De Polygonis Area Vel Perimetro Maximis et Minimis, Inscriptis Circulo, Vel Circulum Circumscribentibus. Auctore S. Horsley, LL.D. R. S. Sec.

XXIX. De Polygonis Ared vel Perimetro maximis et minimis, inscriptis Circulo, vel Circulum circumscribentibus. Auctore S. Horsley, LL.D. R.S. Sec. Redde, May 19, 1775. THEOREMA I. (TAB. IX.) Si linea recta arcum circularem contingentibus duabus interceptum contingat, segmentum ejus, contingentibus primo positis interceptum, in contactus sui puncto vel æqualiter vel inæqualiter divisum est, prout arcus ipse circularis æqualiter vel inæqualiter in eodem puncto divisus est. Segmentaque arcus (inæqualiter scilicet divisi) et rectae contingentis majora et minora ab iisdem sunt partibus mutui contactus. ARCUM circularem AEC, contingentibus duabus, AB, CD, interceptum, recta BD in puncto E contingat. Recta vero BD contingentibus primo positis, AB, CD, in punctis B, D, occurrat. Dico rectam BD in puncto E vel æqualiter vel inæqualiter divisam, prout arcus AEC æqualiter vel inæqualiter in eodem puncto E divisus est. Primo puta arcum AC in puncto E æqualiter divisum. Dico igitur et rectam BD, in puncto E, bifariam secari. Circuli AEC centrum esto F. Jungantur FE, FB, FD, quarum rum \(FB, FD\), circuli peripheriæ in punctis \(G, H\) occurrant. Rectæ \(FB, FD\) arcus \(AE, CE\) bifariam dividunt. Arcus igitur \(GE, HE\), arcuum \(AE, CE\) semisses. Æquales igitur \(GE, EH\), propter \(AE, EC\), ex hypothefi, æquales. Quare anguli \(BFE, DFE\) æquales. Æquales autem anguli \(BEF, DEF\): rectus enim uterque. In triangulis igitur \(BFE, DFE\), quæ latus commune habent \(EF\), duo anguli \(BEF, BFE\), duobus \(DEF, DFE\), singuli singulis æquales. Reliqua igitur reliquis æqualia (per El. i. 26.). Quare \(BE = ED\). Q.E.D. Jam vero puta arcum \(AC\) inæqualiter in \(E\) divisum, et segmentorum \(AE, CE\), majus esse \(AE, CE\) minus. (fig. 2.) Dico rectam \(BD\) inæqualiter in puncto \(E\) divisam, segmentumque \(BE\) majus esse, \(DE\) minus. Jungantur enim ut prius \(FB, FE, FD\), quarum \(FB, FD\) peripheriæ in punctis \(G, H\) occurrant. Rectæ \(FB, FD\), arcus \(AE, CE\), bifariam dividunt. Arcus igitur \(GE, HE\), arcuum \(AE, CE\) semisses. Cum igitur arcus \(AE\), arcu \(CE\) major sit, arcus \(GE\) arcu \(HE\) major erit. Angulus igitur \(BFE\) angulo \(DFE\) major. Fiat angulus \(EFK\) angulo \(DFE\) æqualis. Quoniam angulus \(KFE\) angulo \(DFE\) æqualis est, nec non angulus rectus \(KEF\), recto \(DEF\) æqualis; in triangulis \(EFK, EFD\), quæ latus \(EF\) commune habent, anguli duo \(KFE, KEF\), duobus \(DFE, DEF\), singuli singulis æquales. Reliqua igitur reliquis æqualia. Latera igitur \(EK, ED\), æqualia. Propter angulum vero \(EFK\) angulo \(EFB\) minorem, punctum \(K\) punctis, \(B, E\), necessario interjacet. Recta igitur \(BE\), rectâ \(KE\) major. Major itaque quam \(ED\). Q.E.D. THEOREMA. THEOREMA II. Linea recta qua arcum circularem contingentibus duabus interceptum in puncto medio contingit, et contingentibus primo positis hinc inde occurrit, minima est omnium quae, eundem arcum contingentes, contingentibus primo positis intercipiuntur. ARCUM circularem BED, contingentibus duabus AB, CD, interceptum recta AC in puncto E contingat, et contingentibus primo positis AB, CD, in punctis A, C, occurrat. Punctum E arcûs BED medium esto. Dico rectam AC omnium minimam, quae, arcum BED contingentes, contingentibus AB, CD, intercipiuntur. Sumatur enim in arcu BED punctum quodlibet F, et ducatur recta GH quae circulum in F contingat. Recta vero GH contingentibus AB, CD, in punctis G, H, occurrat. Dico rectam AC rectâ GH minorem. Si parallelæ sint contingentes AB, CD (fig. 1.) res manifesta est: parallelas enim AB, CD, recta GH oblique secat, recta autem AC normaliter. Rectae vero AB, CD, non sint parallelæ. (fig. 2. et 3.) Si recta AC non fit minor quam GH, aut æqualis erit, aut major. Sit primo æqualis. Arcûs autem BD, inæqualiter in F divisi, segmentum majus esto BF. Rectae igitur GH, inæqualiter in F divisæ, segmentum GF majus erit (per 1. hujus). Rectae BA, DC, productæ occurrent; occurfus esto K: rectarum vero GH, AC, occurfus esto L. Junctâ BD, per H ducatur HM rectis BD, AC, parallela: et per G ducatur GN rectae DK parallela, quae rectae AC in N occurrat. Vol. LXV. T t Rectae \(GF, GB\), quae circulum in punctis \(B, F\), contingentes in puncto \(G\) conveniunt, æquales sunt. Pari ratione \(AE, AB\), æquales. Recta igitur \(GF\) duabus \(AE, AG\), simul sumptis æqualis est. Rursum rectae \(HF, HD\), quae circulum in punctis \(F, D\), contingentes in puncto \(H\) conveniunt, æquales sunt. Pari ratione \(CD, CE\), æquales. Recta igitur \(CD\), vel \(CE\), duabus \(FH, HC\), simul sumptis æqualis. Tres igitur \(GF, FH, HC\), simul sumptae, tribus \(AG, AE, EC\), simul sumptis æquales; id est, duæ \(GH, HC\), simul sumptae duabus \(AG, AC\), simul sumptis. Rectae autem \(GH, AC\), ex hypothesi, æquales. Ablatis igitur \(GH, AC\), æqualibus, relinquuntur \(HC, AG\), æquales. Propter rectas autem \(AC, MH, BD\), parallelas, et triangulum \(BKD\) isosceles, æquales sunt \(CH, AM\): quare \(AG, AM\), æquales. Propter parallelas, autem \(AL, MH\), rectae \(GM, GH\), in punctis \(A, L\), similiter divisiæ sunt: bifariam autem \(GM\) in \(A\): quare et \(GH\) bifariam in \(L\): et propter \(GN, CD\), parallelas, \(CN\) bifariam in \(L\). Cum \(CL\) igitur semissis fit rectae \(CN\), et \(CE\) semissis rectae \(CA\), erit \(EL\) rectae \(AN\) semissis, sive \(AN\) rectae \(EL\) dupla. Rectae autem \(GH\) æqualiter in \(L\) divisiæ, cum ejusdem rectae, inæqualiter in \(F\) divisiæ, segmentum \(GF\) majus est (per \(I\). hujus), recta \(GF\), rectis \(HF\) et duplæ \(FL\) simul sumptis æqualis est. Rectae autem \(GF\) recta \(GB\) æqualis. Quare \(GB\), sive duæ \(GM, MB\), simul sumptae, duabus, \(HF\) et duplæ \(FL\), simul sumptis, sive duabus, \(HD\) et duplæ \(FL\), simul sumptis, æquales. Et ablatis hinc inde \(MB, HD\), æqualibus, relinquetur \(GM\) æqualis duplæ \(FL\), id est duplæ \(EL\), id est, ex prius ostensis, rectae \(AN\). Propter æquales autem \(GA, AM\), recta \(GM\) rectae \(GA\) dupla est: et propter parallelas \(GN,\) KC, triangula AKC, AGN similia: latera autem KA, KC æqualia: æqualia igitur GA, GN. Duæ igitur GA, GN, simul sumptae, duplæ GA æquales sunt; id est, rectæ GM. Rectæ autem GM, AN ostensæ sunt æquales. Duæ igitur GA, GN, simul sumptae, rectæ AN æquales sunt: duo nempe trianguli latera simul sumpta æqualia reliquo. Quod est absurdum. Non sunt igitur AC, GH, æquales. Dico neque majorem esse AC quam GH. Est enim major AC, siquidem esse potest. Duæ GH, HC simul sumptae duabus AG, AC simul sumptis, ut prius, æquales sunt. Cum igitur AC major sit quam GH, erit AG minor quam HC. Æquales autem HC, AM, ut prius. Ergo AG minor erit quam AM; ac proinde, propter rectarum GM, GH, NC, similem in punctis A, L, divisionem, GL minor quam LH, et NL minor quam LC. Cum igitur CE semissis est rectæ CA, et CL major quam semissis rectæ CN, erit EL minor quam semissis rectæ AN: sive AN duplâ EL major. Porro cum rectæ GH inæqualiter in L divisiæ, segmentum GL, ex ostensi, minus est, ejusdem autem rectæ inæqualiter in F divisiæ segmentum GF majus, (per r. hujus) duæ, FH et dupla FL, simul sumptae rectâ GF majores sunt, sive æquali GB, sive duabus GM, MB simul sumptis. Et æqualibus FH, MB hinc inde ablatis, relinquetur dupla FL rectâ GM major. Æquales autem LF, LE. Quare dupla EL rectâ GM major: et AN, quæ duplâ EL jam ostensa est major, rectâ GM multo major erit. Propter GA minorem vero quam AM, recta GM duplâ AG major. Æquales autem ut prius GA, GN. Dupla igitur GA, duabus GA, GN simul sumptis æqualis est. Recta igitur GM, duabus \( GA, GN \) simul sumptis major. Et proinde recta \( AN \), quae ostensa est major quam \( GM \), duabus \( GA, GN \), simul sumptis multo major. Trianguli igitur \( AGN \) latus \( AN \) duobus reliquis simul sumptis majus. Quod est absur- dum. Recta igitur ac rectâ \( GH \) major non est. Sed nec æqualis. Minor igitur. Simili ratione et aliâ omni mi- nor, quae arcum \( BD \) contingens contingentibus primo po- sitis \( AB, CD \) intercepta est. Omnium igitur minima. \(\text{Q.E.D.}\) **THEOREMA III.** *Polygonorum omnium, lateribus numero datis, datum circu- lum circumscribentium, equiangulum perimetro mini- mum est.* *CIRCULUM ABCD* circumscriptum puta polygono, quot volueris laterum, \( FGHKE \), quod omnium quae, æquali laterum numero, circa eundem circulum circumscribi possunt, perimetrum minimam habeat. Dico polygonum \( FGHKE \) æquiangulum esse. Nam si æquiangulum non fit, neceßè est ut duos aliquos angulos proximos inæquales habeat: nam si nullos proximos, omnino nullos; sed æquiangulum erit. Sunto igitur inæquales proximi duo anguli \( GFE, KEF \). Latera vero \( GF, KE \), quae cum inter- medio \( FE \) angulos illos complexa sunt, circulum in \( A, D \) punctis contingant: et latus intermedium \( FE \) eundem in \( I \) contingat. Circuli centrum esto \( O \). Jungantur \( OA, OL, OD \). Anguli \( AFL, AOL \) simul sumpti duobus rectis æquales sunt, propter angulos ad \( A, L \) rectos. Similiter anguli anguli DEL, DOL simul sumpti duobus rectis æquales; propter angulos ad D et L rectos. Duo igitur AFL, AOL, simul sumpti, duobus DEL, DOL simul sumptis æquales. Inæqualibus igitur AFL, DEL hinc inde ablatis, relinquuntur AOL, DOL inæquales. Arcus igitur AL, LD inæquales. Bifariam igitur fecetur arcus ALD in M puncto, quod necessario à puncto L diversum erit. Per M ducatur recta quæ arcum AD contingat. Contingens per M contingentibus AF, DE in punctis N, P, occurrat. Recta NP rectâ FE minor erit (per præc). Quare et dupla rectæ NP duplâ rectæ FE minor. Sed propter NM = NA et PM = PD, tres rectæ AN, DP, PN, simul sumptae, duplæ rectæ NP æquales sunt. Et propter FA = FL, et DE = EL, tres AF, DE, FE, simul sumptae, duplæ rectæ FE æquales sunt. Tres igitur AN, DP, PN simul sumptæ tribus AF, DE, FE, simul sumptis minores. Polygonum autem NGHKP, circulum ABCD circumscribit, et latera numero totidem habet ac polygonum FGHKE; quod omnium quæ æquali laterum numero, circulum ABCD circumscribunt, perimetro, ex hypothesi, minimum est. Perimeter igitur FGHKEF perimetro NGHKPN minor. Utrique auferatur pars communis AGHKD: relinquuntur AF, DE, FE, reliquis AN, DP, PN, simul sumptae simul sumptis, minores. Ait majores jam ostensa sunt. Simul igitur majores et minores. Quod est absurdum. Non sunt igitur anguli GFE, KEF, inæquales, existente perimetro FGHKEF minimâ. Similiter ostendetur, nec alios duos quovis angulos proximos polygonum FGHKE inæquales habere. Nullos igitur proximos inaequales habet. Omnino igitur nullos. Omnes igitur aequales. Aequiangulum igitur. Q.E.D. **THEOREMA IV.** *Polygonorum omnium, lateribus numero datis, datum circulum circumscribentium, aequiangulum area minimum est.* PATET ex praecedente, cum area aequalis est recangulo sub semiperimetro et circuli inscripti semidiametro. **THEOREMA V.** *Polygonorum omnium, lateribus numero datis, dato circulo inscriptorum, aequilaterum perimetro maximum est.* CIRCULO ABCD inscriptum puta polygonum ABCDE, quot volueris laterum, quod omnium, quae, aequali laterum numero, eidem circulo inscribi possunt, perimetrum maximam habeat. Dico polygonum ABCDE aequilaterum. Non enim. Duo igitur proxima quaedam latera inaequalia habet: nam si nulla proxima, omnino nulla; sed aequilaterum erit; quod negasti. Inaequalia sunt latera proxima AB, AE. Propter rectas AB, AE inaequales, arcus AB, AE inaequales erunt. Bifariam igitur secetur arcus BAE BAE in puncto G, quod à puncto A diversum erit. Jungantur BG, EG. Circuli centrum esto F: juncta GE peripheriae iterum in H occurrat. Denique jungantur BE, HA. Arcubus GB, GE æqualibus, semicirculis GGH, GEH, ablatis, reliquituntur æquales EH, EH. Quare et anguli BGH, EGH, nec non BAH, EAH, æquales. Angulos igitur BCE, BAE, qui in eodem sunt segmento circulari, rectæ GH, AH, bifariam dividunt. Duæ igitur GB, GE, simul sumpta ad rectam GH eandem proportionem habent, ac duæ BA, AE, simul sumptaæ, ad rectam AH. (Vide Demonstrationem prop. 94. Datorum EUCLIDIS) In circulo autem ABCD, diameter GH, rectâ AH, major est. Duæ igitur GB, GE, simul sumptaæ, duabus AB, AE, simul sumptis, majores. (per xiv. 5. Elem.). Polygonum autem GBCDE circulo ABCD inscriptum est, et latera numero totidem habet ac polygonum ABCDE; quod omnium quae, æquali laterum numero, circulo ABCDE inscribi possunt, perimetro, ex hypothesi, maximum est. Perimeter igitur ABCDEA perimetro GBCDEG major. Utrique auferatur pars communis BCDE. Relinquuntur AB, AE, reliquis GB, GE, simul sumptaæ simul sumptis, majores. Duæ autem GB, GE, duabus AB, AE, ostensaæ sunt majores. Simul igitur majores et minores. Quod est absurdum. Non sunt igitur latera AB, AE, inæqualia. Simili modo ostendetur, de aliis quibuslibet polygoni lateribus proximis, inæqualia non esse, existente perimetro maximâ. Nulla igitur proxima inæqualia. Omnino igitur nulla. Omnia igitur æqualia. Q.E.D. THEOREMA. THEOREMA VI. Polygonorum omnium, lateribus numero datis, dato circulo inscriptorum, aequilaterum areae maximum est. Demonstrationem vide apud THOMAM SIMPSON in libello suo de Figuris Geometricis maximis et minimis.