Tentaminis de Mensura & Motu Aquarum Fluentium, Praecedente Transactionum Numero Communicati, Pars Reliqua; Auctore Jacobo Jurin, M. D. Soc. Reg. & Colleg. Medic. Londinens. Sodale

I. Tentaminis de Mensura & Motu aquarum fluentium, praecedente Transactionum Numero communicati, pars reliqua; Auctore Jacobo Jurin, M.D. Soc. Reg. & Colleg. Medic. Londinens. Sodale. De Resistentia partium aquae inter se, ex defectu lubricitatis oriunda. Piusquam ulterius progrediamur, expendenda est ea Resistentia fluidorum, quae oritur ex motu partium eorundem inter se, quamque Newtono auctore vocamus Resistentiam ex defectu lubricitatis oriundam. Hanc ille duplicem statuit, alteram quae oritur ex tenacitate fluidi, alteram quae fit attritu, seu affictu mutuo partium fluidi inter se. Priorem, data superficie, uniformem esse censet, seu effectum edere temporis proportionalem; & favent experimenta: posteriorem opinatur augeri in ratione velocitatis, vel ratione paulo minori. Sed de hac nihil diserte statuit, cum desint idonea experimenta. Diversam autem rationem inter se invicem obtinent haec duae Resistentiae, non solum pro diversitate fluidi, quum oleo, ex gr. aut sevo liquefacto major insit tenacitas quam aquae, minor attritus; sed etiam in fluido eodem, pro diversa velocitate qua moventur partes fluidi inter se. In dato autem fluido datur necessario certa aliqua velocitas, ubi pares inter se invicem sint haec resistentiae; & si istam velocitatem experimento reperire liceret, posset in aliis quibuscunque velocitatibus earundem proportio determinari. Experimenta vero nulla habemus, quod sciam, nec facile est ulla excogitare, quorum ope cognosci queat ista velocitas, quae caeteris pro fundamento inservire possit. Suspicamur quidem, immo pro verissimili habemus non una de causa, quamminimam in aqua esse velocitatem istam fundamentalem, ubi resistentiae ex tenacitate &c ex affricitu oriundae aequales sunt inter se. Hoc autem concedo, cum crescente velocitate crescat pariter resistentia ex affricitu, nullatenus vero crescat resistentia ex tenacitate, patet ultimam hanc resistentiam non nisi parvam admodum rationem obtinere ad priorem, ubi partes fluidi notabili aliqua velocitate moventur inter se; & proinde tuto negligi posse. Caeterum, sive hac neglecta, alteram solam resistentiam, quae ex affricitu oritur, sive utramque comprehendi oporteat nomine Resistentiae ex defectu lubricitatis oriundae, leges certe, quibus crescat aut minatur haec Resistentia, non nisi ab experientia sunt petendae. Sequentes itaque crescendi leges cum ei tribuimus, etsi post diligentem experimentorum haecenum factorum considerationem, magnam veri similitudinem habere videantur, id tamen eo animo facimus, ut si quid certius docuerint experimenta in posterum instituenda, sententiam non inviti mutemus. HYPOTHESIS. Resistentia, quae oritur ex defectu lubricitatis aquae, est in ratione composita ex tribus sequentibus: 1. Ex ratione superficiei partium quae moventur. Hoc, puto, admittunt omnes Philosophi. 2. Ex ratione velocitatis relativae, qua moventur partes aquae inter se. Hoc a reliquis, ni fallor, admittitur, nec multum dissentit Newtonus. 3. Ex ratione subduplicata altitudinis aquae. Id nos adsumimus, duce experientia, & aliquatenus etiam auctore auctore Newtono, qui censet majori pressione fieri attritum partium fortiorum, & separationem ab invicem difficiliorem. Princip. Lib. II. Prop. LII. Schol. **PROBLEMA VIII.** Exponere resistentiam partium Cataractæ, quæ oritur ex defectu lubricitatis. Sit \( r \) radius foraminis, \( A \) altitudo Cataractæ, \( y \) radius cujuslibet sectionis horizontalis, \( x \) altitudo Cataractæ supra istam sectionem, \( z \) radius circuli cujusvis in ista sectione, \( v \) velocitas aquæ in centro foraminis. Erit modo \( \frac{v x^{\frac{1}{2}}}{A^{\frac{1}{2}}} \) velocitas aquæ in centro sectionis, cui radius \( y \). Nam velocitas in centro sectionis eadem est ac si sectio ista esset foramen in fundo vasis decurtati, cui altitudo \( x \); adeoque est ut \( x^{\frac{1}{2}} \) per Corollarium Probl. VI. Erit etiam \( \frac{y - z}{y} \times \frac{v x^{\frac{1}{2}}}{A^{\frac{1}{2}}} \) velocitas aquæ in circumferentia circuli, cui radius \( z \); \( \frac{z v x^{\frac{1}{2}}}{y A^{\frac{1}{2}}} \) velocitas relativa; \( 2 m z \dot{x} \) superficies cylindri nascentis, cui radius \( z \), altitudo \( \dot{x} \); eritque per tres nostras positiones, Resistentia superficiæ hujus cylindri, ut \( 2 m z \dot{x} \times \frac{z v x^{\frac{1}{2}}}{y A^{\frac{1}{2}}} \times x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 m v x x z z}{y A^{\frac{1}{2}}} \). Considerentur jam \( x \), \( x \), & \( y \) ut quantitates constantes, dum fluit \( z \) usque donec evadit æqualis ipsi \( y \); & erit fluxionis $\frac{2muvxxz^2}{yA_{\frac{1}{2}}}$, quantitas fluens $\frac{2muvxxz^2}{2yA_{\frac{1}{2}}}$, sive $\frac{muvxxz^2}{yA_{\frac{1}{2}}}$, sive, (ponendo $z=y$) $\frac{muvxx}{A_{\frac{1}{2}}}$, ut resistentia cylindri nascentis, cui radius $y$, altitudo $x$. Sed per proprietatem curvae Cataracticae, $y^4x=r^4A$, &c $y^{\frac{1}{4}}=rA_{\frac{1}{4}}$: unde Resistentia cylindri hujus nascentis erit ut $\frac{muvxxrA_{\frac{1}{4}}}{A_{\frac{1}{2}}x^{\frac{3}{4}}}$, sive ut $\frac{muvxx^{\frac{3}{4}}}{A_{\frac{1}{4}}}$; &c Resistentia totius Cataractae erit ut hujus fluxionis quantitas fluens, sive ut $\frac{muvxx^{\frac{7}{4}}}{A_{\frac{1}{4}}} \times \frac{4}{7}$, sive, ponendo $x=A$, ut $\frac{4}{7}muvrA_{\frac{3}{2}}$. Et cum per Problema IV. sit $v=3qV$, erit Resistentia in Cataracta, ut $\frac{12qmvra_{\frac{3}{2}}}{7}$, sive ut $qVra_{\frac{3}{2}}$. Q.E.I. Coroll. Cum sit $V$ ut $\sqrt{A}$, erit Resistentia in Cataracta, ut $qrA^2$. Scholium. In solutione modo exposita, pro superficie taleolae Cataractae, cui radius $z$, secundum quam particulæ aquæ se mutuo præterfluunt velocitate relativa æquabili, adhibuimus superficiem cylindri nascentis, cui radius $z$, altitudo $x$, sive superficiem $2mzx$, cum revera ejus taleolæ superficies sit $2mzx\sqrt{x^2+z^2}$. Id autem si corrigatur, invenietur Resistentia superficie hujus taleolae ut \(2mz\sqrt{x^2 + z^2} \times x^{1/2} \times \frac{zu}{yA^{1/2}}\) \(= \frac{2muvxz}{yA^{1/2}}\sqrt{x^2 + z^2}\). Cumque, per Scholium 2. Problematis II. substantans curvae Cataractae sit \(4x\), & tangens ipsa \(\sqrt{16x^2 + z^2}\), erit \(4x : \sqrt{16x^2 + z^2} : : x : \sqrt{x^2 + z^2}\) \(= \frac{x\sqrt{16x^2 + z^2}}{4x}\). Itaque Resistentia superficie taleolae erit ut \(\frac{2muvxz}{yA^{1/2}} \times \frac{x}{4x} \sqrt{16x^2 + z^2} = \frac{muvxz}{2yA^{1/2}} \sqrt{16x^2 + z^2}\) \(= \frac{muvxz}{2yA^{1/2}}\) in \(4x + \frac{z^2}{2 \times 4x} - \frac{z^4}{8 \times 4x^3} + \frac{z^6}{16 \times 4x^5} - \frac{5z^8}{128 \times 4x^7} + \frac{7z^{10}}{256 \times 4x^9}\) &c. Habendo autem quantitates \(x, x, \&c.\) pro constantibus, hujus fluxionis fluens erit, \(\frac{muvxz}{2yA^{1/2}}\) in \(\frac{4xz^2}{2}\) \(+ \frac{z^4}{8 \times 4x} - \frac{z^6}{48 \times 4x^3} + \frac{z^8}{8 \times 16 \times 4x^5} - \frac{z^{10}}{256 \times 4x^7}\) \(+ \frac{7z^{12}}{12 \times 256 \times 4x^9}\) &c. Et Et ponendo \( z = y \), erit hæc fluens \( \frac{m v x}{2 A_1^2} \) in \( 2xy \) \[ + \frac{y^3}{8 \times 4x} - \frac{y^5}{48 \times 4x^3} + \frac{y^7}{8 \times 16 \times 4x^5} - \frac{y^9}{256 \times 4x^7} \] \[ + \frac{7y^{11}}{12 \times 256 \times 4x^9} - \&c. \text{ qua erit ut Resistentia in taleola Cataractica, cui radius } y, \text{ altitudo } x. \] Hæc autem est ut fluxio Resistentiae in tota Cataracta, \&c. ponendo \( y = \frac{r A_1^4}{x^4} \), fit \( \frac{m v x}{2 A_1^2} \) in \( 2 r x A_1^4 \) \[ + \frac{r^3 A_4^3}{8 \times 4 \times x^7} - \frac{r^5 A_4^5}{48 \times 4^3 \times x^17} + \frac{r^7 A_4^7}{8 \times 16 \times 4^5 \times x^27} \] \[ - \frac{r^9 A_4^9}{256 \times 4^7 \times x^37} + \&c. = \frac{m v r}{2 A_1^4} \text{ in } 2 x x^3 + \frac{r^2 A_1^2 x x^4}{32} \] \[ - \frac{r^4 A x x^4}{48 \times 4^3} + \frac{r^6 A_2^3 x x^2}{8 \times 16 \times 4^5} - \&c. \text{ Hujus autem fluxionis quantitas fluens est } \frac{m v r}{2 A_1^4} \text{ in } 2 x^7 x^4 + \frac{r^2 A_1^2 x^3}{32} \] \[ - \frac{r^4 A x^4}{48 \times 4^3} x^4 + \frac{r^6 A_2^3 x^2}{8 \times 16 \times 4^5} x^4 - \&c. \text{ Hæc autem, ponendo } x = A, \text{ fit } \frac{m v r}{2} \text{ in } \frac{8 A_2^2}{7} - \frac{r^2}{3 \times 8 A_2^2} \] \[ + \frac{r^4}{12 \times 13 \times 4^3 A_2^2} - \frac{r^6}{32 \times 23 \times 4^5 A_2^2} + \&c. \text{ sive, } \] \[ \frac{4 m v r A_2^3}{7} \text{ in } 1 - \frac{7 r^2}{3 \times 4^3 A_2^2} + \frac{7 r^4}{6 \times 13 \times 4^5 A_4^4} - \frac{7 r^6}{23 \times 4^9 A_6^6} + \&c. \text{ qua est ut Resistentia per totam Cataractam. } \] Quod Quod si altitudo pro infinita habeatur respectu diametri foraminis, erit Resistentia ut $\frac{4mvrA^3}{7}$, prorsus uti definitum est in solutione priori. Si $A = 10r$, Resistentia erit ut $\frac{4mvrA^3}{7} \times 1 - \frac{1}{2743}$ circiter. Si $A = 4r$, Resistentia erit ut $\frac{4mvrA^3}{7} \times 1 - \frac{1}{439}$ circiter. Potest itaque usurpari $\frac{4mvrA^3}{7}$ pro mensura Resistentiae, absque periculo sensibilis erroris, etiam ubi altitudo aquae non superat duas diametros foraminis, &c multo magis in altitudine longe majori. **Problema IX.** Data Mensura aquae effluentis per datum foramen circulare in medio fundo vasis cylindrici datae altitudinis, definire Mensuram aquae effluentis ex alio vaso cujuscunque altitudinis datae per foramen circulare quodcumque datum. Sit $r$ radius foraminis dati, $A$ altitudo data, $2qmr^2A$ data Mensura aquae effluentis illo tempore, quo casurum in vacuo sit corpus grave per altitudinem $A$. Hinc erit, per Problema IV. $3q^2mr^2AV$ Motus aquae eodem tempore effluentis: critque, per Corollarium Problematis IV. Motus eodem tempore per Resistentiam deperditus, $mr^2AV \times 1 - 3q^2$. Hunc itaque Motum Motum vis æqualis Resistentiae generare potest eodem tempore. Sunt autem Motus eodem temporis spatio generati viribus eodem generantibus proportionales. Itaque Motus $mr^2AV$, quem hoc tempore generare potest, per Problema I. pondus columnæ aquæ $mr^2A$, cum abest omnis Resistentia, est ad Motum $mr^2AV \times 1 - 3q^2$, quem eodem tempore generare potest Resistentia, ut pondus $mr^2A$, ad ipsam Resistentiam. Unde Resistentia = $mr^2A \times \frac{mr^2AV \times 1 - 3q^2}{mr^2AV} = mr^2A \times 1 - 3q^2$. Eodem modo, ponendo $s$ & $E$ pro radio foraminis, & altitudine novi vasis, & $2pms^2E$ pro Mensura aquæ effluentis eodem tempore, quo casurum fit in vacuo corpus grave per altitudinem $E$, habebis Resistentiam in novo vase = $ms^2E \times 1 - 3p^2$. Sed per Corollarium Problematis VIII. sunt ad invicem hæ duæ Resistentiae ut $qrA^2$ ad $psE^2$. Itaque, $mr^2A \times 1 - 3q^2 : ms^2E \times 1 - 3p^2 :: qrA^2 : psE^2$, sive $r \times 1 - 3q^2 : s \times 1 - 3p^2 :: qA : pE$, sive $prE \times 1 - 3q^2 = qsA \times 1 - 3p^2$, qua æquatione rite reducta pervenitur ad sequentem, $$p = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{rE \times 1 - 3q^2}{6qsa}} - \frac{rE \times 1 - 3q^2}{6qsa},$$ vel ponendo $rE = nsA$, $$p = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{n \times 1 - 3q^2}{6q}} - \frac{n \times 1 - 3q^2}{6q}.$$ Unde habetur \( p \times 2ms^2E \), quae est Mensura aquae effluentis ex secundo vase, quo tempore cadit in vacuo corpus grave per altitudinem \( E \). Q.E.I. Coroll. 1. Si diametri foraminum fuerint in ratione altitudinum aquae, eadem erit ratio Mensurarum, ac si aqua efflueret sine ulla Resistentia. Nam, si \( r : s :: A : E \), \( rE = sA \), & \( n = 1 \), unde \[ p = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1 - 3q^2}{6q}} \text{ min. } \frac{1 - 3q^2}{6q}, \quad \& \text{ per reductionem } p = q; \text{ unde } 2qmr^2A : 2pms^2E :: 2mr^2A : 2ms^2E, \text{ quae est ratio Mensurarum, cum abest omnis Resistentia.} Coroll. 2. Si \( E \) pro nihilo habeatur respectu altitudinis \( A \), habenda est etiam \( n \) pro nihilo, unde fit \( p = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Itaque, quo minor capitur altitudo \( E \), eo propius vergit \( p \) ad \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). Coroll. 3. Si \( s \) pro infinite magno habeatur respectu radii \( r \), fit \( p = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Itaque quo major capitur radius \( s \), eo magis vergit \( p \) ad \( \frac{1}{\sqrt{3}} \). **Problema X.** *Aqua in aërem effluente determinare rationem inter diametrum foraminis & diametrum venæ contractæ.* Hæc ratio sine experimentorum ope determinari nequit. Est equidem, per Problema VII, \[ K = \xi^2 = \] \[ \rho^2 = \frac{qVr^2}{v^2} \times v + 6qV - 2\sqrt{3qV + 9q^2V^2 - 2v^2}, \] unde cognitis \( q \) & \( v \) definitur \( \rho \). Sed nulla, quod sciam, habemus experimenta, quibus utramque harum quantitatum \( q \) & \( v \) metiamur. Poleni siquidem experimenta Mensuram aquae effluentis exhibent, unde cognoscitur \( q \); sed distantiam maximam, ad quam fertur aqua ex foramine horizontaliter profiliens, sive distantiam, ad quam pertingit media pars venæ, quæ velocitate \( v \) exilit, non designant. Mariotti vero experimenta altitudinem maximam perpendiculararem, ad quam profilit aqua motu sursum versō, sive altitudinem, quam attingit aqua ex media vena profiliens, metiuntur, unde cognoscitur \( v^2 \); sed non exhibent Mensuram aquae effluentis. Deficientibus itaque idoneis experimentis, vix licebit rationem eam, quam quaerimus, nisi praeterprōpter determinare. Id autem fiet in modum sequentem. In Scholio 2. Problematis VII, verisimile esse docuimus constantem esse rationem inter hos radios, aut saltem non nisi quamminimum mutari. Constat autem ex Mariotti experimentis discrimen inter altitudinem, quam attingit aqua sursum exiliens, & altitudinem vasis, rationem obtinere duplicatam circiter ipsius altitudinis vasis. Itaque, si \( a \) sit altitudo, ad quam motu sursum versō salire poslit aqua fluens per axem venæ cum velociitate \( v \); erit ex Mariotti experimentis, \( A-a \) ut \( A^2 \), & erit \( \frac{A^2}{A-a} \) data quantitas. Sed in uno experimento, quod pro fundamentali habet Mariottus, fuit $A = 60$ digit. Parisiens. & inventa est $a = 59$ digit. Paris. diametro foraminis metiente digitum dimidium. Fuit itaque in hoc casu $$\frac{A^2}{A-a} = 3600,$$ cumque data sit hæc quantitas, erit semper $3600a = 3600A - A^2$, vel $a = \frac{3600A - A^2}{3600}$ $$= A - \frac{A^2}{3600}.$$ Ergo, si sit $A = 1$ dig. sive dupla diametri foraminis, erit $a = 1 - \frac{1}{3600}$. Sed $v^2 : V^2 :: a : A :: 1 - \frac{1}{3600} : 1$. Itaque, cum altitudo vasis dupla est diametri foraminis, haberi potest $v^2 = V^2$, vel $v = V$. Porro, per Coroll. 4. Probl. IX. decrescente $E$, vergit $p$ ad $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Itaque, cum fit altitudo vasis valde parva, velut si non superet duas diametros foraminis, haberi potest $p$ vel $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Sed, per Problema VII, $$\rho^2 = \frac{qVr^2}{v^2} \times v + 6qV - 2\sqrt{3}qV + 9q^2V^2 - 2v^2,$$ &c pro $v$ & $q$ substituendo valores corundem mode inventos, sive $V & \frac{1}{\sqrt{3}}$, fit $$\rho^2 = \frac{r^2}{V\sqrt{3}} \times V + 2V\sqrt{3} - 2\sqrt{V^2\sqrt{3} + 3V^2 - 2V^2}.$$ \[ \frac{r^2}{\sqrt{3}} \times \frac{1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{1 + \sqrt{3}}}{5} \] \[ \varrho^2 = r^2 \times 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{1 + \sqrt{3}} = r^2 \times 0.6687553907 \] unde \( \varrho = r \times 0.81777466 \). Hic itaque est valor ipsius \( \varrho \), cum altitudo aquae dupla est diametri foraminis; & cum per Scholium 2. Problematis VII. \( \varrho \) constantem obtineat rationem ad radium foraminis, obtinebit eundem valorem in quacunque altitudine aquae. Q.E.I. Coroll. I. Per Problema VII, \[ R = \frac{\varrho^2 + r}{\sqrt{3} \varrho^2 - 2r^2}, \& \text{ex modo invento valore ipsius } \varrho, \text{ habetur } R = r \times 3.98877150, \text{ qui est valor ipsius } R, \text{ cum altitudo aquae dupla est diametri foraminis; cumque per Scholium 2. ejusdem Problematis, constans habeatur ratio inter } r \& R, \text{ obtinebit } R \text{ hunc ipsum valorem, quacunque fuerit altitudo aquae.} Coroll. II. Quoniam \( u \) est fere æqualis ipsi \( V \), & \( q \) est fere \( = \frac{1}{\sqrt{3}} \), ubi altitudo aquae dupla est diametri foraminis; erit ad hanc altitudinem aquae, \( \frac{u}{qV} = \sqrt{3} \) quamproxime. Et cum, per Scholium 2. Problematis VII, constans sit ratio inter \( u \& qV \), erit \( \frac{u}{qV} = \sqrt{3} \), quacunque fuerit aquae altitudo. PROBLEMA XI. Aqua ex dato vase semper pleno per datum foramen in aërem effluente, & data una quavis ex tribus quantitatibus sequentibus, nempe Mensura aquæ effluentis, velocitate in axe vena contracta, aut altitudine, ad quam motu sursum verso salire possit media pars venæ, reliquas duas determinare. Sit $A$ altitudo vasis, $r$ radius foraminis, $2 q m r^2 A$ Mensura aquæ effluentis, $v$ velocitas in axe venæ contractæ, $a$ altitudo, ad quam salire queat aqua effluens per axem venæ, & detur primo $2 q m r^2 A$, unde datur $q$. Per Corollarium 2. Problematis X. $\frac{v}{q V} = \sqrt{3}$, unde $v = q V \sqrt{3}$. Hinc $v^2 = 3 q^2 V^2$. Sed $V^2 : v^2 :: A : a = \frac{v^2 A}{V^2} = \frac{3 q^2 V^2 A}{V^2} = 3 q^2 A$. Si secundo detur $v$, erit $q = \frac{v}{V \sqrt{3}}$, & $2 q m r^2 A = \frac{2 m r^2 A v}{V \sqrt{3}}$. Porro $a = \frac{v^2 A}{V^2}$. Postremo, si detur $a$, cum sit $a = 3 q^2 A$, erit $q^2 = \frac{a}{3 A}$; & $q = \sqrt{\frac{a}{3 A}}$. Item $v^2 = \frac{a V^2}{A}$, unde $v = V \sqrt{\frac{a}{A}}$. Q.E.D. PROBLEMA XII. Data altitudine, ad quam motu sursum versò salit aqua per aërem erumpens ex vasa altitudinis datæ per datum foramen circulare, definire altitudinem, ad quam aqua motu sursum versò ascensura sit, cum erumpit ex vasa cujuscunque altitudinis datæ per foramen circulare quodcumque datum. Significentur literis, \( r, s, A, E, q, p \), res eadem atque in Problemate IX; sintque \( a \) & \( e \) altitudines, ad quas salire queat aqua erumpens ex vasis, quibus altitudines \( A \) & \( E \) respective. Erit jam, per Problema XI, \( a = 3q^2A, e = 3p^2E \), unde \( 3q^2 = \frac{a}{A}, 1 - 3q^2 = \frac{A-a}{A}, q = \sqrt{\frac{a}{3A}}, p = \sqrt{\frac{e}{3E}}, \) & \( p^2 = \frac{e}{3E} \). Cumque, per Problema IX, sit \[ p = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{rE \times (1 - 3q^2)}{6qsA}} - \frac{rE \times (1 - 3q^2)}{6qsA}, \text{ vel} \] ponendo \( rE = nsA, p = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{n \times (1 - 3q^2)}{6q}} - n \times \frac{1 - 3q^2}{6q}; \) hinc substituendo \( \frac{A-a}{A} \) pro \( 1 - 3q^2, \) & \( \sqrt{\frac{a}{3A}} \) pro \( q, \) ac pro \( \frac{A-a}{A} \) scribendo \( \alpha, \) evadet \[ p = \frac{\sqrt{4Aa + n^2\alpha^2 - na}}{2\sqrt{3Aa}}, \text{ &} \] \[ p^2 = \frac{2Aa + n^2\alpha^2 - na\sqrt{4Aa + n^2\alpha^2}}{6Aa}. \] Sed Sed \( p^2 = \frac{e}{3E} \), unde \( e = \frac{2Aa + n^2a^2 - na\sqrt{4Aa + n^2a^2}}{2Aa} \) sive \( e = E \times \frac{2Aa + n^2a^2 - na\sqrt{4Aa + n^2a^2}}{2Aa} \), unde scribendo \( \varepsilon \) pro \( E - e \), fit \( \varepsilon = \frac{nEa}{2Aa} \times \sqrt{4Aa + n^2a^2 - na} \). Data autem \( \varepsilon \), sive \( E - e \), datur \( e \), sive altitudo ad quam aqua fertur, cum ex novo vase erumpit. Q.E.I. Coroll. 1. Si æqualia fuerint foramina in utroque vase, seu \( s = r \), erit \( E = nA \), vel \( n = \frac{E}{A} \) unde \( \varepsilon = \frac{n^2a}{2a} \times \sqrt{4Aa + n^2a^2 - na} \). Coroll. 2. Si æquales fuerint vasorum altitudines, seu \( E = A \), erit \( r = ns \), seu \( n = \frac{r}{s} \), unde \( \varepsilon = \frac{n\alpha}{2a} \times \sqrt{4Aa + n^2a^2 - na} \). Coroll. 3. Si diametri foraminum fuerint in ratione altitudinum, salient aquæ ad altitudines ipsis vasorum altitudinibus proportionales. Nam, si \( r : s :: A : E \), \( rE = sA \), & \( n = 1 \), unde \( \varepsilon = \frac{E\alpha}{A} \), seu \( \varepsilon : \alpha :: E : A \), vel \( E - e : A - a :: E : A \), sive \( e : a :: E : A \). Coroll. 4. Cum sit \( p \times 2\sqrt{3Aa} = \sqrt{4Aa + n^2a^2 - na} \), erit \( \varepsilon = \frac{nEa}{2Aa} \times 2p\sqrt{3Aa} = \frac{pnEa\sqrt{3}}{\sqrt{Aa}} \), unde pro \( \sqrt{a} \) substituendo ejus valorem suprapositum, \( q\sqrt{3A} \), & reductione debita, fit \( \varepsilon = \frac{pnEa}{qA} \), sive \( \varepsilon = \frac{prE^2a}{qsA^2} \). Coroll. Coroll. 5. Hinc autem ponendo \( p = q \), \( \varepsilon = \frac{rE^2}{sA^2} \), sive \( \varepsilon : \alpha :: rE^2 : sA^2 \). Hoc est, defectus altitudinum aquarum salientium, sive discrimina inter altitudines salientium, & altitudines vasorum, sunt in ratione composita ex ratione duplicata altitudinum vasorum directe, & ratione diametrorum foraminum reciprocé. Hæc autem regula accuratè vera est, ubi \( sA = rE \), per Coroll. 1. Probl. IX; & proxime ad verum accedit, ubi \( E \) & \( s \) in eadem circiter ratione augentur, vel minuuntur; nec nisi paulum aberrat a vera aquæ salientis altitudine in quocunque casu, modo \( E \) non sit major pedibus 50, & eodem tempore \( s \) non sit minor lineis 3. Coroll. 6. Ubi \( s = r \), \( \varepsilon = \frac{E^2}{A^2} \) circiter, hoc est, ubi paria sunt foramina, defectus altitudinum aquarum salientium sunt fere in ratione duplicata altitudinum vasorum, quaë est ipsa Mariotti regula. Coroll. 7. Ubi \( E = A \), \( \varepsilon = \frac{r\alpha}{s} \) circiter, hoc est, ubi pares sunt altitudines vasorum, defectus aquarum salientium sunt fere ut diametri foraminum reciprocé. Scholium Generale I. Theoriæ supratraditæ fidem si quis experimentis instituendis explorare voluerit, ei auctor sim, 1. Vase uti amplissimo, saltem in parte superiori, eum in finem ut toto tempore, quo capitur experimentum, altitudo aquæ ad sensum non mutetur. Quod Quod si vas ita amplum non sit, quin durante effluxu ex foramine decrementum altitudinis aquae notatu dignum reperiatur, habenda est pro constanti altitudine altitudo debita intermedia inter maximam & minimam aquae altitudinem; quod fieri praestat, quam motum aquae naturalem perturbare affundendo desuper aquam novam. 2. Vasis altitudo tanta sit, ut si aquam per foramen in latere factum emittere velis, velocitas aquae per centrum foraminis exiturae tuto haberi possit pro velocitate quacum aqua per totum foramen exitura sit, cum abest omnis resistentia. 3. Lamina, in quo fit foramen, tam tenuis sit, aut saltem acie tam tenui in ambitu foraminis, ut ejus aciei crassitie pro nihilo haberi possit respectu diametri foraminis. Debet autem recidi crassitie laminae facie externa, reliqua plana facie interiori proxime aquam: & angulum hujus aciei tam acutum esse oportet, ut aqua per foramen effluens lateri exteriori laminae non adhaerescat. His paratis sequentia institui poterunt experimenta, quibus quasi totidem criteriis de certitudine doctrinae suprapositae dijudicari queat. **Experimentum 1.** Cum aqua per foramen in latere vasis emittitur, mensuretur diligentissime diameter venae contractae, notando utrum semper sibi constet mutata utcunque altitudine aquae. **Exper. 2.** Observetur etiam utrum haec diameter eandem semper obtineat rationem ad diametrum foraminis, cum foramina diversae magnitudinis usurpantur. **Exper. 3.** Aqua effluente vel recta deorsum per fundum vasis, vel horizontaliter per latus ejusdem, observetur accuratissime quantum effluat dato tempore, adhibendo diversas altitudines aquae, sed unum idemque foramen. Exper. 4. Idem observetur, cum foramina diversae magnitudinis usurpantur, sed eadem adhibetur altitudo aquae. Exper. 5. Observandum quantum effluat dato tempore in casibus duobus diversis, quorum in utroque eadem sit ratio diametri foraminis ad altitudinem aquae. Nam si Mensurae reperientur in ratione composita ex ratione duplicata diametrorum, & ratione simplici altitudinum, ut in Coroll. 3. Problematis IX, magnam habebis Theoriae nostrae confirmacionem. Exper. 6. In iisdem duobus casibus, motu aquae sursum verso ope tubi ampli lateri vasis adaptati, & superiori parte foramine pertusi, observetur ad quantas altitudines aqua saliat. Nam si reperientur haec altitudines proportionales altitudinibus aquae in vase, ut in Corollario 3. Problematis XII, habebis alteram hujus Theoriae certissimam confirmationem. Exper. 7. Eodem manente foramine, sed mutata utcunque altitudine aquae, observandum ad quantam altitudinem feratur aqua. Exper. 8. Idem observetur, cum eadem persistente altitudine aquae mutatur foraminis magnitudo. Caeterum, ex omnibus his experimentis praefenda sunt ea, quibus motu aquae sursum verso notatur altitudo ad quam aqua salit. Haec enim altitudo & facilius longe capi potest, quam Mensura aquae effluentis, & error, si quis forte admittatur in capienda altitudine, longe minoris est momenti, quam qui admittitur in Mensura aestimanda. Cum enim, per Pro- Problema XI, altitudo aquae salientis sit $3q^2A$, patet, quod error minimus admissus in Mensura, sive in $q$, duplicabitur fere in $q^2$, adeoque duplicabitur in altitudine aquae salientis. At minimus error admissus in altitudine aquae salientis, sive in $3q^2A$, redigitur fere ad dimidium in æstimanda $q$, hoc est, in Mensura aquae effluentis. **Scholium Generale II.** Interim, dum ab iis, quibus otium non minus quam veri cognoscendi studium suppetit, fiant aliquando ista experimenta, utendum, quantum fieri potest, iis experimentis quæ nobis suppeditavit antecessorum diligentia. Hæc autem sunt triplicia. Nam metiuntur vel, 1. Diametrum venæ contractæ; vel, 2. Mensuram aquae effluentis; vel, 3. Altitudinem ad quam aqua salit. 1. Venæ contractæ radius mensurante Newtono est $r \times 0.84$, cum diameter foraminis est $\frac{1}{8}$ digiti Londinensis. Idem Poleno dimetiente est $r \times 0.78$ circiter, cum diameter foraminis est digitorum Parisiensem $2\frac{1}{8}$. Per calculum nostrum est $r \times 0.818$ fere, quæcunque fuerit diameter foraminis. Quæ magnitudo est intermedia circiter inter mensuram Newtonianam & Polenianam. 2. Perincommode accidit, ut Mensuræ aquae effluentis ab omnibus captæ, praeter unum Polenum, ad propositum nostrum penitus sint inutiles. Nam docente viro illo eximio, hæc Mensura, cum per tubum exit aqua, longè major est quam cum exit ex nudo foran- foramine. Et cum foramina in laminis facta pro tubis brevibus habenda sint, saltem nisi laminæ crassitius quamminima sit respectu diametri foraminis, inde factum est, ut omnes Mensuræ aquæ effluentis ante illum captæ majores veris invenirentur. Utendum ergo solis Mensuris a Poleno captis. Haec autem, quæ quidem magno illo foramine 26 linearum captæ fuerunt, sunt numero decem, nempe ponendo corpus grave cadere in vacuo per pedes Parisienses 15, digitum 1, lineas 2, tempore minuti secundi, evadit Mensura \[ \begin{align*} 1^a &= 2mr^2A \times 0.5772 \\ 2^a &= 0.5772 \\ 3^a &= 0.5731 \\ 4^a &= 0.5710 \\ 5^a &= 0.5690 \\ 6^a &= 0.5675 \\ 7^a &= 0.5689 \\ 8^a &= 0.5703 \\ 9^a &= 0.5732 \\ 10^a &= 0.5613 \\ \end{align*} \] Quarum omnium intermedia est \(2mr^2A \times 0.571\) fere. Hanc itaque habemus pro Mensura Poleniana aquæ effluentis, cum vasis altitudo est digitorum 33 Parisiensium, quæ est altitudo intermedia inter eas quæ Poleno fuerunt usurpatæ. Mensura autem, quæ ad hanc altitudinem calculo nostro elicetur ex fundamentali Mariotti experimento, quod mox proponemus, est \(2mr^2A \times 0.5768\); quæ parte circiter nonagesima octava superat Mensuram Polenianam. Tantulum vero discrimen oriri potuit vel ex errore centesimæ partis digiti in æstimanda dia- --- *a Polenus de Castellis, art. 35, 38, 39, 42, 43. &c Epistol. ad Marionium.* metro foraminis; vel ex eo, quod vas excipiens aquam effluentem, centesima circiter parte majus est quam pro computo Poleni; vel partim ex utroque. Adde, quod duplo minus est hoc discrimen, quam quantum reperitur inter ipsa experimenta Poleniana. 3. Supra docuimus inutilia reddidisse Polenum omnia antecessorum experimenta de Mensura aquae effluentis, quod in iis instituendis nulla habita fuisset ratio crassitiei laminæ, per cujus foramen aqua effluere. Unde possit aliquis non absurde suspicari, laborare pari vinio etiam illa experimenta, quibus exploratum fuerat ad quantam altitudinem aquae salirent. Sed dubitationem istam altera egregia observatione sustulit Polenus. Is siquidem deprehendit Mensuram quidem aquae longe maiorem ex tubo, quam ex nudo foramine effluere; at, quod mireris, quodque nos forsitam, si modo Deus vitam & otium concederit, aliquando explicabimus, aquam effluentem per tubos 7 a vel 13 lineas Parisienses longos, non nisi ad eandem, aut etiam tantillo minorem profilire distantiam horizontalem, quam attingit aqua ex nudo foramine exiliens. Tantillo itaque minor est velocitas maxima aquae post exitum e tubo, quam post exitum e foramine, cum tubus non admodum brevis est: sed cum tubus est brevissimus, qualis est foramen etiam in lamina non admodum tenui, eadem haberi potest velocitas maxima aquae post exitum ex hoc tubo, atque post exitum ex foramine in lamina tenuissima. Itaque, ad explorandam Theoriae nostræ certitudinem, licet æque nobis uti experimentis Mariotti de --- 2 Epistol. ad Marinonium. altitudine fontium salientium, atque si foramina, quibus is usus est, in laminis tenuissimis facta fuissent. Adsumamus ergo ex ejus experimentis unum aliquod, quod pro fundamento habeatur, ad altitudinem in reliquis experimentis per Problema nostrum XII indagandam. Is quidem pro experimento fundamentali proponit istud, ubi altitudo aquae in vase est praecise pedum 5 Parisiensium. At cum tantillus error, puta duarum linearum, in hoc experimento, errorem satis grandem, nempe plusquam 8 digitorum, gignat in altitudine septies majori, quali postea utitur Mariottus; nos illud experimentum pro fundamentali habere malumus, in quo maxima illa adhibetur altitudo septies major priori. Sit itaque nobis pro fundamento examinis instituendi experimentum id Mariotti, ubi diameter foraminis est linearum Parisiensium 6, & altitudo aquae in vase est pedum Parisiensium 34, digitorum 11\(\frac{1}{2}\), sive digitorum 419\(\frac{1}{2}\). Hanc ille cum altitudinem adhiberet, reperit aquam ex foramine exilientem adsurgere ad altitudinem pedum 31 digitorum 8 vel 9, hoc est, ad altitudinem digitorum 380\(\frac{1}{2}\). \[ \text{dig.} \quad \text{dig.} \] Est itaque \( A = 419\frac{1}{2}, \quad a = 380\frac{1}{2}, \quad \alpha = 39 \) dig. In altero experimento, ubi \( E \), seu altitudo aquae in vase est pedum 26 digiti 1, salit aqua per idem foramen teste Mariotto ad altitudinem pedum 24 digitorum 2\(\frac{1}{2}\). Prodit vero e, seu altitudo aquae salientis, per Corollarium i. Problematis XII, pedum 24, digitorum 3. Cæterum, quo melius conferantur altitudines, quas attingere aquam salientem deprehendit Mariottus, cum altitudinibus iis, ad quas salire debuerit ex calculo nostro, utrasque conjecimus in Tabellam I; ubi vides ita convenire calculo cum observatis, ut vix quicquam possit supra. Cumque capta sint hæc experimenta eodem foramine diametro sex linearum, altitudine sola mutata, vix potest dubitari, quin tertia nostra positio, qua Resistentia, cæteris paribus, est in ratione subduplicata altitudinis, recte se habeat. **Tabella I.** Diameter foraminis 6 linearum. | Altitudo aquæ in vase | Altitudo salientis aquæ Ex Mariotto | Ex calculo | |-----------------------|-------------------------------------|------------| | ped. dig. | ped. dig. | ped. dig. | | 34. 11,5 | 31. 8,5 | 31. 8,5 | | 26. 1 | 24. 2,5 | 24. 3 | | 24. 5 | 22. 10 | 22. 10 | | 12. 4 | 12. 0 | 11. 11 | | 5. 6 | 5. 4,75 | 5. 5 | | 5. | 4. 11 | 4. 11. 2 lin. | | 35. 5 | 32. 0 | 32. 1 | **Tabella II.** Diameter foraminis 4 linearum. | ped. dig. | ped. dig. | ped. dig. | |-----------|-----------|-----------| | 34. 11,5 | 30. 0 | 30. 0 | | 24. 5 | 22. 8,5 | 21. 11 | | 5. 6 | 5. 4,7 | 5. 4,4 | **TABELLA III.** Diameter foraminis 3 linearum. | ped. dig. | ped. dig. | ped. dig. | |-----------|-----------|-----------| | 34. 11,5 | 28. 0 | 28. 0 | | 26. 1 | 22. | 22. 1 | | 24. 5 | 22. 2 | 20. 11 | | 5. 6 | 5. 4,7 | 5. 3,7 | Cum loco foraminis linearum sex uteretur Mariottus foramine linearum quatuor, reperit aquam prosilientem ex vasa altitudinis supra demonstratae, pedum 34 digit. 11½, attingere altitudinem pedum 30. Salire debuit per Corollarium 2. Problematis XII ad pedes 30. digitos 2½ fere. Postea cum uteretur foramine linearum trium, aqua prosiliens ex eodem vasa attigit altitudinem pedum 28. Prosilire debuit per idem Corollarium ad pedes 28, digitos 9 circiter. Sed hæc discrimina inter altitudines ex calculo prodeuntes & eas quas observavit Mariottus, ex parvo errore in capiendis foraminum tantulorum diametris oriri potuerunt. Nam si radius maximi foraminis, quem lineis tribus æqualem statuit Mariottus, tres lineas superaverit parte ¼ digiti Parisiensis; vel si radius secundi foraminis, quem lineis duabus æqualem facit Mariottus, parte ¼ digiti Parisiensis a duabus lineis defecerit; in alterutro casu saliet aqua per calculum ad altitudinem 30 pedum, prorsus uti observavit Mariottus. Item, si radius minimi foraminis, parte ¼ digiti Parisiensis minor fuerit linea 1½; & simul radius maximi foraminis parte ¼ digiti superet tres lineas; dabit dabit calculus altitudinem aquae salientis pedum 28, quantam deprehendit Mariottus. Calculo autem ad hunc modum correcto, exhibent Tabellæ 2a & 3a altitudines Mariotti cum calculo nostro collatas. Hic autem notandum est, in Tabella II. altitudinem salientis ex vase alto pedes 24. digitos 5. Mariotto observatam; nempe altitudinem pedum 22. dig. 8½, item in Tab. III. altitudinem salientis ex eodem vase, nempe altitudinem ped. 22. digit. 2. altitudines, quas exhibet calculus noster, magno intervallo superare. Sed corruptos esse Mariotti numeros satis constat. Nam, 1. Regula Mariottiana supratradita, cui satis bene convenire cum observatis ipse testatur, numeros multo minores, & satis ad calculum nostrum accedentes exhibet. 2. Fieri omnino nequit, ut aqua saliens ex foramine 4 linearum attingat altitudinem ped. 22. dig. 8½; neque ut aqua saliens ex foramine trium linearum attingat altitudinem pedum 22. dig. 2; si quidem aqua saliens ex foramine 6 linearum non attingat nisi altitudinem ped. 22. dig. 10. quod ex analogia observationum Mariotti facile patebit. 3. Si vera sit altitudo ped. 22. dig. 2. in Tab. III. salit aqua erumpens ex vase alto ped. 24. dig. 5. ad majorem altitudinem, quam ubi erumpit ex vase alto ped. 26. dig. 1. quod manifeste absurdum est. His causis adducor ut credam Mariottum, ubi de priori ex his experimentis verba faceret, in adversariis suis scriptum reliquisse, Le jet de quatre lignes n’a été plus bas que d’onze pouces ou onze pouces demi, demi, que celui dont l'ajutage etoit de six lignes; unde transcriperit De la Hirius, plus bas que d'un pouce ou un pouce & demi. Facta autem hac correctione erit altitudo Mariotto observata 21 pedum, & digitorum 11. vel 10\(\frac{1}{2}\), quae cum calculo nostro adumbrum convenit. In secundo experimento, cum erumpit aqua ex foramine tres lineas amplo, patet ex analogia salire aquam debere ad altitudinem duobus circiter pedibus minorem, quam ubi erumpit ex foramine sex lineorum. Forte, loco verborum celui de trois lignes a eté plus bas que celui de six lignes de pres de 8 pouces, scriptum fuerat Mariotto, plus bas que celui de six lignes d'un pied & 8 pouces, quod non longè distat a calculo nostro. Id vero mirum non videbitur, ejusmodi errata contingere potuisse, si animadverteris ipsum Cl. De la Hirium, qui, post obitum Mariotti, ejus chartas imprimendas curaverit, in praefatione huic operi præfixa hæc habere. La moitié de cet ouvrage etoit assez au net pour être imprimeé: mais le reste m'a donné beaucoup de peine à rassembler sur les Memoires qui m'en ont été mis entre les mains après sa mort. Cæterum, omnibus perpensis, adeo bene convenit calculo nostro cum experimentis clarissimi hujus & diligentissimi observatoris, ut etiam cum Mensura Poleniana aquæ effluentis, cumque mensuris diametri veneæ contractæ Newtono & Poleno captis, ut vix dubitandum sit quin aut vera, aut vero quamproxima sit supra exposita theoria. Hæc autem facile extenditur ad aquam effluentem per foramen quadratum, aut rectangulare quodvis, vel vel etiam ad foramen annulare, quale ambit circellum Newtonianum Corollariis ultimis Prop. XXXVI. Libr. II. Princip. adhibitum, unde in Resistentia fluidorum continuorum ex hujus circelli contemplatione deducta plura videntur mutanda; quod in antecessum eruditos monere visum est, quo eos ad accuratius praecedentium examen excitarem. II. A Collection of the Observations of the Eclipse of the Sun, August 4th 1738, which were sent to the Royal Society. 1. An Eclipse of the Sun, observed August the 4th 1738, by Mr. George Graham and Mr. Short, FF. R.S. at Mr. Graham's House in Fleetstreet, London, by a Refracting Telescope of 12 Feet Focus, armed with a Micrometer, and by a reflecting Telescope of nine Inches focal Length. | Event | Time | |------------------------|------------| | Beginning of the Eclipse | 9.59.20 A.M. | | End | 11.59.36 | Quantity of Obscuration by the Micrometer | Quantity | Duration | |------------------------|----------| | 3.28 | 2.016 | N.B. The Person who was observing the Transit of the Sun over the Meridian, observed the End to be at the same Instant with the above Observation.