J. Castillioneus Dno. De Montagny V. C. Philosophiae Professori in Academia Lauzannensi, Regiae Societatis Londinensis Membro Dignissimo, Sli Evangelii Ministro, &c. &c. S. P. D.

I. J. Castillioneus Dno. De Montagny V. C. Philosophiae Professori in Academia Lauzannensi, Regiae Societatis Londinensis Membro dignissimo, Sui Evangelii Ministro, &c. &c. S. P. D. NEMO ignorat Newtonianam formulam, qua Polynomium quodcumque, ope binomii assumpti, ad quanvis potestatem extolitur; sed nemo, quod sciam, eam demonstravit. Hoc ego facere conatus meditatiunculas meas tibi equissimo & optimo Judici mitto. Tu, corrige, sodes, hoc dic, hocque, parum claris lucem dare coge, arguito ambigue dictum, mutanda notato. Continet hoc Problema tria prorsus diversa, quae cum diversimode gignantur, & cum optima demonstratio e rei natura, vel genesis ducatur, diversa quoque probatione sunt confirmanda: Siquidem index est aut integer, aut fractus, uterque demum vel positivus, vel negativus. 1. Index est integer, & positivus, tunc binomium ad potestatem cujus index est \( m \) elevare, nihil aliud est, quam toties binomium datum scribere, quoties unitas est in \( m \), & omnia haec binomia invicem ducent. 2. Si index est fractus, & positivus, binomium elevare ad potestatem \( \frac{r}{n} \) est; datum binomium elevare ad potestatem \( r \), & hac potestate data, quaerere quantitatem, quae data ad potestatem \( n \) aequat ipsam dat binomii potestatem \( r \). 3. Cum 3. Cum vero Index est negativus, sive is integer, sive fractus, ut binomium elevetur, facienda sunt, quae supra No. 1. vel 2, & deinde per inventam potestatem unitas est dividenda. Sumo Binomium $p + q$, ut indicet mihi quodvis Polynomium. Inter $p^m$, & $q^m$ tot sunt medii Geometrici, in ratione $p.q$ quot unitates in $m - 1$. Hos terminos inventurus noto, quod $p^m$ est ad $q^m$ in ratione composita ipsius $p^m$. 1, & 1. $q^m$, ut &c p ad q habet rationem compositam ex $p.1$, &c ex 1. $q$; sed si sint dua series potestatum, in quarum altera indices ipsius $p$ decrescent eadem proportione arithmetica, cujus differentia est 1, qua crescunt in secunda serie indices ipsius $q$, habebitur series continue proportionalium in ratione $p.1$, &c 1. $q$. Sic $p.1 :: p^m.p^{m-1}.p^{m-2}.p^{m-3}.p^{m-4} \ldots .p^{m-m} = p^0 = 1$ $1.q :: 1.q. q^2. q^3. q^4. \ldots . q^m$. Ergo terminis respondentibus invicem ductis $p.q :: p^m.p^{m-1}q. p^{m-2}q^2. p^{m-3}q^3. p^{m-4}q^4 \ldots q^m$ Nunc dico $p + q$ componi ex terminis supra inventis, ut facile ex genesi probatur. Ergo omnes termini, qui sunt in $p + q$ ordine dispositi sunt in proportione continua. Et quidem duo quivis se se immediate sequentes sunt, ut primus binomialis radicis terminus ad secundum. Quod patet ex genesi, nam $p$ aliquoties ductum est ad $q$ toties ductum in $p$, ut $p.q$. Igitur omnium numerus est $m + 1$; sed & in serie arithmetica decrescente $m.m - 1.m - 2. \ldots . o$ termini sunt numero $m + 1$, aut crescente 0.1.2.3. $\ldots . m$; ... \( m \); ergo termini componentes \( p + q \)" debent habere indices hos, aut esse \( p^m \cdot p^{m-1}q \). ... \( q^m \). Atqui ex legibus multiplicationis numerus terminorum debet esse \( 2^m > m + 1 \), ergo in hoc facto aliqui termini repetiti debent inveniri. Vulgaria facta (ea, nempe, quorum multiplicans & multiplicandum constat quantitatibus diversis) omnes continent diversos terminos, quia omnes formantur diversis factoribus. In potestatibus ergo dispi-ciendum quinam termini diversi essent, nisi factores semper essent iidem, & quot ex diversis restitutione literarum æquales fiant; sic enim reperiemus quoties quisque in potestate repeti debeat. Jam patet, quod si factores semper essent diversi, diversi quoque essent omnes termini in producto. Quod cum primus in producto non fiat nisi ex primis multiplicantium, & ultimus illius ex horum ultimis, semper hæc facta erunt diversa, quamvis binomia facientia sint eadem, quia primus binomii terminus differt a secundo. Quod ex cæteris aliqui possunt fieri æquales, quia constantur ex primis facientium duæis in secundos, & diversimode junctis. Igitur quaerendum est, quot diversis modis jungi possint quantitates, quarum numerus datus est. In caso nostro index rerum est \( m \), res diversæ duæ, quarum una repetitur vicibus \( s \), altera \( t \), ita ut \( s + t = m \); ergo numerus permutationum crit \[ \frac{m \cdot m - 1 \cdot m - 2 \cdot m - 3}{m - 1 \cdot m - 2 \cdot m - 3} = I \] Sic sit \( t = 1 \), \( s = m - 1 \), terminus crit \( p^m - 1q \), & ejus coefficiens \[ \frac{m \cdot m - 1 \cdot m - 2 \cdot m - 3}{m - 1 \cdot m - 2 \cdot m - 3} = m. \] Sit \( t = 3, s = m - 3 \); habebitur coefficiens ipsius \[ p^{m-3}q^3 = \frac{m.m-1.m-2.m-3.m-4...}{1.2.3.m-3.m-4.m-5...} \] \[ \frac{m.m-1.m-2}{1.2.3}, \] & sic de cæteris. Si quis forte dubitet, an superior demonstratio evincat omnes terminos necessario formari tot modis, quibus possunt, & contendat eam tantum ostendere id accidere posse, hoc responsi ferat. Certe \( p + q \)^m = \( p + q \times p + q \)^{m-1}; sed inter hujus terminos sunt \( p^{m-n-1}q^n \), & \( p^{m-n}q^{n-1} \), quae necessario ducentur in \( p \) & \( q \), & \( p^{m-n-1}q^n \times p = p^{m-n}q^n = p^{m-n}q^{n-1} \times q \), ergo \( p^{m-n}q^n \) omnibus modis possibilibus factum erit in \( p + q \)^m, si \( p^{m-n-1}q^n \) & \( p^{m-n}q^{n-1} \) sint genita quot modis possunt in \( p + q \)^{m-1}; quod necessario crit, si \( p^{m-n-2}q^n \), & \( p^{m-n}q^{n-2} \) sint in inferiori potestate \( p + q \)^{m-2}, & sic semper usque ad quadratum in quo \( pp, pq, qq \) habentur, efficta tot quot possunt modis (4. II. Euclid.) ergo & in superioribus. Hoc ratiocinium monet, ut idem etiam sic ostendam, ratione paulo diversa. Jam primi coefficientem esse unitatem demonstravimus. Secundus terminus \( p^{m-1}q \) conficitur ex \( p^{m-2}q \times p \), & \( p^{m-1} \times q \), id est, ex primo radicis in secundum ipsius \( p + q \)^{m-1}, & ex secundo radicis in primum \( p + q \)^{m-1}, ergo in \( p + q \)^m adest \( p^{m-1}q \) semel, plus toties, quoties secundus est in \( p + q \)^{m-1}, qui ibi est semel, plus toties, quoties secundus in \( p + q \)^{m-2}, qui rursus ibi est semel plus plus toties, quoties secundus est in \( \frac{p+q}{m-2} \), & sic semper donec deveniatur ad \( \frac{p+q}{m-m} \), ubi semel est secundus; ergo quaerenda est summa tot unitatum, quot sunt in \( m \), quae est \( m \). Item tertius \( p^{m-2}qq \) conficitur ex \( p^{m-3}qq \times p \), tertio \( \frac{p+q}{m-1} \) in primum radicis, &c. ex \( p^{m-2}q \times q \) secundo ipsius \( \frac{p+q}{m-1} \) in secundum radicis; ergo \( \frac{p+q}{m} \) continet \( p^{m-2}qq \) quoties secundus continetur in \( \frac{p+q}{m-1} \), id est, \( m-1 \) vices, plus toties quoties ibidem astat tertius, id est, quoties secundus est in \( \frac{p+q}{m-2} (m-2) \) plus quoties ibi est tertius, qui rursus est quoties secundus est in \( \frac{p+q}{m-3} (m-3) \) plus quoties ibi est tertius, atque ita porro donec perveniamus ad \( \frac{p+q}{2} \) ubi semel est tertius, aut ad \( p+q \), ubi tertius nullus est; nam semper quaerenda est summa progressionis arithmeticae \( m-1.m-2.m-3 \ldots \ldots \ldots 1 \), aut \( m-1.m-2 \ldots \ldots \ldots 0 \), in illa numerus terminorum est \( m-1 \), in hac \( m \), ut patet; quare hæc summa \( = m-1 + \frac{m-1}{2} = mx \frac{m-1}{2} = m-1 + o \times \frac{m}{2} \). Eodem pacto coefficientes reliquorum terminorum probabuntur efficere seriem in qua secundæ differentiæ sunt in progressione arithmetica, &c. Unde semper, ubi \( m \) est integer, & positivus, formula erit \( p^m + mp^{m-1}q + \frac{m.m-1}{2}p^{m-2}qq + \frac{m.m-1.m-2}{2.3}p^{m-3}q^3 + \frac{m.m-1.m-2.m-3}{2.3.4}p^{m-4}q^4 + \frac{m.m-1.m-2.m-3.m-4}{2.3.4.5}p^{m-5}q^5 \), &c. Si fiat \( p + q = p \times \frac{q}{p} \), hinc orietur ipsissima Newtoni formula; nam \( (p + q)^m = p^m \times 1 + \frac{q}{p} \times m \times \frac{p}{q} + \frac{m - m_1}{1 \cdot 2} \times \frac{p^2}{q^2} + \frac{m \cdot m_1 \cdot m_2}{1 \cdot 2 \cdot 3} \times \frac{p^3}{q^3}, \&c. \) (si \( A, B, C, D, \&c. \) ponantur æquare primum, secundum, tertium, quartum, \&c. cum suis quemque coefficientibus) \( p^m \times 1 + mA \frac{q}{p} + \frac{m - 1}{2} B \frac{q}{p} + \frac{m - 2}{3} C \frac{q}{p} + \frac{m - 3}{4} D \frac{q}{p} + \frac{m - 4}{5} E \frac{q}{p} + \frac{m - 5}{6} F \frac{q}{p}, \&c. \) Quæramus nunc formulam elevandi ejusdem binomii ad potestatem \( \frac{r}{n} \), ubi \( r \) & \( n \) sunt numeri integri, \&c. ambo vel positivi, vel negativi. Jam \( p \cdot q : : p^n \cdot x = \frac{r}{p^n} q = p^n \cdot q, \) quare termini crunt \( p^n \cdot p^n \cdot q \cdot p^n \cdot q \cdot p^n \cdot q^3, \&c. \) Coefficientes inveniendi sint \( A, B, C, D, E, \) ita ut tota \( p + q \) radix \( = Ap^n + Bp^{n-1}q + Cp^{n-2}qq + Dp^{n-3}q^3 + Ep^{n-4}q^4, \&c. \) ergo \( p + q \left( p^r + rp^{r-1}q + \frac{r \cdot r - 1}{2} p^{r-2}qq + \frac{r \cdot r - 1 \cdot r - 2}{2 \cdot 3} p^{r-3}q^3, \&c. \right) = Ap^n + Bp^{n-1}q + Cp^{n-2}qq, \&c. \) \( = Anp^n + nAn^{-1}Bp^{n-1}q + nAn^{-1}Cp^{n-2}qq + nAn^{-1}Dp^{n-3}q^3 + nAn^{-1}Ep^{n-4}q^4, \&c. + n.n. \) \[ \frac{1}{2} n(n-1) A^{n-2} B^2 p^{r-2} q^q + n(n-1) A^{n-2} BC p^{r-3} q^3 + \] \[ n(n-1) A^{n-2} BD p^{r-4} q^4 &c. + \frac{n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 3} A^{n-3} B^3 p^{r-3} q^3 \] \[ + \frac{n(n-1)(n-2)}{2} A^{n-3} B^2 C p^{r-4} q^4 &c. + \] \[ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2 \cdot 3 \cdot 4} A^{n-4} B^4 p^{r-4} q^4. \] Atque ideo collatis terminis \( r = A^n = A^{n-1} = A^{n-2} &c.; c.nB = r, &c. B = \frac{r}{n}, \) \[ nC + \frac{n(n-2)}{2} \times \frac{rr}{nn} = \frac{r.r - 1}{2}, &c. C = \frac{r.r - n}{2.nn}, nD + \] \[ n(n-1) \times \frac{r}{n} \times \frac{r.r - n}{2.nn} + \frac{n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 3} \times \frac{r^3}{n^3} = \frac{r.r - 1.r - 2}{2 \cdot 3}, &c. \] \[ D = \frac{r.r - n.r - 2n}{2 \cdot 3 \cdot n^3} &c. \] Si ergo faciamus \( \frac{r}{n} = m, &c. \) primum terminum \( A, &c. \) revivet prior formula, \( \frac{p+q}{r} = \frac{p+q}{m} = p^m \times \) \[ 1 + mA^q + \frac{m-1}{2} B^p + \frac{m-2}{3} C^q &c. \] Extollendum sit binomium \( p+q \) ad negativam po- testatem, seu perfectam, seu imperfectam—s. \[ \text{Jam } \frac{p+q}{r} = \frac{1}{p+q} = \frac{1}{p^i + sp^{i-1} q + s.s - 1 p^{i-2} qq &c.} \] \[ = (\text{per divisionem}) \frac{1}{p} - \frac{s p^{i-1} q - s.s - 1}{p^{2s}} \times \frac{p^{s-2} qq}{p^{2s}} \] \[-\frac{s.s-1.s-2}{2.3} \times \frac{p^{s-3}q^3}{p^{2s}} - \frac{s.s-1.s-2.s-3}{2.3.4} \times \frac{p^{s-4}q^4}{p^{2s}} = p^{-s-s}p^{-s-1}q^{-s.s-1}p^{-s-2}qq.\] Ex hac formula facile, superiorum vestigiis insistendo, eruitur solemnis & generalissima \(p^m \times 1 + mAq^p + \frac{m-1}{2}Bq^p\) &c. Non injucundum puto, quod in hac formula, si \(m = -2\), coefficientes crunt numeri naturales, si \(m = -3\), trigonales, pyramidales, si \(m = -4\) &c. Cæterum constat hanc formulam semper dare seriem infinitam; siquidem (si \(m\) exponit numerum positivum) ultimus terminus esse deberet \(q^{-m}\); sed \(p.q : p^{-m}.p^{-m-1} : : p^{-m-1}q.p^{-m-2}qq, &c.\) ergo ratio ipsius \(p^{-m}.q^{-m}\) componi deberet ex aliquibus rationibus \(p.q\), quod fieri nequit, quia \(p^{-m}.q^{-m} : : \frac{1}{p^m}. \frac{1}{q^m} : : q^m.p^m\) in ratione composita ex reciprocis ipsius \(p.q\). Quod & aliter demonstratur, indices ipsius \(p\) faciunt progressionem arithmeticam, cujus termini \(-m, -m-1, -m-2, &c.\) negativi quidem sunt, sed crescunt, aut ab 3 recedunt; atqui ultimus terminus debet esse \(q^{-m} = p^0q^{-m}\), ergo nunquam ad illud devenietur. Viviaci, postridie Id. Septemb. ciclo MCCCXXXI.