+T^2}} \) et \( -\int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) arcus, cujus sinus \( \sqrt{1-p^2} \), si arcus constantis \( C \) sinus fit \( c \), erit \( \frac{T\sqrt{1-c^2} + 2C}{\sqrt{4+T^2}} = \sqrt{1-p^2} \), qua æquatione \( T \) in \( p \) invenire licet. Si \( C = 0 \), habetur in hoc casu speciali \( T = \frac{2\sqrt{1-p^2}}{p} \) et per theorema 1. \( dy = \frac{adx}{\sqrt{2ax+x^2}} \), curva igitur quæsta est catenaria. Ex. 2. Quæritur curva, si \( R = \frac{a^4\sqrt{1+4T^2}}{2} \). Vi theorematis obtinetur \( \frac{2dT}{1+4T^2} (= \frac{dR}{RT}) = \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \) et integrando \( \int \frac{2dT}{1+T^2} + C \) ex Proprietatibus Variationis Curvaturae. \[ \int \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \cdot \text{Itaque quum arcuum} - \int \frac{2dT}{1+4T^2} \text{et} \int \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \text{sinus} \] sint \( \frac{1}{\sqrt{1+4T^2}} \) et \( q \) respectivo, si arcus constantis \( C \) sinus sit \( c \), prodit \( \frac{\sqrt{1-C^2} + 2CT^2}{\sqrt{1+4T^2}} = q \), qua \( T \) in \( q \) habetur. Si \( C = 0 \), erit \( T = -\frac{\sqrt{1-q^2}}{2q} \) et per theorema 2. prodit \( dx = -\frac{v^2dv}{\sqrt{a^4-y^4}} \), unde constat, quod in hoc casu curva fit elastica. **THEOREMA V.** Manentibus adhibitis denominationibus et dicta DF, S, erit \[ \frac{ds}{ST} - \frac{dT}{T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}}. \] Quoniam \( 1 : T :: CD (R) : DF (S) \), erit \( S = RT \) et \( R = \) \[ \frac{s}{T} \] ejusque fluxiones \( dR = \frac{dS}{T} = \frac{sdT}{T^2} \). Quum vero \( \frac{dR}{RT} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \), prodit substitutione \( \frac{ds}{ST} - \frac{dT}{T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). **Schol.** Mediante hoc theoremate indagantur curvae, data relatione inter \( S \) et \( T \). Si enim sit \( S = L \), quantitatis \( T \) functioni, habetur \( \frac{TdL - LdT}{LT^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) et integratione \( \int \frac{TdL - LdT}{LT^2} + C = \) \[ -\int \frac{dp}{\sqrt{1-p}} \]. Ponatur \( \int \frac{TdL - LdT}{LT^2} + C = m \) et \( N \) basis logarith- morum hyperbolicorum, erit \( \sqrt{1-p^2} = \frac{N^{m\sqrt{-1}} - N^{-m\sqrt{-1}}}{2\sqrt{-1}} \), quae functio est quantitatis \( T \), quare \( T \) in \( p \) vel substitutione in \( q, r, \) &c. per hanc aequationem exprimi potest. Relatione adepta inter \( T \) et \( p \) vel \( q, \) &c. relatio inter coordinatas, vel inter curvam et abscissam vel ordinatam habetur, ut antea expositum est. Generaliter Generaliter constat, quod, quoties \( \int \frac{T dL - L dT}{LT^2} \) non fit per arcus circulares integrabilis, curva fit transcendens. **Ex. 1.** Si radius curvaturæ evolutæ \( S = \frac{aT \cdot (9 + T^2)^{\frac{3}{2}}}{54} \), quaeritur curva. Per theorema obtinetur \( \frac{3dT}{9 + T^2} (\frac{dS}{dT} = \frac{dT}{T^2}) = -\frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \) et integratione \( \int \frac{3dT}{9 + T^2} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). Quum vero arcuum \( \int \frac{3dT}{9 + T^2} \) et \( -\int \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \) finus sint \( \frac{T}{\sqrt{9 + T^2}} \) et \( \sqrt{1 - p^2} \), si arcus constantis \( C \) finus fit \( c \), erit \( \frac{T \sqrt{1 - c^2} + 3C}{\sqrt{9 + T^2}} = \sqrt{1 - p^2} \) et resoluta hac æquatione \( T \) in \( p \) habetur. Si fit \( c = 0 \), erit \( T = \frac{3 \sqrt{1 - p^2}}{p} \) et per theorema 1. \( y = \sqrt{ax} \), curva igitur in hoc casu est parabola Apolloniana. **Ex. 2.** Quænam est curva, si evolutæ curvaturæ radius \( s = \frac{aT \cdot (9 + 4T^2)^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{27}} \)? Theoremate habetur \( \frac{6dT}{9 + 4T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \) et integratione \( \int \frac{6dT}{9 + 4T^2} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). Arcuum \( \int \frac{6dT}{9 + 4T^2} \) et \( -\int \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \), finus sunt \( \frac{2T}{\sqrt{9 + 4T^2}} \) et \( \sqrt{1 - p^2} \), si arcus constantis \( C \) finus ponatur \( c \), prodit \( \frac{2T \sqrt{1 - c^2} + 3C}{\sqrt{9 + 4T^2}} = \sqrt{1 - p^2} \), per quam \( T \) in \( p \) obtinetur, quæ, in casu \( c = 0 \), dat \( T = \frac{3 \sqrt{1 - p^2}}{2p} \) et theoremate 1. \( dy = \frac{a^2 dx}{\sqrt{x^4 - a^4}} \) æquatio ad curvam, quæ construitur rectificatione ellipsoës et hyperbolæ æquilateræ conjunctim. THEOREMA VI. Dicatur CF, U et reliquis manentibus, erit \( \frac{dU}{UT} - \frac{dT}{1 + T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). Quum enim \( 1 : \sqrt{1 - T^2} :: CD (R) : CF (U) \), erit \( R = \frac{U}{\sqrt{1 + T^2}} \) ejusque fluxio \( dR = \frac{dU}{\sqrt{1 + T^2}} - \frac{UTdT}{1 + T^2} \), et quum \( \frac{dR}{RT} = \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \), provenit substitutione \( \frac{dU}{UT} - \frac{dT}{1 + T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). Schol. Auxilio hujus theorematis, curvae inveniuntur, quando inter \( T \) et \( U \) relatio detur. Nam si sit \( U = M \), functioni quantitatis \( T \), erit per hoc theoremata \( \frac{1 + T^2 \cdot dM - MTdT}{MT \cdot 1 + T^2} = -\frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). et integratione \( \int \frac{1 + T^2 \cdot dM - MTdT}{MT \cdot 1 + T^2} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1 - p^2}} \). Itaque, positae basi logarithmicae \( N \) et \( \int \frac{1 + T^2 \cdot dM - MTdT}{MT \cdot 1 + T^2} + C = k \), erit \( \sqrt{1 - p^2} = \frac{N^k \sqrt{-1} - N^{-k} \sqrt{-1}}{2 \sqrt{-1}} \), quantitatis \( T \) functioni, quare inter \( T \) et \( p \) habetur relatio, per quam, methodo antea exposita, relationem inter coordinatas vel curvam et abscissam sive ordinatam invenire licet. Consequitur hinc, quod, quando \( \int \frac{1 + T^2 \cdot dM - MTdT}{MT \cdot 1 + T^2} \) per quadraturam circuli non obtinetur, curva semper sit transcendentis. Ex. Si curva quaeritur ubi linea CF sive \( U = \frac{a}{2} \), theorematis ope erit \( -\frac{dT}{1 + T^2} = \frac{dq}{\sqrt{1 - q^2}} \) et integratione \( -\int \frac{dT}{1 + T^2} + C = \int \frac{dq}{\sqrt{1 - q^2}} \). Vol. LXXIII. Qqq Quum Quum arcuum \( \int \frac{dT}{1+T^2} \) et \( \int \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \) sinus sint \( \frac{1}{\sqrt{1+T^2}} \) et \( q \) si arcus constantis \( C \) sinus fit \( c \), obtinetur æquatio \( \frac{\sqrt{1-c^2}+CT}{\sqrt{1+T^2}} = q \), qua \( T \) in \( q \) datur, et si \( c = 0 \), \( T = \frac{\sqrt{1-q^2}}{q} \), quare in hoc caso speciali per theorema 2. habetur \( dx = -\frac{2\sqrt{y}dy}{\sqrt{a-2y}} \), æquatio pro cycloide ordinaria cujus circuli generatoris diameter \( \frac{a}{4} \). **THEOREMA VII.** Si variatio curvaturæ evolutæ dicatur \( V \) ceteris manentibus erit \( \frac{dT}{V-T.T} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). Quoniam \( DM (1) : CD (R) :: -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} : dz \), habetur \( dz = \frac{Rdp}{\sqrt{1-p^2}} \), quae si multiplicetur per \( T \) prodit \( d'R (= Tdz) = \frac{RTdp}{\sqrt{1-p^2}} \), et propter \( 1 : T :: CD (R) : DF \) erit evolutæ radius curvaturæ \( DF = RT \), cujus fluxio \( Rd'T + Td'R \) per fluxionem evolutæ divisa dat ejus curvaturæ variationem \( V (= \frac{RdT}{dR} + T) = -\frac{dT\sqrt{1-p}}{Tdp} + T \) atque inde \( \frac{dT}{V-T.T} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \). **Schol.** Hoc mediante theoremate invenire valemus curvas, si inter curvaturæ variationes \( V \) et \( T \) relatio detur. Sit enim \( V = H \), functioni quantitatis \( T \), erit vi theorematis \( \frac{dT}{H-T.T} = -\frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \) et integrando \( \int \frac{dT}{H-T.T} + C = -\int \frac{dp}{\sqrt{1-p^2}} \), si itaque ponatur \( \int \frac{dT}{H-T.T} + C = l \) et \( N \) basis logarithmica, erit \( \sqrt{1-p^2} = \) ex Proprietatibus Variationis Curvaturæ. \[ \frac{N^{1/\sqrt{-1}} - N^{-1/\sqrt{-1}}}{2\sqrt{-1}}, \text{ qua æquatione } T \text{ in } p \text{ vel substitutione in } q, r, \&c. \text{ exprimi potest, unde via, æquationem ad curvam inveniendi patet.} \] Curva semper est transcendens, quoties \(\frac{dT}{H-T.T}\) per circuli rectificationem non habetur. Exempl. Sit evolutæ variatio curvaturæ \(V = T + \sqrt{T^2-4}\), quæritur curva. Theoremate hoc habetur \(\frac{dT}{T\sqrt{T^2-4}} = \frac{dT}{H-T.T}\) \[ = \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \text{ et integratione } \int \frac{dT}{T\sqrt{T^2-4}} + C = \int \frac{dq}{\sqrt{1-q^2}} \text{ arcus, quorum} \] sinus sunt \(\frac{\sqrt{T+\sqrt{T^2-4}}}{\sqrt{2T}} c\), et \(q_1\) si arcus constantis \(C\) sinus ponatur \(c\), et exinde consequitur \(\frac{\sqrt{1-c^2}\sqrt{T+\sqrt{T^2-4}+c\sqrt{T-\sqrt{T^2-4}}}}{\sqrt{2T}}\) \(= q\), qua si \(c = 0\) prodit \(T = \frac{1}{q\sqrt{1-q^2}}\) et per theoremum \(2.\ dx = \frac{dy\sqrt{a^2-y^2}}{y}\) in quo casu curva est tractoria.