De Aberratione Luminis, in Superficiebus et Lentibus Sphaericis Refractorum

to be an astringent mineral earth; whereas charcoal easily takes fire, burns freely without smoke, and continues burning, till it consumes to an ash; which consists of an alkaline salt, and a pure earth, fit for making cuppels; and, by these marks, is sufficiently distinguished from all mineral substances. Grosvenor-Street, Jan. 8, 1761. Jer. Milles. LXXXVI. De Aberratione Luminis, in Superficiebus et Lentibus Sphericis refractorum *. § I. Read April 2, 1761. SI radius luminis AG, incidens in superficiem quamcunque refringentem LE, inflectatur secundum rectam GK, et quævis recta linea AK occurrat radio incidenti AG in A, refracto GK in K; et rectæ GD, normali ad superficiem refringentem LE, in D; erit rectangulum GK × DA ad rectangulum GA × DK, ut sinus anguli incidentiae DGA ad sinum anguli refractionis DGK. Est enim DA ad GA, ut fin. DGA ad fin. ADG, et GK : DK :: fin. GDK : fin. DGK; quare, ob * This Paper, though sent to England in the summer of the year 1760, was, by accident, prevented from being read to the Royal Society, till the 2d of April following. fin. \( ADG = fin. KDG \), erit componendo \( DA \times GK : GA \times DK :: fin. DGA : fin. DGK \). Quae ratio, si ponatur ut \( i \) ad \( r \), erit \( i \cdot GA \times DK = r \cdot GK \times DA \). § 2. Incidat radius luminis \( AG \) in superficiem sphæricam \( LG \), cujus centrum est \( D \), et refringatur secundum rectum \( GK \), quæritur concursus \( K \) radii refracti \( GK \) cum axe sphæræ \( ALD \), posito arcu \( LG \) satis parvo. A puncto incidentiæ \( G \) cadat \( GE \) normalis ad axem \( AD \), ducaturque radius sphæræ \( GD \). His factis est per elementa, \( AGq = ADq + DGq - 2AD \times DE = ADq + DLq - 2AD \times DL - LE = AD - DLq + 2AD \times LE = ALq + 2AD \times LE \), adeoque \( AG = \sqrt{ALq + 2AD \times LE} = (ob LE satis parvam) AL + \frac{AD \times LE}{AL} \) quamproxime. Similiter \( KGq = KDq + DGq + 2KD \times DE = KDq + DLq + 2KD \times DL - LE = KD + DLq - 2DK \times LE = KLq - 2KD \times LE \), adeoque \( KG = \sqrt{KLq - 2KD \times LE} = KL - \frac{KD \times LE}{KL} \) quamproxime. Jam vero est (\$ 1.) \( i \cdot GA \times DK = r \cdot GK \times DA \), quare substitutis valoribus modo inventis ipsarum \( GA \) et \( GK \), habetur \( i \cdot KD \times (AL + \frac{AD \times LE}{AL}) = r \cdot AD \times (KL - \frac{KD \times LE}{KL}) \), et transponendo \( r \cdot AD \times KL - i \cdot KD \times AL = AD \times KD \times LE \times \left( \frac{i}{AL} + \frac{r}{KL} \right) \). Ponatur jam \( LA = A, LK = K \), radius sphærae \( DL = a \), adeoque \( AD = A + a \), et \( DK = K - a \). His in novissima æquatione scriptis, erit \( rK \times A + a - iA \times K - a = A + a \times K - a \times LE \times \left( \frac{i}{A} + \frac{r}{K} \right) \), unde transponendo et dividendo, \( K = \frac{iAa}{i - r \cdot A - ra} - \frac{A + a \times K - a \times LE}{i - r \cdot A - ra} \times \left( \frac{i}{A} + \frac{r}{K} \right) \). Jam si radius incidens \( AG \) fuerit axi \( AD \) vicinissimus, evanescet \( LE \), adeoque et terminus \( A + a \times K - a \times LE \times \left( \frac{i}{A} + \frac{r}{K} \right) \). Quare in hoc casu \( K = \frac{iAa}{i - r \cdot A - ra} \), id est, distantia foci geometrici ipsi \( A \) conjugati à vertice \( L \), erit \( \frac{iAa}{i - r \cdot A - ra} \), unde aberratio radii refracti \( GK \) ab hoc foco erit \( A + a \times K - a \times LE \times \left( \frac{i}{A} + \frac{r}{K} \right) \), sumendo à foco contra directionem cursus radiorum. Quoniam vero aberratio illa semper est valde parva, erit \( \frac{iAa}{i - r \cdot A - ra} \) valor prope verus distantiae \( LK \) sive \( K \), adeoque in expressione aberrationis sine sensibili errore pro \( K \) usurpari potest. Sit itaque distantia \( LB \) foci geometrici \( B \) à vertice superficie \( L \), sive \( \frac{iAa}{i - r \cdot A - ra} = B \), eritque eritque $K$ sive $LB = B - \frac{A + a \cdot B - a \cdot LE}{i - r \cdot A - ra} \times \left( \frac{i}{A} + \frac{r}{K} \right)$ quamproxime. Dimidia latitudo superficiei refringentis, sive distantia puncti incidentiae $G$ ab axe, id est $LG$, dicitur $L$, erit quamproxime $LE = \frac{L^2}{2a}$: quare in formula modo inventa pro $LE$ scribendo $\frac{L^2}{2a}$, et ulterius concinnando expressionem aberrationis ope aequationis $B = \frac{i \cdot A \cdot a}{i - r \cdot A - ra}$, habetur formula, qua in sequentibus praecipue utemur: $LK = B - \frac{r \cdot i - r \cdot B^2 L^2}{2i^3} \times \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{A} \right)^2 \times \left( \frac{r}{a} + \frac{i + r}{A} \right)$. § 3. In formulis jam inventis signa symbolorum illi tantum casui sunt accommodata, quem figura exprimit, ubi radius luminis ab axe divergens ponitur incidere in superficiem convexam, et post refractionem ad axem convergere. Accommodantur vero ad reliquos problematis casus, mutando signum radii sphærae $a$, si radius luminis incidat in superficiem concavam, et signum ipsius $A$, si radius incidens convergat ad axem. Hoc facto, si valor distantiae $LB$ sive $B$ prodit positivus, sumenda est distantia illa à vertice $L$ secundum directionem cursus radiorum; si negativus, contra eandem directionem. Aberratio vero radii à foco $B$, sive $BK$ per formulas computata, si fuerit positiva, sumenda est à foco $B$ contra directionem cursus radiorum; si negativa, secundum hanc directionem. Si radii incidentes fuerint axi paralleli, ralleli, facienda est A infinita, et si B prodit infinita, radii refracti erunt axi paralleli, abstrahendo ab illorum aberratione. § 4. Si duo radii luminis AG, HG, in angulo quam minimo AGH inter se inclinati incident fere perpendiculariter in idem punctum G superficiei cujuscunque refringentis LG, et refringantur, prior in GK, posterior vero in GB, occurrentes lineae rectae cuicunque in punctis A, H, K, B; dico esse BK ad AH ut est \( r \cdot LBq \) ad \( i \cdot LAq \), posita \( i \) ad \( r \) ut sinus incidentiae ad sinum refractionis. Quoniam enim anguli valde parvi sunt finibus suis quamproxime proportionales, erunt in parvis refractionibus anguli incidentiae et refractionis eorumque adeo differentiae finibus incidentiae et refractionis proportionales quamproxime. Est itaque angulus AGH, utpote differentia angulorum incidentiae radiorum AG, HG, ad angulum BGK, sive differentiam angulorum refractionis radiorum GK, GB, ut \( i \) ad \( r \). Quare centro G inter hos angulos descriptis arcubus HE, KF, erit HD ad KF, ut \( i \cdot GH \) ad \( r \cdot GK \); sed est \( AH = \frac{GH \cdot HE}{GL} \), et \( BK = \frac{GK \cdot KF}{GL} \), quare pro HE et KF, scribendo earum proportionales \( i \times GH \) et \( r \times GK \), habetur \( AH \) ad \( BK \) ut \( i \times GHq \) ad \( r \times GKq \), quamproxime, id est, ut \( i \times LAq \) ad \( r \times LBq \). § 5. § 5. Data forma lentis refringentis, et data in ejus axe distantia foci radiorum incidentium, invenire punctum concursus radii cujusvis refracti cum axe. Sit locus lentis in L, ejus axis ALBC, dimidio latitudo LG, sive distantia incidentiae ab axe, = L; radius convexitatis superficiei primae, in quam radii incidunt, = a; radius convexitatis superficiei secundae, è qua emergunt, = b, radius luminis quivis incidens AG, refractus GK. In axe lentis ABC sit distantia foci radiorum incidentium, sive LA = A, distantia foci geometrici ipsi A conjugati, sive LB = B; distantia foci geometrici C superficiei primae ipsi A conjugati, sive LC = C, et evidens est, esse etiam idem punctum C focum geometricum superficiei secundae conjugatum ipsi B. Sit tandem distantia puncti concursus K radii refracti GK cum axe, sive LK = K. Radius AG in prima superficie refractus tendat versus punctum D, et concipiatur à puncto B, quod est focus lentis ipsi A conjugatis, radius BG incidere in secundam superficiem, et in ea ita refringi, ut divergat à puncto axeos E. Et dabuntur per § 2. aberrationes CE et CD, adeoque earum summa DE. Sed per § 4. est DE ad BK ut r.LCq ad i.LBq, quare quare \( BK = \frac{i \cdot LBq}{r \cdot LCq} \times DE = \frac{iB^2}{rC^2} \times DE \). Jam per § 2. est \( CD = \frac{r \cdot i - r \cdot C^2 L^2}{2i^3} \times \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{A} \right) \times \left( \frac{r}{a} + \frac{i+r}{A} \right) \) et \( CE = \frac{r \cdot i - r \cdot C^2 L^2}{2i^3} \times \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{B} \right) \times \left( \frac{r}{b} + \frac{i+r}{B} \right) \), quarum summa \( DE \), ducta in \( \frac{i \cdot B^2}{r \cdot C^2} \), dat aberrationem quæsitam \( BK = \frac{iB^2}{rC^2} \times DE = \frac{i-r \cdot B^2 L^2}{2i^2} \left[ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{A} \right)^2 \times \left( \frac{r}{a} + \frac{i+r}{A} \right) + \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{B} \right)^2 \times \left( \frac{r}{b} + \frac{i+r}{B} \right) \right] \), quæ post evolutionem terminorum subtraæta de \( LB \), five \( B \), relinquit distantiam puncti concursus \( LK = B \frac{i-r \cdot B^2 L^2}{2i^2} \times \left\{ \frac{r}{a^3} + \frac{i+3r}{Aa^2} + \frac{2i+3r}{A^2a} + \frac{i+r}{A^3} \right\} \) Porro quoniam punctum \( C \) est focus ipsi \( A \) conjugatus respectu faciei primæ, erit \( LC = \frac{iAa}{i-r \cdot A-ra} \); et quoniam idem punctum \( C \) est focus ipsi \( B \) conjugatus respectu superficie secundæ, erit \( LC = \frac{iBb}{i-r \cdot B-rb} \), per § 2. Hinc \( \frac{iAa}{i-r \cdot A-ra} = \frac{iBb}{i-r \cdot B-rb} \), adeoque \( B = \frac{rAab}{i-r \cdot A \cdot a+b-rab} \), five \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{i-r}{r} \times \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \). Dato sic valore ipsius \( B \), cognoscitur distantia concursus radii refracti \( GK \) cum axe five \( LK \), ejusque aberratio à foco \( B \) five \( BK \), quæ ob signum — sumenda est à foco \( B \) contra directionem directionem cursus radiorum, si valorem habet positivum; secundum vero, si negativum. Accommodantur vero hæ formulæ ad reliquos problematis casus eadem ratione ac dictum est § 3. de aberratione superficiei simplicis. § 6. Expressio aberrationis jam inventa, ad formam reducitur usui magis accommodatam, conjungendo terminos, in quibus \(a\) et \(b\) easdem habent dimensiones, et reducendo singulas partes ope æquationis \(\frac{i-r}{r} \times \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) \(= \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{P}\), ubi \(P\) est distantia foci principalis. Hac ratione calculum subducendo habetur: \(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{r}{i-r.P} \times \left( \frac{r^2}{i-r.P^2} - \frac{3r}{i-r.P.a+b} \right)\); \(\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} = \frac{r}{i-r.P} \times \left( \frac{1}{A.a} + \frac{1}{B.b} - \frac{1}{P.a+b} \right)\); \(\frac{1}{A^3} + \frac{1}{B^3} = \frac{r}{i-r.P} \times \left( \frac{i-r}{r} \times \frac{1}{A.a} + \frac{1}{B.b} - \frac{1}{P.A+B} \right)\); \(\frac{1}{A^4} + \frac{1}{B^4} = \frac{r}{i-r.P} \times \left( \frac{i-r}{r.P^2} - \frac{3.i-r}{r.P.A+B} \right)\). Singulæ harum partium ductæ in suos respective coëfficientes, \(r\), \(i+3r\), \(2i+r\), \(i+r\), conjungantur cum signis propriis, et habebitur: \(LK = LB - BK = B - \frac{B^2L^2}{2iP^2} \left( \frac{i^3-2i^2r+2r^3}{i-r.P} - \frac{3i+2r}{A+B} + \frac{2.i+r}{A+B} \times \frac{A.B}{b+a} \right.\) \(- \frac{r.i+2r}{i-r.a+b}\), vel etiam \(= B - \frac{B^2L^2}{2iP^2} \times \left( \frac{i^3}{i-r.P} - \frac{3i+2r}{A+B} - \frac{2.i+r}{A+B} \times \frac{A.B}{a+b} - \frac{r.i+2r}{i-r.a+b} \right)\). § 7. § 7. Invenire lentem, quae radios luminis à data distan- tia advenientis in alia data distantia colligat cum mi- nima aberratione, ipsamque aberrationem minimam. Retentis omnibus symbolis ut supra, fumantur dif- ferentialia aberrationis modo inventae, \[ \frac{B^2 L^2}{2i \cdot P^2} \times \left( \frac{i^3}{i - r} \right) \cdot P \] \[ - \frac{3i + 2r}{A + B} - \frac{2 \cdot i + r}{A + B} \times \frac{A}{a} + \frac{B}{b} - \frac{r \cdot i + 2r}{i - r \cdot a + b}, \] positis \( a \) et \( b \) variabilibus, et habebitur \[ \frac{2 \cdot i + r}{A + B} \times \frac{A da}{a^2} \times \frac{B db}{b^2} + \frac{r \cdot i + 2r}{i - r} \times \frac{da + db}{a + b^2} = 0; \text{ sed ob} \] \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{r}{i - r} \cdot P, \text{ est } \frac{da}{a^2} + \frac{db}{b^2} = 0; \text{ quare tollendo} \] per comparationem harum æquationum differentialia, invenitur: \[ \frac{b - a}{b + a} = \frac{2 \cdot i + r \cdot i - r}{r \cdot i + 2r} \times \frac{A - B}{A + B}, \text{ adeoque} \] \[ \frac{a}{b} = \frac{4r^2 + ri - 2i^2 \cdot A + i \cdot 2i + r \cdot B}{4r^2 + ri - 2i^2 \cdot B + i \cdot 2i + r \cdot A}; \text{ unde per æqua-} \] tionem \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{r}{i - r} \times \frac{1}{A} + \frac{1}{B}, \text{ colliguntur radii facierum} \] lentis quæsitæ, scil. \( a = \frac{2 \cdot i - r \cdot i + 2r \cdot AB}{i \cdot 2i + r \cdot A + 4r^2 + ri - 2i^2 \cdot B}, \) et \( b = \frac{2 \cdot i - r \cdot i + 2r \cdot AB}{i \cdot 2i + r \cdot B + 4r^2 + ri - 2i^2 \cdot A}; \text{ five } \frac{1}{a} = \) \[ \frac{i \cdot 2i + r}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r} \times \frac{1}{B} + \frac{4r^2 + ri - 2i^2}{2 \cdot i - r \cdot i - 2r} \times \frac{1}{A}; \text{ et } \frac{1}{b} = \] \[ \frac{i \cdot 2i + r}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r} \times \frac{1}{A} + \frac{4r^2 + ri - 2i^2}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r} \times \frac{1}{B}. \] Hic Hic valores radiorum \(a\) et \(b\) substituti in formula aberrationis generali § 6. dant ipsam aberrationem minimam \[ \frac{i \cdot B^2 L^2}{2 \cdot i + 2r \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + \frac{r \cdot 4i - r}{4 \cdot i - r^2} \right). \] § 8. Postquam in § præcedente formam lentis invenimus, quae in datis circumstantiis aberrationem minimam producat, et simul ipsam ejus aberrationem; rationi consentaneum est, investigationem aberrationis lentium ab hac forma discendentium ita aggredi, ut simul appareat relatio formarum harum lentium ad illius formam, et aberrationis harum ad illius aberrationem. Solent enim conclusiones prodire concinniores, si ad casum inter reliquos maxime singularem et unicum referantur, qualis hic est casus aberrationis minimæ. Scribatur brevitatis causa \(b\) pro \(\frac{i \cdot 2i + r}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r}\), et \(K\) pro \(\frac{4r^2 + ri - 2i^2}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r}\), et erit pro determinandis radiis \(a\) et \(b\) lentis aberrationis minimæ, \(\frac{I}{a} = \frac{b}{B} + \frac{K}{A}\), et \(\frac{I}{b} = \frac{b}{A} + \frac{K}{B}\), per § 7. Ponatur jam generaliter pro radiis \(a\) et \(b\) facierum cujuvis alius lentis, \(\frac{I}{a} = \frac{b}{B} + \frac{K}{A} + \frac{x}{P}\), et \(\frac{I}{b} = \frac{b}{A} + \frac{K}{B} - \frac{x}{P}\); quos valores ipsarum \(\frac{I}{a}\) et \(\frac{I}{b}\) tales assumo, ut earum summa \(\frac{I}{a} + \frac{I}{b}\) fit \(= b + K \times \frac{I}{A} + \frac{I}{B}\), sive \(\frac{r}{i - r} \times \frac{I}{A} + \frac{I}{B}\), quemadmodum dum oportet. Substituantur hi valores ipsarum \( \frac{1}{a} \) et \( \frac{1}{b} \) in formula aberrationis generali, \[ \frac{B^2 L^2}{2 i P^2} \times \left( \frac{i^3}{P} - \frac{3i + 2r}{A + B} - \frac{2i + r}{A + B} \times \frac{A}{a} + \frac{B}{b} - \frac{r \cdot i + 2r}{i - r \cdot a + b} \right) \] § 6. et peracto calculo invenietur \[ \frac{i B^2 L^2}{2 \cdot i + 2r \cdot P^3} \left( \frac{P}{A + B} + \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} \right) \] \( \frac{i^2 + 2r}{i^2} x^2 \) pro aberratione lentis, cujus facies luminis obversa radium habeat \( a \), et facies à lumine aversa radium habeat \( b \), existentibus \( \frac{1}{a} = \frac{b}{B} + \frac{K}{A} + \frac{x}{P} \), et \( \frac{1}{b} = \frac{b}{A} + \frac{K}{B} - \frac{x}{P} \); \( P \) distantia foci principalis, \( A \) distantia foci radiorum incidentium, et \( B \) refractorum. Commodum itaque hic accidit, ut numerus \( x \), qui relationem formæ lentis ad lentem aberrationis minimæ designat, idem quoque relationem aberrationis ejus ad aberrationem minimam ratione non minus simplici exhibeat. § 9. Si in formulis § praeced. exhibitis, pro radiis facierum lentis ejusque aberratione, statuatur \( x = 0 \), radit lens ad eam formam, quæ aberrationem dat minimam, et aberratio ejus ad aberrationem minimam. Si vero non fuerit \( x = 0 \), apparet ex iisdem formulis, cuivis aberrationis quantitati, quæ major sit aberratione minima, duas diversas respondere lentis formas, quarum utraque definitur æquationibus \[ \frac{1}{q} = \frac{b}{B} + \frac{K}{A} + \frac{x}{P}, \quad \text{et} \quad \frac{1}{a} = \frac{b}{A} + \frac{K}{B} - \frac{x}{P}, \] ubi \( x \) pro altera altera positive, altera negative accipitur. Nam in formula aberrationis \( \frac{i B^2 L^2}{2 \cdot i + 2 r \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} + \frac{i + 2r^2}{i^2} x^2 \right) \) non comparet nisi quadratum ipsius \( x \), quod idem manet, sive radix \( x \) sumatur positiva, sive negative. Quoniam aberratio quævis \( \frac{i B^2 L^2}{2 \cdot i + 2 r \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} + \frac{i + 2r^2}{i^2} x^2 \right) \) est ad aberrationem minimam \( \frac{i B^2 L^2}{2 \cdot i + 2 r \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} \right) \) in ratione majoris inæquabilitatis, statuatur illa ratio \( 1 + m^2 \) ad \( 1 \); assumendo \( m \) pro numero quovis, et invenitur \( x = \pm \frac{m i}{i + 2 r} \sqrt{\left( \frac{P}{A + B} + \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} \right)} \). Et sic ex data ratione aberrationis alicujus lentis ad aberrationem minimam, datur illi correspondens numerus \( x \), adeoque et radii facierum ejus, per superiora. Numerus hic \( x \), quoniam simul et formam et aberrationem suæ lentis indicat, dicatur index lentis, et scribatur brevitatis causa \( f \) pro \( \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} \), et \( g \) pro \( \frac{1 + 2r}{i} \), ut aberratio sit \( \frac{B^2 L^2}{2g \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + f + g^2 x^2 \right) \). § 10. In linea recta A O, tanquam axe communi, dispositæ intelligentur lentes quotcunque \( P, P', P'', P''' \), &c. quarum foci conjugati sint respective, lentis primae A et Ā; secundae Ā et Ā; tertiæ Ā et Ā; quartae Ā et Ā, &c. Radius luminis, veniens à puncto A, refringatur in omnibus his lentibus in punctis L, L, L, L, &c. pergens secundum cursum A L L L L, et post singulas refractiones occurrat axi A O in punctis B, B, B, B, &c. aberrans à focis Ā, Ā, Ā, Ā, &c. longitudinibus Ā B, Ā B, Ā B, Ā B, &c. Quæruntur jam hæ aberrationes. Lentium P, P, P, P, &c. distantiae fociorum principalium dicantur respective P, P, P, P, &c. et indices x, x, x, x, &c. Distantiae fociorum conjugatorum à suis respectivae lentibus sint: pro lente prima P, PA = A, PA = B; pro lente secunda P, PA = Ā, PA = Ā; pro lente tertia P, PA = Ā, PA = Ā; pro lente quarta P, PA = Ā, et PA = Ā, et ita porro: ponatur praeterea PL, sive distantia puncti incidentiae in primam lentem ab axe = L, et erit PL = Ā Ā × L, PL = Ā Ā Ā × L, PL = Ā Ā Ā × L, et ita porro. I. Vidimus in § 9. aberrationem ĀB lentis primae P esse \( \frac{B^2 L^2}{2g \cdot P^3} \times \left( \frac{P}{A + B} + f + g^2 x^2 \right) \), ubi \( f = \frac{4i - r \cdot r}{4 \cdot i - r^2} \), et \( g = \frac{i + 2r}{i} \). II. Concipiatur à foco secundae lentis Ā ipfi Ā conjugato in illam incidere radius ĀL, qui refractus secundum ĀC, conveniat cum axe in C, aberrans à foco Ā longitudine ĀC: et erit per § 9. aberratio ĀC = \( \frac{\dot{A}^4 L^2}{2g \cdot B^2 \cdot P^3} \times \left( \frac{\dot{P}}{\dot{A} + \dot{B}} + f + g^2 x^2 \right) \), scribendo scilicet \( \frac{\dot{A}}{\dot{B}} \times L \) pro L, \( \dot{B} \) pro A, \( \dot{A} \) pro B, et P pro P. Hæc aberratio ĀC, addita ad aberrationem primae lentis modo inventam, ĀB, dat summam BC. Est vero BC ad ĀĀ ut \( \dot{P} \dot{A} q \) ad \( \dot{P} \dot{A} q \), sive Ā² ad ĀB², id est quantitates aberrationum à focis conjugatis sunt ut quadrata distantiarum focorum à lente, quod facile probari potest. Ergo aberratio ĀB, à refractione per duas lentes P et \( \dot{P} \) producta, habetur \( = \frac{B^2}{\dot{A}^2} \times BC \) \[ = \frac{B^2 L^2}{2g} \times \left[ \frac{B^2}{\dot{A}^2 \cdot P^3} \left( \frac{P}{A + B} + f + g^2 x^2 \right) + \frac{\dot{A}^2}{B^2 \cdot \dot{P}^3} \left( \frac{\dot{P}}{\dot{A} + \dot{B}} + f + g^2 x^2 \right) \right]. \] 6G 2 III. III. Concipiatur similiter à foco interiori \( \text{A} \) lentis tertiae \( \text{P} \) incidere in illam radium \( \text{AL} \), cumque refractum convenire cum axe in puncto \( \text{C} \), et aberrare à foco exteriore \( \text{A} \) longitudine \( \text{AC} \), quae per § 9. est \[ \frac{\text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{L}^2}{2g \cdot \text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{P}^3} \times \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right). \] Hæc addita ad aberrationem duarum priorum lentium modo inventam, \( \text{AB} \), dat summam \( \text{AB} + \text{AC} = \text{BC} \), deinde fiat ut \( \text{A}^2 \) ad \( \text{B}^2 \); ita hæc summa \( \text{BC} \) ad aberrationem trium lentium \( \text{AB} = \frac{\text{B}^2 \cdot \text{L}^2}{2g} \times \left[ \frac{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2}{\text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{P}^3} \right] \) \[ \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) + \frac{\text{B}^2 \cdot \text{A}^2}{\text{B}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{P}^3} \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) \] \[ + \frac{\text{A}^2 \cdot \text{A}^2}{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{P}^3} \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) \right]. \] IV. Eadem ratione invenitur aberratio \( \text{AB} \) post refractionem per quatuor lentes \( \text{P}, \text{P}, \text{P}, \text{P}, \text{P} \), \[ = \frac{\text{B}^2 \cdot \text{L}^2}{2g} \times \left[ \frac{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{B}^2}{\text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{P}^3} \right] \times \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) \] \[ + \frac{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{A}^2}{\text{B}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{P}^3} \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) + \frac{\text{B}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{A}^2}{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{P}^3} \] \[ \times \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) + \frac{\text{A}^2 \cdot \text{A}^2 \cdot \text{A}^2}{\text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{B}^2 \cdot \text{P}^3} \left( \frac{\text{P}}{\text{A} + \text{B}} + f + g^2 x^2 \right) \right]. \] Et eadem ratione progredi licet ad definiendam definiendam aberrationem radiorum post transitum per plures lentes. In his computationibus omnes lentes concipiuntur convexae, et foci radiorum incidentium ponuntur jaceere ante lentes suas, refractorum vero post lentes respectu cursus radiorum, quemadmodum figura exhibet. Formulæ autem allatae ad quosvis alios casus facile accommodantur, mutando signa symbolorum, prout requirit mutatio hypotheseos, quod monuisse sufficiat. § 11. Datis positionibus et focorum principalium distantiis lentium quotcunque, oporteat invenire formas earum, quae efficiant, ut radii luminis, à dato in communi earum axe puncto advenientes, post refractionem colligantur in ultimo foco sine aberratione, si fieri potest. Solutio problematis generaliter absolvitur, ponendo expressionem aberrationis, datae multitudini lentium convenientem, (§ 10.) nihilo æqualem, quo ipso habetur æquatio definiens rationem requisitam indicum singularum lentium \(x, \dot{x}, \ddot{x}, \dddot{x}, \&c.\). Et quoniam relatio omnium indicum unica hac æquatione continetur, patet multum hic locum esse arbitrariæ non-nullorum assumptioni, prout requirunt vel suadent aperturæ lentium aliæque circumstantiæ ex scopo instrumenti dijudicandæ, de quibus hic non est sermo. In genere tantum cavendum est, ne assumtio ita fiat, ut aliquis indicum prodeat imaginarius. Determinatis sic indicibus \(x, \dot{x}, \ddot{x}, \dddot{x}, \&c.\) inveniuntur radii facierum per § 8. Dicatur scilicet radius faciei faciei anterioris singularum lentium \(a\), posterioris \(b\); distantia foci principalis à lente, \(P\); distantia foci radiorum incidentium ante lentem, \(A\); distantia foci radiorum refractorum post lentem, \(B\); et index ad lentem pertinens, \(x\); et erit \(\frac{1}{a} = \frac{b}{B} + \frac{K}{A} + \frac{x}{P}\), et \(\frac{1}{b} = \frac{b}{A} + \frac{K}{B} - \frac{x}{P}\), ubi \(b = \frac{i \cdot 2i + r}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r}\), et \(K = \frac{4r^2 + ri - 2i^2}{2 \cdot i - r \cdot i + 2r}\), unde dabuntur singularum lentium radii \(a\) et \(b\). Si nullus detur valor realis indicum \(x\), \(x'\), \(x''\), &c. id quod accidit, si omnes æquationis termini ad unam partem rejecti fuerint ejusdem signi, casus propositus est impossibilis. § 12. Exemplum I. Ex duabus lentibus telecopium componere, quod sit liberum ab aberratione, et objecta visa amplificet in data ratione \(n\) ad 1. Abstrahitur autem hic a reliquis boni telecopii requisitis. Lentes duæ primæ \(P\) et \(P'\) repræsentent binas len- tes telecopii quæsiti, \(P\) quidem objectivam et \(P'\) ocu- larem (vid. fig. § 10.). Aberratio harum duarum lentium (§ 10. caf. 11.) nihilo æqualis posita dat æquationem generalem: \(g^2 \times \left( \frac{B^2 \cdot x^2}{A^2 \cdot P^3} + \frac{\dot{A}^2 \cdot x^2}{B^2 \cdot P'^3} \right)\) \(+ f \times \left( \frac{B^2}{A^2 \cdot P^3} + \frac{\dot{A}^2}{B^2 \cdot P'^3} \right) + \frac{B^2}{A^2 \cdot P^2 \cdot A + B} + \frac{\dot{A}^2}{B^2 \cdot P'^2 \cdot \dot{A} + \dot{B}} = 0\). Quoniam per constitutionem telecopii, radii lu- minis minis in lentem objectivam incidentes, et è lente oculari emergentes, sunt axi telescopii paralleli, erit A infinita, adeoque \( B = P \); item \( \dot{B} \) infinita, adeoque \( \dot{A} = \dot{P} \). Quare deletis duobus ultimis æquationis terminis, utpote evanescentibus, et in reliquis in scribendo \( P \) et \( \dot{P} \) pro \( B \) et \( A \), habetur pro casu hujus exempli æquationis \( g^2 \times (P x^2 + \dot{P} x^2) + f \times (P + \dot{P}) = 0 \), relationem indicum \( x \) et \( \dot{x} \) definiens, requisitam ad id, ut aberratio radiorum è lente oculari emergentium nulla sit. Jam si in hac æquatione \( P \) et \( \dot{P} \) ponantur ejusdem signi, sive utraque lens convexa, vel utraque concava, nullus valor realis haberi potest pro \( x \) et \( \dot{x} \), adeoque problema in hoc casu erit impossibile. Statuatur itaque \( \dot{P} \) negativa, sive lens ocularis concava, sumendo pro exponente amplificationis objecti telescopio visi, \( n \), numerum quemvis positivum, et faciendo \( \dot{P} = -\frac{1}{n} P \), ut patet ex opticis. Scripto hoc valore pro \( \dot{P} \) in æquatione indicum, evadit illa \( g^2 \times (x^2 - nx^2) = f \times n - 1 \). Horum itaque indicum utrumlibet pro lubitu assumere licet, modo ne \( x \) fiat minor, quam \( \sqrt{\frac{n-1}{g}} \cdot f \), quod redderet indicem \( x \) imaginarium. Altero indicum sic assumto, alter determinatur per allatam æquationem \( g^2 \times (x^2 - nx^2) = f \cdot n - 1 \). Quo facto radii facierum utriusque lentis prodeunt per § 11. ut sequitur: \[ \text{Radius} \] Radius faciei anterioris lentis objectivae \(= \frac{P}{b + x}\), posterioris \(= \frac{P}{K - x}\). Radius faciei anterioris lentis ocularis \(= \frac{\dot{P}}{K + x}\), posterioris \(= \frac{\dot{P}}{b - x}\), ubi \(\dot{P}\) sumenda est negativa, sive \(\dot{P} = -\frac{i}{n} P\), ut dictum est. Pro quovis itaque pari valorum correspondentium indicum \(x\) et \(\dot{x}\), quatuor prodeunt diversae problematis solutiones, ob signa duplicia ipsarum \(x\) et \(\dot{x}\), unde duæ prodeunt formæ utriusque lentis, quarum quaelibet combinari potest cum binis formis alterius lentis. Si detur vel assumatur forma alterutrius lentis, forma alterius per supradicta commode determinatur. Sit v. gr. lens objectiva plano-convexa, habens faciem convexam antrorsum versam, planam retrorsum. Radius faciei ejus posterioris \(= \frac{P}{K - x}\) statuatur infinitus, et erit \(x = K\), adeoque radius faciei, anterioris \(= \frac{P}{b + x}\) \(= \frac{P}{b + K} = \frac{i - r}{r} \times P\). Pro \(x\) scribatur \(K\) in æquatione indicum \(\dot{x}^2 - nx^2 = \frac{n - i \cdot f}{g^2}\), et erit \(\dot{x} = \sqrt{\frac{n - i \cdot f}{g^2}} + nK^2\), unde dantur radii facierum lentis ocularis, idque dupliciter, ob signum duplex valoris ipsius \(\dot{x}\). Vidimus Vidimus in solutione hujus problematis, aberrationem à duabus lentibus productam non posse evanescere, si utraque fuerit convexa, vel utraque concava, cujuscumque sint formae et quomodocunque componantur. Idem quoque obtinet in quacunque lenticulum multitudine, quae omnes sint convexae, vel omnes concavae. Omnes enim lentes, quarum facies superficierum sphæricarum sunt segmenta, aberrationes a focis suis eo producunt, quod radios luminis refractione nimium inflectunt; unde facile perspicitur, lentem convexam, convexis additam, vel concavam concavis, errores a prioribus productos augere. Quare ut aberratio a foco ultimo evanescat, debent lentium aliæ esse convexae, aliæ concavae, quo nimiæ radiorum incurvationes in unam partem corriganter per nimias incurvationes factas in partem contrariam. § 13. Exemplum II. Propositum sit investigare formas binarum lentium, quae juxta se positae radios incidentes axi parallelos in data à lentibus distantia R colligant, citra aberrationem ex figura facierum sphærica oriundam. Quoniam in casu hujus exempli radii incidentes ponuntur paralleli erit in æquatione (§ 10. ca. 2.) pro relatione binorum indicum \( x \) et \( x' \), \( A \) infinita, adeoque \( B = P \). Et quoniam lentes ponuntur juxta se positae, erit earum distantia \( B + A = 0 \), sive \( A = -B = -P \). Præterea est etiam \( \frac{1}{B} = \frac{1}{P} + \frac{1}{P'} \), unde \( B - P = \frac{P^2}{P + P'} \). Substitutis itaque his valoribus, valoribus, erit æquatio pro relatione indicum in casu præsenti: \( g^2 \cdot (P^3 \cdot x^2 + P^3 \cdot \dot{x}^2) + f \cdot P^3 + \dot{P}^3 = P \cdot \dot{P} \cdot P + \dot{P}, \) sive \( P^3 \cdot x^2 + \dot{P}^3 \cdot x^2 = \frac{P + \dot{P}}{g^2} \times (1 + f) \cdot PP - f \cdot P^2 + \dot{P}^2), \) quæ assumto numero quovis \( n, \) et statuendo \( \dot{P} = nP, \) evadit \( \dot{x}^2 + n^3 \cdot x^2 = \frac{n + 1}{g^2} \times (n - n^2 - n + 1 \cdot f). \) Ne autem casus propositus fiat impossibilis, ob utramque lentem convexam, vel utramque concavam, per \( n \) semper intelligi debet numerus negativus. Assumatur jam pro Cubitu alteruter indicum \( x \) et \( \dot{x}, \) et dabitur alter per æquationem allatam. Determinato vero utroque indice, radii facierum erunt ut sequitur: Radius faciei anterioris lentis primæ \( = \frac{P}{b + x}, \) posterioris \( = \frac{P}{K - x}; \) Radius faciei anterioris lentis secundæ \( = \frac{\dot{P}}{n + 1 \cdot b - nK + x}, \) posterioris \( = \frac{\dot{P}}{n + 1 \cdot K - nb - x}, \) ubi est \( nP = \dot{P}, \) posito \( n \) numero negativo. Distantia foci principalis systematis binarum len- tium \( P \) et \( \dot{P} \) dicatur \( R, \) et quoniam est \( \frac{1}{R} = \frac{1}{P} + \frac{1}{\dot{P}}, \) erit \( P = \frac{n + 1}{n} R, \) et \( \dot{P} = \frac{n + 1}{n} \cdot R, \) quare in ex- pressionibus radiorum scribendo hos valores pro \( P \) et \( \dot{P}, \) habebuntur: \[ \text{Radius} \] Radius faciei anterioris lentis primæ \(= \frac{n+1}{n} R\) posterioris \(= \frac{n+1}{K-x}\); Radius faciei anterioris lentis secundæ \(= \frac{n+1}{n+1.b-nK+x} R\), posterioris \(= \frac{n+1}{n+1.K-nb-x} R\). Et hæ lentes juxta se positæ radios incidentes axi parallelos in distantia à lente, \(R\), colligent sine aberratione, si distantia foci lentis concavæ major fuerit distantia foci lentis convexæ; si autem contra dispersentur radii sine aberratione à puncto ante lentem, cujus distantia positive sumta est \(R\). Pro casu singulari hujus exempli, ponamus requiri formas binarum lentium ita comparatarum, ut distantia foci principalis lentis concavæ fit ad distantiam foci principalis lentis convexæ, ut 3 ad 2, et ut radii colligantur in distantia \(R\) à lentibus. Si lens anterior debet esse convexa, erit \(n = \frac{3}{2}\), et æquatio definiens relationem indicum lentis convexæ \(x\) et lentis concavæ \(x\), \(8x^2 - 27x^2 = \frac{19f+6}{g^2}\). Determinatis vero decenter indicibus \(x\) et \(x\), radii facierum erunt, ut sequitur: Radius faciei anterioris lentis primæ \(= \frac{R}{3b+3x}\), posterioris \(= \frac{R}{3K-3x}\); Radius faciei anterioris lentis secundæ \(= \frac{R}{3K-b+2x}\), posterioris \(= \frac{R}{3b-K-2x}\). Si Si vero lens anterior debet esse concava, erit \( n = -\frac{3}{2} \), et relatio indicum \( 8x^2 - 27x^2 = \frac{19f + 6}{g^2} \), radii vero facierum ut sequitur: Radius faciei anterioris lentis primæ \( = -\frac{R}{2b + 2x} \), posterioris \( = \frac{R}{2K - 2x} \); Radius faciei anterioris lentis secundæ \( = \frac{R}{b + 2K + 3x} \), posterioris \( = \frac{R}{K + 2b - 3x} \). § 14. Exemplum III. Propositum sit, telescopium ex tribus lentibus componere, quarum prima \( P \) et secunda \( P' \) juxta se positæ vitrum objectivum duplex constituant, cujus distantia foci principalis sit \( R \); tertia vero sive ocularis \( P'' \), habeat distantiam foci \( P'' = \frac{R}{m} \), ut potentia amplificandi designetur per numerum \( m \). Ponatur præterea \( P' = nP \), intelligendo per \( n \) numerum datum negativum, eumque unitate majorem, si lens convexa anterior est collocanda, minorem si posterior, ut radii post refractionem in vitro objectivo convergent, quemadmodum expositum est in exemplo praecedente. Quæruntur autem formæ harum trium lentium, ut telescopium liberum sit ab omni erratione ex figura illarum sphærica oriunda. Aberratio à tribus lentibus \( P, P', P'' \), oriunda (§ 10. cas. III.) nihil æqualis posita, dat \( \frac{B^2 \cdot B'^2}{A^2 \cdot A'^2 \cdot P^3} \left( \frac{P}{A + B} \right) \). \[ + f + g^2 x^2 \] \( + \frac{B^2 \cdot A^2}{B^2 \cdot A^2 \cdot P^3} \left( \frac{P}{A + B} + f + g^2 x^2 \right) \] \[ + \frac{A^2 \cdot H^2}{B^2 \cdot B^2 \cdot P} \left( \frac{P}{A + B} + f + g^2 x^2 \right) = 0. \] Symbola hanc æquationem ingredientia per hypothesin hujus exempli ita determinantur: ob \( A \) infinitam est \( \frac{P}{A + B} = 0 \), et \( B = P \). Ob \( B \) infinitam est \( \frac{P}{A + B} = 0 \), et \( A = P \). Ob lentes \( P \) et \( P \) juxta se positas; est earum distantia \( A + B = 0 \), sive \( A = -B = -P \). Ob \( \frac{I}{R} = \frac{I}{P} + \frac{I}{P} \), et \( P = nP \), est \( P = \frac{n+1}{n} R \), et \( P = \frac{n+1}{n} R \). Præterea est \( B = R \), et \( P = \frac{R}{m} \). His itaque valoribus substitutis, et æquatione ordinata, habetur relatio indicum \( x, \frac{x}{x}, \frac{x}{x} \), expressa ut sequitur: \( g^2 x (n^3 x^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{n+1}{m} x^2) + f (n^3 + 1 + \frac{n+1}{m}) = n \cdot n + 1 \). Determinatis indicibus \( x, \frac{x}{x}, \frac{x}{x} \), habentur per § 11. radii facierum: videlicet, Radius faciei anterioris lentis primæ \( = \frac{n+1}{n} R \) posterioris \( = \frac{n+1}{n} R \); Radius faciei anterioris lentis secundæ \( = \frac{n+1}{n} R \) posterioris \( = \frac{n+1}{n} R \); Radius faciei anterioris lentis tertiae \(= \frac{R}{m.K + x}\), posterioris \(= \frac{R}{m.b - x}\). Ita si vitrum objectivum hujus telescopii componendum sit ex duabus lentibus, convexa et concava, quarum distantiae focales sint ut 3 et 2, debeatque primo lens convexa anterior collocari, oportebit sumere \(n = -\frac{3}{2}\), et erit æquatio pro indicibus: \[g^2 \times (27x^2 - 8\frac{x^2}{m}) + f \times (19 + \frac{1}{m}) + 6 = 0,\] et radii facierum: Radius faciei anterioris lentis primæ \(= \frac{R}{3b + 3x}\), posterioris \(= \frac{R}{3K + 3x}\); Radius faciei anterioris lentis secundæ \(= \frac{R}{3K - b + 2x}\), posterioris \(= \frac{R}{3b - K - 2x}\); Radius faciei anterioris lentis tertiae \(= \frac{R}{mK + mx}\), posterioris \(= \frac{R}{mb - mx}\). Si vero lens concava anterior est collocanda, debet sumi \(n = -\frac{3}{2}\), unde æquatio pro indicibus prodit \[g^2 \times (-8x^2 + 27\frac{x^2}{m}) + f \times (19 + \frac{1}{m}) + 6 = 0,\] et consequenter: Radius faciei anterioris lentis primæ \(= \frac{R}{2b + 2x}\), posterioris \(= \frac{R}{2K - 2x}\); Radius faciei anterioris lentis secundae \(= \frac{R}{b + 2K + 3x}\), posterioris \(= \frac{R}{K + 2b - 3x}\); Radius faciei anterioris lentis tertiae \(= \frac{R}{mK + mx}\) posterioris \(= \frac{R}{mb - mx}\). § 15. Vidimus in solutione generati novissimi problematis (§ ii.) et subjunctis exemplis (§ 12, 13, 14.) relationem indicum \(x\), \(x'\), \(x''\), &c. unica tantum æquatione definiri, adeoque judicio artificis plurimum esse relictum in commoda eorum assumptione facienda. Duæ autem sunt considerationes, quibus hæc assumtio utcumque dirigi possit. Prima est, ut nullus indicum fiat nimis magnus, sive, quod eodem recidit, ut formæ lentium quamproxime accedant ad eas, quæ in datis circumstantiis aberrationem dant omnium minimam. Hac enim ratione errores in forma lentium forte commissi minus nocebunt, quemadmodum ex natura minimi notum est. Altera est, ut singulæ lentes, quam fieri potest, proxime evadant æqualiter utrinque convexæ, vel æqualiter concavæ, quo fiet, ut majores aperturæ sint patientes. Quantitates enim aberrationum supra definitæ non sunt nisi quamproxime veræ, et tanto magis fallunt, quanto facies lentium fuerint majora suarum sphærarum segmenta. Binæ hæ regulæ, etiam si sibi invicem sæpius adversuntur, nec facile definiri queat, quantum in quovis dato casu uni vel alteri ipsarum sit tribendum; non dubito tamen, quin judicio artifici sint profuturæ profuturæ ad mediam viam tenendam inter utramque. Eadem quoque considerationes impediunt, quo minus certi aliquid definire ausim, de maximo possibili effectu instrumentorum opticorum secundum hæc principia compositorum, vel de modo perfectissima componendi. Regulae huc pertinentes tutissime exspectantur ab experientia, modo dirigatur à theoria. § 16. Expositis jam breviter quæ dicenda habuimus de aberrationibus radiorum homogeneorum refractorum, ortis a lentium figura sphærica, ut et de modo illas corrigendi in instrumentis opticis: liceat etiam pauca addere de altera illa aberrationis specie, quæ a diversa radiorum refrangibilitate oritur, quæ objecta trans lentes visa coloribus inficit, et maximam confusionis partem producit. Creditum hucusque communiter fuit hoc vitium nulla arte emendabile, donec ingeniosissimus artifex Londinensis, Dollandus, experimentis institutis feliciter deprehenderet, varia dari vitrorum genera, quæ, licet fere æqualiter refringant certum quoddam radiorum genus, plurimum tamen discrepent viribus refringendi reliqua radiorum genera; adeoque et radios heterogeneos a se invicem separandi: quo eximio invento et theoriam et praxim optices insigniter auxit. Discimus enim hinc, rationes refractionem radiorum diversi generis nullo modo a se invicem dependere, ut hucusque fuit creditum; adeoque frustra quaeri regulam, qua ex datis refractionibus radiorum diversi generis in uno aliquo medio inveniantur refractiones eorumdem in alio; vel qua ex data refractione unius aliquid radii in quovis medio, inveniuntur refractiones reliquorum in eodem medio. Praxis quoque telescopiorum dioptricorum insigne incrementum hujus inventi beneficio nacta est. Scilicet sagacissimus inventor modum inde derivavit corrigendi aberrationes ex separatione radiorum heterogeneorum oriundas, componendo vitrum objectivum ex duabus lentibus, una convexa, altera concava, quae ita sint comparatae, ut una alterius effectum in radiis separandis destruat, quemadmodem in Vol. L. Part. II. p. 733. et seq. Transactionum Philosophicarum exposuit. Quod artificium ita breviter explicabimus. § 17. Sit P lens quæcunque, habens radios facierum suarum \(a\) et \(b\); distantiam foci principalis mediocriter refrangibilium \(P\); et \(a \times\) in rectam \(OO\). \[ \text{Ratio refractionis radiorum mediocriter refrangibilium ex aëre in lentem sit } N \text{ ad } 1; \text{ radiorum maxime refrangibilium } N + n \text{ ad } 1, \text{ et radiorum minime refrangibilium } N - n \text{ ad } 1, \text{ existente } n \text{ numero valde parvo respectu ipsius } N. \] In axe lentis \(OO\) sint puncta \(A, B, C\) foci radiorum in lentem \(P\) incidentium, \(A\) mediocriter refrangibilium, \(B\) maxime et \(C\) minime refrangibilium, quorum focorum distantiae \(A.B, A.C\) sint valde parvae, et ponantur puncta \(A, B, C\), foci conjugati ipsorum \(A, B, C\) respective, pro sua quique radiorum specie, ita ut sint \(B.C, B.C\), Vol. LI. dissipationes radiorum heterogeneorum circa focos conjugatos A et Ā. Quæratur earum relatio. Quoniam B et B sunt foci conjugati radiorum maxime refrangibilium, quorum ratio refractionis est \( N + n \) ad 1, erit \( \frac{I}{PB} + \frac{I}{PB'} = \frac{N + n - 1}{a} + \frac{I}{b} \). Similiter quoniam puncta C et Ĉ sunt foci conjugati radiorum minime refrangibilium, quorum ratio refractionis est \( N - n \) ad 1, erit \( \frac{I}{PC} + \frac{I}{PC'} = \frac{N - n + 1}{a} + \frac{I}{b} \). Subtrahatur hæc posterior æquatio à priore, et habebitur \( \frac{I}{PB} - \frac{I}{PC} + \frac{I}{PB'} - \frac{I}{PC'} = 2n \cdot \frac{I}{a} + \frac{I}{b} \), sive conjungendo binos terminos: \( \frac{PC - PB}{PB \times PC} + \frac{PC' - PB'}{PB' \times PC'} = 2n \cdot \frac{I}{a} + \frac{I}{b} \), quæ pro \( PB \times PC \) et \( PB' \times PC' \), scribendo \( PAq \) et \( PAq' \), et pro \( \frac{I}{a} + \frac{I}{b} \) scribendo \( \frac{I}{N - 1} \cdot P \), evadit \( \frac{BC}{PAq} = \frac{2n}{N - 1} \cdot P + \frac{BC}{PAq} \), exhibens relationem inter dissipationes conjugatas BC et ĉBC. His præmissis, intelligantur lentes quotcunque \( P, P', P'', P''', \&c. \) quarum distantiæ focorum principalium respectu radiorum mediocriter refrangibilium sint \( P, P', P'', P''', \&c. \) respective, ordine dispositæ in axe earum earum communi O O. Rationes refractionum radiorum mediocriter refrangibilium in his lentibus ordine sumtis sint respective, N ad 1, N ad 1, N ad 1, N ad 1, &c. radiorum maxime refrangibilium N + n ad 1, N + n ad 1, N + n ad 1, N + n ad 1, &c. et radiorum minime refrangibilium N - n ad 1, N - n ad 1, N - n ad 1, &c. Puncta A, A, A, A, A, &c. sint foci conjugati lentium respectu radiorum mediocriter refrangibilium, puncta B, B, B, B, B, &c. respectu radiorum maxime refrangibilium, C, C, C, C, C, &c. respectu minime refrangibilium, ita ut BC, BC, BC, BC, BC, &c. sint dissipationes successivae radiorum heterogeneorum in axe lentium. Dicantur tandem distantiae focorum conjugatorum à suis respective lentibus: PA = A, PA = B; PA = A, PA = B; PA = A, PA = B; PA = A, PA = B, &c. Jam si in æquatione pro relatione dissipationum conjugatarum modo inventa, \( \frac{BC}{PA_q} = \frac{2n}{N-1} \cdot P + \frac{BC}{PA_q'} \) per BC et BC intelligantur successively singula paria dissipationum conjugatorum, et per PA et PA distantiae focorum conjugatorum ipsis respondentes; item per P, N et n eorum valores singulis lentis proprii, habebuntur tot æquationes, quot sunt lentes: videlicet; \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{BC}{A^2} \); \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{BC}{A^2} \); \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{BC}{A^2} \); \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{BC}{A^2} \); et ita porro, si plures fuerint lentes. Ponantur puncta B, A, C, coincidere, sive ex primo foco A prodire radius compositum, ut dissipatio prima BC sit nulla, et reducendo has æquationes, ponendo BC = o, habentur valores dissipationum successivarum, pro quovis lentium numero: 1. \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P \) 2. \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2}{A^2} \cdot \frac{2n}{N-1} \cdot P \) 3. \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2}{A^2} \cdot \frac{2n}{N-1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2 \cdot B^2}{A^2 \cdot A^2} \cdot \frac{2n}{N-1} \cdot P \) 4. \( \frac{B^2}{N-1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2}{A^2} \cdot \frac{2n}{N-1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2 \cdot B^2}{A^2 \cdot A^2 \cdot A^2} \cdot \frac{2n}{N-1} \cdot P \) Et ita deinceps, si plures fuerint lentes. § 18. § 18. Datis positionibus lentium quotcunque in communi axe, una cum singularum legibus refractionum pro radiis omnis generis, oporteat invenire relationem inter distantias focorum principalium earundem lentium, quae efficiat, ut radii heterogenei à quovis puncto advenientes vel paralleli, post refractionem in omnibus lentibus emergant, sine dissipazione à diversa refrangibilitate radiorum oriunda, si fieri possit. Solutio problematis generaliter absolvitur ponendo expressionem dissipationis, datae multitudini lentium convenientem, § 17, nihilo æqualem, quo ipso habetur æquatio definiens relationum distantiarum focalium, P, P, P, P, &c. requisitam ad id, ut dissipatio in foco ultimo evanescat. Ita in casu binarum lentium habebitur: \[ \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2}{A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P = 0; \] in casu trium lentium erit: \[ \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2}{A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2}{A^2 \cdot A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P = 0; \] in casu quattuor lentium: \[ \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2}{A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2}{A^2 \cdot A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P + \frac{B^2 \cdot B^2 \cdot B^2}{A^2 \cdot A^2 \cdot A^2} \times \frac{n}{N - 1} \cdot P = 0; \] et ita porro, si plures fuerint lentes. Ita Ita si in æquatione pro binis lentibus, \[ \frac{n}{N - i \cdot P} + \frac{B^2}{A^2} \times \frac{n}{N - i \cdot P} = 0, \] ponatur distantia lentium \( B + A = 0 \), ut evadant contiguæ, quemadmodum in vitro objectivo Dollondiano; habetur \[ \frac{n}{N - i \cdot P} + \frac{n}{N - i \cdot P} = 0. \] Unde patet alterutram lentium \( P \) et \( P' \) faciendam esse concavam, alteram convexam, et distantias earum focales affirmative sumtas \( P \) et \( P' \) faciendas esse in ratione \( \frac{n}{N - i} \) ad \( \frac{n}{N - i} \), quæ ratio evadit \( n \) ad \( n' \), si vires refractivæ mediæ utriusque lentis fuerint æquales. Similiter fit construendum telescopium ex tribus lentibus, quarum duæ priores \( P \) et \( P' \) juxta se positæ constituant vitrum objectivum, tertia \( P'' \) fit ocularis, et potentia amplificandi exprimatur numero \( m \). Quoniam lentes priores \( P \) et \( P' \) sunt juxta se positæ, erit earum distantia \( B + A = 0 \). Quoniam per constitutionem telescopii radii in primam lentem incidentes sunt paralleli, erit \( B = P \), et \( \frac{i}{B} = \frac{i}{P} + \frac{i}{P'} \). Quoniam radii ex ultima lente emergunt paralleli, erit \( A = P'' \). Et tandem, quia potentia amplificandi indicatur indicatur numero \( m \), erit \( \frac{1}{B} = m^2 P \). Substitutis itaque his valoribus in æquatione pro tribus lentibus supra allata, transit illa in hanc: \[ \frac{n}{N-1} \cdot P + \frac{n}{N-1} \cdot \dot{P} + \frac{n}{N-1} \cdot m^2 P = 0. \] Et hæc æquatio una cum æquatione \[ \frac{1}{P} + \frac{1}{\dot{P}} - \frac{1}{m^2 P} = 0, \] determinat rectationem distantiarum focalium \( P, \dot{P}, \ddot{P} \), qualis ad id requiritur, ut radiorum emergentium dissipatio à diversa refrangibilitate nulla sit. Comparando scilicet has æquationes, habetur \[ \left( \frac{nm}{N-1} + \frac{n}{N-1} \right) \dot{P} + \left( \frac{nm}{N-1} - \frac{n}{N-1} \right) P = 0, \] et \[ \left( \frac{n}{N-1} - \frac{n}{N-1} \right) \times m^2 P + \left( \frac{nm}{N-1} + \frac{n}{N-1} \right) \times P = 0. \] Eadem ratione procedendum est in aliis casibus. S. Klingenstierna. Stockholm, 20 Aprilis 1760.