Methodus Nova Calculi Eclipsium Terrae Specialis; vel Quorumcunque Occursuum Lunae Cum Stellis, Tam Errantibus Quam Inerrantibus: Auctore Christiano Ludovico Gersten, R. S. Sod. & Math. Prof. in Academia Giesensi

I don't remember any History of the pernicious Effects of the *Cicuta major* in this Kingdom; but as the detecting poisonous Plants is of very great Consequence, I presume to lay this Paper before you; and am, *Gentlemen,* London, May 9. 1744. Your most obedient, Humble Servant, W. Watson. --- III. *Methodus Nova Calculi Eclipsiurn Terræ specialis; vel quorumcunque Occursuum Lunæ cum Stellis, tam errantibus quam inerrantibus:* Auctore Christiano Ludovico Gersten, R. S. Sod. & Math. Prof. in Academia Giesensi. *Nemini, qui limina tantummodo astronomiæ trivit, ignotum quam molesta & plena laboris res sit, calculus Eclipsiurn Terræ vel quorumcunque appulsiurn Lunæ ad stellas. Modus, quibus iste perficitur, quantum ego quidem scio, duplex hucusque extitit.* Unus veteribus usitatius, at molestissimus omnium, spectatorem in terram ponit, & ex inventa longitudine & latitudine, prout ex terræ dato loco videntur, Luminarium phænomena solvit. Alter recentior, spectatoris oculum in sole fingit, singit, & eclipsium momenta atque phases ex pro- jectione quadam circulorum in discum terrae derivat. Posterior, brevior licet atque elegantior, necnon uni- versalitate conspicuus, longam tamen & taediosam ni- mis triangulorum analysin requirit, ubi pro speciali quodam terrae loco phænomena investiganda. Movit itaque ipsum laboris taedium, ut de breviori cogitarem. Nec irrito plane successu; nam sub initium anni pra- terlapsi 1740, calculum hunc novum ad haec phæno- mena applicare coepi; & nunc talcm in modum per- fecisse mihi videor, ut existimem non inutile plane ad communem Astrophilorum usum produxisse inven- tum, iis praesertim, qui in appulsibus lunæ cum stellis fixis supputandis occupati. Officii igitur & observan- tiæ causa, sequentes paginas illustris atque celeberrimæ Societatis Regiae judicio humillime subjicio. Cum vero prolixum nimis foret cuncta demonstrare, fun- damenta tantummodo præcipua hujus calculi ad Lem- matum modum præmittam: reliqua ex ipsis, quæ tra- diturus sum, præceptis in sphærica doctrina versatis patebunt. Phænomena spectantem ego cum veteribus in terram pono. Introductio. Sect. I. Arcus circulorum parallelorum in sphæra gradubus & minutis circuli maximi metiri licet: in cal- culo praesenti id potissimum requiritur. Extra con- troversiam positum, circulorum peripherias esse in ratione diametrorum & semidiametrorum. Datur semidiameter circuli maximi, sinus totus; datur & semi- semidiameter circuli paralleli, cosinus declinationis: inde non difficulter elicitur, quot minuta secunda circuli maximi continet circuli paralleli gradus unus, determinata ejus declinatione. Nempe ut radius ad numerum minutorum secundorum unius gradus in circulo maximo sic 3600, sive cosinus declinationis ad numerum minutorum secundorum in unico gradu circuli paralleli contentorum. Exacto & repetito calculo deprehendimus, arcus unius gradus, circulorum parallelorum, ab uno gradu declinationis usque ad 29 progredientium, æquipollere numeris sequentibus: | Gradus Declin. | Arcus. Circul. Parallel. | Gradus Declin. | Arcus. Circul. Parallel. | |----------------|--------------------------|----------------|--------------------------| | 1 | 59° 59' 27" | 16 | 57° 40' 32" | | 2 | 59° 57' 48" | 17 | 57° 22' 41" | | 3 | 59° 55' 3" | 18 | 57° 3' 48" | | 4 | 59° 51' 13" | 19 | 56° 43' 51" | | 5 | 59° 46' 18" | 20 | 56° 22' 53" | | 6 | 59° 40' 16" | 21 | 56° 0' 53" | | 7 | 59° 33' 9" | 22 | 55° 37' 51" | | 8 | 59° 24' 57" | 23 | 55° 13' 49" | | 9 | 59° 15' 40" | 24 | 54° 48' 45" | | 10 | 59° 5' 18" | 25 | 54° 22' 42" | | 11 | 58° 53' 51" | 26 | 53° 55' 39" | | 12 | 58° 41' 19" | 27 | 53° 27' 37" | | 13 | 58° 27' 43" | 28 | 52° 58' 36" | | 14 | 58° 13' 3" | 29 | 52° 28' 37" | | 15 | 57° 57' 19" | | | Simplici additione ex his, & resectis postea minutis quartis, tabulam condidimus, reductionis arcuum parallelorum ad minuta prima, secunda, &c. circuli maximi, in singulos gradus declinationis ab 1 usque ad 29; cujus ope quosvis arcus in circulis parallelis, uno gradu minores, ad minuta prima & secunda circuli maximi revocare licet. Quorum declinatione intermedia, corum valores quoque ex differentiis ope tabulae subsidiariae, non multo negotio inveniuntur. niuntur. Minuta tertia eum in finem in tabula scravimus, ut quando ultra 50 concreverunt, integrum minutum secundum pro ipsis substitui possit. Exempli gratia sstitur pars tabulae, circuli nimirum paralleli cujus declinatio 18 gradus. | Arc. Cir. Par. | Partes circul. max. | |---------------|-------------------| | | | | 1 | 0 57 3 | | 2 | 1 54 7 | | 3 | 2 51 11 | | 4 | 3 58 15 | | 5 | 4 45 19 | | 6 | 5 42 22 | | 7 | 6 39 26 | | 8 | 7 36 30 | | 9 | 8 33 34 | | 10 | 9 30 38 | | 11 | 10 27 41 | | 12 | 11 24 45 | | 13 | 12 21 49 | | 14 | 13 18 53 | | 15 | 14 15 57 | | 16 | 15 13 0 | | 17 | 16 10 4 | | 18 | 17 7 8 | | 19 | 18 4 12 | | 20 | 19 1 16 | | 21 | 19 58 19 | | 22 | 20 55 23 | | 23 | 21 52 27 | | 24 | 22 49 31 | | 25 | 23 46 35 | | Arc. Cir. Par. | Partes circul. max. | |---------------|-------------------| | | | | 26 | 24 43 38 | | 27 | 25 40 42 | | 28 | 26 37 46 | | 29 | 27 34 50 | | 30 | 28 31 54 | | 31 | 29 28 57 | | 32 | 30 26 1 | | 33 | 31 23 5 | | 34 | 32 20 9 | | 35 | 33 17 13 | | 36 | 34 14 16 | | 37 | 35 11 20 | | 38 | 36 8 24 | | 39 | 37 5 28 | | 40 | 38 2 32 | | 41 | 38 59 35 | | 42 | 39 56 39 | | 43 | 40 53 43 | | 44 | 41 50 47 | | 45 | 42 47 51 | | 46 | 43 44 54 | | 47 | 44 41 58 | | 48 | 45 39 2 | | 49 | 46 36 6 | | 50 | 47 33 10 | D Arc. Exemplum. Sint $53'47''$ hujus circuli paralleli convertenda in partes circuli maximi: fiat $53' = 50'24''21''$ $45'' = 42'47'$ Summa $51'7''$ erit valor quaestus. S E C T. II. Circulorum ad æquatorem parallelorum portiones exiguas, ubi pro rectis tuto assumi possunt, secantur a circulis declinationum ad angulos rectos. Quapropter triangulum sphæricum parvum, cujus latus unum portio circuli declinationis, alterum portio circuli paralleli, pro triangulo plano rectangulo haberi, & ejus hypothenusa per theorema Pythagoricum vel alias regulas trigonometriæ planæ tuto eruitur. Cum vero hæc hypothenusa sit diagonalis quadrilínei cujusdam sphærici, quod sectione duorum circulorum declinationis, per duos ad æquatorem parallelos efféctum, ex arcubus parallelis major, & a polo remotior, pro basi trianguli rectanguli eligendus, ubi de hypothenusa invenienda quaeritur. S E C T. Tabula parallaxium altitudinis lunae duplici modo construuntur. Primum secundum praecpt. XII. Streete, tabulis Carolinis praemissum, deinde secundum praecpt. XIII. ejusdem. Pro distantia lunae a terra, sufficit ratio hujus distantiae ad semidiametrum terrae, quae ex parallaxi horizontali statim innotescit. Prior modus parallaxes determinat ad altitudines visas; sc. supra horizontem sensibilem. Pro eclipsibus terrae, & appulsibus lunae ad stellas, prior modus est eligendus, non posterior. Secus qui ageret, in calculum nostrum errores non contemnendos intruderet. Accuratam parallaxium altitudinis tabulam, cum rem maximi momenti esse deprehenderem, de novo ad usus meos usque ad 70 gr. altitudinem construxi, cum qua tamen postea satis bene consentire deprehendi Lansbergianam in tab. motuum coelestium hujus authoris, p. 48. & seq. Quae vero in Ludovicianis extat N° XXV. ea ad altitudines visas, non veras, respicit, adeoque absque reductione ad hos usus minus idonea. Notandae velim parallaxes ejusdem altitudinis verae, sed diversarum distantiarum lunae a terra esse ipsis distantiis per consequens parallaxibus horizontalibus proportionales. Sequens abacus exhibet parallaxes altitudinis ex nostra & Lansbergii tabula, qui numeri, in ratione aliarum parallaxium horizontalium aucti vel diminuti, vel foli ad quoscunque casus sufficiunt. | Alt. veræ | Parall. Alt. Ex Tab. nostr. | Parall. Lansberg | Alt. veræ | Parall. Alt. Ex Tab. nostr. | Parall. Lansberg | |----------|---------------------------|-----------------|----------|---------------------------|-----------------| | 1 | 60 | 59 | 36 | 49 | 49 | | 2 | 59 | 59 | 37 | 48 | 48 | | 3 | 59 | 58 | 38 | 47 | 47 | | 4 | 59 | 56 | 39 | 47 | 47 | | 5 | 59 | 52 | 40 | 46 | 46 | | 6 | 59 | 47 | 41 | 45 | 45 | | 7 | 59 | 41 | 42 | 45 | 45 | | 8 | 59 | 34 | 43 | 44 | 44 | | 9 | 59 | 26 | 44 | 43 | 43 | | 10 | 59 | 17 | 45 | 42 | 42 | | 11 | 59 | 6 | 46 | 42 | 42 | | 12 | 58 | 55 | 47 | 41 | 41 | | 13 | 58 | 42 | 48 | 40 | 40 | | 14 | 58 | 28 | 49 | 39 | 39 | | 15 | 58 | 14 | 50 | 39 | 39 | | 16 | 57 | 58 | 51 | 38 | 38 | | 17 | 57 | 41 | 52 | 37 | 37 | | 18 | 57 | 23 | 53 | 36 | 36 | | 19 | 57 | 4 | 54 | 35 | 35 | | 20 | 56 | 44 | 55 | 34 | 34 | | 21 | 56 | 23 | 56 | 33 | 33 | | 22 | 56 | 0 | 57 | 32 | 32 | | 23 | 55 | 37 | 58 | 31 | 31 | | 24 | 55 | 12 | 59 | 30 | 30 | | 25 | 54 | 47 | 60 | 29 | 29 | | 26 | 54 | 21 | 61 | 28 | 28 | | 27 | 53 | 54 | 62 | 27 | 27 | | 28 | 53 | 25 | 63 | 26 | 26 | | 29 | 52 | 56 | 64 | 25 | 25 | | 30 | 52 | 26 | 65 | 24 | 24 | | 31 | 51 | 54 | 66 | 23 | 23 | | 32 | 51 | 22 | 67 | 22 | 22 | | 33 | 50 | 48 | 68 | 21 | 21 | | 34 | 50 | 14 | 69 | 20 | 20 | | 35 | 49 | 39 | 70 | 19 | 19 | **Sect. IV.** Data longitudine & latitudine sideris, datur, per regulas trigonometricas, ejus ascensio recta & declinatio. Sed molestam id triangulorum analysin requirit praestat. præstat tabulis hunc in finem conditis uti. Habemus in Historia cælesti Flamstedii duplices Abrahami Sharpii; quibus non modo ex ascensione recta & declinatione fit conversio in longitudinem & latitudinem, sed & ex longitudine & latitudine in ascensionem rectam & declinationem. Quæ posteriores sunt ordine pag. 34 & 74 Tom. III. viam ducunt omnium brevissimam; propterea hucusque in calculo nostro his usi sumus. Cui apparatus harum tabularum sumptuosior videatur, sciat, lunam ultra 5 latitudinis gradus non multum vagari; perpaucæ igitur paginæ ex eis pro calculo nostro sufficiunt. Si quis eas legitimo modo interpolando, vel tabulas subsidiarias construendo, proliiores reddere velit, is compendium sibi & commodum non contemnendum parabit. Breviter his præmissis, pro- pero nunc ad CALCULI PRÆCEPTA. 1. Posteaquam per modos usitatos cognitum eclipsis in terræ in copula solis & lunæ futuram esse, ex tabulis theoricis inveniatur tempus conjunctionis, longitudo & latitudo lunæ, motus ejusdem horarius versus, parallaxis, atque diamcter horizontalis, necnon motus horarius solis, ejusdemque diameter. 2. Ope tabularum, ex datis longitudine & latitudine, definiantur ascensiones rectæ solis & lunæ, & declinationes. 3. Tempore medio in apparens converso, si conjunctionis momentum accidit ante meridiem, hora una ante illud, per motum horarium, ad eclipticam reductum, determinentur longitudines solis & lunæ, latitudo lunæ, & singulorum punctorum quaerantur ascensiones. ascensiones rectae & declinationes. Si post meridiem fit copula, idem faciendum hora una post conjunctionem. 4. Tempus conjunctionis, necnon hoc ipsum hora i diminutum subtrahatur a 24 horis, quando id accidit, ut habeatur intervallum temporis a conjunctionis momento, vel ab hora i ante conjunctionem, usque ad meridiem. In horis pomeridianis ipsum tempus dat intervallum. 5. Inventa intervalla temporis convertantur in gradus &c minuta æquatoris; & prodeunt sic anguli circuli declinationis per centrum solis transeuntes cum meridiano loci. 6. Ascensio recta lunæ vel major vel minor esse potest ascensione recta solis quocunque tempore. Horis matutinis, si minor ea est, tunc differentia inter ascensiones rectas solis & lunæ subtrahenda est ab angulo circuli declinationis numero praecedente invento; si major, addenda ad eundem angulum, & habetur angulus circuli declinationis per centrum lunæ transeuntis cum meridiano loci. Contrarium faciendum horis pomeridianis. 7. Ex inventis (numero praeced.) angulis, declinationibus solis & lunæ, (num. 2.) & latitudine loci, per trigonometriæ sphæricæ regulas, supputentur altitudines veræ solis & lunæ in utroque casu: deinde &, 8. Anguli circulorum declinationis, per centrum lunæ in utroque casu transeunti in cum circulis verticalibus. Minuta secunda in doc & praecedente numero turo ne figuntur. 9. Inventi altitudinibus veris lunæ (num. 7.) ipsius par. laxi horizonali, (num. 1.) per tabulas parallaxium tallaxium altitud. reperiuntur parallaxes altitudinis lunæ. Uti Soli parallaxis horizontalis cum Flamstedio secundorum tribuenda censetur, parallaxis lunæ horizontalis hac quantitate prius minuenda. 10. Fiat, ut radius ad numerum minutorum secundorum in parallaxi altitudinis (num. praeced.) inventæ contentorum; sic sinus anguli (num. 8.) inventi ad quartum proportionalem numerum, quem edit calculus, voco parallaxin ascensionis rectæ in circulo parallelo. 11. Pergatur, ut radius ad eundem numerum minutorum secundorum in parallaxi altitudinis comprehensorum; sic co-sinus anguli (num. 8.) inventi ad quartum proportionalem, qui parallaxis est declinationis lunæ. In utroque casu, momento nempe conjunctionis, & hora ante vel post conjunctionem, hic calculus instituendus. 12. Disponantur ascensiones rectæ solis & lunæ in ambobus casibus secundum ordinem naturalem numerorum. Differentia inter ascensiones rectas solis addatur ad primam ascensionem rectam lunæ, eliminetur prima ascensio recta solis, remanebunt tunc duæ ascensiones rectæ lunæ & una solis. 13. Declinationes solis aut crescunt aucto tempore, aut decrescunt. Priori casu, differentia earum addatur ad eam declinationem lunæ, quæ minimæ ascensioni rectæ competit. Priori casu subtrahatur, eritque mutua distantia luminarium, quasi sol immotus per totum horæ spatium lunam progredientem respiceret. 14. Singulæ ascensiones rectæ subtrahantur, minor quamlibet a maxima, & probe notentur differentiæ. 15. Parallaxes declinationis subtrahantur a declinationibus lunæ, si hæc quidem sunt boreales; at vero si australes existunt, addantur. Sic prodeunt declinationes lunæ visæ. 16. Differentiæ num. 14. inventæ, quæ nunc in circulo parallelo esse concipiuntur, ope tabulæ reductionis, supra § 1. Introduct. alleg. reducantur, ad minuta prima & secunda circuli maximi. Paralleli declinatio eadem, quæ minima declinatio visa Lunæ aut Solis. A numero & distantia punctorum ascensionis rectæ, a principio arietis nunc penitus abstrahendum: non enim id agitur, sed tantummodo de positione & distantia luminarium inter se se solliciti sumus. 17. Si ante meridiem incedit luna, tunc parallaxes ascensionis rectæ in circulo parallelo num. 10. repertæ addantur competentibus lunæ locis. Sin vero post meridiem id accidit, loco additionis fit subtractio. Hoc demum peracto, determinatæ sunt positiones & loca visa luminarium, tempore conjunctionis veræ, & hora 1. ante vel post eandem, quibus deinde facili negotio, quæ restant elicienda. Nam, 18. In omni casu ex repertis fit triangulum rectangulum, cujus Basis distantiæ locorum apparentium lunæ in circulo parallelo; Cathetus differentia declinationum visarum ejusdem; Hypothenusæ dat orbitam visam; & positio solis, sive intra sive extra triangulum cadat, satis quoque erit determinata. Ipsum triangulum nunquam ad eam magnitudinem asturgit, quæ obstet quo minus pro plano & rectilineo sumi queat. Hinc simplicissima & facili constructione ope circini & scalæ determinari possunt distantia centrorum minima & puncta in orbita, ubi accident initium cæliphis, maxima obscuratio obscuratio & finis adco exacte, si scala idonea adhibeatur, ut ne vel 2 minuta secunda quidem deficiant; vel, si mavis, hæc, & reliqua omnia per trigonometriæ planæ regulas perficiuntur. 19. Quando summa semidiametrorum apparentium solis & lunæ extra fines hypothenusæ hujus trianguli cadit, tunc hæc quidem continuanda, donec occurrat; & reliqua usitato more peragenda, ut habeatur tempus initii & finis eclipsis. Sed tunc, ubi puncta occursus longe nimis a trianguli punctis jam determinatis distant, calculus erit corrigendus, si exacte tempus initii & finis quaeritur. Etenim supponitur semita lunæ apparens in linea recta, & motus visus æquabilis; ex quibus neutrum verum est, utut via visa unius horæ intervallo, ita parum plerumque in eclipsibus a rectitudine divergat, ut absque errore conspicuo pro recta linea assumi possit. Non item tamen de celeritatis æqualitate dicendum. Correctionis ergo calculus instituendus, quem exemplo potius mox sequenti, quam regulis, docebo. Hæc quidem sunt methodi nostræ præcepta praecipua: quæ restant, exemplum illustrabit. Me non movente videbunt intelligentes, eam tam ad occursus lunæ cum reliquis planetis tam ad appulsus ad inerrantes stellas facile applicari posse. De praëstantia & differentia ab aliis hucusque receptis nolo verba facere: penes alios id judicium esto. Nunc id ago, ut eam ad usus meos multo breviorem facilioremque reddam. In tuto reest, scio, sed nondum labor finitus. Nempe pro altitudine poli Giecensis, quilibet gradus declinationis habet, in quolibet temporis momento, determinatam altitudinem veram, & determinatum angulum circuli declinationis cum meridiano diano loci. Ab his dependent parallaxes declinationis & parallaxes ascensionis rectae in circulo parallelo. Tabulam igitur molior, ad quosvis gradus declinationis lunae & in singula quatuor minuta prima temporis mihi reddituram tum parallaxin declinationis, tum parallaxin ascensionis rectae in circulo parallelo. Parallaxium basin statuo, horizontalem unius gradus: sed parallaxes ejusdem altitudinis sunt in ratione directa parallaxium horizontalium, ut supra § 3. introduct. monui; per consequens, in eadem ratione sunt parallaxes declinationis, & parallaxes ascensionis rectae, in circulis parallelis: ergo pro latitudine hujus loci unica haec tabula sufficiet, adhibita alia subsidiaria, cujus ope parallaxes ad quamvis aliam basin reducentur. Parallaxes ascensionis rectae deprehendi propemodum esse constantes in quibusvis declinationis gradibus; ergo cum his, leve negotium, gravius & operosius erit cum parallaxibus declinationis. Sed de his fortasse alibi; pergamus nunc ad Exemplum. Anno Christi 1706, Maii die 12, accidit eclipsis terrae. Quæritur ad longitudinem & latitudinem observatorii Parisiensis, ejus quantitas, initium, maxima obscuratio, & finis. Secundum tabulas Ludovicianas accidit conjunctio solis & lunae die Maii 11, hor. 21, min. 49, sec. 13, secundum tempus medium. Ad hoc tempus secundum easdem tabulas | Locus verus ⊙ & ☉ in ecliptica | Longit. ☉ in orbita | Locus ☉ | |---------------------------------|------------------|---------| | | | | Argumentum Argumentum latitudinis = 6° 53' 23" Latitudo borealis = 36° 7' Motus horarius ⊙ = 2° 25' Semidiameter ⊙ = 15° 54' Motus horarius ⊙ = 37° 13' Motus horarius ⊙ ad eclipticam reduct. = 37° 5' Semidiameter ⊙ horizontalis = 16° 31' Parallaxis ⊙ horizontalis = 60° 29' Secundum Tab. Abrahami Sharpii. Ascensio recta ⊙ = 48° 37' 57" Declinatio ⊙ boreal. = 18° 3' 32" Ascensio recta ⊙ = 47° 53' 27" Declinatio ⊙ boreal. = 18° 25' 58" Æquatio temporis sec. tab. Ludovicianas est 8' 18''. Addendum ad medium, ut fiat apparens. Ergo tempus verum conjunctionis est h. 21, 57' 31''. 2. Ad horam 1. ante conjunct. longitudo ⊙ = 51° 4' 23''. Longitudo ⊙ = 50° 29' 43''. Latit. boreal = 32° 53''. per consequens incrementum latitudinis unius horæ intervallo = 3' 15''. Ascensio recta ⊙ per tab. Abrahami Sharpii = 48° 40' 24''. Declinatio ⊙ = 18° 4' 10''. Ascensio recta ⊙ = 48° 30' 21''. Declinatio ⊙ = 18° 38' 59''. 3. Intervallum a momento conjunctionis, sc. 21h 57' 31'', usque ad meridiem, est = 2h 2' 29''; quod in arcus æquatoris conversum = 30° 37' 15''. Ab hora 1 ante 6 usque ad meridiem præterlabuntur 3h 2' 29''; quibus respondet arcus æquatoris, 45° 37' E 2 15'. 15". Adsunt igitur ad normam praecpt. 5. anguli circulorum declinationis per centrum ⊙ transcuntium, cum meridiano loci in utroque casu. 4. Ascensio recta ⊙ praecedit ascensionem rectam ⊙ in duobus his casibus: ergo, per praecpt. 6, differentiae ab his repertis angulis subtrahendae; sc. in ⊙ differentia asc. rect. ⊙ ab asc. rect. ⊙ est 10' 3''. Hora 1 ante ⊙ vero eadem differentia = 43' 38''. Ergo subductis his arcubus, manet pro angulo circuli declinationis per centrum ⊙ transcuntis in ⊙ 30° 27' 12'', hora 1 ante ⊙, 44° 53' 37''. 5. Hisce angulis, elevatione poli observatorii Parisiensis = 48° 50', & declinationibus ⊙, consequuntur altitudines ⊙. Speciatim in conjunctione aitit. ⊙ = 51° 5', hora 1 ante ⊙ alt. ⊙ = 42° 52'. Necnon anguli circulorum declinationis cum verticalibus ad conjunct. prodit 32° 4' ad horam 1 ante ⊙ 39° 19'. 6. Secundum tabulam, nostram 1, vel partem § 3. introductionis exhibitam, ad parali. horizontalem 60' 29'', parallaxis altitudinis ⊙ in ⊙ = 38' 31''; non subtracta parallaxi ⊙ ab horizontali, quod hoc exemplo consulto omisimus. Parallaxis asc. rect. in circulo parallelo = 20' 27''. Parallaxis declinationis deprehenditur = 32' 38'', per praecpt. 10 & 11. Sed, ad horam 1 ante ⊙, parallaxis altitudinis = 44' 53'', parall. asc. rect. in circ. parallel. = 28' 26'', parallaxis declin. = 34' 43''. 7. Sequitur nunc, per praecpt. 12, dispositio & subtractio ascens. rectarum, & declinationum asc. rectis competentium. Asc. | Ad hor. i ante σ | 47° 53' 35" | | Ad ipsam σ | 48° 30' 21" | | Ad hor. i ante σ | 48° 37' 57" | | Ad ipsam σ | 48° 40' 24" | Diff. inter asc. rect. | 2° 27" | | Ad hor. i ante σ | 47° 56' 2" | | In ipsa σ | 48° 30' 21" | | Immoti | 48° 40' 24" | Diff. a | 34° 19" | Diff. b | 44° 22" | Declinat. | Declin. visæ | 17° 51' 55" | | | 18° 6' 21" | | | 18° 4' 10" | 8. Secundum præcept. 16. differentia \( a \) reducta ad partes circuli maximi = 32° 39" ; differentia \( b \) = 42° 13". Prior est distantia locorum lunæ in utroque casu, posterior distantia solis immoti, a loco primo lunæ in circulo parallelo, cujus declinatio 17° 51' 55"; vel, quod parum differt, 17° 52'. 9. Parallaxis asc. rect. in cir. parallelo in \( \sigma \) = 20° 27", (num. 6.) addita, per præcept. 17. ad locum lunæ secundum, 32° 39" efficit 53° 6". Locus ergo primus \( \sigma \) = parallaxi asc. rect. ad hor. i ante \( \sigma \). Hinc in circulo parallelo sunt loca visa luminarium sequentia: Ad Ad hor. 1 ante \( \sigma \) \( \mathcal{C} \) 28 26 = A \( \odot \) immoti 42 13 = B In ipsa \( \sigma \) \( \mathcal{C} \) 53 6 = C Diff. inter A & B = 13 47 Diff. inter A & C = 24 40 A declinationibus visis si subtrahitur minima declinatio, hoc casu \( \mathcal{C} \) 17° 51' 55'' manet pro \( \odot \) 12' 15''; pro \( \mathcal{C} \) in \( \sigma \) 14' 26''. 10. Esto nunc \( b c \) (fig. 1. Tab. II.) portio circuli paralleli ad declinationem 17° 51' 55''; \( \& \) in eo punctum \( c \), centrum \( \mathcal{C} \) ad hor. 1 ante \( \sigma \), \( d \) locus \( \odot \), \( b \) locus \( \mathcal{C} \) in \( \sigma \), erit \( dc = 13' 47'' \); \( bc = 24' 40'' \). Ex punctis \( d \) & \( b \) erigantur perpendiculares \( df \) & \( ab \); quorum prior = 12' 15'', minimae sc. diff. declinat.; posterior = 14' 26'', maximae, crit \( f \) centrum solis immoti, \( a \) centrum lunæ in ipsa \( \sigma \). recta \( ac \), semita visæ lunæ unius horæ intervallo. 11. A puncto \( f \) ad \( ac \), demissa perpendicularis, \( gf \) quantitatem eclipsis, punctum \( g \) obscurationem maximam determinat. Quod si, porro, circino capiatur intervallum, \( nf \) & \( fm = \) summæ semidiametrorum apparentium \( \odot \) & \( \mathcal{C} \), eoque ex puncto \( f \) scetur hypothensa producta \( mn \), trianguli \( abc \), efficietur determinatio punctorum \( n \) & \( m \), in quibus accidit initium & finis eclipsis. 12. Per calculum trigonometricum prodit \( cg = 18' 4'' \); \( gf = 3' 37'' \); \( ac = 28' 34'' \). Si infertur ut \( ac \) ad \( gc \), sic tempus per \( ac = 1 \) hor. ad tempus per \( gc \), resultat 37' 57''; hoc tempus additum ad h. 20, 57' 31'', (1 hor. sc. ante \( \sigma \)) efficit momentum maximæ obscurationis, h. 21, 35' 26''. 13. Semidiameter ε horizontalis est = 16' 31'' (num. 1.) sed per tabulam Hireanam xxiv. correcta = 16' 43''. Semidiameter ⊙ = 15'' 54'. Summa semidiametrorum ⊙ & ε = 32' 37''; subducta gf ab haec summa, restat pars deficiens, = 29' 0'', hæc in digitos eclipticos redacta, dat quantitatem eclipsis 10 digit. 56 min. 14. Ad initium & finem determinandum, ex gf, fn, & fm, quaerenda est gn & gm. fn æqualem facio summæ semidiametrorum apparentium, (num. praeced.) uno vel duobus minutis secundis diminutæ, fm vero = eadem summæ, sed uno vel duobus minutis secundis auctæ; adeoque fn = 32' 35''; fm = 32' 39''. Quamobrem gn = 32' 22''; gm = 32' 25''; tempus per gn = h. 1. 7' 58''; quod, subtractum a momento obscurationis maximæ, exhibet initium eclipsis, sc. h. 20, 27' 28''; tempus per gm = h. 1, 8' 5''; quod, additum ad obf. max. dat finem h. 22, 43' 31''. Correctio Initii. 15. Hor. 1 ante σ = hor. 20, 57' 31''; tempus initii = 20 h. 27' 28''; initium ergo distat ab hor. 1 ante σ 3c' 3''. Huic diff. temporis competit motus ε in longit. 18' 34''; incrementum latit. ⊙ 1' 37''; motus ⊙ in longit. 1' 12''; his subductis a longitudinibus & latitudine ad hor. 1 ante σ, relinquitur ad tempus initii, longitudo ⊙ = 51° 3' 11''; longitudo ε, 50° 11' 9''; latitudo ε, 31' 16''; asc. rect. ⊙ 48° 36' 44''; declinat. ⊙ 18° 3' 13''; asc. rect. ε 47° 35' 10''; declinat. ε 18° 19' 28''; differentia inter asc. rect. ⊙ & ε = 1° 1' 34''; intervallum temporis a momento initii usque ad meridiem, = hor. 3, 32' 32"; quod, in arcus æquatoris conversum, dat 53° 8' 0'. Nunc, quoniam asc. rect. & minor asc. rect. ⊙, differentia ascensionum rectarum ⊙ &c subtrahenda ab hoc arcu, remanet 52° 6' 26", angulus sc. circuli declinationis per centrum ⊙ transcuntis cum meridiano loci. Altitudo ⊙ = 38° 20' ang. circ. declinationis cum verticali = 41° 28'. Parallaxis altit. = 47° 58''. Parallaxis asc. rect. in circ. parallelo = 31° 45''. Parallaxis declinationis = 35° 56''. 16. Dispositio & reductio ascensionum rectarum, secundum præcept. 12. nunc talis: | Asc. rect. | Declin. Comp. | |------------|---------------| | ⊙ | | | Ad hor. 20, 27' 28'' ⊙ | 47 35 10 | | Ad hor. 1 ante ⊙ | 47 53 35 | | Ad hor. 20, 27' 28'' ⊙ | 48 36 44 | | Ad hor. 1 ante ⊙ | 48 37 57 | Diff. asc. rect. ⊙ = 1 13 | Diff. declin. ⊙ | 19 | |-----------------|----| | ⊙ 47 36 23 | | ⊙ 47 53 35 | | Immoti ⊙ 48 37 57 | Different. a = 17 12 Different. b = 1 1 34 Diff. a reduct. = 16 24 Diff. b reduct. = 58 39 Parall. ad h. 1 a. ⊙ = 28 26 Parall. ad h. 20, 27' 28'' = 31 45 Declin. visae ⊙ 17 43 51 Declin. visae ⊙ 17 51 17 Declin. visae ⊙ 18 3 32 Diff. c = 7 26 Diff. d = 19 41 Diff. e = 13 5 Diff. f = 26 54 Fig. 2. 17. Ex differentiis \( e, f, c, d \), construitur typus & correctio sequentem in modum. Diff. \( e = 13' 5'' \) sit \( = ac \) (Fig. 2.); diff \( f = 26' 54'' \), sit \( = ad \): perpendicularis \( bc \), sit \( = \) diff. \( c \) sive \( 7' 26'' \): perpendicularis \( fd \) sit \( = 19' 41'' = \) diff. \( d \); eritque h. 20, 27' 28'', centrum \( C \) in \( a \); hor. 1 ante \( \delta \) vero in \( b \); centrum \( \Theta \) immoti in \( f \). Orbita lunæ visa, determinatur per puncta \( a \) & \( b \); quoniam per ea transit. Quod si \( fm \) sit æqualis summæ diametrorum apparentium \( = 32' 35'' \), hæc ab hypothenu\( sa \) \( ba \), partem \( ma \), refecat, quæ in tempus conversa dat correctionis quantitatem. 18. Si calculo res peragenda, \( ba \) continuanda, & ex \( f \) perpendicularum \( fg \) in eam demittendum. In catu praesenti est \( ab = 15' 2'' \), \( ae = 30' 55'' \), \( ge = 2' 10'' \): ergo \( ga = 33' 5'' \), \( gf = 3' 50'' \), \( fm = 32' 35'' \); ergo \( gm = 32' 21'' \); \( \& ga - gm = ma = 44'' \); quæ quantitas, in tempus conversa \( = 1' 27'' \). Cum autem \( C \) moveatur ab \( a \) versus \( b \), & in \( a \) positum sit centrum lunæ hor. 20, 27' 28'', manifestum est hoc tempus addendum esse ad tempus initii supra inventi, ut fiat verum & correctum initium eclipsis; sc. h. 20, 28' 55''. Probatio Correctionis. 19. Exactitudinem calculi ut ostendam, investigamus distantiam centrorum \( \Theta \) & \( C \) ad hoc tempus initii correcti. Nam si hæc summæ semidiametrorum apparentium æquales; verum necessario est momentum initii; si secus, falsum est. Tempus quod præterlabitur ab hoc momento initii correcti, ad tempus \( \delta = h. 1, 48' 36'' \). Huic competit motus \( C \) in ecliptica \( 54' 46'' \); increment. increment. latit. \( \epsilon = 4' 48'' \); motus \( \odot \) in longitudine \( 3' 34'' \): ergo tempore initii correcti longit. \( \epsilon = 50^\circ 12' 12'' \); latit. \( \epsilon \) bor. \( 31' 19'' \); longit. \( \odot = 51^\circ 3' 14'' \); ascens. rect. \( \odot = 48^\circ 36' 47'' \); declin. \( \odot = 18^\circ 3' 14'' \); asc. rect. \( \epsilon = 47^\circ 36' 4'' \); declin. \( \epsilon = 18^\circ 19' 46'' \); diff. inter asc. rectam \( \odot \) & \( \epsilon \), \( 1^\circ 0' 43'' \); diff. inter tempus initii correcti & meridiem, \( 3 h. 31' 6'' \); arcus \( \text{aequatoris huic temporis competens} = 52' 46' 30'' \); ang. circ. declinationis per centr. \( \odot \) transseuntis cum meridiano loci. Ab hoc subducta differentia inter asc. rect. \( \odot \) & \( \epsilon \) remanet pro ang. circ. declinationis per centr. \( \epsilon \) transseuntis cum meridiano \( = 51^\circ 45' 47'' \). Conveniens altit. \( \epsilon = 38' 33'' \); angulus circ. decl. cum verticali \( = 41' 11'' \); parall. alt. \( = 47' 50'' \), parall. declin. \( = 36' 0'' \); parall. asc. rect. in circ. parallelo \( = 31' 29'' \); declin. visum \( \epsilon = 17^\circ 43' 46'' \); diff. inter declin. visam \( \epsilon \) & declin. \( \odot = 19' 28'' \); Diff. inter asc. rect. \( \odot \) & asc. rect. \( \epsilon \), reducta ad partes circuli maximi, positae paralleli declinatione \( 17^\circ 44' = 57' 34'' \); parallax. asc. rect. \( = 31' 29'' \); ergo distantia locorum \( \odot \) et \( \epsilon \) in hoc circulo parallelo \( = 26' 5'' \). Si itaque ex \( 26' 5'' \), tanquam basi, et \( 19' 28'' \), tanquam catheto, construitur triangulum rectangulum, hypothenusa hujus trianguli erit distantia centrorum \( \odot \) et \( \epsilon \); sed \( 26' 5'' = 1565'' \); cujus quadratum \( 2449225 \), et \( 19' 28'' = 1168'' \); cujus quadratum \( 1364224 \): summa vero quadratorum \( = 3813449 \); cujus radix quadrata \( = 1953'' \) duobus saltem minutis secundis minor summa semidiametrorum apparentium. Pro Fine Correctio. 20. Hujus momentum supra num. 14. determinatum accidit h. 22, 43' 31''. Tempus \( \sigma \) et h. 21, 57' 31''. 31"; differentia 46' 0". Ad hanc differentiam motus in longit. est 28' 25"; incrementum latitud. = 2' 19"; motus ⊙ in longit. = 1' 51": quamobrem ad h. 22, 43' 31"; longit. ⊙ = 51° 35' 13"; latit. ⊙ = 38' 36"; longit. ⊙ = 51° 8' 39"; ascens. rect. ⊙ = 48° 42' 17"; declin. ⊙ = 18° 4' 39"; asc. rect. ⊙ = 48° 58' 38"; declin. ⊙ = 18° 48' 49". 21. Diff. temporis inter finem eclips. et meridiem est h. 1, 16' 29"; quaæ, in arcus æquatoris conversa = 19° 7' 15'. Diff. inter asc. rect. ⊙ et ⊙ = 16' 21"; asc. rect. ⊙ præcedit asc. rect. ⊙; ergo hæc diff. addenda, ut fiat 19° 23' 36", angulus circuli decli- nat. per centrum ⊙ transseuntis cum meridiano. An- gulus hic cum latitudine observatorii Parisiensis et declin. ⊙ profert altitudinem ⊙ = 56° 8', et angulum circuli declinationis cum verticali = 23° 4'. Inde con- sequitur parallaxis altit. = 34' 12"; parall. declina- tionis 31' 27"; et parall. asc. rect. in circ. parallelo = 13' 24". 22. Reductio ergo et dispositio ascensionum recta- rum et declinationum talis erit. | Asc. rect. | Declin. compet. | |------------|----------------| | ⊙ | | | In ⊙ ⊙ | 48 30 21 | | In ⊙ ⊙ | 48 40 24 | | Ad h. 22, 43' 31" ⊙ | 48 42 17 | | Ad h. 22, 43' 31" ⊙ | 48 58 38 | Diff. inter asc. rect. ⊙ = 1' 53" Diff. inter decl. ⊙ = 29' | In ⊙ ⊙ | 48 32 14 | | Immoti ⊙ | 48 42 14 | | Ad h. 22, 42' 31" ⊙ | 48 58 38 | Diff. a = 10' 3" Diff. b = 26' 24" Diff. a reduct. = 9' 33" Diff. b reduct. = 25' 5" Parall. { 32' 38" declin. { 31' 27" Decl. visæ, { 18' 6" 50° ⊙ { 18' 4" 39° ⊙ { 18' 17" 12° ⊙ F 2 23. 23. Diff. \(a\) est distantia \(\odot\) immoti a loco \(c\) primo; diff. \(b\) vero distantia loci \(C\) secundi a primo in circulo parallelo, cujus declinatio \(18^\circ 7'\). Per parallaxes asc. rect. nunc bina \(c\) loca mutantur in consequentia, adeoque additis parallaxibus crunt distantiae, \[ \begin{align*} \odot \text{ immoti} &= 9^\circ 33' \\ c \text{ in } \sigma &= 20^\circ 27' \\ c \text{ in fin.} &= 38^\circ 29' \end{align*} \] Quod si tandem ab his numeris subducatur minor \(9'33''\), relinquitur, pro distantia loci \(C\) in \(\sigma\) a sole immoto, \(10'54''\); pro distantia \(c\) in fine eclipsis a \(\odot\), \(28'56''\). Differentiae declinationum visarum, a minima visa sunt, \(2'11''\), et \(12'33''\). 24. Fiat (Fig. 3.) \(qf\) portio circuli paralleli ad declinationem \(18^\circ 7'\); in eo sit \(f\) centrum solis immoti; \(r\) locus lunæ in \(\sigma\); \(q\) locus lunæ in fine eclipsis: quare \(rf = 10'54''\); \(qf = 28'56''\). Ad puncta \(r\) et \(q\) erigantur perpendiculares \(ar\) et \(qv\); ita ut \(ar\) sit \(= 2'11''\); \(qv = 12'33''\). Per puncta \(v\) et \(a\) ducta recta \(mvag\) orbitam \(C\) visam designabit. Quod si circini apertura sit æqualis summæ semidiametrorum apparentium, hoc casu \(= 32'39''\) hæc ex \(f\) portionem orbitæ \(mv\), refecabit, quæ in tempus conversa, et ad momentum finis supra inventi addita, dat finem correctum. 25. Per solos numeros si hoc efficiendum, subducenda primum perpendicularis \(ar\), a perpendiculari \(vq\), ut habeatur \(vz\). Orbita \(va\) producenda, et ex \(f\) denuo perpendicularum \(fg\) demittendum, quibus peractis prodeunt 3 triangula similia; nempe, \(azv\), \(arn\), et \(fnq\). Ducto calculo emergit pro \(va\), \(20'48''\); pro \(an\), \(4'22''\); pro \(ng\), \(6'10''\): per conlcquens, \[ v_g = 31' 20''; g_f = 3' 32''. \text{Cum autem } m_f \text{ sit} \\ = 32' 39'', \text{crit } m_g = 32' 27'': \text{ergo } m_v = m_g - \\ v_g = 1' 7'': \text{quae quantitas in tempus mutata} = 2' \\ 28'': \text{hoc tempus additum ad tempus finis supra in-} \\ \text{ventum h. 22, 43' 31'', praebet tandem finem eclipsis} \\ \text{correctum h. 22, 45' 59''.} \textbf{Monitum.} Exemplum hoc eam ob causam eligendum duxi, quoniam idem est per quod Dominus \textit{De la Hire} calculi sui præcepta illustravit: operæ igitur pretium erit convenientiam cum praesenti ostendere. Supponitur in calculo \textit{Hireano} momentum conjunctionis secundum tempus verum, h. 21, 57' 15''; quod tamen non satis exactum: nam secundum ipsas tabulas \textit{Ludovicianas} id accidit h. 21, 57' 31''; sicuti nos istud supra statuimus. Levi hoc errore correcto momentum obscurationis maximæ secundum calculum \textit{Hireanum} in ipsis secundis consentit cum nostro, sc. h. 21, 35' 26''; sed initium atque finis necnon quantitas eclipsis exiguo intervallo differunt. Nimirum in isto calculo perpendicularis \( L T \) (vid. Tab. \textit{Ludovic. Edit. Paris. 1727. p. 48. in Uso Tabularum}) prodit ad verum tempus conjunctionis 211; adeoque quantitas eclipsis = 10 digit. 49 min. Initium accidit ad h. 20, 27' 29''; finis, h. 22, 43' 23''. Per præceptum \textit{Hireanum} initium istud nulla indiget correctione; quod tamen tunc demum verum est, si error 1 vel \( \frac{1}{2} \) minutorum negligendus censetur. Sin minus, ut res postulat, et probatio correctionis mæ satis ostendit, in \textit{Hireano} calculo correctionis labor quoque suscipiendus. In meo initium prima vice repertum satis exacte quidem con- consentiret; sed, propter diversas lunae altitudines in fine et initio, diversos semidiametros apparentes assumi, quod Dominus De la Hire non fecit; ideoque ut omnia sint paria, semidiameter C apparens, 16' 43'' in fine et initio constans ponatur; quo casu initium non correctum calculi mei rejicitur ad h. 20, 27' 23'', finis ad h. 22, 43' 29': ergo initium meum antecedit Hireanum 6''; finis vero sequitur eundem eodem intervalllo; et quantitas eclipsis, prout eam supra determinavimus, excedit Hireanam 7'. Cum orbitae lunae apparentes, seu potius factae in praesenti et Hireano calculo non sint revera rectae, sed curvae, hac differentia ut in Hireano convexitas ejus puncto L (vide alleg. pag. 48. in Tab. Ludovic.) in praesenti vero concavitas puncto f (Fig. i.) objiciatur, evidens est perpendiculararem LT, a cujus longitudine quantitas eclipsis dependet, in Hireano calculo esse justo majorem; sicuti in meo eadem perpendicularis, qua fg (Fig. i.) indicatur, justo minor existit: propterea si summa praecisio adhibenda foret, vera eclipsis quantitas inter utrasque intermedia statuenda.