Two Essays Addressed to the Rev. James Bradley, D. D. and Astrom. Reg. by Mr. Charles Walmesley, F. R. S.

plates or tables, in the use of them, than they did in their figure. Nor can I apprehend, the former were designed for any other purpose, than that above mentioned. But as they are very remarkable, and perhaps the singular remains of that kind, relating to the Roman government, either here in Britain, or any other part of their dominions; they may deserve the further consideration of the curious, in their inquiries into these subjects. CIX. Two Essays addressed to the Rev. James Bradley, D. D. and Astron. Reg. by Mr. Charles Walmesley, F. R. S. Reverend Sir, I HAVE taken the liberty to address to you two little essays, that relate to astronomy; for as no one is more master of that science, or has enriched it with greater discoveries, than yourself, you can best judge of the worth and use of any performance in that kind. The first essay is a Theory on the Precession of the Equinoxes, and the Nutation of the Earth's Axis; which, as it is indebted to you for the discovery of the cause, on which it is founded, as also for the settling of the effects, with which its result is to be compared, ought to be laid before you as a homage, that of right is due. You expressed a desire of a theory on that subject: I have therefore examined, according to the principle of gravity, what motions may be produced in the globe globe of the earth by the actions of the sun and moon, and have endeavoured to determine their precise quantity and laws of variation. You observed yourself, that the supposition you made use of, of the earth's pole moving round the periphery of a circle, whose center represented the mean place of the pole, was not exact: and in effect, as theory shews there are two equations arising from the sun's action, and as many from the action of the moon, to be used in settling the true place of the pole, the simple motion in the circle cannot answer accurately to the composition of these several motions; and it is from thence proceeded that surprizing difference you found betwixt the polar distances calculated on that supposition, and those observed, in the star α Cassiopea, in the year 1738, and in η Ursae majoris in the year 1740 and 1741; which distances, if computed from the theory, as here laid down, agree with the observations as nearly as the others. This appears in the tables that are added of these computations. You also insinuated it would be proper to examine, whether the position of the moon's apogee had not a share of influence in these apparent motions of the stars. I therefore considered that point, but found, as you will see in the fifth proposition, that the diminution of the moon's action in the higher part of its orbit is so compensated by the increase of the same action in the lower part, that in the whole revolution of the moon no alteration arises, whatever be the situation of the nodes. The second essay is a Theory of the Irregularities, that may be occasioned in the annual Motion of the Earth by the Actions of Jupiter and Saturn. I was led into this research by reflecting upon that question, debated among the astronomers for so many ages past, whether the mean inclination of the two planes of the ecliptic and equator suffers any change or remains invariable. Considering then what cause could produce a change in this inclination, I easily conceived, that if the action of Jupiter had sufficient power to alter the plane of the earth's orbit, with respect to its own, by making their common intersection recede, in the same manner as the sun's action operates on the lunar orbit, an alteration in the obliquity of the ecliptic would necessarily follow; and upon closer examination it appeared, that Jupiter really caused the earth to deviate in its course, and gave a retrograde motion to the line of intersection of their orbits; and further, that according to the present situation of that line, its regres was such, as to have occasioned a gradual diminution in the obliquity of the ecliptic for many ages past: by which means that question seems decided. The reason, why the astronomers have not hitherto been able to settle that point, is, because this variation proceeds at so slow a rate, that the observations of the ancients are not sufficiently exact to ascertain the small diminution, that has happened since their time. I have endeavoured to fix the laws, quantity and period of this variation. From the same cause are also computed a progressive motion occasioned in the earth's aphely, and a small regressive one in the equinoctial points: in all which is added the little share of influence, that belongs to Saturn. In the last proposition are deduced some inequalities, that occur in certain elements of the earth's theory, that have hitherto been supposed supposed invariable. These, as they are very small, I have only added in that view, that you, who know the best what degree of precision may be expected from astronomical observations, may judge whether they are worth notice or not. I must observe, that some of the points of these two treatises have been considered by others; and if my conclusions anywhere differ from them, I leave it to other geometricians to decide which are right. All I shall say on that head is, that my result agrees with the computation of the great Sir Isaac Newton. As to the method, I have rather chosen to deduce the propositions by geometrical reasoning, after the manner of Sir Isaac Newton; which in researches of this kind always appeared to me much more simple, more rational, and more elegant, than the long calculus of an intricate analysis. Besides, if in the application there slips any error, it is more easily discovered in the first method. As a lover of the sciences, I should be glad to contribute to their improvement; but, whether what is here offered may be reputed a step that way, is left entirely to your determination. I am, with the greatest respect, Reverend Sir, Rome, Dec. 3. 1756. Your most obedient humble servant, Charles Walmsley. De Praecessione Aequinoctiorum et axis Terrae Nutatione. Lemma I. Invenire vim, quâ Sol agit in partes Aequatorias Terrae. Esto T (Fig. 1.) centrum Terrae, B polus, AT recta jungens centra terrae et solis, ASQ, circulus centro T descriptus et perpendicularis Aequatori quem exhibit linea TS, et TQ linea intersectionis circuli TASQ, et plani plano Eclipticae perpendicularis: per punctum Aequatoris S ducatur SM parallela rectae AT occurrens TQ in M, et producatur ad P ut fit SP = 3SM, et ex P agatur PN perpendicularis in planum Aequatoris TS. Tum ob similitudinem triangulorum STM, SPN, erit ST. MT :: SP five 3SM. PN = \frac{3SM \times MT}{ST}. Sed notum est, quod, si radius terrae ST exhibeat vim, quâ fol deprimit particulam S versus centrum T, 3SM exhibebit vim, quâ eadem particulam retrahit à plano, quod est plano Eclipticæ perpendicularare, adeoque \frac{3SM \times MT}{ST} exhibebit vim PN, quâ perturbatur situs plani Aequatoris, et efficacia hujus vis ad convertendum Aequatorem est ut PN \times ST, id est, ut ipsa vis PN. Vis autem ST est ad vim, quâ Terra retinetur in orbe suo circa solem, ut semidiameter terrae ST ad distantiam terrae a sole, et vis, quâ terra retinetur in orbe suo est, ad vim centrifugam in terrae æquatore in ratione compositâ ex ratione directâ distantiae terrae à sole ad semidiametrum terrae et ratione inversâ duplicata plicata temporis periodici terrae circa solem ad ejusdem tempus periodicum circa axem suum: unde per compositionem rationum, scribendo $S$ pro periodo terrae annua et $T$ pro periodo diurna, prodit vis $PN$ ad vim centrifugam in terrae æquatore ut $\frac{3SM \times MT}{ST^2} \times \frac{TT}{SS}$ ad 1. Patet autem vis $PN$ conatum hunc esse, ut convertat æquatorem circum axem plano $TASQB$ perpendiculararem, id est, circum axem qui jacet in communi sectione æquatoris et plani $QT$ Eclipticæ perpendicularis. Ad æquales à puncto $S$ in circumferentia æquatoris distantias sumantur puncta duo $F$, et quia horum utriusque vis conatur æquatorem convertere circum axem plano $TFB$ respectivè perpendiculararem, conatus ex utraque vi compositus concurret cum vi prædicta $PN$ ad convertendum æquatorem eique inherentem terram circum axem plano $TASQ$ perpendiculararem. Ducantur autem rectæ $FG$ perpendicularares in planum $QT$ eclipticæ perpendicularare, et summa virium, quibus istæ duæ particulae fugiunt planum æquatoris, erit $\frac{6FG \times TG}{FT}$, ut patet ex dictis, cujus pars, quæ conspirat cum prædicta vi $PN$, cum sit ad $\frac{6FG \times TG}{FT}$ ut $FT$ ad $ST$, erit $\frac{6FG \times TG}{ST}$ (reliquis harum virium partibus utpoté oppositis se mutuo destruentibus) sive ob similitudinem triangulorum $FGT$ et $SMT$, hæc summa erit ad vim $PN$ ut $2FT^2$ ad $ST^2$; proindeque, cum summa omnium $FT^2$ per totam circumferentiam sit subdupla summæ totidem $ST^2$, erit summa actionum omnium nium per circuitum æquatoris subdupla summæ totidem actionum in particulam $S$: quamobrem vis ea, quâ perturbatur situs circuli æquatoris, ex viribus punctorum omnium circumferentiam æquatoris constituentium collecta, est ad vim centrifugam in eodem æquatore, ponendo radius terræ $ST=1$, ut $\frac{3SM \times MT}{2} \times \frac{TT}{SS}$ ad 1. Q. E. I. **Lemma II.** Vis particularum omnium extra terræ globum interiorum, cujus scilicet diameter est terræ axis minor, undique sitarum ad terram circum axem prædictum rotandam est ad vim particularum totidem in circuitu circuli æquatoris uniformiter in morem annuli dispositarum ad terram circa eumdem axem movendam ut 2 ad 5. Luculenter demonstratur apud Newtonum. **Lemma III.** Rationem motûs terræ totius ad motum materiæ supra globum terræ interiorum stratæ determinare. Exhibeat $C$ centrum terræ, (Fig. 2.) $CK$ portionem diametri cujusvis æquatoris, $EDGK$ sectionem terræ diametro $CK$ et plano æquatoris perpendicularem; sectio hæc et sectiones omnes huic parallelæ ellipses sunt ut notum est, et sibi similes. Ex centro $K$ ellipseos $EDG$ ducatur in plano æquatoris radius $KE$, eritque ellipseos semiaxis major, et radius huic perpendicularis $KD$ semiaxis minor; ducantur item radii alii duo $KM$, $Km$ sibi proximi, et centro $K$ et radio $KD$ describatur circulus $DHe$ secans $Km$, $KM$, $KE$, in $b$, $H$, $e$; et radio quolibet $Kr$. Kr describatur arcus \( rn \) secans \( KM, Km \), in \( r, n \), et arcus \( st \) arcui \( rn \) proximus secans \( KM, Km \), in \( s, t \). Jam quoniam areola \( rstn \), dum terra revolvi- tur circa axem \( CK \), fertur velocitate distantiae \( Kr \) proportionali, motus ejus proportionalis erit \( Kr \times rs \times st \) five \( \frac{Kr^2 \times Hb \times rs}{KH} \); unde motus areæ totius \( KMMm \) proportionalis erit \( \frac{KMM^3 \times Hb}{3KH} \). Agatur \( HV \) perpen- dicularis in \( KD \), et si semiaxis major \( KE \) parùm excedere supponatur semiaxem minorem \( KD \), erit \( HM = \frac{HV^2 \times Ee}{KH^2} \) quam proximè, adeoque \( \frac{KM^3 \times Hb}{3KH} = \) \( \frac{KH^2 \times Hb}{3} + \frac{HV^2 \times Hb \times Ee}{KH} \), ac proinde summa motuum arcarum omnium \( KMMm \), id est, motus totius secti- onis erit proportionalis circumferentiae \( DHD \) ductæ in \( \frac{KH^2}{3} + \frac{KH \times Ee}{2} \). Sit autem \( CA \) æqualis semidia- metro terræ majori, \( CB \) semidiametro minori, et \( AB \) semidiametrorum differentiæ; fit \( Kk \) particula quàm minima axis \( CK \), et \( C \) denotet circumferen- tiam æquatoris; tum, quia est \( KH \). \( KE :: CB \). \( CA \), et \( Ee \). \( AB :: KE \cdot CA \), erit motus portionis sphæroidicæ, cujus crassities est \( Kk \), duabus sectio- nibus parallelis terminatæ, hoc est, circumferentia \( DHD \) ducta in \( Kk \times \frac{KH^2}{3} + \frac{KH \times Ee}{2} \) proportionalis quantitati \( \frac{C \times CB^3 \times KE^3 \times Kk}{3CA^4} + \frac{C \times CB^2 \times KE^3 \times AB \times Kk}{2CA^4} \), adeòque summa horum motuum five motus to- tius. tius sphæroidis circum axem \( CK \) exponetur per \[ \frac{CC \times CB^3}{16CA} + \frac{3CC \times CB^2 \times AB}{32CA} \] vel, si \( D \) designet circumferentiam radio \( CB \) descriptam, per \[ \frac{DD \times CA \times CB}{16} + \frac{3DD \times CA \times AB}{32}. \] Hincque motus globi interioris, cujus radius est \( CB \), exponetur per \[ \frac{DD \times CB^2}{16} \] : adeoque est motus globi interioris ad motum terræ totius circum axem \( CK \) gyrantis ut \( CB^2 \) ad \( CA \times CB + \frac{CA \times 3AB}{2} \) sive ut \( CA - 2AB \) ad \( CA + \frac{AB}{2} \) quamproxime, et motus materiae globo terræ interiori incumbentis ad motum terræ totius ut \( 5AB \) ad \( 2CA \) quamproxime. Q.E.I. Coroll. Eadem ratiocinandi methodo, si circumferentia circuli radio \( CB \) descripti revolatur circa diametrum propriam, cum motus cujusvis puncti circumferentiae fit ut ipsius distantia ab hac diametro, motus totius circumferentiae exponetur per \( 4CB^2 \): unde, si loco circumferentiae substituatur annulus tenuissimus, erit motus annuli ad motum globi cujus semidiameter est \( CB \), ut \( 4CB^2 \) ad \( DD \times CB^2 \); hoc est, in ratione composita, ex ratione materiae in annulo ad materiam in globo, et ratione duorum quadratorum ex diametro ad tria quadrata ex arcu quadrantali circuli, quemadmodum demonstravit Newtonus. Atque hoc pacto si semidiameter terræ minor fit ad majorem ut 229 ad 230, et tota materia supra globum terræ interiorem interiorem diffusa coalescere intelligatur, uti supponit Newtonus, in annulum uniformem, qui æquatorem cingat, erit motus annuli ad motum globi interioris ut $4590$ ad $485223$, et motus annuli ad motum terræ totius ut $4590$ ad $489813$. Hic autem advertere liceat proportionem hanc motuum, quae nempe derivatur ex hypothesi, quod tota materia globo terræ interiore superior in annulum circum æquatorem coalescat, à verâ paululum aberrare: patet enim singulas materiæ particulas in locis suis consistentes non ipsum eundem concipere motum ex terræ rotatione, quem sortirentur, si juxta hypothesim illam in æquatore simul collectæ subfisterent. Differentiam illam motuum, quia minuta est, in investigatione præcessionis mediæ æquinoctiorum, ut minus consideratione dignam, omisit Newtonus. At quoniam nunc temporis, ob nova Astronomiæ inventa, accuratius inquiritur proportio virium Solis et Lunæ, earumdemque effectus proprii, differentiae istius habere rationem operæ pretium videtur, atque ea propter lemma hoc subjunximus et in propositione sequenti usurpabimus. **Propositio I. Problema.** Investigare Præcessionem mediam Æquinoctiorum vi solis genitam. Designet $SPQ$ (Fig. 3.) Æquatorem terræ, $ARL$ Eclipticam, $TL$ lineam intersectionis planorum æquatoris et eclipticae $PM$ perpendiculum demissum ex puncto æquatoris $P$ in planum $QT$ quod supponitur eclipticæ perpendiculare. Sumpto arcu quam minimo æquatoris $PP$, fit $PN$ duplum spatii, quod corpus percurrere posset perpendiculariter ad æquatorem, impellente vi in lemmate 1°. definitâ, quo tempore punctum $P$ cum æquatore revol- vens describit arcum \( pP \), atque hoc pacto post illam particulam temporis planum æquatoris translatum reperietur in situm \( TNpn \), ac jam eclipticam secabit in \( n \), eritque arcus \( Ln \) recessus intersectionis æquatoris et eclipticæ five præcessio æquinoctiorum. In \( Npn \) demittatur perpendicularum \( Lr \), et in \( TL \) perpendicularum \( PI \), et cum lineae \( PN \), \( Lr \), sint ut finus arcuum \( Pp \), \( PL \), erit \( Pp \). \( PN :: PI \). \( Lr \), et scribendo \( B \) pro sinu et \( C \) pro cosinu inclinationis eclipticæ ad æquatorem ad radius \( r \), in triangulo rectangulo \( Lrn \) habetur \( B \). \( r :: Lr \). \( Ln \), adeoque fit \( Pp \times B \). \( PN :: PI \). \( Ln \), et \( Ln = \frac{PN \times PI}{B \times Pp} \): dato igitur arcu \( Pp \), est \( Ln \) ut \( PN \times PI \). Centro \( T \) describatur arcus circuli \( RP \) perpendicularis in æquatore \( LP \), eritque in triangulo sphærico \( LR P \) tangens anguli \( RLP \). inclinationis scilicet eclipticæ ad æquatorem, ad tangentem arcûs \( RP \), id est, erit \( B \) ad \( MT \) \( PM \), ut radius \( I \). ad \( PI \) finum arcûs \( PL \), unde erit \( PI = \frac{C \times MT}{B \times PM} \). Item in eodem triangulo est \( B \) ad \( r \) ut \( MT \) ad \( RH \) finum arcûs eclipticæ \( RL \), hoc est, \( MT = B \times RH \). Insuper est \( PN \) ut \( PM \times MT \) ex lem : \( r \); quarè est \( PN \times PI \) adeòque et \( Ln \) ut \( RH^2 \), hoc est præcessio horaria æquinoctiorum vi solis genita est in duplicata ratione sinûs distantiae solis ab Æquinoctio. Et quoniam summa omnium \( RH^2 \), quo tempore sol periodum suam absolvit, est dimidium summæ totidem \( TR^2 \), ideò præcessio annua æquinoctiorum est subdupla ejus, quam sol in quadraturis Æquinoctiorum, hoc est, in solsticiis semper manens eodem tempore generare posset. Sit igitur sol in Coluro Solstitiali, eruntque \( L P \) et \( L R \) (Fig. 4.) quadrantes circuli, et \( L r \) mensura anguli \( L pn \) sive \( P p N \); hincque in triangulo \( L rn \) est \( L n \) sive praecessio horaria æquinoctiorum in hoc casu ad \( L r \) sive ad angulum \( P pn \) ut 1 ad \( B \): est autem angulus \( P p N \), ducto perpendiculo \( ps \) in radius \( TP \), ad duplum angulum \( P ps \), id est, ad angulum \( PTp \) qui est motus horarius terræ circa axem suum ut vis quæ agit secundum \( PN \) ad vim centrifugam in æquatore, hoc est, per lemma 1, ut \( \frac{3SM \times MT}{2} + \frac{T'T}{SS} \) Fig. 1. ad 1; sive quia est in hoc casu \( MT = B \), et \( SM = C \); ut \( \frac{3B \times C}{2} \times \frac{T'T}{SS} \) ad 1; estque motus horarius terræ circa axem suum ad motum horarum solis ut \( S \) ad \( T \): unde conjunctis rationibus est praecessio horaria Æquinoctiorum ad motum horarium solis ut \( \frac{3C}{2} \times \frac{T'}{S} \) ad 1, et in eadem ratione est praecessio annua ad motum solis annum. Præcessio igitur annua Æquinoctiorum, in hypothesio quod sol toto eo tempore staret immotus in solstitio, foret \( \frac{3C}{2} \times \frac{T'}{S} \times 360^\circ \), et vera praecessio annua foret hujus subdupla. Sed quia Sol agit non tantum in circulum æquatoris, ut in hac propositione hucusque supposuimus, sed in totam materiam supra globum terræ interiorem sparsam, et globus ipse motum hac vi genitum participare debet, ideò minuenda est praecessio in ratione compositâ, ex ratione 2 ad 5 per lemma 2, et ex ratione \( 5AB \) ad \( 2CA \) per lemma 3; quarè praecessio annua Æquinoctiorum à vi solis oriunda tandem prodit \( \frac{3C}{4} \times \frac{T'}{S} \times \frac{2}{5} \times \frac{5AB}{2CA} \times 360^\circ \). \[ \times 360^\circ = \frac{3C}{4} \times \frac{T}{S} \times \frac{AB}{CA} \times 360^\circ. \] Sit igitur diameter terræ major ad minorem ut 230 ad 229, eritque \( \frac{AB}{CA} = \frac{1}{230} \), et, existente inclinazione Eclipticæ ad Æquatorem 23° 28′ 30″. præcessio æquinoctiorum annua vi solis prodit 10″,583. Sit ratio 178 ad 177 illa terræ diametrorum, qualem ex recentioribus quidam derivarunt observationibus, eritque \( \frac{AB}{CA} = \frac{1}{178} \), et præcessio æquinoctiorum annua 13″,675. Si motûs communicatio inter globum terræ interiorum et materiam exteriorem fiat secundum hypothesim Newtonianam, quemadmodum expositum est in Coroll. lem 3, et diameter terræ major fuerit ad minorem ut 230 ad 229, annua æquinoctiorum præcessio ex vi solis erit \( \frac{3C}{4} \times \frac{T}{S} \times \frac{2 \times 4590}{5 \times 489813} \times 360 = 9″,124 = 9″.7″.26″ \). Et si inclinatio Eclipticæ ad æquatorem supponatur esse 23°½, præcessio illa evadit 9″.7″.20″, uti invenit Newtonus. Q.E.I. **Coroll. I.** Ponatur cum Ill. Bradleio Præcessio annua Æquinoctiorum mediocris tota æqualis 50″,3; atque ex eâ auferantur 10″,583 et remanebunt 39″,717 pro præcessione annuâ mediocri à vi lunæ oriundâ, eritque vis lunæ ad vim solis ut 3,753 ad 1, in hypothesi, quod ratio diametrorum terræ sit \( \frac{230}{229} \); si verò hæc ratio statuatur æqualis \( \frac{178}{177} \); terrâ manente uniformiter densâ, ex 50″,3 auferantur 13″675, eritque præcessio præcessio annua vi lunæ genita $36''_{625}$, et vis lunæ ad vim solis ut $2_{678}$ ad $1$. **Coroll. II.** Sumatur jam in Eclipticâ arcus $Rq$ (Fig. 3.) quem sol dato tempore quam minimo, v. g. horæ spatio, describit, et ductâ $qb$ parallelâ rectâ $RH$, quia est ex dictis in propositione præcessio Æquinoctiorum horaria, existente sole in loco quovis $R$, ad præcessionem mediocrem horariam ut $\frac{RH}{2}$ ad $\frac{TR}{2}$ sive, cum sit $RH. TR :: Hb. Rq$, ut $RH \times Hb$ ad $\frac{TR \times Rq}{2}$, erit præcessio vera ad præcessionem mediam, quo tempore sol describit arcum $LR$, ut spatium $LRH$ ad sectorem $LTR$, et differentia earum ad præcessionem mediam ut triangulum $TRH$ ad sectorem $LTR$: ideòque, existente $LR = 45°$, id est, in Æquinoctibus Æquinoctiorum cum sole hæc differentia sive æquatio, quæ tunc maxima evadit (scriben- do $D$ pro circumferentia circuli cujus radius est $1$) est æqualis $\frac{10''_{583}}{2D}$ vel $\frac{13''_{675}}{2D}$, unde emergit Theorema sequens: *Est motus solis ad motum Æquinoctiorum vi solis genitum, ut radius ad sinum duplæ æquationis æquinoctiorum maxima*. Hoc paëto in priori casu prodit æquatio maxima $51''$, in posteriori $1''. 5''$. In aliis locis hæc æquatio est ad æquationem maximam ut sinus duplæ distantiæ solis ab Æquinoctio vel Solstitio proximo ad radium, ut patet: et additur motui medio ubi sol transit à Solstitiis ad Æquinoctia, et subducitur ubi sol pergit ab Æquinoctiis ad Solstitia. **Coroll.** Coroll. III. Ex propositione generatim sequitur regressum horariorum mediocrem lineae intersectionis planorum Æquatoris Terrestris et Orbitæ planetæ cujuscumque circa terram revolventis esse ut vis illius planetæ in globum terraqueum, cæteris manentibus, et cosinus inclinationis ejus orbitæ ad terræ æquatorem, conjunctim. Propositio II. Problema. Invenire inæqualitatem Præcessionis Æquinoctiorum, quæ pendet à vario situ Nodorum Lunæ. Sunto SLD (Fig. 5.) Æquator, E AFL Ecliptica secans Æquatorem in L, E Æquinoctium vernum, L autumnale, GFD orbis lunæ secans æquatorem in D et eclipticam in F, AGS circulus maximus perpendicularis in Æquatorem, et sunto SD, GD quadrantes circuli. Dum Nodus F describit arcum horariorum eclipticæ Ff, vi lunæ transferatur intersectio D per arcum Dd, et describatur circulus Sd exhibens situm æquatoris post horam elapsam, secetque Eclipticam in n, et ducantur in æquatorem perpendicula Dg, Lr. Esto b sinus ad radium i et c cosinus inclinationis, eo tempore, orbis lunaris ad terræ æquatorem; existente, ut prius, B sinu et C cosinu inclinationis Eclipticæ five inclinationis mediocris orbitæ lunaris ad Æquatorem: Eritque (per Coroll. 3. prop. præced.) regressus horarius mediocris intersectionis planorum Æquatoris et Eclipticæ vi lunæ genitus ad Dd, regressum scilicet mediocrem horarium intersectionis planorum Æquatoris et orbitæ bitæ lunaris, ut C ad c; est autem Ff ad regressum praedictum intersectionis planorum Æquatoris et Eclipticæ ut motus medius nodorum lunarium ad motum medium Æquinoctiorum vi lunæ genitum, quam rationem pono esse K ad 1; est ergo Ff. Dd :: CxK. c; sed est Dd. Dg :: 1. b, et Dg. Lr :: 1 ad sinum arcûs LS quem voco k, estque Lr. Ln :: B. 1; under per compositionem rationum fit Ff. Ln :: BxCxK. bxcxk. Per nodum F describatur arcus circuli maximi FC perpendicularis in SL, et ex principiis Trigonometriæ Sphæricæ est Cof. FL ad radium 1 ut Cotang. FLC ad Tang. LFC; deinde est Sin. LFC ad Sin. DFC ut Cof. FLC ad Cof. FDC: cum autem angulus DFC sit summa angulorum DFL et LFC, est Sin. DFC = Sin. DFL x Cof. LFC + Cof. DFL x Sin. LFC. Quo pacto, scriptis p pro sinu et q pro cosinu anguli DFL, inclinationis nimirum mediocris orbitæ lunaris ad Eclipticam, et v pro sinu et u pro cosinu arcûs EF, distantiæ scilicet nodi ab Æquinoctio verno, habebitur Cof. FDL = c = Cq + Bpu. Item in triangulo FDL est b : p :: v : Sin. DL, adeòque est cosinus arcûs DL five sinus arcûs LS, hoc est, k = \frac{1}{b} \sqrt{b^2 - p^2v^2} = \frac{1}{b} \times Bq - Cpu. Hinc ergo obtinetur b x c x k = Cq + Bpu x Bq - Cpu = BCq² - C² - B² x pqu - BCp²u², sed scribi potest 1 pro q et rejici terminus BCp²u² ob exiguitatem p sinûs scilicet anguli 5°. 8' \frac{1}{2}. Quaré est Ln ad Ff ut BC - C² - B² x pu ad BxCxK, et summa motuum Ln ad summam motuum Ff, quo tempore nodus F describit arcum EF, ut summa quantitatum titatum \( BC - C^2 - B^2 \times p u \) ad summam totidem \( B \times C \times K \), hoc est, ut \( B \times C \times EF + C^2 - B^2 \times p v \) ad \( B \times C \times K \times EF \), atque adeò quo tempore nodus transit ab Æquinoctio ad Solstitium præcessio æquinoctiorum fit \( \frac{90^\circ}{K} + \frac{C^2 - B^2 \times p \times 90^\circ}{B \times C \times K \times EA} \), et quo tempore transit nodus ab uno Æquinoctio ad alterum, præcessio fit \( \frac{180^\circ}{K} \). Ex priori motu auferatur posterioris diminuendum et remanebit \( \frac{C^2 - B^2 \times p \times 90^\circ}{B \times C \times K \times EA} \) pro differentiâ inter præcessionem veram et mediam, id est, pro æquatione maximâ præcessionis ubi nodi lunares scilicet versantur in punctis solstitialibus: in aliis locis patet hanc æquationem esse ad æquationem maximam ut sinus distantiae nodi ab Æquinoctio ad radium, et additur præcessioni mediae in regressu nodi ascendentis ab Æquinoctio Verno ad Autumnale, et subducitur in ejusdem regressu ab autumnali ad Æquinoctium Vernum. Notandum autem esse \( C^2 - B^2 = 2C^2 - 1 = \text{Cof. } 2 \times 23^\circ. 28' \frac{1}{2} \), et \( B \times C = \frac{1}{2} \text{ Sin. } 2 \times 23^\circ. 28' \frac{1}{2} \), ideòque \( \frac{C^2 - B^2}{B \times C} = 2 \times \text{Cof. } 2 \times 23^\circ. 28' \frac{1}{2} = \frac{2}{\text{Tang. } 2 \times 23^\circ. 28' \frac{1}{2}} \). Quamobrem evadit \( \frac{C^2 - B^2 \times p \times 90^\circ}{B \times C \times K \times EA} = \frac{90^\circ \times 2 \times \text{Sin. } 5^\circ. 8' \frac{1}{2}}{K \times EA \times \text{Tang. } 2 \times 23^\circ. 28' \frac{1}{2}} \), atque hinc emergit Theoremum sequens: Est tangens duplicata inclinationis Æquatoris ad Eclipticam ad sinum duplicata inclinationis orbis lunaris ad Eclipticam ut radius ad sinum quemdam: tumque, est motus medius nodorum ad motum medium æquinoctiorum vi lunæ genitum ut sinus mox inventus ad sinum æquationis Æquinoctiorum maxima. Loco sinûs dupli inclinationis orbis orbis lunaris ad Elipticam in Theoremate usurpo propter analogiam sinum duplicatæ ejusdem inclinationis, cum error inde exsurgens sit contemnendus, ut quisque experiri facile poteat. Est autem motus nodorum lunæ annuus $19^\circ 20' \frac{1}{2}$, et motus Æquinoctiorum annuus vi lunæ genitus $39''717$ ex Coroll. 1. prop. 1, existente ratione diametrorum terræ æquali $\frac{230}{229}$, proindeque est $K=1753$. Idem Æquinoctiorum motus, existente $\frac{178}{177}$ ratione diametrorum terræ, est $36''625$, atque adeò $K=1901$. Unde in priori casu prodit æquatio Æquinoctiorum maxima $19'.38''$; in posteriori $18''.16''$. Q. E. I. Coroll. Ex hac propositione Præcessio Æquinoctiorum vi lunæ genita pro tempore dato proportionalis est quantitati $b\times c\times k$ sive $BC-C^2-B^2\times pu$: maxima ergo est ubi nodus lunæ ascendens versatur in principio Arietis, tunc enim est $u=-1$; minima autem, ubi idem nodus transit in signum libræ, ob $u=1$ eo in casu. Unde, quoniam præcessio annua vi lunæ genita est æqualis $\frac{39''717}{B\times C}\times B\times C-C^2-B^2\times pu$, vel $\frac{36''625}{B\times C}\times B\times C-C^2-B^2\times pu$, nullâ habita ratione mutationis sitûs nodorum per id temporis factæ, differentia inter præcessionem annuam mediocrem et maximam erit $\frac{39''717\times C^2-B^2\times p}{B\times C} = \frac{39''717\times 2\times \sin 5^\circ 8'\frac{1}{2}}{\tan 2\times 23^\circ 28'\frac{1}{2}}$, vel $\frac{36''625\times 2\sin 5^\circ 8'\frac{1}{2}}{\tan 2\times 23^\circ 28'\frac{1}{2}}$. Igitur, Est tangens duplicata inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem ad sinum duplicatæ inclinationis Orbis Vol. 49. lunaris ad Eclipticam ut præcessio annua Æquinoctiorum mediocris vi lunæ genita ad differentiam inter præcessionem mediocrem et maximam seu minimam. Unde in priori casu est hæc differentia æqualis $6''.37''$, in posteriori $6''.6''$, proindeque si tota præcessio annua statuatur $50''.20''$, eo anno, in cujus medio circiter nodus lunæ ascendens occupat primum gradum Arietis, præcessio æquinoctiorum erit $56''.57''$, vel $56''.26''$: ubi autem nodus subit signum Libræ, præcessio illius anni erit $43''.43''$, vel $44''.14''$. Et quia differentia prædicta in aliis temporibus est ut sinus distantiae nodi a punctis Solstitialibus, facilé habebitur pro anno quolibet, dato nodorum situ. **Propositio III. Problema.** Invenire Variationem Inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem quam generat vis Solis. Manentibus iis quæ in propositione primâ dicta sunt, producatur arcus $LS$ (Fig. 3.) ad $V$ ut $LV$ fit quadrans circuli, et dimitatur $Vs$ perpendicularis in arcum $pN$ productum, eritque $Vs$ mensura Variationis horariae inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem. Est autem $Vs.Lr::TI.PI$, et $Lr.Lm::B.1$, atque per propositionem primam præcessio æquinoctiorum horaria $Ln$ est ad præcessionem horariam ubi sol versatur in Solstitiis quam voco $U$, ut $\overline{RH}^2$ ad $\overline{TR}^2$; quare conjunctis rationibus est $Vs.U::\frac{B\times TI\times RH^2}{PI}\cdot\overline{TR}^2$, sive, ob $TR=1$, $PI=\frac{C\times RH}{PM}$, $TI=\frac{TH}{PM}$, est $Vs.U::\frac{C}{B}\times RH\times TH.1$; et summa variationem omnium horariarum $Vs$ quo tempore sol sol describit arcum \( LR \) est ad summam totidem angulorum \( U \) ut summa omnium factorum \( RH \times TH \) ducta in \( \frac{B}{C} \) ad summam totidem quadratorum 1, id est, ut \( \frac{RH^2}{2} \times \frac{B}{C} \) ad arcum \( LR \), et Variatio tota quâ minuitur inclinatio Æquatoris ad Eclipticam in progressu solis ab Æquinoctio ad Solstitium est ad summam angulorum \( U \) (quae tunc evadit æqualis semissi præcessionis annuae vi solis genitae, hoc est, æqualis \( \frac{10''}{2}, 583 \) vel \( \frac{13''}{2}, 675 \)) ut \( \frac{B}{2C} \) ad arcum \( LV \), ac proinde Variatio tota fit \( \frac{B \times 10''}{4LV} = \frac{10''}{4LV} \times \text{Tang. } 23^\circ .28' \frac{1}{2} \), vel \( \frac{13''}{4LV} \times \text{Tang. } 23^\circ .28' \frac{1}{2} \), unde nascitur hoc Theorem: Motus solis est ad motum æquinotiorum vi solis genitum ut tangens Inclinationis mediocris Eclipticae ad Æquatorem ad tangentem Variationis totius ejusdem Inclinationis. Atque hinc Variatio tota elicetur in priori casu æqualis 44'', in posteriori 57'', sole scilicet in Solstitiis existente: in aliis locis variatio est, ut patet, in duplicata ratione finûs distantiae solis ab Æquinoctio ad radium, ac propterea differentia inter semissim variationis totius et variationem genitam quo tempore sol describit arcum quemlibet \( LR \) est ad semissim variationis totius, seu ad 22'' vel 28''\( \frac{1}{2} \), ut \( 2 \frac{RH^2}{2} - 1 \) ad 1, hoc est, ut cosinus duplæ distantiae solis ab Æquinoctio ad radium; adeoque, dato solis loco, datur hæc differentia five æquatio, quae addenda est Inclinationi mediae Eclipticae, ubi distantia solis ab Æquinoctio alterutro minor est 45 gradibus; et ubi major est hæc distantia, subducitur ducitur. Maxima igitur est Inclinatio Eclipticae ad Aequatorem, sole versante in Aequinoctiis; minima, sole occupante Solstitia. Q. E. I. Propositio IV. Problema. Variationem Inclinationis Eclipticæ, quæ pendet à vario situ Nodorum lunæ, determinare. Iisdem positis quæ in propositione secundâ tradita sunt, jam fit luna in K (Fig. 5.) et describatur arcus circuli maximi KZ perpendicularis in Aequatorem DZS, et per punctum Z arcus Zd exhibens situm æquatoris post horæ spatium: fecet autem Zd orbem lunæ in d, et lineas Dg, Lr, in e et q; atque ex puncto V æquatoris, existente LV quadrante circuli, demittatur in arcum dZ productum perpendicularis Vt. Designet P motum mediocrem horariorum æquinoctiorum vi lunæ genitum, atque per propositionem secundam est P. Dd : C.c; et existente DS quadrante circuli, ex demonstratis in propositione primâ sequitur esse 2Dd : Dd :: 1 : Sin. DK²; habetur autem Dd : De :: r : b; tum De : Lq : Sin. DZ : Sin. LZ, et Lq. Vt : Sin. LZ : Cof. LZ; unde per compositionem harum omnium rationum fit 2P : Vt :: C × Sin. DZ : b × c × Sin. DK² × Cof. LZ. Est autem Cof. LZ = Sin. DL × Sin. DZ + Cof. DL × Cof. DZ, hincque 2P. Vt :: C : b × c × Sin. DK² × Sin. DL + Cof. DL × Cof. DZ × Sin. DZ : fed in triangulo sphærico DKZ habetur c : 1 :: Cotang. DK five Cof. DK Sin. DK : Cotang. DZ five Cof. DZ Sin. DZ; unde tandem prodit 2P ad Vt ut C ad b × c × Sin. DL × Sin. DK² + bc Cof. DL × Sin. DK × Cof. DK. Summa igitur omnium Vt, hoc est, summa variationum tionum omnium horariarum. Inclinationis Eclipticæ tempore revolutionis lunæ genita, manente situ nodorum, est ad summam totidem motuum $P$ ut summa omnium quantitatum $2b \times c \times \text{Sin.}$. $D L \times \text{Sin.} DK^2 + 2b \times \text{Cof.} DL \times \text{Sin.} DK \times \text{Cof.} DK$ in circulo ad summam totidem cosinuum $C$, id est, ut $b \times c \times \text{Sin.} DL$ ad $C$. Posito itaque, ut prius, motu medio nodorum ad motum medium æquinoctiorum vi lunæ genitum ut $K$ ad $1$, erit variatio mediocris horaria inclinationis Eclipticæ in mensæ dato ad motum horariæ mediocrem nodorum $Ff$, ut $b \times c \times \text{Sin.} DL$ ad $C \times K$, id est, ob $\text{Sin.} DL = \frac{pv}{b}$ et $c = Cq + Bpu$, ut $Cpqv + Bp^2vu$ ad $C \times K$ sive ut $pv$ ad $K$ quam proximé, adeòque summam omnium variationum inclinationis Eclipticæ quo tempore nodus lunæ describit arcum $EF$ est ad motum nodi $EF$ ut summam omnium $pv$ ad summam totidem $K$, hoc est, ut $pv \times 1 + u$ ad $K \times EF$, et variatio tota quâ mutatur inclinatio Eclipticæ in regressu nodi ab uno Æquinoctio ad alterum, est ad motum nodorum $180^\circ$ ut $2p$ ad $K \times EL$, quæ proinde æquatur $\frac{2p \times 180^\circ}{K \times EL}$, atque adeò per Theorema sequens facile prodibit: Motus Nodorum est ad motum Æquinoctiorum vi lunæ genitum ut sinus inclinationis Orbitæ lunaris Æclipticam ad sinus semissis Variationis totius Inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem. Si ratio diametrorum terræ fit $\frac{230}{229}$, est motus nodorum lunæ ad motum æquinoctiorum ex prop. ut $1753$ ad $1$, et ut $1901$ ad $1$ si ratio terræ diametrorum fit $\frac{178}{177}$. In priori casu per Theorema prodit Variatio. Variatio tota Inclinationis Eclipticæ $21''$. $5''$; in casu posteriori $19''$. $27''$: generatur autem tempore quo transeunt Nodi Lunares ab uno Æquinoctio ad alterum. In locis inter Æquinoctia variatio erit ad variationem totam, ex mox demonstratis, ut $1 + u$ ad $2$, hoc est, ut sinus versus distantiæ nodi ab Æquinoctio Verno ad diametrum; vel, differentia inter semissim variationis totius et variationem pro tempore dato est ad semissim variationis totius, nempe ad $10''$. $32''\frac{1}{2}$ vel $9''$. $43''\frac{1}{2}$, ut cosinus distantiæ nodi ab Æquinoctio Verno ad radius: additur autem hæc differentia sive æquatio Inclinationi mediæ Eclipticæ in regresiu nodi à Solstitio Æstivali ad Solstitium Hybernale, ac in alterâ medietate revolutionis nodi subducitur, ut habeatur Inclinatio Eclipticæ vera. Et maxima est Eclipticæ Obliquitas ubi nodus lunæ ascendens Æquinoctium vernum sive ingressum Arietis tenuerit; minima vero, cum idem nodus ad Autumnale Æquinoctium sive ad signum Librae retrorsum pervenerit. Q. E. I. Propositio V. Problema. Inæqualitates Præcessionis Æquinoctiorum et Variationis Obliquitatis Eclipticæ, quæ pendere possunt ex situ Apogæi Lunæ, investigare. Describat luna in plano Eclipticæ ellipsim $APBL$ (Fig. 6.) cujus centrum sit $C$, $T$ focus quem Terra occupat, $AB$ axis major, $CD$ semiaxis minor, $TL$ communis sectio planorum Æquatoris et Eclipticæ. Esto Luna in $P$, et ducantur $TP$, $Tp$ quæ abscedant sectorem $TPp$ motu lunæ horario descriptum. Centro $T$ et radio semiaxi majori $CA$ æquali describatur circulus $HNO$ secans $TP$ et $Tp$ in $N$ et $n$, atque in $TL$ demittantur perpendicula $NI$, $nm$, et in \( TA \) perpendiculum \( NR \). Si luna in circulo \( HNO \) revolvi supponeretur, ubi ad locum \( N \) pertingerit, præcessio horaria æquinoctiorum vi lunæ genita foret, per demonstrata in propositione primâ, ut \( NI^2 \); at præcessio illa crescit in ratione vis quâ dignitur, et hæc vis est in ratione triplicatâ inversâ distantiæ lunæ \( TP \), adeoque præcessio horaria est ut \( \frac{NI^2}{TP^3} \) sive ut eadem quantitas \( \frac{NI^2}{TP^3} \) ducta in sectorem constantem \( TPp \), hoc est, ut \( \frac{NI \times Nn}{TP} \) sive ut \( \frac{NI \times Im}{TP} \); sed ex naturâ ellipseos habetur \( \frac{1}{TP} = \frac{CA^2 + TC \times TR}{CA \times CD^2} \): unde tota præcessio genitâ quo tempore luna in orbe suo revolvitur est ut summa quantitatum \( NI \times Im \times \frac{CA^2 + TC \times TR}{CA \times CD^2} \) in circulo, sive (quia rejici poteat terminus ambiguus \( + \frac{TC \times TR}{CA \times CD^2} \), utpote per alteram dimidiam circumferentia circuli partem positivus, per alteram dimidiam negativus) ut summa omnium in circulo factorum \( NI \times Im \), hoc est, ut area ipsa circuli \( HNOH \); ac proinde Præcessio æquinoctiorum in singulis lunæ revolutionibus manet eadem in quolibet Apogæi situ. Variatio horaria inclinationis Eclipticæ, si luna existeret in \( N \) revolvendo in circulo \( HNO \), foret ex demonstratis in prop. 3. ut \( NI \times TI \): si verò transferatur luna in \( P \), eadem variatio erit ut \( \frac{NI \times TI}{TP^3} \) vel ut $\frac{NI \times TI}{TP^3} \times TP_p$, hoc est, ut $\frac{NI \times TI \times Nn}{TP}$ sive, ducatâ $nq$ parallelâ $TI$, ut $\frac{NI \times nq}{TP}$; proindeque, ob rationem mox datam, variatio Inclinationis Eclipticæ tempore revolutionis lunæ genita est ut summa om- nium in circulo factorum $NI \times nq$, id est, nulla. Hinc licité colligi videtur nullam ex situ Apogæi Lunæ sive in motu Æquinoctiorum sive in Obliqui- tate Eclipticæ induci variationem. Q. E. I. SCHOLIUM I. Ex praecedentibus liquet Terræ Polis geminos mo- tus competere ab utrisque seorsim Solis et Lunæ, quatenus extra Æquatore revolventium, viribus oriundos; alterum plano Eclipticæ parallelum, quo puncta Æquinoctialia in antecedentia continuò retra- huntur, ac propterea stellæ promoveri videntur in consequentia. Motus alter est ad planum Eclipticæ perpendicularis, quo Terræ Poli nutant et oscillantur accedendo ad polos Eclipticæ et ab eis recedendo per vices, atque inde mutatur Declinatio stellarum. Horum motuum quantitatem directé deduximus ab excessu altitudinis terræ ad Æquatore supra alti- tudinem ejus ad polos, secundum duplicem hypo- thesim, quâ nempe excessus ille æstimatur pars $\frac{1}{230}$ vel $\frac{1}{178}$ altitudinis totius, quæ hactenus est à Ma- thematicis potissimum usurpata. Si verò nota præ- supponatur Nutatio terræ axis, quæ quatenus actioni lunæ debita statuatur æqualis 18″, et inde quærantur motus reliqui, per propositiones supra traditas ii pro- deunt, præcessio scilicet æquinoctiorum annua medio- cris cris vi solis genita $16''$. $24''$, vi lunæ $33''$. $54''$, æquatio præcessionis maxima vi solis $1''$. $23''$, vi lunæ $16''$. $45''$: Nutatio axis vi solis $1''$. $10''$, manente nimirum terrâ uniformiter densâ. Ut autem innotesceret quænam ex tribus recensitis hypothesibus cum Phænomenis Cœlestibus maximé conveniret, tabulas pro singulis confeceram et inde supputaveram variationes declinationis stellarum illarum sex, quas exhibet Bradleius in Epistolâ suâ de Nutatione axis terræ in Trans. Phil. unde compertum et errores variationum computatarum intra arctiores limites contineri in hypothesi illâ, quâ Nutatio statuitur $19''$. $27''$ existente $\frac{178}{177}$ ratione terræ diametrorum. Quapropter tabulas hujus hypothesei proprias visum est hîc tradere, per Coroll. 2. prop. 1. et prop. 2. 3. et 4. ad partem primam decimalem minutì secundi constructas. | Æquatio Æquinoctiorum Solaris. | Æquatio Æquinoctiorum Lunaris. | |-------------------------------|--------------------------------| | O | Sig. O | I | II | Subt. | O | Sig. O | I | II | Subt. | | ab γ | Sig.VI | VII | VII | Subt. | ab γ | Sig.VI | VII | VIII | adde | | 0 | 0.0 | 0.9 | 0.9 | 30 | 0 | 0.0 | 9.1 | 15.7 | 30 | | 5 | 0.2 | 1.0 | 0.8 | 25 | 5 | 1.6 | 10.4| 16.4 | 25 | | 10 | 0.4 | 1.1 | 0.7 | 20 | 10 | 3.1 | 11.6| 17.0 | 20 | | 15 | 0.5 | 1.1 | 0.5 | 15 | 15 | 4.7 | 12.8| 17.5 | 15 | | 20 | 0.7 | 1.1 | 0.4 | 10 | 20 | 6.2 | 13.9| 17.8 | 10 | | 25 | 0.8 | 1.0 | 0.2 | 5 | 25 | 7.7 | 14.8| 18.0 | 5 | | 30 | 0.9 | 0.9 | 0.0 | 0 | 30 | 9.1 | 15.7| 18.1 | 0 | | adde | Sig.V | IV | III | O | Subt.| Sig.V | IV | III | D 62 | | adde | Sig.XI | X | IX | ab γ | adde | Sig.XI | X | IX | ab γ | Vol. 49. 4Z Æquatio Jam ut pateat qualis sit Theoriæ cum Phænomenis consensius, subjiciemus computationes variacionum stellarum sex praedictarum ex tabulis præcedentibus derivatas. Quam obtinent formam hujusmodi tabulae apud Bradleium, eadem hic retinent, et quidem columnæ, prima secunda et quarta eadem sunt; Prima nempe indicat tempora Observationum, Secunda distantias stellarum à puncto in Sectore determinato mensuratas, Quarta Aberrationem lucis; Tertia autem hîc exhibet variationem declinationis ejusque stellæ ortam ex præcessione æquinoctiorum secundum priores duas tabulas suprà traditas æquata; Quinta exhibet variationem declinationis ortam ex Nutatione terræ axis sive ex Æquatione Obliquitatis Eclipticæ e duabus tabulis posterioribus excerptâ et adhibita secundum stellæ ascensionem rectam; Sexta tandem exhibet distantiam stellæ mediam ad diem 27um Martii an. 1727 à puncto sectoris in columnâ secundâ notato: hæc autem distantia colligitur ex numeris in columnis 2a, 3a, 4a et 5a fcriptis et secundum cundum sua signa ritè conjunctis: unde, si tum Observationes, tum æquationes motuum, essent omnes ad amussim accuratæ, omnes cujusque stellæ distantiae in hac columnâ expressæ forent ubique æquales. | γ Draconis | Dist. Aust. | Var. Decl. ex Prece. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Distantia media | |------------|-------------|---------------------|-----------------|---------------------|----------------| | | 3° 38' 25" | | | | | | 1727 Septemb. | 3 | 70.5 | -0.4 | +19.2 | -10.1 | 79.2 | | 1728 Martii | -18 | 108.7 | 0.9 | -19.0 | 8.5 | 79.3 | | | Septemb. | 6 | 70.2 | +19.3 | 9.1 | 79.0 | | 1729 Martii | -6 | 108.3 | 1.8 | -19.3 | 9.2 | 79.0 | | | Septemb. | 8 | 69.4 | +19.3 | 7.1 | 79.3 | | 1730 Septemb. | 8 | 68.0 | 3.2 | 19.3 | 4.3 | 79.8 | | 1731 Septemb. | 8 | 66.0 | 4.1 | 19.3 | -1.1 | 80.1 | | 1732 Septemb. | 6 | 64.3 | 4.9 | 19.3 | +2.0 | 80.7 | | 1733 Augusti | 29 | 60.8 | 5.7 | 19.0 | 5.1 | 79.2 | | 1734 Augusti | 11 | 62.3 | 6.4 | 16.9 | 7.5 | 80.3 | | 1735 Septemb. | 10 | 60.0 | 7.2 | 19.3 | 8.8 | 80.9 | | 1736 Septemb. | 9 | 59.3 | 7.9 | 19.3 | 9.2 | 79.9 | | 1737 Septemb. | 6 | 60.8 | 8.7 | 19.3 | 8.5 | 79.9 | | 1738 Septemb. | 13 | 62.0 | 9.4 | 19.3 | 6.7 | 78.6 | | 1739 Septemb. | 2 | 66.5 | 10.2 | 19.2 | 4.4 | 80.0 | | 1740 Septemb. | 5 | 70.8 | 11.0 | 19.6 | +1.2 | 80.3 | | 1741 Septemb. | 2 | 75.4 | 11.8 | 19.2 | -2.0 | 80.8 | | 1742 Septemb. | 5 | 76.7 | 12.6 | 19.3 | 5.2 | 78.2 | | 1743 Septemb. | 2 | 81.6 | 13.5 | 19.1 | 7.6 | 79.6 | | 1745 Septemb. | 3 | 86.3 | 15.3 | 19.2 | 10.1 | 80.1 | | 1746 Septemb. | 17 | 85.5 | 16.4 | 19.2 | 9.8 | 79.5 | | 1747 Septemb. | 2 | 86.1 | 17.2 | 19.2 | 8.4 | 79.7 | | 35° Camelopardalis Hevelii | Diff. Auct. a' 38° 25' | Var. Decl. ex Praef. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Diffantia media | |---------------------------|----------------------|---------------------|----------------|---------------------|----------------| | 1727 Octob. - 20 | 73.6 | +0.9 | -6.7 | +9.7 | 77.5 | | 1728 Januar. - 12 | 60.8 | 1.3 | +6.1 | 9.2 | 77.4 | | Martii - 1 | 57.8 | 1.6 | +9.4 | 9.6 | 78.4 | | Septemb. 26 | 75.2 | 2.5 | -8.8 | 8.9 | 77.8 | | 1729 Februar. 26 | 56.4 | 3.2 | +9.4 | 8.2 | 77.2 | | 1730 Martii - 3 | 57.8 | 4.8 | 9.4 | 5.8 | 77.8 | | 1731 Februar. - 5 | 59.1 | 6.1 | 8.5 | +2.8 | 76.5 | | 1733 Januar. - 31 | 64.1 | 9.2 | 8.2 | -3.6 | 77.9 | | 1733 Decemb. 30 | 61.8 | 16.8 | 4.3 | 6.9 | 76.0 | | 1739 Februar. 4 | 56.9 | 16.9 | 8.5 | 6.0 | 76.3 | | 1740 Januar. - 20 | 56.0 | 18.1 | 7.0 | -3.6 | 77.5 | | 1747 Februar. 27 | 32.3 | 28.7 | 9.4 | +9.2 | 79.6 | | α Cassiopeiae | Diff. Auct. a' 34° 55' | Var. Decl. ex Praef. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Diffantia media | |---------------|-----------------------|---------------------|----------------|---------------------|----------------| | 1727 Septemb. 9 | 55.0 | +10.2 | +2.2 | +1.1 | 68.5 | | 1728 Septemb. 17 | 39.8 | 32.8 | +4.6 | 1.0 | 69.2 | | 1729 Junii - 8 | A 35.7 | 48.7 | -16.3 | 0.7 | 68.8 | | Decemb. 3 | B 9.4 | 59.1 | +16.5 | 0.6 | 66.8 | | 1730 Junii - 11 | A 13.8 | 70.3 | -15.2 | 0.4 | 68.3 | | Decemb. 9 | B 30.8 | 80.7 | +16.3 | +0.3 | 66.5 | | 1732 Januar. - 8 | 49.2 | 102.9 | 12.9 | -0.1 | 66.5 | | 1733 Januar. 21 | 64.8 | 123.1 | +10.0 | 0.4 | 67.9 | | 1734 Junii - 13 | 62.8 | 148.5 | -16.1 | 0.9 | 68.7 | | Decemb. 11 | 105.4 | 157.4 | +16.2 | 1.0 | 67.2 | | 1738 Decemb. 23 | 176.3 | 229.3 | +15.2 | 0.8 | 67.1 | | 1740 Junii - 2 | 169.1 | 255.1 | -16.5 | -0.3 | 69.9 | | 1747 Februar. 27 | 332.3 | 400.3 | +00.2 | +1.0 | 69.1 | | τ Persei | Diff. Auct. a' 38° 20' | Var. Decl. ex Praef. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Diffantia media | |----------|-----------------------|---------------------|----------------|---------------------|----------------| | 1727 Septemb. 16 | // | // | // | // | 71.4 | | Decemb. 29 | 60.1 | +8.2 | -3.2 | +6.3 | 71.4 | | 1728 Decemb. 21 | 39.7 | 13.5 | +12.9 | 5.6 | 71.7 | | 1729 Decemb. 2 | A 9.2 | 46.3 | 11.5 | 3.5 | 70.5 | | 1731 Januar. - 3 | B 8.2 | 64.6 | 12.8 | +1.6 | 70.8 | | 1732 Januar. - 8 | 22.0 | 80.7 | 12.7 | -0.4 | 71.0 | | 1733 Januar. 21 | 34.6 | 96.5 | 11.7 | 2.4 | 71.2 | | 1738 Decemb. 23 | 117.0 | 179.4 | 12.8 | 4.4 | 70.8 | | 1740 Januar. - 22 | 132.5 | 195.3 | 11.7 | 2.3 | 72.2 | α Persei | α Persei | Diff. Auff. a 41°. 5' | Var. Decl. ex Praecel. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Distansia media | |----------|----------------------|-----------------------|-----------------|---------------------|----------------| | 1727 Decemb. 29 | 79.4 | +12.0 | +11.4 | +6.5 | 109.3 | | 1728 Aprilis - 7 | 87.5 | 15.7 | -00.8 | 6.8 | 109.2 | | Julii - 5 | 94.6 | 20.0 | -11.4 | 6.1 | 109.3 | | Decemb. 13 | 65.7 | 26.5 | +10.6 | 5.6 | 108.4 | | 1729 Decemb. 3 | 53.4 | 41.1 | 9.7 | 4.1 | 108.3 | | 1731 Januar. - 3 | 38.6 | 57.2 | 11.4 | +1.8 | 109.0 | | 1732 Januar. - 8 | 26.8 | 71.4 | +11.4 | -0.5 | 109.1 | | 1734 Julii - 11 | A 21.3 | 104.4 | -11.4 | 5.7 | 108.6 | | 1738 Decemb. 24 | B 56.3 | 159.8 | +11.2 | 5.1 | 108.9 | | 1740 Januar. - 21 | 71.8 | 173.1 | 10.9 | -2.6 | 109.6 | | 1747 Februar. 27 | 182.5 | 277.6 | 6.6 | +6.7 | 108.4 | | η Ursae Majoris | Diff. Auff. a 39°. 15' | Var. Decl. ex Praecel. | Aberratio Lucis | Var. Decl. ex Nutat. | Distansia media | |-----------------|------------------------|-----------------------|-----------------|---------------------|----------------| | 1727 Octob. 13 | // | // | // | // | 139.2 | | 1728 Januar. - 24 | 153.3 | -11.1 | +1.0 | -4.0 | 137.6 | | Julii - 17 | 176.4 | 17.4 | -17.6 | 3.3 | 138.0 | | Octob. - 11 | 150.8 | 27.1 | +17.8 | 3.5 | 138.4 | | 1729 Januar. - 16 | 170.6 | 31.2 | +2.6 | 3.6 | 138.4 | | Julii - 21 | 196.6 | 37.2 | -17.8 | 3.2 | 138.0 | | 1730 Julii - 19 | 189.6 | 47.4 | +17.8 | 2.8 | 138.8 | | Decemb. 28 | 232.4 | 75.3 | -16.7 | 1.0 | 139.4 | | 1731 Septemb. 18 | 218.1 | 88.4 | +9.4 | -0.4 | 138.7 | | 1732 Januar. - 10 | 250.7 | 94.5 | -17.7 | +0.3 | 138.8 | | Aprilis 13 | 238.7 | 98.5 | -00.8 | 0.4 | 139.8 | | 1734 Julii - 11 | 255.7 | 137.8 | +17.6 | 3.2 | 138.7 | | 1735 Septemb. 10 | 280.8 | 156.5 | +11.4 | 3.6 | 139.2 | | 1736 Septemb. 8 | 294.7 | 172.6 | 11.6 | 3.8 | 137.5 | | 1737 Julii - 3 | 303.0 | 186.0 | 17.2 | 3.9 | 138.0 | | 1738 Junii - 29 | 319.0 | 202.0 | 16.8 | 3.3 | 137.0 | | 1739 Aprilis 25 | 348.0 | 215.2 | 2.5 | 2.4 | 137.6 | | 1740 Junii - 3 | 360.3 | 234.7 | 12.8 | +1.2 | 139.6 | | 1741 Septemb. 23 | 390.9 | 258.4 | 7.9 | -0.8 | 139.6 | | 1745 Septemb. 5 | 466.7 | 336.8 | 12.4 | 4.2 | 138.1 | | 1746 Septemb. 20 | 492.0 | 358.8 | 8.8 | 4.1 | 138.7 | | 1747 Septemb. 2 | 507.2 | 377.0 | 13.2 | 3.5 | 139.5 | In hujusmodi igitur factâ collatione ea sanè elucet consonantia, quâ majorem sperari vix possè nemo non fatebitur; quod utique manifeste arguit ab Ill. Bradleio et summâ cum solertiâ observationes fuisse institutas et mirâ perspicaciâ veram motuum observatorum detectam causam. Sed et ne sciri fortè desideraretur quanta intercedat in duabus aliis hypothesibus Observationes inter et Theoriam discrepantia, non abs re esse putavimus medias stellarum earumdem distantias, quales ex Nutatione æquali $18''$ et $21''.1$ proveniunt, in sequentem tabulam congerere columnis sextis tabularum præcedentium respondentem. Stellarum | γ Drac. | 35° Camel. | α Caphop. | Persei | α Ursae M. | |--------|------------|-----------|--------|------------| | 79.8 | // | // | // | // | | 79.8 | 76.8 | 68.3 | 71.0 | 108.6 | | 79.5 | 76.7 | 68.8 | 71.1 | 108.6 | | 77.9 | 76.7 | 68.4 | 71.1 | 108.6 | | 79.4 | 76.7 | 66.3 | 69.8 | 108.7 | | 79.7 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.0 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.5 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.9 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.7 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.2 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.6 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.1 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | γ Drac. | 35° Camel. | α Caphop. | Persei | α Ursae M. | |--------|------------|-----------|--------|------------| | 79.8 | // | // | // | // | | 79.8 | 76.8 | 68.3 | 71.0 | 108.6 | | 79.5 | 76.7 | 68.8 | 71.1 | 108.6 | | 77.9 | 76.7 | 68.4 | 71.1 | 108.6 | | 79.4 | 76.7 | 66.3 | 69.8 | 108.7 | | 79.7 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.0 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.5 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.9 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.7 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.2 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.6 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.1 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | γ Drac. | 35° Camel. | α Caphop. | Persei | α Ursae M. | |--------|------------|-----------|--------|------------| | 79.8 | // | // | // | // | | 79.8 | 76.8 | 68.3 | 71.0 | 108.6 | | 79.5 | 76.7 | 68.8 | 71.1 | 108.6 | | 77.9 | 76.7 | 68.4 | 71.1 | 108.6 | | 79.4 | 76.7 | 66.3 | 69.8 | 108.7 | | 79.7 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.0 | 76.7 | 67.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.5 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.9 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.7 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.2 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 78.0 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 79.6 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | | 80.1 | 76.3 | 65.8 | 70.6 | 107.7 | Unde et id deprehenditur, loca stellarum in hac duplici hypothefi determinata etiam a veris non ità multum abludere. Supereft ut habeatur Præcessio Æquinoctiorum annua pro quolibet nodorum lunæ situ, qua per Coroll. prop. 2. computata, existente nutatione $19''$. $27''$, exhibetur in tabula sequente. | Annua Præcessio Æquinoctiorum | |-------------------------------| | ab ρ | Sig. O | I | II | III | IV | V | | 0° | 56.4 | 55.6 | 53.4 | 50.3 | 47.2 | 45.0 | 30 | | 5 | 56.4 | 55.3 | 52.9 | 49.8 | 46.8 | 44.8 | 25 | | 10 | 56.3 | 55.0 | 52.4 | 49.2 | 46.4 | 44.6 | 20 | | 15 | 56.2 | 54.6 | 51.9 | 48.7 | 46.0 | 44.4 | 15 | | 20 | 56.0 | 54.2 | 51.4 | 48.2 | 45.6 | 44.3 | 10 | | 25 | 55.8 | 53.8 | 50.8 | 47.7 | 45.3 | 44.2 | 5 | | 30 | 55.6 | 53.4 | 50.3 | 47.2 | 45.0 | 44.2 | 0 | Sig.XI X IX VIIH VII VI SCHOLIUM II. Si nulla habeatur ratio æquationum, quas in Præcessione Æquinoctiorum et Nutatione axis terræ generat vis solis, consequitur ex prop. 2. et 4. motum Poli terrestris satis accurate fieri in ellipfi, cujus axis major, qui jacet in plano Coluri Solstitiorum, est æqualis $19''\frac{1}{2}$ et axis minor $14''\frac{1}{2}$, atque angulum describere circa centrum ellipfes æqualem motui nodi lunaris. Fortè arguet quis hypothefim, quam de densitate terræ uniformi, simulque de ejusdem diametrorum ratione $\frac{178}{177}$ liberé usurpavimus, cum utrumque unà consistere non possit. Equidem, si ad rerum cognitionem tionem summam attingere fas esset, Theoriam inde perfectam evadere non diffitemur. Sed, praeterquam quod quænam sit accurata diametrorum ratio et constitutione interna globi terraquei haçtenus non constet, atque etiam tædio nimis esset omnes, qui possunt causas diversæ densitatis excogitari, sigillatim discutere; non sequitur labefactari præcedentem theoriam, etiam si forte verum sit terram non esse uniformiter densam, neque proportionem diametrorum esse eam, quam adhibuimus. Nam, dato Æquinoctiorum motu medio à vi solis vel lunæ oriundo, patet ex propositionibus præcedentibus ritè inde determinari æquationes Præcessionis et Nutationis, quippe quæ in quacumque densitatis hypothesi semper sunt proportionales prædicto motui medio, et legem constantem servant. Unde, si vel Æquinoctiorum Præcessionem vel axis terræ Nutationem ipsam, quæ reverâ est, assumpsimus, quantumvis simus de terræ configuratione hallucinati, vera omnia et firma consistere videtur. **Scholium III.** Quanquam Poli Terrestris evagationes, quâ potuimus perspicuitate, ex suis causis deduximus ac demonstravimus; theoriam tamen ipsam constructione geometricâ breviter illustrare non pigebit, cum unica ad eas, quæ a sole pendent, altera ad illas, quæ à lunâ, exhibendas constructio sufficiat. In circulo LRG (Fig. 7.) cujus centrum T, ducantur radii duo TL, TR, ad se invicem normales, et in TR sumpto puncto V, ità ut sit TV ad RV ut motus solis medius ad motum medium æquinoctiorum vi solis genitum, centro T et semiaxibus TL, TV descriptur. cribatur ellipsis $LVG$; atque hoc pacto erit motus solis medius ad motum solis medium ab æquinoctio ut area ellipseos ad aream circuli, $TR$ ad $RV$ ut tangens obliquitatis Eclipticæ mediocris ad tangentem variationis totius ejusdem Obliquitatis. Et si exhibeat $T$ terram, $L$ punctum æquinoctiale, et in circulo ducatur radius quilibet $TS$ ellipsim secans in $P$, erit motus æquinoctiorum ad motum solis medium, quo tempore sol ab æquinoctio degreditur per arcum $LS$, ut spatium $SLP$ ad sectorem ellipticum $PTL$, et $RV$ ad $SP$ ut tangens variationis totius obliquitatis eclipticæ ad tangentem variationis tempore praedicto factæ, sive ut ipsa variatio prior ad variacionem posteriorem quam proxime. Item ductâ ad circulum rectâ $PF$ parallelâ rectæ $TR$, cum fit angulus $STL$ distantia solis vera ab æquinoctio, erit angulus $FTL$ distantia ejusdem media, atque adeò erit angulus $FTS$ æquatio motûs æquinoctiorum, et finus hujus anguli, ubi maximus est inoctantibus æquinoctiorum, est ad radium ut $RV$ ad $TR + TV$, ex naturâ ellipseos; in aliis locis ejusdem æquationis finus, vel etiam ipsa æquatio, est ut finus duplæ distantiae solis ab æquinoctio vel solstitio quam proxime. Ut hæc demonstrentur, motus solis ponatur uniformis, et recta $TS$ ferri intelligatur circa centrum $T$ cum summâ velocitatum solis et æquinoctii, atque in datâ temporis particulâ describat sectorem $STS$: hoc pacto si recta $Ts$ fecet ellipsim in $p$, et ducatur $SH$ perpendicularis in $TL$, ex naturâ hujus ellipseos datur sectior $PTp$, et areola $SPps$ est ut $SH^2$, id est, ut quadratum finûs distantiae solis ab æquinoctio, atque in eadem ratione est etiam linea $SP$ quam proxime. Conferantur hæc cum demonstratis stratis in prop. 3. et in Coroll. 2. prop. 1, et patebit constructio. Hic autem motum æquinoctiorum vi lunæ debitum negligo, quia parvi momenti est; sin ejus habeatur ratio, pro motu medio solis substitui debet summa motûs medii solis et motûs medii æquinoctii vi lunæ geniti. Jam inæqualitates eæ, quæ pendent à situ nodorum lunæ, ità ferè exhiberi possunt. Circuli EAG (Fig. 8.) radius TE dividatur in C, ità ut sit TE ad TC ut motus nodi ab æquinoctio ad motum æquinoctii vi lunæ genitum, et ut radius ad sinum inclinationis orbis lunaris ad Eclipticam conjunctim, atque centro C, foco T, et semiaxe majore CB = TE describatur ellipsis BAD. Tum si area tota circuli EAGE exponat revolutionem nodi ad idem æquinoctium, area BAE sive ADG diminuta in ratione radii ad tangentem duplicatæ inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem exprimet æquationem nodorum maximam quamproximè, et recta BE æqualis erit finui æquationis maximæ Obliquitatis Eclipticæ ad radius TE. Insuper si T denotet terram, E punctum æquinoctii verni, et ad locum nodi ducatur recta TP occurrens circulo in N et ellipsi in P, æquatio æquinoctiorum eo tempore ad erit æquationem maximam ut spatium BPNE ad spatium BAE, et æquatio Obliquitatis Eclipticæ ad æquationem maximam ut recta PN ad rectam BE. Ubi nodus ultra Solstitium digressus pervenerit in n, duòlo radio Tn secante el ipsum in p, æquatio æquinoctiorum eo in casu proportionalis est differentiæ spatiorum ABE, Anp, atque æquatio Obliquitatis Eclipticæ proportionalis linea np fit negativa. Cum enim perexigua fit excentricitas TC, ex naturâ ellipfeos spatium ABE sive ADG, producto scilicet axe majore BD donec donec fecet circulum in G, æquatur facto \( TE \times TC \) quam proximè, et ductà \( NH \) perpendiculari in \( TE \), est spatium \( BPNE \) ut \( NH \) et recta \( PN \) ut \( TH \). His igitur collatis cum iis quæ demonstrata sunt in prop. 2 et 4, palam fiet constructio. Hic monitum volo, quod initio fieri oportuit, per motum solis vel nodi medium, de quo toties est sermo in propositionibus, intelligi debere motum solis vel nodi medium ab æquinoctio, id est, motum compositum ex motuum mediocrium vel summâ solis et æquinoctii, vel differentiâ nodi et æquinoctii. Quamvis enim motus ille æquinoctii tantillus fit praemotu solis vel nodi, ut in computo æquationum præcessionis æquinoctiorum vel nutationis axis terræ nullum ejus omissio inducat errorem sensibilem, hoc eò cavetur, ut accurata procedat propositionum demonstratio. Denique Orbitæ Lunaris ad Eclipticam inclinationem constantem supponere non dubitavi, licet variabilis sit; siquidem, cum variatio illa fit paucorum minutorum, atque adeò æquationem nonnisi perexiguum hic generare valeat, hujusmodi minutiis Theoriam implicare atque onerare nolui. C. Walmesley. De Inæqualitatibus motuum Terræ. QUIBUS in motu suo Tellus nostra ob actionem Lunæ inæqualitatibus subjaceat, ab aliis jam feré expensum habetur. Quæ verò perturbations ex viribus planetarum reliquorum oriri possint, quia vix quidquam delibatum reperitur, ideò visum fuit harum investigationem juxta principia Gravitatis Newtonianæ instituere. Actiones quidem Mercurii, Veneris et Martis, ob horum corporum parvitatem et vires ignotas, prætermittimus; atque adeò ad solas Jovis et Saturni, praesertim Jovis planetarum omnium maximi, disquisitio nostra restringitur. Plana autem orbium horum planetarum, licet ob mutuas actiones non penitus immota, in sequentibus tamen tanquam immota supponere fas erit, cum tantilla mutatio in motum terræ vix influere possit. Propositio I. Problema. Invenire vires Jovis et Saturni ad perturbandum motum Terræ. Esto Sol in $S$, (Fig. 1.) Jupiter in $I$, Terra in $T$ revolvens in orbe $TOT$; jungantur $SI$, $IT$, $ST$, quarum $ST$ fecet orbitam Lunæ $HLH$ in $L$. Tum simile adhibendo ratiocinium, quo à Newtono determinatur actio solis in lunam, si $SI$ exhibeat gravitatem solis in Jovem, $ST$ exhibebit vim quâ Jupiter deprimit terram versus solem quamproximè; gravitas autem solis in Jovem est ad gravitatem Jovis in solem paribus distantiis, ex demonstratis apud Newtonum tonum, ut 1 ad 1067, et gravitas Jovis in solem est ad gravitatem terrae in solem ut \( \frac{ST^2}{SI^2} \): tum est gravitas terrae in solem ad vim solis deprimentem lunam versus terram ut \( ST \) ad \( TL \). Conjungantur haec rationes, et prodibit vis Jovis deprimens terram in solem ad vim solis deprimentem lunam in terram ut \( ST^4 \) ad \( ST^3 \times TL \times 1067 \) quamproximè, sive, quia scribendo \( S \) et \( I \) pro temporibus periodicis terrae et jovis est \( ST^3 \), ad \( SI^3 \): \( SS \cdot II \), ut \( SS \times ST \) ad \( II \times TL \times 1067 \); atque in hac ratione est vis Jovis ad perturbandum motum terrae ad vim solis qua perturbatur motus lunae. Datur autem vis posterior, ergo et prior habebitur. Quoniam est gravitas Saturni in solem ad gravitatem solis in Saturnum in æqualibus distantiis ut 3021 ad 1, loco numeri 1067 in praecedenti computo substituatur 3021 et loco revolutionis Jovis ea Saturni, atque habebitur ratio vis Saturni in terram ad vim solis in lunam. Q. E. I. Coroll. Quoniam errores lineares ex viribus diversis oriundi sunt ut vires ipsæ et quadrata temporum conjunctim, et errores angulares ut ipsi lineares applicati ad orbium radios, sequitur errores angulares terrae annuos e sole spectatos esse, ad errores angulares lunae lunae menstruos e terrae spectatos in ratione composita, in ratione directa virium Jovis in terram et solis in lunam ac duplicata temporum periodicorum terrae circa solem et lunae circa terram conjunctim, et ex ratione inversa radiorum \( ST \), \( TL \), id est, si scribatur \( L \) pro tempore periodico lunae, ex supra demonstratis, stratis, ut $S^4$ ad $\frac{II}{SS} \times \frac{LL}{SS} \times 1067$ sive ut 1 ad $\frac{II}{SS} \times \frac{L}{S} \times 1067$. Quamobrem hi errores in dato tempore, v.g., in certo annorum numero erunt ad se invicem ut 1 ad $\frac{II}{SS} \times \frac{L}{S} \times 1067$; hoc est, inæqualitates motûs terræ sunt ad inæqualitates motûs lunæ in tempore dato in ratione compositâ, ex ratione duplicatâ temporis periodici terræ ad tempus periodicum Jovis, ex ratione simplici temporis periodici terræ circa solem ad tempus periodicum lunæ circa terram, et ex ratione gravitatis in Jovem ad gravitatem in solem, conjunctim. Existentibus igitur temporibus periodicis, ovis Jdierum 4332,514; terræ 365,2565; lunæ 27,3215; erunt inæqualitates motûs terræ vi Jovis ad inæquilitates motûs lunæ in tempore dato in ratione 1 ad 11229,4. Pro revolutione Jovis ponatur revolutio Saturni, dierum scilicet 10759,275; et pro 1067 adhibeatur numerus 3021, eruntque inæqualitates motûs terræ vi Saturni genitæ ad inæqualitates motûs lunæ in dato tempore ut 1 ad 196076,5. Et inde prodit vis saturni ad vim Jovis ad perturbandum motum terræ ut 1 ad 17,46. **Propositio II. Problema.** Determinare motus Nodorum et Apsidum Orbis Terrestris. Per motum nodorum orbis terrestris intelligo motum lineæ intersectionis orbium terræ et Jovis vel Saturni factum in plano orbis Jovialis vel Saturnii. Motus nodorum lunæ in anno sidereo juxta Astronomos est 19°. 20′. 32″, et hic motus ductus in 100 et dimi- diminutus in ratione 1 ad 11229,4 per Coroll. prop. præced. fit 10'. 20''. 5'', qui auctus in ratione cosinûs inclinationis orbis Jovialis ad Eclipticam ad cosinum inclinationis orbis lunaris, id est, in ratione cosinûs anguli 1°. 19'. 10'' ad cosinum anguli 5°. 8'½, evadit 10'. 22''. 26''. Hic igitur est motus nodorum terræ regressive in plano orbis Jovialis in annis centum sideriis ex vi Jovis. Tum minuatur motus iste 10'. 22''. 26'' in ratione 1 ad 17,46, et prodibit motus nodorum, quem eodem tempore generat vis Saturni in plano sui orbis sive etiam in plano orbis, Jovialis proximè, æqualis 35'', 39''. Motus igitur nodorum terræ totus ex viribus conjunctis in annis centum in plano orbis Jovialis est 10'. 58'' circiter in antecedentia. Eadem prorsus ratione colligi potest motus Aphelii terræ: erit enim et hic motus, quatenus ex vi Jovis oritur, ad motum Apogæi lunæ in dato tempore ut 1 ad 11229,4; adeoque si apogæum lunæ conficiat annuatim 40°. 40'. 43'' in consequentia, aphelium terræ conficiet annuatim 13''. 3''. 28iv et in annis centum 21'. 44'' etiam in consequentia. Deinde imminutus hic motus in ratione 1 ad 17,46 fiet 1'. 14''½ quem generat vis Saturni; atque horum motuum summa sive totus aphelii terræ motus progressivus in annis centum evadit 22'. 58''½, et motus annuus 13''. 47''. Hoc autem congruit cum tabulis celebrioribus Astronomicis, quæ progressum Aphelii terræ annuum vulgò exhibent plus minus 1'. 3'', hoc est, ablato motu regressivo 50'' æquinoctiorum, 13''. Q.E.I. Coroll. Coroll. I. Errores lineares planetarum Jove inferiorum erunt in singulis eorum revolutionibus proximè ut vires Jovis in eos exercitae et quadrata temporum revolutionum conjunctim; et quia plana horum orbium à se invicem et à plano orbis Jovis parum divergunt, vis Jovis ad perturbandum singulorum motus est ut distantiae cujusque planetae à sole, unde eorum errores angulares erunt in singulis revolutionibus ut quadrata temporum periodicorum, ac proinde in tempore dato ut ipsa tempora periodica, sive in ratione sesquiplicata distantiarum ipsorum à sole. Quare posito motu nodorum terrae in annis centum $10'$. $22''\frac{1}{2}$ ex vi Jovis in antecedentia, et $35''\frac{1}{2}$ ex vi Saturni, uti supra definitum est; et existente periodo Martis dierum $686,9785$; Veneris $224,701$; et Mercurii $87,9692$; confit tabella sequens. | Mot. Nodor. in annis 100 | Ex vi Jovis | Ex vi Saturni | Mot. totus regressivus | |--------------------------|-------------|---------------|----------------------| | Martis | $19'.30''$ | $1'.7''$ | $20'.37''$ | | Veneris | $6.23$ | $0.22$ | $6.45$ | | Mercurii | $2.29\frac{1}{2}$ | $0.8\frac{1}{2}$ | $2.38$ | Pariter si aphelium terrae in annis centum vi Jovis conficiat $21'.44''$ in consequentia, et vi Saturni $1'.14'\frac{1}{2}$, habebuntur pro reliquis planetis | Mot. Aphel. in annis 100 | Ex vi Jovis | Ex vi Saturni | Mot. totus progressivus | |--------------------------|-------------|---------------|------------------------| | Martis | $40'.52''\frac{1}{2}$ | $2'.20''\frac{1}{2}$ | $43'.13''$ | | Veneris | $13.22$ | $0.46$ | $14.8$ | | Mercurii | $5.14$ | $0.18$ | $5.32$ | Vol. 49. 5 B Newtonus Newtonus quidem in scholio ad prop. 14. lib. 3. Phil. Nat. hos Apheliorum motus minores statuit, sed ideò quod motum Aphelii Martis, ex quo cæteros derivat, assumperit, ceu ex Observationibus, æqualem $33'.20''$ in annis centum: verum suspicor hunc Aphelii Martis motum per Observationes nondum accuraté compertum haberi. Quin et discrepantia tabularum Astronomicarum dubium injicit de velocitate Apheliorum et Nodorum Planetarum penè omnium non adhuc certò constare apud Astronomos. Sed hæc non sunt hujus instituti. Coroll. II. Defignet $IDd$ (Fig. 2.) orbitam Jovis, $DE$ eclipticam quæ post centum annos situm habeat $dE$, translato nodo à $D$ in $d$: ducto arcu $Dg$ perpendiculari in $dE$, erit $Dd$ ad $Dg$ ut radius ad finum inclinationis orbis Jovialis ad eclipticam, hoc est, ut radius ad finum anguli $1°.19'.10''$; adeoque existente $Dd = 10'.58''$, ut supra definitum est, erit $Dg = 15''.9''$. Unde spatio annorum centum Ecliptica mutat latitudinem suam (si ita loqui fas est) quantitate $15''.9''$, vel potius stella in communi sectione Eclipticæ et orbitæ Jovis locata paulatim ab Eclipticâ recedere cernetur ità ut post centum annos ab eâ distabit angulo $15''.9''$, atque ità per multa secula fere æqualiter augebitur hujus stellæ latitudo: quin et tantundem augebuntur vel minuentur latitudines stellarum omnium parem cum nodis Jovialibus longitudinem habentium. Hæ igitur fixæ à tempore Hipparchi, id est, per annos $1900$ circiter, latitudinem suam mutarunt quinque penè minutis primis. Pariter cum arcus arcus omnes inter circulos $DE$, $dE$, comprehensi ad circulum $dE$ perpendiculares sint ut finus distantiarum ipsorum à puncto $E$, sive ut cosinus distantiarum ipsorum à nodo Jovis, incrementum decrementum latitudinis stellæ cujuslibet erit ad $15''.9''$ ut cosinus differentiæ longitudinum stellæ ipsius et nodi proximi Jovis ad radium; ac proinde, datâ semel longitudine tum stellæ tum nodorum Jovis, dabitur variatio latitudinis stellæ pro tempore quolibet. Ex hoc principio computavimus variationem latitudinis siderum pro singulis quinque gradibus longitudinis, qualis exurgere debeat lapsu seculi proximè venturi ab anno 1750 incipientis ad annum 1850 absolvendi; in hypothesi quod nodus Jovis ascendens anno 1800 occupabit nonum gradum Cancri, sicuti in tabulis Astronomicis fere habetur. ### Variatio Secularis latitudinis stellarum in parte Eclipticae Boreali existentium | Longitudo Stellar. | O | VI | II | VIII | IV | X | I | VII | III | IX | V | XI | |-------------------|---|----|----|------|----|----|---|-----|-----|-----|---|----| | | adde | Subt. | adde | Subt. | adde | Subt. | adde | Subt. | adde | Subt. | adde | Subt. | | 0 | | | | | | | | | | | | | | 9 | 0. 0 | 13. 8 | 13. 8 | 7. 35 | 15. 9 | 7. 35 | | 14 | 1. 19 | 13. 44 | 12. 25 | 8. 41 | 15. 6 | 6. 24 | | 19 | 2. 38 | 14. 14 | 11. 36 | 9. 44 | 14. 55 | 5. 12 | | 24 | 3. 55 | 14. 38 | 10. 43 | 10. 43 | 14. 38 | 3. 55 | | 29 | 5. 12 | 14. 55 | 9. 44 | 11. 36 | 14. 14 | 2. 38 | | Longitudo Stellar. | I | VII | III | IX | V | XI | |-------------------|---|-----|-----|----|---|----| | | adde | Subt. | adde | Subt. | adde | Subt. | | 4 | 6. 24 | 15. 6 | 8. 41 | 12. 25 | 13. 44 | 1. 1 | | 9 | 7. 35 | 15. 9 | 7. 35 | 13. 8 | 13. 8 | 0. 0 | Pro stellis Australibus mutanda sunt signa additionis et subtractionis. Hic locus est consensum Theoriæ cum Phænomenis ostendere: sed praeterquam quod id vetat inopia Observationum antiquorum satis accuraté habitarum; inesse stellis quibusdam motum aliquem, quem discernere oporteret, magis notabilem advertit Ill. Bradleius, quemque à qualicumque mutatione in motu terrestrì non pendere existimat. Itaque in Phænomeni hujus elucidationem ulteriori ope ab Astronomis sperandâ indigemus. **Propositio III. Problema.** Variationem Obliquitatis Eclipticæ ex viribus praedictis oriundam determinare. Quando- Quandoquidem ex propositione praecedente Ecliptica sensim mutat situm suum, inde generatim patet variari etiam debere inclinationem ejus ad Aequatorem: qualis autem et quanta sit Variatio hæc ut investigemus, sit \( VED \) (Fig. 3.) Ecliptica, \( JD \) orbis Jovis secans eclipticam in \( D \), \( QL \) Aequator, et \( L \) punctum Aequinoctiale. Sunto \( DE \) et \( LV \) quadrantes circuli, et si per temporis particulam intelligatur nodus \( D \) transferri motu suo medio in \( d \), circulus \( dE \) descriptus per puncta \( d \), \( E \), exhibebit situm eclipticæ elapsio illo tempore; et si in eumdem demittantur perpendicula \( Dg \), \( Vt \), posterior \( Vt \) exhibebit variationem obliquitatis eclipticæ eodem tempore genitam. Scripto igitur \( s \) pro sinu inclinationis orbis Jovis ad Eclipticam, existente radio \( r \), erit in triangulo \( Ddg \), \( Dd : Dg :: 1 : s \); sed est \( Dg : Vt :: 1 : \sin EV \); unde erit \( Dd : Vt :: 1 : s \times \sin EV \); at ob \( DE = LV \), est \( DL = EV \), adeoque fit \( Dd : Vt :: 1 : s \times \sin DL \), hincque patet variationem momentaneam obliquitatis Eclipticæ esse ut sinus distantiae nodi Jovis ab Aequinoctio. Ducatur jam \( LC \) ad centrum sphærae \( C \), et in \( LC \) perpendiculum \( DK \); atque ob motum regretivum tum nodi \( D \) tum æquinoctii \( L \), velociorem autem æquinoctii quam nodi, puncta \( D \), \( L \), ad se mutuo accedunt vel a se recedunt differentiâ velocitatum: fingamus igitur alterutrum \( v.g. \) nodum \( D \) moveri cum hac differentiâ velocitatum, stante æquinoctio \( L \) immoto, et esto \( De \) arcus quam minimus hac velocitatum differentiâ descriptus, et in \( LC \) demisso perpendiculo \( ek \), habetur \( De : Kk :: 1 : DK \) vel \( \sin DL \), unde est \( Dd : Vt :: De : s \times Kk \), et summa variationum omnium \( Vt \), quo tempore punctum \( D \) differentiâ prædictâ velocitatum descripserit arcum quem- quemvis $DH$, erit ad summam totidem motuum nodi $D$, id est, variatio obliquitatis eclipticæ eo tempore genita erit ad motum nodi, ut summa omnium $Kk$ ducta in sinum $s$ ad summam totidem arcuum $De$, hoc est, ducto in $LC$ perpendiculo $HM$, ut factum $s \times KM$ ad arcum $DH$. Si denotaverit igitur $N$ motum nodi Jovis, quo tempore descriptus fuerit arcus $DH$, variatio inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem eodem tempore genita erit $\frac{N \times KM \times s}{DH}$. Hincque cum $\frac{N}{DH}$ exprimat rationem motûs nodi ad differentiam motuum nodi et æquinoctii, et $KM$ sit differentia vel summa cosinuum distantiarum punctorum $D$ et $H$ ab æquinoctio, prout puncta $K$ et $M$ jaceant ad easdem vel diversas partes centri $C$, nascitur Theorema sequens: Est radius ad sinum inclinationis orbitæ Jovis ad Eclipticam ut differentia vel summa cosinum distantiarum Nodi ab Æquinoctio in principio et fine temporis dati ad sinum quendam; deinde, est differentia motuum Nodi et Æquinoctii ad modum nodi ut sinus mox inventus ad sinum Variationis Obliquitatis Eclipticæ. Pro nodo et inclinatione orbitæ Jovis substituantur nodus et inclinatio orbitæ Saturni, atque idem Theorema dabit variationem Obliquitatis Eclipticæ quam generat Saturnus. Q. E. I. Coroll. I. Nodus $D$ in dictâ figurâ est nodus descendens Jovis, et $L$ punctum Æquinoctii Verni; unde et ex ratiocinio problematis patet, quamdiu nodus $D$ et æquinoctium $L$ ad se accedunt, decrescere inclinationem Eclipticæ ad Æquatorem; eamdem autem crescere, crescere, ubi praedicti nodus et æquinoctium recedunt à se invicem: vel, quod eodem recidit, in transitu nodi ascendentis orbis Jovialis ab Æquinoctio Vernali ad Autumnale semper minuitur Obliquitas Eclipticæ, et in transitu ejusdem nodi ab Æquinoctio Autumnali ad Vernale augetur. Coroll. II. Si puncta D et H fuerint sita ex diversis partibus puncti Æquinoctialis, id est, si nodus intra tempus propositum transferit per Æquinoctium, patet ex Coroll. præced. Obliquitatem Eclipticæ partim crevisse partim decrevisse: quo in casu incrementi ac decrementi differentia dabitur per Theorema superius; sed et habebitur horum summa sive variatio tota Obliquitatis eo tempore genita, si loco differentiæ vel summæ cosinuum distantiarum nodi ab æquinoctio substitutur in Theoremate praedicto summa sinuum versorum earumdem distantiarum, ut satis patet. Ratiocinium utriusque Corollarii obtinet etiam pro Saturno. Scholium I. Cum fuerit multum disceptatum inter Astronomos et veteres et recentiores de variâ vel constanti Eclipticæ Obliquitate, et neminem noverim, qui Phænomenon hoc juxta leges gravitatis expenderit, hac propositione lubuit ejus investigationem pertentare. Porrò cum nodus ascendens Jovis nunc temporis versatur in signo Cancri, patet per Coroll. 1. propositionis hujus à multis seculis semper decrevisse Obliquitatem Eclipticæ. Sed ut specialius hoc exponatur: Motus secularis nodi Jovialis ex prop. 2. est $10^\circ 22''\frac{1}{4}$, et motus æquinoctii, annuo existente $50''$, eodem tempore est $10^\circ 23'.20''$, adeoque differentia motuum nodi et æquinoctii est ad motum nodi ut $7,033:1$ ad 1; quare tempus transitûs nodi ab æquinoctio verno ad autumnale, quod constituit terminum imminutionis Obliquitatis Eclipticæ, erit annorum $14803$, sepositâ acceleratione modicâ vi Saturni debitâ: existente igitur nunc nodo Jovis in $8^\circ 1'\frac{1}{3}69$, ab annis $8000$ (si tanta supponatur Mundi ætas) decrevit Eclipticæ Obliquitas, ac per annos $6000$ et amplius decrescere debet, nec nisi post periodum annorum $29606$ pristinum situm recuperabit. Tota vero imminutio, quam praedicto tempore in Obliquitate Eclipticæ generare potest vis Jovis, prodit per Theorema in propositione traditum $22'.30''$. Hæc igitur est variatio maxima. Si desideretur decrementum factum in Obliquitate Eclipticæ spatio annorum mille proximè elapsorum, ita facile computabitur. Motus nodi Jovis ex prop. 2. in annis mille est $10^\circ 43'.44''$; praecessio autem æquinoctiorum eodem tempore $13^\circ 53'.20''$, atque horum motuum differentia $12^\circ 9'.36''$; unde posito loco nodi initio anni $1755$ in $8^\circ 20'$ Cancri juxta tabulas Astronomicas Cl. Halleii, distantiae nodi ab æquinoctio initio et fine temporis dati fuerunt $93^\circ 49'.36''$, et $81^\circ 40'$: indeque per Theorema praefatum prodit decrementum quæsitum ex vi Jovis $2'.22''.56''$. Simili modo motus nodi Saturnii ex prop. 2. in annis mille est $5'.56''.\frac{1}{4}$; unde differentia inter motum nodi et motum æquinoctii est ad motum nodi ut $139,265$ ad 1: distantiae autem nodi ab æquinoctio initio et fine temporis dati, posito nodo juxta juxta easdem tabulas in $21^\circ.21'.36''$ Cancri initio anni 1755, hac ratione forent $68^\circ.38'.24''$ et $82^\circ.25'.48''$; hincque, existente inclinatione orbis Saturni ad Eclipticam $2^\circ.30'.10''$, per idem theorema decrementum vi Saturniâ genitum exurgit $15''.2''$. Adeòque decrementum totum Obliquitatis Eclipticæ annis mille proximé elapsis factum ex viribus conjunctis Jovis et Saturni evadit $2'.38''$. A tempore igitur Hipparchi imminuta est Obliquitas Eclipticæ minutis circiter quincque primis. Haud secùs, si nodus Jovis ascendens initio anni 1750 constituatur in $8^\circ.15'.50''$ 69, et nodus Saturni in $21^\circ.20'.6''$ 69, prout exhibent tabulae Halleianæ, computatur tabella sequens | Ab anno | Ad annum | Decrem. Obliq. | Decrem. Obliq. | Totum Decrem. | |---------|----------|----------------|----------------|---------------| | ineunte | ineuntem.| Ecl. vi Jovis | Ecl. vi Saturni | Obliq. Eclipt. | | 1750 | 1800 | $7''.6''$ | $0''.44''$ | $7''.50''$ | | 1800 | 1900 | $14.9$ | $1.27$ | $15.36$ | | 1900 | 2000 | $14.5$ | $1.26$ | $15.31$ | Collatio Theoriae cum Phænomenis. Ut adæquata theoriae cum phænomenis collatio institueretur, Observationes Veterum consulendæ forent et cum Nuperis comparandæ; sed illæ imperfectioniores sunt quam quæ in minutis hujsmodi quantitatibus definiendis inserviant. Recentiorum itaque unam et alteram, minùs adeò idoneas, afferre sufficiat. 1°. Refert Cl. Le Monnier in Actis Acad. Paris, an. 1738 altitudinem centri solis in solstitio æstivo versantis anno 1669 à Picarto Parisiis mensuratam fuisse $64^\circ.39'.0''$, et anno 1670 $64^\circ.38'.58.''$: mediam sumamus $64^\circ.38'.59''$. Ipse met Le Monnier nier solis limbi superioris altitudinem (uti habetur in actis ejusdem Acad. an 1743) in solstitio aestivo anni 1743 reperit $64^\circ.54'.35''$, adeoque altitudinem centri solis $64^\circ.38'.45''$. Locus autem nodi ascendentis lunae medio Picarti Observationum temporis respondens erat $27^\circ.7$ circiter, et $16^\circ.8$ tempore solstitii aestivi anni 1743: unde in priori casu Nutatio axis Terrestris erat $8''$, totâ existente $18''$, et in posteriori $6''.15''$; atque his quantitatibus respectivè ablatis, altitudo solis prior evadit $64^\circ.38'.51''$, posterior $64^\circ.38'.38''.45''$, quarum differentia $12''.15''$ est decrementum factum in obliquitate mediocris Eclipticæ intervallo annorum $73\frac{1}{2}$. Per propositiò nem nostram decrementum vi Jovis genitum pro eodem temporis intervallo est $10''.27''$, et vi Saturni $1''.5''$: Totum igitur decrementum Obliquitatis Eclipticæ juxta theoriam fit $11''.32''$. 2°. Ex Observationibus Waltheri solertissimè inter se comparatis colligit acutissimus Astronomus De La Caille (in Actis Acad. Paris. an. 1749) inclinationem Eclipticæ ad Æquatorem circa annum 1496 fuisse $23^\circ.29'.32''$, quæ nunc temporis aestimatur $23^\circ.28'30''$, adeoque annis 260 decrevit Obliquitas Eclipticæ minuto uno primo circiter. Per Theoriam nostram decrementum illud vi Jovis foret $37''.2''$, et vi Saturni $3''.50''$; unde decrementum totum tempore praedicto evaderet $40''.52''$ five $41''$ circiter. Si loco tabulae refractionum Cassiniana Newtoniana usurparetur, Obliquitas Eclipticæ ex Observationibus Waltheri deducita minor evaderet minutis aliquot secundis, adeoque ad determinationem nostram proprius accederet. Caeterum propter incertitudinem refractionum et latitudinum locorum, ex Observationibus in Solstitiis stitiis Æstivalibus eodem loco habitis Variatio Obliquitatis Eclipticæ tutissimè definiri videtur. Si variatio ex Observationibus tandem accuratè derivata superaverit, uti in exemplis allatis, variationem, quam assignat hæc theoria, excessus ille debitus erit actionibus planetarum Martis et Veneris, quæ quidem, cum amborum nodi ascendentes intra prima sex signa versentur, ad imminuendam Obliquitatem Eclipticæ etiam conspirant. Quapropter, si quando Observationibus accuratè poterit innotescere tam hæc variatio quam progressus Aphelii terræ, planetarum item Martis ac Veneris tum demum et vires cognoscere et moles ponderare licebit. Propositio IV. Problema. Motum Æquinoctiorum causis praedictis debitum determinare. Hic non investigatur motus puncti Æquinoctialis, quatenus Æquator terræ ob materiam ibi redundantem vi Jovis et Saturni mutaret situm suum respectu Eclipticæ, quemadmodum viribus Solis et Lunæ fieri innotescit; hujusmodi enim mutatio ex actionibus Jovis vel Saturni oriunda omnino debebit esse insensibilis: sed motum illum Æquinoctii quaerimus, qui oritur ex variatione, quam fieri in situ plani Eclipticæ suprà monstravimus. Iisdem igitur manentibus ac in propositione præcedente, ex puncto \( m \) ubi Æquator fecat circulum \( dE \) demittatur in \( DE \) perpendiculum \( mn \), et quia est \[ Dg \cdot mn :: 1 : \text{Cos. } DL \text{ sive } CK, \text{ et } Dd : Dg :: 1 : s, \] erit erit \( Dd : mn :: r : s \times CK \), vel ducto radio \( CS \) perpendiculari ad \( CL \), et ad \( CS \) rectis perpendicularibus \( DR \), er, \( HG \), erit \( Dd : mn :: De : s \times Rr \); adeoque erit summa omnium \( mn \), quo tempore differentiæ motuum Æquinoctii et Nodi describitur arcus \( DH \), ad summam totidem \( Dd \) ut summa omnium \( Rr \) ducta in \( s \) ad summam totidem arcuum \( De \), hoc est, ut factum \( s \times RG \) ad arcum \( DH \). Igitur summa omnium \( mn \), id est, Latitudo puncti Æquinoctialis, ut ità dicam, sive distantia ejus à plano \( DCE \) spectato ut immoto, est æqualis \( \frac{NXRG \times s}{DH} \), exhibente scilicet \( N \) motum nodi, quo tempore describitur arcus \( DH \). Unde, cum \( RG \) æquetur differentiæ vel summæ sinuum arcuum \( DL \), \( HL \), prout puncta \( R \), \( G \), jaceant ad eadem vel diversas partes centri \( C \), circulo \( ID \) exhibente orbitam vel Jovis vel Saturni, confit Theorema sequens: Est radius ad sinum inclinationis orbitæ Jovis vel Saturni ad Eclipticam, ut differentia vel summa sinuum distantiarum nodi ab Æquinoctio in principio et fine temporis dati ad sinum quemdam: deinde, est differentia motuum Nodi et Æquinoctii ad motum nodi ut sinus mox inventus ad sinum variationis Latitudinis puncti Æquinoctialis. Vel etiam quia variatio Obliquitatis Eclipticæ est ex propositione praecedente æqualis \( \frac{NXKM \times s}{DH} \), et varia- tio Latitudinis puncti Æquinoctialis æqualis \( \frac{NXRG \times s}{DH} \), habetur illud alterum Theorema: Est variatio Latitudinis puncti æquinoctialis ad variationem Obliquitatis Eclipticæ ut summa vel differentia sinuum distantiarum nodi ab æquinoctio initio et fine temporis dati ad ad summam vel differentiam cosinuum earumdem distantiarum. Tum, quia est semper $Ln$ ad $mn$ ut cosinus inclinationis Eclipticæ ad Æquatorem ad ejusdem inclinationis sinum, sive ut radius ad tangentem ejusdem inclinationis, erit summa omnium $Ln$ tempore dato, hoc est, variatio puncti Æquinoctialis secundum Longitudinem a puncto fixo in plano $DCE$ mensuratam ad ejusdem variationem secundum Latitudinem in eadem ratione, ideoque datur. Q.E.I. Coroll. Hinc sequitur variationem puncti Æquinoctii Verni secundum latitudinem à plano immoto computatam semper fieri Boream versus in transitu nodi ascendentis Jovialis vel Saturnii à Solstitio Æstivo ad Hybernum, et Austrum versus ubi idem nodus transit a Solstitio Hyberno ad Æstivum. Contrarium dici debet de puncto Æquinoctii Autumnalis: variationem autem puncti Æquinoctialis secundum longitudinem à loco dato in plano illo immoto numeratam fieri in priori casu contra, in posteriori secundum seriem signorum; hoc est, in priori casu regreditur Æquinoctium, in posteriori progreditur. Si puncta $D$ et $H$ sita fuerint ex diversis partibus puncti Solstitialis, id est, si per tempus propositum Nodus transferit in signum Cancri vel Capricorni, Theoremata in propositione tradita dabunt differentiam variationum contrarum puncti æquinoctialis; sed et summa ipsarum quo pacto haberi possit facile patet. Scholium Scholium. Quum in decursu annorum mille proximè elapsorum nodus Jovis ascendens subierit signum Cancri, ac propterea Variationes praefatae non in eundem toto eo tempore factae fuerint sensum, quaeramus quales evaferint per annos quingentos ab initio anni 1755 retrorsum numeratos: quo in casu differentia motuum nodi Jovialis et æquinoctii, per scholium prop. praecæd extitit $6^\circ.4'.48''$; unde cætera, ut ibi, prosequendo prodit per utrumvis theorema in propositione hac traditum Variatio puncti æquinoctii Verni secundum latitudinem Boream versus æqualis $6''.37''$, hincque variatio secundum longitudinem æqualis $15''.14''$, vi Jovis. Addantur in priori casu pro vi Saturni $2''.26''$, et in posteriori $5''.36''$, atque evadet tota variatio puncti æquinoctialis secundum latitudinem annis quingentis proximè elapsis facta æqualis $9''.3''$, et Retrogressio ejudem puncti $20''.50''$. Hujusmodi igitur Variationes nonnisi perlongo temporis intervallo sensibiles fiunt. Propositio V. Problema. Errorum Terrestrium æquationes investigare. Errorum angularium Æquationes maximæ, cum et ipsæ sint errores angulares, sunt directè ut vires et quadrata temporum, quibus generantur, conjunctim, et inversè ut orbium diametri; ideoque sunt ut ipsi errores sive motus, quorum sunt æquationes, temporibus istis geniti: tempora autem ipsa sunt quamproximè ut æquationum periodi. Unde ob datos motuum lunarium et terrestrium errores, æquationumque numque periodos, ex datis errorum lunarium æquationibus per analogiam eruentur æquationes errorum terrestrium. Sic, periodus æquationis Apogæi lunaris et Variationis Æquationis centri lunæ cum sit proportionalis revolutioni solis ad Apogæum lunæ, ac propterea ob similitudinem virium similiter applicatarum periodus æquationis Aphelii terræ et Variationis æquationis centri proportionalis esse debeat revolutioni Jovis ad terræ Aphelium, erunt æquationes istæ lunares ad æquationes hæc terræ similes, ut motus Apogæi lunaris tempore revolutionis solis ad lunæ apogæum, ad motum Aphelii terræ tempore revolutionis Jovis ad ipsum terræ Aphelium, hoc est, existente motu medio Apogæi lunaris annuo $40^\circ.40'.43''$ et motu annuo Aphelii terræ supra invento $13''.2''.28iv$, ut $45^\circ.51'.40''$ ad $2'.34''.42''$. Quare positâ variatione to:â æquationis maximæ centri lunæ æquali $2^\circ.41'\frac{1}{2}$ prout feré habetur in tabulis Astronomicis, erit variatio æquationis maximæ centri Terræ sive Solis $9''.4''$. Denotet igitur $Æ$ æquationem centri solis maximum mediocrem, eritque $Æ+4''.32''$ æquatio maxima, et $Æ-4''.32''$ æquatio minima; atque his æquationibus dabuntur etiam excentricitates congruae. Tum, quemadmodum variatio æquationis maximæ centri lunæ crescit in ratione duplicatâ sinûs distantiae Apogæi lunaris à quadraturis suis cum sole, ità variatio æquationis maximæ centri solis, id est, incrementum æquationis minimæ augetur in ratione duplicatâ sinus distantiae aphelii terræ a quadraturis suis cum Jove: sive, variatio æquationis mediæ est ad semissimam missæ variationis totius, nempe ad $4''.32''$, ut cos- nus duplæ distantiae Jovis ab Aphelio terræ ad ra- dium; et additur æquationi mediæ, ubi linea Apsid- um Orbis magni pergit ab octantibus suis cum Jove ad syzygias, vel a syzygiis ad octantes; in reliquâ parte subducitur. Utrum autem tantilla variatio Observa- tionibus patere possit, Astronomis definiendum re- linquo. Haud secùs, si æquatio maxima apogæi lunæ sta- tuatur $12^°.18'$ erit $45^°.51'.40''$ ad $2'.34''.42''$ ut $12^°.18'$ ad æquationem maximam motûs Aphelii terræ sive Apogæi solis, quæ proinde erit $41'',30''$, ubi scilicet Apsides Orbis Telluris versantur in octan- tibus suis cum Jove. In aliis positionibus æquatio Aphelii erit ad æquationem maximam ut sinus du- plæ distantiae Jovis ab aphelio terræ ad radium; mo- tui verò medio additur in transitu apsidum orbis magni a syzygiis suis cum Jove ad quadraturas, et in transitu a quadraturis ad syzygias subducitur, ac proinde in casu quolibet habebitur verus Aphelii terræ sive Apogæi solis locus. Hoc paçto confecimus tabulam sequentem, si forte usui esse possit, in quâ $Æ$ denotat æquationem centri solis maximam mediocrem. Distantia Simili modo erit Variatio lunæ Variationem solis ut motus medius Apogæi lunaris tempore revolutionis lunæ ad solem ad motum medium Apogæi solaris tempore revolutionis solis ad Jovem; ideoque cum motus apogæi lunaris tempore synodico sit $3^\circ$. $17'$. $26''$, et motus apogæi solaris sit $14'$. $15''$ quo tempore sol ad Jovem revolvitur, positâ variatione maximâ lunæ $35'$. $10''$, prodit variatio maxima solis $2'$. $32''$, quæ locum obtinet, ubi sol versatur in octantibus cum Jove; in aliis locis variatio foret ad variationem maximam ut sinus duplæ distantiae solis à quadraturis suis vel syzygiis cum Jove ad radium quam proximè. Item, si eadem esset excentricitas orbium Terræ ac Jovis, foret æquatio motûs medii Terræ sive solis, quæ oritur ex variâ contractione et dilatatione orbis magni per vim Jovis, ad similem æquationem lunæ, ut motus apogæi solis tempore revolutionis Jovis ad motum apogæi lunæ tempore revolutionis solis, hoc est, ut $2'$. $34''$. $41''$ ad $40^\circ$. $40'$. $43''$; sed hæc Æquatio solis augeri debet in ratione excentricitatis orbis Jovis ad excentricitatem orbis terræ, sive in ratione æquationis maximae centri Jovis ad æquationem maximam centri Solis quamproximè, hoc est, in ratione $5^\circ$. $31'$. $36''$ ad $1^\circ$. $66'$. $20$: unde si æquatio maxima medii motûs lunæ fuerit $11'$. $50''$, erit æquatio maxima medii motus solis $2''$. $8''$, in mediocribus scilicet Jovis a sole distantiis; in aliis locis æquationi centri Jovis proportionalis est. In his omnibus vim Saturni ut-pote insensibilem negligo. Atque eâdem methodo ad alias Solis æquationes æquationibus lunaribus analogas procedere liceret, nisi in hujusmodi minutis exquirendis jam nimius essent: cum quae in hac propositione recensentur, tametsi præ cæteris notabiles, Observationum Astronomicarum solertiam omnem fortasse fugere debeant: cæterum tales re ipsa esse scire juvat; et plures frustrà commemorarem. Q, E. I.