De Problemate Quodam Algebraico, Deque Evolutione Mechanicae Cujusdam Curvae Inter Infinitas Hypermechanicas, Quae Determinatae Aequationi Satisfaciunt. Auctore Pio Fantoni, Mathematico Bononiensi. Communicated by Sir Horace Mann, His Majesty's Envoy at Florence

XXXIV. De Problemate quodam Algebraico, deque evolutione mechanicæ cujusdam Cur- væ inter infinitas hypermechanicas, qua determinatae æquationi satisfaciunt. Auctore Pio Fantoni, Mathematico Bononiensi. Communicated by Sir Horace Mann, His Majesty's Envoy at Florence. Read June 25, 1767. QUI in computationibus analyticis versari solet, animum non modo in ea præsidia solet intendere, quibus problemata dedu- cuntur ad æquationes, sed maximam ubique exoptat concinnitatem, atque elegantiam, ut universi operis apparatus, constructio, utilitasque commendentur. Quantum vero elaborationis, ac studii plerumque ad hæc singula requiratur, ii probe intelligunt excellent- issimi viri, qui se jamdudum algebrae dediderunt. Veruntamen fateri ultro debent, non mediocrem ali- quando utilitatem obtineri posse ex hujuscem potius, quam illius methodi applicatione. Fit enim non raro, ut cum quaestionem aliquam subtili licet ingenio versatus fueris, alia tandem methodus meliori au- spicio suscepta, illico tibi elargiatur clariorem ube- rioremque ejusdem quaestionis solutionem, ex qua multa præterea obtineas quæ admireris. Id vero mihi in sublimi problema quodam algebraico, an bene feliciterque contingit, vestro judicio, Academici sapientissimi, quod maximi facio, decernendum relinquio. Si interea, ut exoro, hanc meam elucubrationem summa humanitate vestra excipietis, eà deinceps utar in aliis non contemnendis rebus tum physicis, tum mechanicis, ut vestra sapientia duce, facilius ad quasdam naturae adhuc reconditas leges pervenire possim. Nunc porro velim intelligatis, me in hoc argumento analyticó, de quo loquor, tria maxime praestitisse. Primum enim curvam quandam exploravimus suis coordinatis ad axem, & licet lectissimis praefidiis usi fuerimus in separatione indeterminatarum, licet investigationem nostram satis ultro promotam conspexerimus, in æquationem tandem, ut dicunt, hypermechanicam irrumpere opus fuit, in eam videlicet, quæ exposcit mechanicam quadraturam curvarum exigentium primo mechanicam circuli quadraturam. Ex hac autem fere inextricabili constructione non ea certe consecatoria, quæ in votis erant, erui elegantissime potuissent. Quare difficultate rei veluti commoti, satis opportune curvam nostram ab axe ad focum deduximus, atque hoc modo universum illud opus, cujus dilucide enodandi spem omnem antea demisimus, eo tandem feliciter perduximus, ut ipsum recte esset, nobisque plene satisfaceret. At vero in hac secunda problematis mei parte dum contendó, dum illam constanti animo defugio hypermechanicam constructionem, atque ad pure mechanicam propero, invenio tandem in infinita curvarum hypermechanicarum familia, quæ peculiari cuidam cuidam æquationi satisfaciunt, unam præterea curvam opportune abscondi, quæ a simplici quadratura circuli dependeat, quæque nobis constructionem plenam aptioremque impertiat, sitque semper in potestate, dummodo y dentur per x, quamquam separari indeterminatae nullo pacto ab invicem pos- sint. Qui rem hanc altius perscrutari curabunt, non difficili labore intelligent in æquationibus naturæ hujus semper includi curvam similem nostræ simili modo detegendam. Cujus sane methodi cognitio an utilitati & commodo Analystis futura fit in hujusmodi operosissimis quaestionibus solven- dis, non est cur diuìturniori oratione vobis exponam. Properamus itaque ad rem nostram. PROBLEMA. TAB. XIV. FIGURA PRIMA. Invenire curvam IMm ea proprietate donatam, ut ex dato puncto A ductâ in tangentem MT perpendiculari AG, intercepta MG fit semper æqualis constanti a. Ex puncto contactus M in axem AP duc perpendicularem MP, eique parallelam infinite proximam mp, tum excita ex puncto M rectam Ms parallelam Pp, dicque AP = x, Pp = Ms = dx, PM = y, ms = dy, & MG = a. Erit Mm = \sqrt{dx^2 + dy^2}. PT = \frac{ydx}{dy}. TA = \frac{ydx - xdy}{dy}, TM = \frac{y}{dy} \sqrt{dx^2 + dy^2}, ideoque GT = \frac{y\sqrt{dx^2 + dy^2}}{dy} - a. At propter similia triangula Msm, TGA, erit \[ \frac{Mm}{Ms} : \frac{TA}{TG}. \text{ seu } \sqrt{dx^2 + dy^2} : dx :: \frac{ydx - xdy}{dy} : \] \[ y\sqrt{dx^2 + ay^2} - a; \text{ unde facta extremorum mediorum-} \text{que multiplicatione, erit } a\sqrt{dx^2 + dy^2} = ydy + xdx, \text{ seu } x = \frac{ydy}{dx} + \frac{a\sqrt{dx^2 + dy^2}}{dx}. \] Fac autem pro separatione indeterminatarum \( x = \int \frac{tdy}{a}, \) &c consequenter \( dx = \frac{tdy}{a}, \) tumque hos valores pro \( x, \) &c \( dx \) substitue in data æquatione. Habebis \[ \int \frac{tdy}{a} = \frac{ay}{t} + \frac{a\sqrt{t^2 + a^2}}{t}, \] &c facta differentiatione, erit \[ \frac{tdy}{a} + \frac{ady}{t} - \frac{aydt}{tt} = \frac{-a^3dt}{t^2.a^2 + t^2}, \text{ seu } \frac{dy}{y} = \frac{a^2dt}{t.a^2 + t^2} = \frac{-a^4dt}{ty.a^2 + t^2}. \] Cum porro ex nota Bernoulli methodo fit \[ \frac{a^2dt}{t.a^2 + t^2} = \frac{dt}{t} - \frac{tdt}{t^2 + a^2}, \] pone claritatis gratia hæc logarith- micas quantitates \( = \frac{dn}{n}. \) Hinc habebis \( \frac{dy}{y} - \frac{dn}{n} = \) \[ \frac{-a^4dt}{ty.a^2 + t^2}. \] Positis autem \( \frac{dy}{y} - \frac{dn}{n} = \frac{dp}{p}, \) atque ideo \( \frac{y}{n} = \) \[ \frac{p}{a}, \text{ seu } y = \frac{np}{a}, \&c \text{ facta harum quantitatum substituti-} \text{one, obtinebis } \frac{dp}{p} = \frac{-a^5dt}{npt.a^2 + t^2}, \text{ seu } dp = \frac{-a^4dt}{t^2 \times t^2 + a^2}; \] posito videlicet jam primum \( n = \frac{at}{\sqrt{t^2 + a^2}} \) ex quo se- quitur \( dp = \frac{a^2dt}{t^2} + \frac{a^2dt}{a^2 + t^2}. \) Vol. LVII. A a a Sed Sed quia constituimus superius \( x = \int \frac{tdy}{a} \), & \( y = \frac{np}{a} \); si in hisce valoribus coordinatarum \( x \) & \( y \) substituas æquivalentes valores expressos dumtaxat per \( t \), & \( dt \), habebis demum \[ x = \int \frac{at \, dt}{t^2 + a^2} \times \int \frac{a^2 \, dt}{t^2 + a^2} \] & \( y = \frac{t}{a^2 + t^2} \times \frac{a^2}{t} + \int \frac{a^2 \, dt}{t^2 + a^2} \). Qui vero hujusmodi formulas ad constructionem revocare statuerit, intelliget ille quidem infinitis dumtaxat curvis problema nostrum plane exhauriri posse. *At quis non dixerit \( \int \frac{at \, dt}{t^2 + a^2} \times \int \frac{a^2 \, dt}{t^2 + a^2} \), exigere constanti lege in quolibet casu quadraturam mechanicæ cujusdam curvæ, qua ipsa primum a mechanica circuli quadratura dependeat? Primo certe hujuscæ formulæ adspectu nemo non judicaverit problema nostrum hypermechanicum fore; maxime vero cum nulla directa methodo, quantum mihi constat, compertum sit, hujusmodi formulas revocari posse ad alias, quæ a sola circuli quadratura dependeant. Quapropter in illa ego opinione adhuc essem, ut solæ hypermechanicæ curvæ aptæ forent satisfaciendo problemati nostro, si quaestam curvam ab axe non traduxisset ad focum; ex quo illico certior factus sum, quaestiones hujusmodi, * Fluens \( \int \frac{at \, dt}{t^2 + a^2} \times \int \frac{a^2 \, dt}{t^2 + a^2} \) a sola circuli quadraturâ pendet & hæc est \( \frac{at}{a^2 + t^2} - \frac{a}{a^2 + t^2} \times \int \frac{a^2 \, dt}{a^2 + t^2} \) (arc circuli, cujus radius est \( a \) & tangent \( c \)) E. W. quas quas ab initio dixeris implicatissimas, seu pene inextricabiles, sola tandem circuli quadratura expediti feliciter posse. Quo autem modo id factum a nobis fuerit brevi expono. **Figura Secunda.** Referatur *quæsita curva IMm ad focum A, ex quo ductis duabus ordinatis AM, Am minimum angulum continentibus, centro A, radio AM describatur infinitesimus arcus Md, tum vocetur AM = z, Md = dx, Mm = ds; ductaque tangente MG, atque in ipsam ex puncto A perpendiculari AG, fiat intercepta MG = a, unde perpendicularis AG erit = \(\sqrt{z^2 - a^2}\). Propter similia triangula AMG, Mdm erit Mm : md :: MA : MG; seu ds : dx :: z : a. ergo zdz = ads. & integrando \(Aa + as = \frac{z^2}{2}\). Constat itaque curvam quæsitam esse rectificabilem, estque A quantitas addenda, si opus fuerit, æquationi complendæ, quam A deinceps determinabimus. Erigatur interea æquatio differentialis ad quadratum, & orietur \(z^2 dz^2 = a^2 ds^2 = a^2 dx^2 + a^2 dx^2\), ob triangulum Mdm infinitesimum rectangulum in d. Hanc ergo habebis \(z^2 - a^2 \cdot dx^2 = a^2 dx^2\); sive \(dz \sqrt{z^2 - a^2} = adx\), quæ est æquatio quæsitæ curvae relatae hoc modo ad focum A. Multiplicetur hæc ultima æquatio per \(\frac{z}{2a}\); fiet \[ \frac{zdz}{2a} \sqrt{zz - aa} = \frac{zdx}{2}. \] Integretur; habebis \(a B +\) * Hujus curvæ arcum, longitudinem, evolutam & radium curvaturæ jamdudum invenit Simpson; consultas enim pagin. 151 & 163 in tractatu suo de fluxionibus. E. W. \[ \frac{zz - aa}{2} \sqrt{zz - aa} = \int \frac{zdx}{2}. \] Cum autem \( \frac{zdx}{2} \) sit elementum areae, patens est curvam esse quadrabilem. B est quantitas addenda, si opus ea fuerit, in integratione. Ut vero redigatur æquatio superius inventa ad arcum radii constantis, abscinde AE = a, & describe arcum minimum Ee, quem voca = du. Habebis \( z : a :: dx : du \). ergo \( dx = \frac{zdu}{a} \); quo valore substituto in superiori æquatione \( dz \sqrt{z^2 - a^2} = adx \), hæc mutabitur in istam \( \frac{dz}{z} \sqrt{z^2 - a^2} = du \), in qua insunt variabiles separatae. Ut primum membrum ad formulas magis cognitas reducatur, ita æquationem dispono \( \frac{zdz}{\sqrt{z^2 - a^2}} = du \); tum constituo AG = \( \sqrt{z^2 - a^2} = t \), factaque substitutione, orietur \( \frac{t^2dt}{t^2 + a^2} = dt - \frac{a^2dt}{t^2 + a^2} = du \). Formula \( \frac{a^2dt}{t^2 + a^2} \) ut constat, est elementum arcus circularis, cujus radius = a, tangens = t. Ultima igitur hæc æquatio ad constructionem perducit, quæ circuli quadraturam supponit. Centro itaque A, radio AI = a, describatur circulus ILP, cui sit tangens indefinita IK. Sumatur in hac tangentia quælibet IH = t, & agatur secans AH = z; fume præterea differentiam inter tangentem IH, & ejus arcum IL, quæ erit = u; tandem accipe arcum IL huic differentiae æqualem, & per punctum E duc AM = AH, punctum M erit in curva quaesita. Ex Ex hac constructione facile colligitur curvam nostram incipere in puncto I, tum ad modum spiralis semper recedere a circulo, & infinitis circumvolutionibus illum ambire. In puncto I curva tangitur a radio IA. Nullam addidi in mea constructione constantem, propterea quod constantis additio curvam non mutat. Nam IE vel sit æqualis u, vel u + b, vel tandem u - b, eadem prorsus curva enascitur. Nunc vero sunt determinandæ constantes A. & B., quæ additæ sunt in integratione, dum curvae rectificationem, & quadraturam invenimus. Quoniam posito s = 0, fit z = a, æquatio \( \frac{z^2}{2} - Aa = as \), data. Hac hypothesi, in istam mutabitur \( \frac{aa}{2} - Aa = 0 \), unde \( A = \frac{a}{2} \); quapropter æquatio completa erit \( \frac{zz - aa}{2a} = s \). Atqui \( zz - aa = H \). ergo \( \frac{H}{2a} = s \). Quod spectat ad quadraturam, jam constat fore-aream AIM = 0, cum fit z = radio, seu = a; ergo æquatio \( aB + \frac{zz - aa}{\sqrt{zz - aa}} = \int \frac{zdx}{2} \), evadit in hac. hypothesi in istam \( aB = 0 \): ergo æquatio completa est: \[ \frac{zz - aa}{\sqrt{zz - aa}} = \frac{t^3}{2 \cdot 3 \cdot a} = \int \frac{zdx}{2} \]. Sed \( \frac{ts}{2a} = s \); ergo \( \frac{ts}{3} = \int \frac{ztx}{2} \); ideoque spatium IAM est tertia pars rectanguli ex AG, seu IH, &c ex curva IM. Radium osculi hac ratione definiemus. Ducatur radius AR perpendicularis rectæ AG, &c jungatur RM. Quoniam GM, AR æquales sunt, &c parallelæ, GA, MR pariter æquales erunt, &c parallelæ. Ergo MR. MR perpendicularis radio AR tanget circulum, & perpendiculariter occurret curvae Mm. Eodem prorsus modo ducto radio Ar normali rectae Ag, linea mr erit tangens circuli, & normalis curvae Mm. Igitur curva IMm ea est quae nascitur ex evolutione circuli, & recta MR = AG æquabit arcum circularis IR. Quoniam vero RM = AG = IH, & IH ex constructione æquat duos arcus circularis IE, IL, arcus IR æquabit duos arcus IE, IL, & dempto communi JL, remanebit arcus IE = LR. Infinitesimus sector RMm, qui est elementum areae REIM æqualis est \( \frac{tds}{2} \). Sed \( ds = \frac{xds}{a} = \frac{tdt}{a} \). ergo \( RMm = \frac{t^2dt}{2a} \). Et integrando area REIM = \( \frac{t^3}{2 \cdot 3 \cdot a} \). Sed etiam area IAM suprà inventa est æqualis \( \frac{t^3}{2 \cdot 3 \cdot a} \), ergo area REIM = IAM. Et ablato spatio communi IEM, remanet sector IAE = MER. Addito autem sectore EAR fit sector IAR = triangulo AMR, quod apprime cum veritate consentit; nam cum arcus IR = RM, constat sectorem IAR æquare triangulum ARM. Curva transiens per omnia puncta G.g. erit basis, ex qua dignitur tractoria IMm. Quænam sit hæc curva breviter videamus. Quoniam GAn, & MRm sunt sectores similes, & AG = RM, erit Gn = Mm = ds. Ergo æquatio \( ads = tdt \), erit æquatio curvae quæsitæ, existente ordinata AG = t, Gn = ds. Ut autem æquatio reducatur ad arcum radii constantis, vocetur Tt = dw; erit \( t : a :: ds : dw \). Ergo \( ads = tdw \). Ergo Ergo $tdt = tdw$, sive $dw = dt$, sive tandem $Tt = gn$, quae est aequatio spiralis Archimedeæ, cujus constructio ita peragitur. Age radium AP, perpendicularem radio AI, & fumatur arcus PQ æqualis radio; tum polo A, describatur spiralis Achimedea transiens per punctum Q; hæc ipsa erit basis, ex qua describitur tractoria IM prædita tangente constanti GM = a. Interea hæc habe: spiralis Archimedea est ea curva, a qua tamquam basi nostra generatur tractoria IMm. Nunc supereft animadvertere, quod si in illa formula, quam vir clariff. Vincentius Riccatus methodo motus tractorii construxit in suo commentario de usu hujus motus in æquationum differentialium constructione (ubi hanc methodum illustravit penitusque absoluit) si, inquam, in illa formula supponas x & y esse coordinatas spiralis Archimedæ, & y datas esse per x, quamquam indeterminatæ separari omnino nequeant, suscipiet dicta formula ex infinitis, quarum est capax, unam quoque constructionem dependenter a nostra curva. Ea ex quatuor Riccatianis ibidem expositis formulis, quae hypothesi nostra convenit prima est, nimirum, $$\frac{abdz}{\sqrt{bb + qq}} + qdx = bdy.$$ Facta ergo, ut dixi, suppositione, ejus x & y esse coordinatas spiralis Archimedæ, si infinita puncta N construenda curvæ tuto invenire cupias, exigit illa methodus, ut descripta tractoria IMm ope fili, seu tangentis constantis GM = a, facto jam motu aG versus Q, tumque fumpta in axe quacunque constanti OS = b, semper ad eandem partem, si per punctum S. ducas parallelam tangenti GM, donec occurrat ordinatae OG = y in puncto N, hocce punctum, ut ibi demonstratur, est semper in quaestia curva. Atqui vidimus supra rectam RA parallelam tangenti GM hujus nostrae tractoriae IMM fore perpendiculararem radio AG spiralis Archimedeae AQG. **Figura Tertia.** Ergo ut habeas infinita puncta N.N. construendae curvae, sufficit quod sumas semper in axe constantes PG, PG = b ad eandem plagam, tumque a punctis G, G ducas in radios spiralis AM, AM productos, si oporteat, normales GN, GN, donec occurrant ordinatis PM, PM in N.N. Hoc modo obtinebis per infinita puncta curvam hac methodo describendam. Invenies itaque hujusmodi curvae ramum genitum a spiralis arcu AMS esse ANT; ab altero vero spiralis arcu SMO esse ANQ; a tertio OMR esse ANV; a quarto RK esse AY; a quinto denique KZ esse AW, & sic in infinitum assymptoticos omnes; ex quo propterea vides integram curvam, quae nostrae formulae constructionem suppedit in hac videlicet peculiari tractoria abdita ramis numero infinitis gaudere, ac eorum quemlibet votis satisfacere recte posse. Sed quia ad obtenendam dictae formulae constructionem opus maxime est ut abscissae x sint in axe, earum vero ordinatæ y sint omnes inter se parallelæ (nostræ autem y hic sunt ad focum) ac propterea oportet ut eadem y datae sint per x, vel postea separari indeterminatae possint, vel non, nunc ergo ut hisce conditionibus onibus compleam, satis mihi erit invenire æquationem spiralis Archimedæae relatæ ad axem, quod sic affequer. **Figura Quarta.** Sit spiralis Archimedeæ AmM, ejus axis FAF, abscissa AP = x, ordinata PM ad angulum rectum = y, eique infinite proxima pm. Ducta mo parallela ad axem, erit, mo = dx, oM = dy. Sit propterea AM radius spiralis = t, cum quo Am faciat angulum infinitesimum MAm, & centro A, radio AM, descripto circuli arcu mr, erit Mr = dt. Voca arcum mr = ds, & eodem centro A, radio quovis constanti = a, describe circulum Fcb, & voca ejus arcum infinitesimum cb = du. Ex hac præparatione erit primò AM² = AP² + PM², seu t² = x² + y², & t = √x² + y²; unde dt = xdx + ydy / √x² + y². Præterea habebis Mr² + rm² = Mm² seu dt² + ds² = dx² + dy². Sed ex similitudine Sectorum Acb, Amr, est Ac : cb :: Am : mr; seu a : dt :: t : ds. & ex æquatione spiralis Archimedæae ad focum habes cb = Mr, seu du = dt; unde erit ds = tdt / a. Ergo factis opportune substitutionibus in altera superiori æquatione, obtinebis dt² + t²dt² / a² = dx² + dy², seu tandem \[ \frac{a^2 + x^2 + y^2}{a^2} \times \frac{x dx + y dy}{x^2 + y^2} = a^2 \times dx^2 + dy^2. \] vel potius \[ dy^2 + 2dxdy \times \frac{a^2xy + x^3y + xy^3}{x^2y^2 + y^4 - a^2x^2} + dx^2 \times \frac{x^4 + x^2y^2 - a^2y^2}{x^2y^2 + y^4 - a^2x^2} = 0 \] unde completo quadrato, & facta radicis extractione, erit \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{xy \times a^2 + x^2 + y^2 + a \times x^2 + y^2}{x^2y^2 + y^4 - a^2x^2}. \] Ecce itaque spiralis Archimedeæ æquationem relatæ ad axem, ut optabamus, in qua \( y \) datur per \( x \). * Quamquam vero in hujusmodi æquatione, indeterminatæ separari nullo artificio possint, vides tamen praesidiis pure mechanicis ad constructionem nos feli- citer pervenisse, quod, attento illius summatoriae ad- spectu, quam initio obtinuimus, cum curvam nostram ad axem referre placuit, impossibile videbatur. Scio ego quidem constructionem hancce, quæ a sola circuli quadratura dependet, non penitus exhaustire supradiectam Riccatianam formulam, quippe quæ construi etiam poteat, quacumque alia proposita tractoria, cujus basis sit dicta spiralis Archimedeæ, ejusque tangens recta quævis linea constans; sed inter infinitas hæce constructiones nostra quidem maximum locum habet, ut quæ cæteris simplicior, nec minus vera. Porro antequam finem facio, unum addam. Laudatus Mathematicus in capite secundo sui commentarii ostendit, quod ubi in constructione suæ formulæ tractoriam circuli adhibeat, tunc in infinitas occurrit transcendentes curvas, quæ simul exhaustire valent * Ad hunc modum indeterminatæ separari possunt; substitua- tur pro \( x = \frac{z}{a} \times \int \frac{adz}{\sqrt{a^2 - z^2}} \), & pro \( y = \frac{\sqrt{a^2 - z^2}}{a} \times \int \frac{adz}{\sqrt{a^2 - z^2}} \) & sit. E. W. propositam propositam formulam. Sed (quod ei merito quidem in pretio est) in infinita harum curvarum familia unam insuper latentem detegit algebraicam quarti gradus, quae commodè ejusdem formulæ constructionem suppeditat, rectèque perficit. Nos in re fortasse difficiliiori non dissimile exemplum hic attulimus. Vidimus enim problema nostrum, quod per tractoriam spiralis Archimedeæ generatim constructur, exposcere & ipsum ad sui constructionem curvas numero infinitas, sed quod molestius videtur, magisque operosum, hujusmodi esse haec curvas, ut nisi hypermechanico labore possimus assequi. Veruntamen in infinito harum agmine facile & nobis fuit ostendere unam præterea curvam abscondi, quam illico assequaris dependenter a sola quadratura circuli, ideoque attenta rei difficultate, multò simpliciori modo, quàm initio sperare licuisset. Noverim certe curvam hanc nostram non plene exhaustire datam formulam, sed infici nequit, ejusdem exhibere nullo fere negotio rectissimam, maximeque simplicem constructionem, quod satis est, aliique planiorem viam ostendere, qua facilius enodare possint hujuscè generis quaestiones inextricabiles primo intuitu, nec vero labore vacuas. Hoc itaque inventum credidimus non contemnendum fore, praesertim cum aliae methodi usque adeo notæ, quovis versatæ studio, minime quantum nobis constat, ad id commodum perducere valeant. Romæ prid. Non. Aprilis, 1766. Pius Fantonus, Philosophus & Mathematicus Bononiensis. B b b 2 XXXV. A