De Figuris Quas Fluida Rotata Induere Possunt, Problemata Duo; Cum Conjectura de Stellis Quae Aliquando Prodeunt Vel Deficiunt; & de Annulo Saturni. Authore Petro Ludovico De Maupertuis, Regiae Societatis Londinensis, & Academiae Scientiarum Parisiensis Socio

V. De Figuris quas Fluida rotata induere pos- sunt, Problemata duo; cum conjectura de Stel- lis quae aliquando prodeunt vel deficiunt; & de Annulo Saturni. Authore Petro Ludovico De Maupertuis, Regiae Societatis Londinensis, & Academiae Scientiarum Parisiensis Socio. PROBLEMA I. INVENIRE Figuram Sphaeroidis fluidi circa axem rotantis, positio quod fluidi partes versus cen- trum attrahantur secundum aliquam distantiæ a centro dignitatem. SOLUTIO. Fig. 1. Sit PQ axis revolutionis, & PA QB sectio Sphae- roidis per axem; jam cum partes fluidi inter se qui- escant, columnarum unaquaque CD idem habebit pondus versus C; considerando ergo e columnis unam CD quae efficit cum CP datum angulum cujus sinus = h pro radio = r, & quae ex infinitis cylindru- lis G g componitur; cylindruli cujusque pondus versus C quaero. Gravitas absoluta in A cum sit data & = p, pro habenda gravitate in G, erit \( p \cdot p :: CA^n \cdot CG^n \); un- de habebitur gravitas in G seu \( \frac{p \cdot CG^n}{CA^n} \). Sed cum propter revolutionis motum pars quævis fluidi repellitur vi centrifuga secundum GH; & cum in mobilibus quae contemporaneas circulationes absolut vunt vires centrifugae sint ut circulorum descriptorum radij; si vis centrifuga in A sit data &c = f, pro habenda vi centrifuga in G, erit \( f \cdot f' :: CA \cdot LG = (ob LG \cdot CG :: b \cdot i) bCG \); unde habebitur vis centrifuga in G seu \( f = \frac{f \cdot b \cdot CG}{CA} \): Sed vis hæc cum secundum GH agat decomponenda est in duas vires KH & GK ex quibus una tantum GK partem aliquam vis secundum GC tollit. Habebitur ergo vis illa GK dicendo GH \cdot GK vel \( i \cdot b :: \frac{f \cdot b \cdot CG}{CA} \). \( f = \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CG}{CA} = vi \) cylindrulum G g versus D trahenti. Vis ergo cylindrulum G g versus C trahens erit tantum \( \frac{p \cdot CG^n}{CA^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CG}{CA} \); & pondus cylindruli versus C, erit \( \left( \frac{p \cdot CG^n}{CA^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CG}{CA} \right) Gg \). Jam columnæ CG ex cylindrulis istis conflatæ pondus erit \( \left( \frac{p \cdot CG^n}{CA^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CG}{CA} \right) Gg \) quod cum Gg sit Elementum ipsius CG, dabit pro pondere columnæ CG, \( \frac{p \cdot CG^{n+1}}{n+1 \cdot CA^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CG^2}{2 \cdot CA} \); & pro pondere totius columnæ CD, \( \frac{p \cdot CD^{n+1}}{n+1 \cdot CA^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot CD^2}{CA} \), quod efficere debet pondus constans A. Si ergo vocentur CA = a, CD = r, habebitur \( \frac{p \cdot r^{n+1}}{n+1 \cdot a^n} - \frac{f \cdot b \cdot b \cdot rr}{2 \cdot a} = A \). Et cum æquatio hæc, quæcunque sit $b$, semper obtineat, jam si $b$ pro inde- terminata sumatur, æquatio præcedens relationem dabit inter radium quemvis $C D$ & sinum anguli quem cum axe $P Q$ facit. Nunc determinanda est quantitas constans $A$. Ut æquatio præcedens, sit ad sectionem sphæroidis illius cujus semi axis $C A = a$, oportet, quando angulus $D C P$ est rectus, vel quando $b = 1$, fit $r = a$; tunc ergo habetur $\frac{p^{a+1}}{n+1 \cdot a^n} - \frac{f}{2 \cdot a} = A$, vel $A =$ $\left( \frac{2p - nf - f}{2 \cdot n + 1} \right) a.$ Et sic æquatio correcta, erit $\frac{p^{n+1}}{n+1 \cdot a^n} - \frac{f b b r r}{2 \cdot a}$ $= \left( \frac{2p - nf - f}{2 \cdot n + 1} \right) a$ vel $2p^{n+1} - (n + 1)$ $f b b a^{n-1} rr = (2p - nf - f) a^{n+1}.$ Æquatio hæc, omnium sphæroidum sectiones deter- minat quæcunque sit dignitas distantiæ, secundum quam fit attractio; unâ tantum excepta hypothesi in qua attractio foret in ratione simplicis distantiæ a centro inversa. In hoc casu recurrendum erit ad $\left( \frac{n \cdot C G^n}{C A^n} - \frac{f b b \cdot C G}{C A} \right) G g$ quod tunc fit $\left( \frac{p \cdot C A}{C G} - \frac{f b b \cdot C G}{C A} \right)$ $G g$, cujus fluens non nisi per Logarithmos habetur, & prodit $p \cdot C A \log. C G - \frac{f b b \cdot C G^2}{2 \cdot C A} = A$; vel pro pondere totius columnæ $p a \log. r - \frac{f b b r r}{2 \cdot a} = A$. Ut corrigatur hæc æquatio, oportet ut quando \( b = 1 \), sit \( r = a \); tunc ergo habetur \( p a \log_a - \frac{f}{2}a = A \); & æquatio correcta, est \( p a \log_r - \frac{f}{2}brrr = pa \log_a - \frac{f}{2}a \); vel \( 2pa \log\left(\frac{r}{a}\right) = \frac{f}{2}brrr \) \( f a \); vel transfeundo ad numeros & sumendo \( c = \) numero cujus log. \( = 1 \), habetur \( r = ac \left( \frac{f}{2paa} - \frac{f}{2p} \right) \). Patet meridianos sphæroidum semper prodire curvas algebraicas excepta tantum ista hac hypothesi. Si harum omnium curvarum desideretur æquatio more solito per coordinatas rectangulas, facile habetur. Nam faciendo \( C E = x \), & \( D E = y \), crit \( rr = xx + yy \), & \( br = y \). Exterminando ergo \( b \) & \( r \) ex æquatione generali, invenietur \[ 2p(xx + yy)^2 - (n + 1)f a^{n-1}yy = (2p - nf - f)a^{n+1}. \] Et in caso \( n = -1 \); \( xx + yy = aac \left( \frac{fyy}{paa} - \frac{f}{p} \right) \). Sed prima nostra ratio definiendi curvas per radios & angulos æque, & forsan hic magis commoda est quam illa quæ definit curvas per coordinatas. Quamvis \( b \), ut variabilis tractatur, tamen non ultra certos limites variat, & hi limites sunt \( 0 \) & \( 1 \); nostra itaque æquatio radialis non definit nisi partem curvæ cujus amplitudo est angulus rectus; sed cum curvæ istæ ex quatuor arcubus similibus & æqualibus constent, constent, dantur curvæ meridianorum integræ per æquationem nostram. Jam facile determinatur ratio inter ambos Sectionis axes in quavis Hypothesi. Cum æquatio generalis sit \(2p r^{n+1} - (n + 1) f h b a^{n-1} rr = (2p - nf - f) a^{n+1}\); ut inveniatur \(r\) quando \(b = 0\), habetur \(2p r^{n+1} = (2p - nf - f) a^{n+1}\). Ex quo elicitur CA. \(CP :: (2p)^{\frac{1}{n+1}} \cdot (2p - nf - f)^{\frac{1}{n+1}}\). Et in Hypothesi gravitatis simplici distantiæ reciproce proportionalis, habetur Log.\(\left(\frac{r}{a}\right) = -\frac{f}{2p}\). Ex quo elicitur Log. CA — Log. CP = \(\frac{f}{2p}\). Patet quod \(n\) existente numero affirmativo, integro, seu fracto, hoc est in omnibus hypothesibus gravitatis directe proportionalis alicui distantiæ dignitati, diameter æquatoris axe revolutionis major semper erit. Sed si sit \(n\) numerus aliquis negativus, hoc est, si gravitas proportionalis sit inverfe alicui dignitati distantiæ, habebitur CA.CP :: \((2p)^{-\frac{1}{n+1}} \cdot (2p + nf - f)^{-\frac{1}{n+1}}\); nunc si \(n < 1\), fit \(k = 1 - n\); & habebitur CA.CP :: \((2p)^{\frac{1}{k}} \cdot (2p - kf)^{\frac{1}{k}}\); & si \(n > 1\), fit \(n - 1 = k\); & habebitur CA.CP :: \((2p)^{\frac{1}{k}} \cdot (2p + kf)^{\frac{1}{k}}\), vel CA.CP :: \((2p + kf)^{\frac{1}{k}}\) \((2p)^{\frac{1}{k}}\). Insuper invenimus quod \(n\) existente = — 1, habe- habetur Log. CA — Log. CP = \frac{f}{2p}. Ex quibus patet nullam esse hypothesin in qua diameter æquatoris non superet meridiani diamentrum. Sphæroidum figura, ut satis appareat, a ratione, quam habet vis centrifuga ad gravitatem, dependet. Nunc, qualis esse possit in quibusdam hypothesibus ista ratio, videamus, & quæ inde figura sphæroidibus eveniet. Si gravitas uniformis supponatur, erit \( n = 0 \) & habebitur CA.CP :: 2p.2p — f. Itaque in terra ubi vis centrifuga sub æquatore 289am gravitatis partem æquat, si quæratur ratio quam habet diameter æquatoris ad axem in hypothesi gravitatis uniformis (ponendo 289 pro p, & i pro f) habebitur CA.CP :: 578. 577. Possit vis centrifuga æquari gravitati, quod obtneret si terræ revolutio diurna 17 vicibus celerior redderetur; & tunc haberetur CA.CP :: 2.1. Sed si revolutio magis ac magis cita fieret, partes successeive dissiparentur donec tandem terra ad atomum unicam redigeretur. Ex quo patet quod in hac hypothesi gravitatis uniformis, terra circa polos nunquam potest esse depressior quam si diameter æquatoris sit duplo major axe revolutionis. In hoc casu terra constaret ex duobus paraboloidibus sicut invenit D. Huygens in tractatu de causa gravitatis pro hac hypothesi particulari quam solam examinavit. Si gravitas distanciæ a centro proportionalis statuatur, erit \( n = 1 \), & habebitur CA.CP :: \( \sqrt{p} \cdot \sqrt{(p-f)} \). Si igitur vis centrifuga, gravitati fieret æqualis, diameter æquatoris, axe revolutionis fieret infinite major. Hoc est, sphærois planum tantum circulare foret. Et cum in hac hypothesi vis centrifuga ad gravitatem omnes possit habere rationes à ratione nullâ, usque ad æqualitatis rationem, patet æquatoris diametrum ad axem revolutionis omnes has rationes habere posse; & sphæroidem quae in hac hypothesi, semper est Ellypsoïdes, posse esse omnes Ellypsoïdes à sphæra usque ad circulum. Sed in hac etiam hypothesi, vis centrifuga ultra crescere nequit. Si gravitas quadrato distantiae reciproce proportionalis ponatur, erit \( n = -2 \); & habebitur \( CA \cdot CP :: 2p + f \cdot 2p \). Ex quo liquet in hac hypothesi vim centrifugam semper crescere posse, vel quod eodem redit, motum revolutionis citiorem semper fieri posse, nec tamen sphæroidis partes dissimiliter. **SCHOLION.** Cæterum, ex his omnibus hypothesibus nullam quasi in natura revera datam hic usurpo: siquidem interiores corporum partes non gravitant versus centrum aliquod unicum juxta proportionem quamvis distantiarum ab hoc centro in corporibus positio. Attractionis partium ex forma corporis dependet, ut & vicissim forma dependet ex attractione. Idcirco omnes hæ determinationes, sunt magis mathematicæ quam physicæ. Unde fit, quod D. Newton indeterminatione axis terræ & diametri æquatoris rationem invenerit diversam ab Huygeniana & a nostris, nempe eam quae est inter 229 & 230. Summus vir solutionem mere geometricam per hypotheses neglexit, ut naturæ magis consentaneam daret. PROB. PROBLEMA II. Posito quod materia fluens circa axem extra fluentum sumtum, attrahatur versus centrum in hoc axe positum vi alicui distantiæ a centro dignitati proportionali; dum interea propter fluenti partium attractionem mutuam, fit altera attractio versus aliud centrum intra fluentum sumtum, quæ in quavis sectione fluenti revolutionis perpendiculariter per centrum exterius facta, fit alicui distantiæ a centro interiori dignitati proportionalis: invenire figuram quam fluentum induet. SOLUTIO. (Fig. 2.) Sit A D P a d Q A sectio fluenti gyranis circa axem Λ λ per planum revolutioni rectum quod transit per centrum γ facta. Sit γ centrum virium centripetarum extra fluentum sumtum; & C centrum versus quod partes fluenti attrahuntur in sectione sumtum. Ut fluidi partes in æquilibrio maneant, oportet pondus cujusque columnæ CD tum a gravitate versus γ, tum versus C, tum a vi centrifuga ortum, idem ubique maneat. Sit ergo gravitas in A versus γ, data & = π, gravitas in A versus C, data & = p, & vis centrifuga in A, etiam data & = f. Sit A C = a, C γ = b, c g = r; sinus ang. D C P = b pro radio = 1; erit G L = b r, & è γ demissa perpendiculari γ R in radius C D productum, erit C R = b b, & γ G = (per 12am Elem. lib. 2.) √(b b + 2 b b r + r r). K k Jam Jam cum sit gravitas in A versus \( \gamma = m^2 \); dicendo \[ \pi' \propto (a + b) \left( bb + 2bbr + rr \right)^{\frac{1}{2m}} \text{ habebitur} \] gravitas in G seu \( \pi' = \frac{\pi (bb + 2bbr + rr)}{(a + b)^m} \). Et ut versus C derivetur, dicatur \( \pi'' \propto G \gamma, GR, \) vel \( \frac{\pi (bb + 2bbr + rr)}{(a + b)^m} \). \( \pi'' \propto (bb + 2bbr + rr)^{\frac{1}{2}} \cdot bb + r; \) unde habetur vis ab attractione versus \( \gamma, \) derivata versus C, seu \[ \pi'' = \frac{\pi (bb + r) (bb + 2bbr + rr)^{\frac{m-1}{2}}}{(a + b)^m} \] Habetur insuper (cum gravitas in A versus C, sit \( = p \)) gravitas in G versus C \( = \frac{pr^n}{a^n}; \) Gravitas ergo tota versus C ex gravitatibus ambabus versus \( \gamma \) & C orta habebitur \( = \frac{\pi (bb + r)(bb + 2bbr + rr)^{\frac{m-1}{2}}}{(a + b)^m} + \frac{pr^n}{a^n}; \) Nunc cum sit vis centrifuga in A, \( = f; \) dicendo \( f' \propto a + b. b + br \) habetur vis centrifuga in G seu \( f' = \frac{f(b + br)}{a + b}; \) & ut pars istius vis quae versus D trahit inveniatur; fiat \( f'. f'' \propto GH. GK, \) vel \( \frac{f(b + br)}{a + b}. f'' \propto 1.h; \) unde habetur vis gravitati versus C opposita seu \( f'' = \frac{fb(b + br)}{a + b}. \) Vis Vis ergo versus C ex omnibus his viribus resultans, crit \( \frac{\pi (b b + r) (b b + 2 b h r + rr)}{(a + b)^m} + \frac{p r^n}{a^n} - \frac{f b (b + br)}{a + b} \). Concipiendo ergo ut in primo problemate column- mam CD, ex infinitis cylindulis r compositam, ha- bebitur \( F \left( \frac{\pi (b b + r) (b b + 2 b h r + rr)}{(a + b)^m} + \frac{p r^n}{a^n} - \frac{f b (b + br)}{a + b} \right) \), quod æquari debet alicui constanti ponderi. Erit ergo \( \frac{\pi (b b + 2 b h r + rr)}{(m + 1) (a + b)^m} + \frac{p r^{n+1}}{(n + 1) a^n} - \frac{f b h r}{a + b} - \frac{f b h r r}{2 (a + b)} = A \). Ut corrigatur hæc æquatio, oportet quando \( b = 1 \), esse \( r = a \); tunc ergo habetur \( \frac{\pi (a + b)}{m + 1} + \frac{p a}{n + 1} - \frac{f a b}{a + b} - \frac{f a a}{2 (a + b)} = A \). Et æquatio corecta, erit \( \frac{\pi (b b + 2 b h r + rr)}{(m + 1) (a + b)^m} + \frac{p r^{n+1}}{(n + 1) a^n} - \frac{f b h r}{a + b} - \frac{f b h r r}{2 (a + b)} = \frac{\pi (a + b)}{m + 1} + \frac{p a}{n + 1} - \frac{f a b}{a + b} - \frac{f a a}{2 (a + b)} \). Vel scribendo \( c \) pro \( a + b \), & \( q \) pro \( (m + 1) \times (n + 1) \times (n + 1) \pi a^n (bb + 2bbr + rr)^{\frac{m+1}{2}} + 2(m + 1)p c^m r^{n+1} - 2q f a^n b c^{m-1} h r - q f a^n c^{m-1} bbr r = 2(n + 1) \pi a^n c^{m+1} + 2(m + 1)p a^{n+1} c^m - 2q f a^{n+1} b c^{m-1} - q f a^{n+2} c^{m-1} \). Patet, in omnibus hypothesibus, sectionem fluenti esse curvam algebraicam, exceptis tantum hypothesibus attractionis versus \( y \) vel versus \( C \) in ratione simplicis distantiae inversa; nam si sit tantum \( m = -1 \), habebitur pro sectione fluenti \[ \frac{\pi(a + b)}{2} L (bb + 2bbr + rr) + \frac{pr^{n+1}}{n + 1.a^n} - \] \[ \frac{fbbbr}{a + b} - \frac{fbbrr}{2(a + b)} = \frac{\pi(a + b)}{2} L (a + b)^2 + \] \[ \frac{pa}{n + 1} - \frac{fab}{a + b} - \frac{faa}{2(a + b)}, \text{ vel } \] \[ \frac{\pi c}{2} L \left( \frac{bb + 2bbr + rr}{cc} \right) = - \frac{pr^{n+1}}{(n + 1)a^n} + \] \[ \frac{fbbbr}{c} + \frac{fbbrr}{2c} + \frac{pa}{n + 1} - \frac{fab}{c} - \frac{faa}{2c}. \] Et si tantum \( n = -1 \), habebitur \[ \frac{\pi(b + 2bbr + rr)^{\frac{m+1}{2}}}{m + 1.(a + b)^m} + paLr - \frac{fbbbr}{a + b} - \] \[ \frac{fbbrr}{2(a + b)} = \frac{\pi(a + b)}{m + 1} + paLa - \frac{fab}{a + b} - \] \[ \frac{faa}{2(a + b)}. \text{ vel } paL \left( \frac{r}{a} \right) = - \] \[ \frac{\pi (bb + 2bbr + rr)^{m+1}}{(m+1)c^m} + \frac{f b b r}{c} + \frac{f b b r r}{2c} + \frac{\pi c}{m+1} - \frac{f a b}{c} - \frac{f a a}{2c}. \] Sed si sint simul \(m = -1, n = -1\), habebitur \[ \frac{\pi (a + b)}{2} L (bb + 2bbr + rr) + paLr - \frac{f b b r}{a + b} - \frac{f b b r r}{2(a + b)} = \frac{\pi (a + b)}{2} L (a + b)^2 + paLa - \frac{f a b}{a + b} - \frac{f a a}{2(a + b)}. \] vel \[ \frac{\pi c}{2} L \left( \frac{bb + 2bbr + rr}{cc} \right) + paL \left( \frac{r}{a} \right) = \frac{f b br}{c} + \frac{f b b r r}{2c} - \frac{f a b}{c} - \frac{f a a}{2c}. \] Si desideretur æquatio sectionis fluenti per coordinatas rectangulas; faciendo \(C E = x\) & \(D E = y\) habebuntur duæ æquationes \(rr = xx + yy\) & \(br = y\), quarum ope exterminabuntur \(r\) & \(b\) ex æquationibus supra inventis; & habebitur pro casu generali, \[ 2(n + 1)\pi a^n(bb + 2by + yy + xx)^{m+1} + 2(m + 1)p c^m(xx + yy)^n - 2qfa^nbc^{m-1}y - qf a^n c^{m-1}yy = 2(n + 1)\pi a^n c^{m+1} + 2(m + 1)p a^{n+1}c^m - 2qfa^{n+1}b c^{m-1} - qf a^{n+2}c^{m-1}. \] Et eodem modo in casibus \(m = -1, n = -1\), reperientur æquationes per coordinatas rectangulas. Ut Ut curvam P A Q invenimus, ita quoque inveniatur curva P a Q mutatis mutandis. Nam tunc si sit gravitas in a versus γ data &c = π, gravitas in a versus C = p, vis centrifuga in a = f; C a = a, C γ = b, C g = r, g l = h r, &c γ g = √(b b - 2 b h r + r r) invenietur gravitas in g versus C, ab attractione versus γ orta, \( \frac{d}{\pi} = \frac{\pi (b b - r) (b b - 2 b h r + r r)}{(b - a)^m} \). Habetur insuper gravitas in g versus C, \( \dot{p} = \frac{p}{a^n} \). Sic etiam vis centrifugae pars in g quae trahit versus C invenietur \( \dot{f} = \frac{f b (b - h r)}{b - a} \). Sed haæ posteriores vires nunc primæ opponuntur. Habebitur ergo \( F \left( \frac{\pi (b b - r) (b b - 2 b h r + r r)}{(b - a)^m} + \frac{p r^n}{a^n} + \frac{f b (b - h r)}{b - a} \right) \dot{r} = A \). Unde deducitur \( \frac{\pi (b b - 2 b h r + r r)}{(m + 1) (b - a)^m} + \frac{p r^{n+1}}{(m + 1) a^n} + \frac{f b h r}{b - a} \) \( \frac{f b h r r}{2 (b - a)^m} = \frac{\pi (b - a)}{m + 1} + \frac{p a}{n + 1} + \frac{f a b}{b - a} + \frac{f a a}{2 (b - a)} \). Et in casibus \( m = -1, n = -1 \), invenientur ut supra æquationes sectionum, debitis tantum signis mutatis. Et per has æquationes radiales inveniatur æquationes ad coordinatas ut factum est pro curva P A Q. Et cum pondus columnæ tam in superiori quam in inferiori curva debeat idem esse, habebitur æquatio inter pondus A in curva superiori, & pondus A in infe- inferiori, ex qua determinabitur C a pro determinata C A, & sic sectio fluenti integra determinabitur. Quæcunque sit hypothesis gravitatis, semper pro dato angulo D C P, radius C D obtineri potest datæ longitudinis, & sic figura fluenti vel crassior vel tenuior fiet, & quidem modis infinitis; ponendo in æquatione pro b & r valores determinatos. Sic fieri potest ut puncta P & Q coeant, scribendo o pro b & r; & tunc sectio fluenti ex duabus ovalibus figuris in C junctis constabit. Nam infinitæ rationes inter π, p, & f quæ ad id efficiendum conveniunt, obtinebuntur. Si ex grat. ultimum hoc desideretur, nempe ut P & Q coeant in C, habebitur $2(n + 1)\pi b^{m+1} = 2(n + 1)\pi c^{m+1} + 2(m + 1)p a c^m - 2qf a b c^{m-1} - qf a a c^{m-1}$. Unde eliciuntur infinitæ rationes inter π, p, & f. Si ponatur gravitas tum versus γ, tum versus C simplici distantiæ a centro proportionalis; sectio fluenti erit conicæcio. Et si tunc desideretur ut puncta P, Q & C coeant, figura ex duabus Ellypsibus in C junctis, constabit. Nunc si distantia C γ evanescat, vel duo centra coeant; erit $b = 0$ & $e = a$; & fluentum fiet sphæroïs. Si insuper ponatur $m = n$, & $π = 0$, æquatio generalis sectionis fluenti fiet $2p r^{n+1} - (n + 1)f a^{n-1} b h r r = (2p - nf - f)a^{n+1}$. Vel in casu $n = -1$, $2p a L \left(\frac{r}{a}\right) = \frac{f b h r r}{a} - fa$. ut invenimus in primo problemate quod est istius casus tantum specialis. SCHO- SCHOLION. Hæc consideratio formarum quas pro diversa gravitatis ad vim centrifugam ratione, fluida induere possunt, me induxit ut cogitarem tales planetarum formas forsitan in coelis reperiri, cum ad hoc celeriori tantum circa axem motu, vel minori materiae densitate opus sit. Etenim quamvis pauci quos novimus planetæ satis ad sphæroidicam formam accedant, cur non alij aliarum formarum supra dictarum admitterentur vel circa alios soles, vel etiam circa nostrum? Hi planetæ lentiformes, vel propter distantiam, a nobis nunquam conspicerentur, vel quia in plano Eclipticæ versarentur, aut in plano parum ad Eclipticam inclinato, cui plano illorum axis revolutionis esset rectus, aut fere rectus; nam in hoc situ è terra conspici nequirent. Cur etiam talis formarum varietas inter fixas, locum non haberet? praesertim cum illas circa axem gyrari, solis instar nostri, sit admodum verisimile. Forsitan fixæ lentiformes in coelis dantur. Forsitan planetis admodum excentricis vel cometis cinguntur, qui cum in plano æquatoris fixæ non versentur, quando ad perihelium accedunt, directionem axis stellæ turbant; & tunc quæ nobis propter situm non apparebat, apparet stella, vel quæ apparebat non apparet. Et sic ratio redderetur cur quædam stellæ per vices accendi & extingui videntur. Sed si in quovis systemate cometa aliquis caudam trahens, fertur in viciniam alicujus potentis planetæ, quid eventurum? Materia quæ à corpore cometæ effluit, circa planetam trahetur; & cometa novam mate. materiam effundente, vel sufficiente materiae jam effusae copia, orietur fluxus circa planetam continuus: & quamvis columnae fluenti vel cylindrica, vel conica, vel quælibet alia forma primùm fuerit, vis ejus centrifuga cum gravitatibus tum a planeta tum a materia fluenti ortis, semper eam latiorem & tenuiorem reddet; & columna hæc curvata ad aliquam e formis supra definitis in Probl. 2° accedet. Et sic omnium naturæ phænomenorum maxime stupendi, Saturni annuli ratio redderetur. Interea dum cometæ cauda talem planetæ annulum daret, corpus ipsum cometæ forsan etiam traheretur si in distantia debita esset, & novus planetæ satelles fieret. Sic forsan plures cometæ satellitibus & annulo Saturnum ditarunt: nam annulum Saturni unius cometæ effluvio tribuendum non videtur, cum umbram in Saturni discum projiciat dum materia tamen caudarum cometarum adeo sit rara ut trans illam luentes stellæ videri queant. Annulus ergo Saturni ex plurium cometarum caudis constare videtur, & quorum materia propter attractionem Saturni densior facta est. Patet planetam satellites, nec tamen annulum, acquirere posse; nam non omnes cometæ caudam habent: Et si cometa caudâ carens trahatur, planetæ satellitem sine annulo dabit. Summus Newton statuit vapores cometarum in planetas spargi: imò etiam hanc communicationem necessariam duxit, ut quidquid liquoris consumitur, reparetur. Viri illustrissimi D.D. Halley & Whiston, cometas & cometarum caudas planetis infestas mutationes, ut polorum variationem, diluvia, & incendia inferre posse crediderunt; sed cometæ benigniores ef- VI. An Extract of a Letter from Oliver St. John, Esq; F. R. S. dated from Florence, November the 30th, 1731, N. S. Communicated by R. Graham, F. R. S. WHEN I consider how many are charged overlaid in the Bills of Mortality, I wonder that the Arcutio's, universally used here, are not used in England. I here send you the Design of one, drawn in Perspective, with the Dimensions, which are larger than usual. The Arcuccio. Vide Fig. 3. a, The Place where the Child lies. b, The Head-board. c, The Hollows for the Nurses Breasts. d, A Bar of Wood to lean on when she suckles the Child. e, A small Iron Arch to support the said Bar. The Length 3 Feet, 2 Inches and a half. Every Nurse in Florence is obliged to lay the Child in it, under Pain of Excommunication. The Arcutio, with the Child in it, may be safely laid entirely under the Bed-cloaths in the Winter, without Danger of smothering.