Curvarum Hyperbolicarum, oequationibus Trium Nominum Utcunque Definitarum, Quadratura Generalis Duplici Theoremate Exhibita á Do. Samuele Klingenstierna, Profess. Digniss. Math. in Acad. Upsal, et R. S. S. Communicante Do. Jacobo Stirling, Ejusdem Etiam Soc. Doctiss. S.

VI Curvarum Hyperbolicarum, equationibus trium nominum utcunque definitarum, Quadratura generalis duplici Theoremate exhibita à D. Samuel Klingenstierna, Profess. Digniss. Math. in Acad. Upsal, & R. S. S. Communicante D. Jacobo Stirling, ejusdem etiam Soc. Doctiss. S. N.B. CURVÆ Hyperbolicae, de quarum quadraturâ hic agitur ab Erud. Auctore, ad unum quasi genus reducuntur, ex communi quâ gaudent proprietate, quantumvis obscura sit nec satis per se determinata. Ad hoc enim genus refertur, omnis curva, cujus ordinata datum efficit rectangulum cum recta, qua ex tribus partibus necessario diversis ordine genitis constituitur. Diversæ partes esse intelliguntur, qua ex diversis abscissæ potestatibus quomodocunque oriuntur; Ordine autem genitæ sunt, si modo ab ima ad summam potestatem æquis gradibus ascendant. Species igitur determinantur ac definiuntur ex gradibus Potestatum determinatis & definitis. Primas & simplicissimas hujus generis (ad quas etiam ceteræ omnes ultimo reducuntur) Neutonus ipse primus ex datis Circuli & Hyperbola areis dimensus est. Cotesius deinde plures esse hujus generis Species, etiam in infinitum (secundum ordinem determinatum) progredientes detexit, qua ad eandem quadrature tura formam ac priores istae & simpliciores reduci possint; idque fecit ope Theorematis cujusdam novi de Inventione radicum aequationum binomialium, ex determinata quadam divisione circumferentiae Circuli in partes aequales; cujus Theorematis mentio facta est in Erudito suo Opere de Harmonia mensurarum. Iisdem vestigiis insistendo D. Moivraeus Theorema Cotesianum ulterius promovit ad inventionem radicum aequationum Trinomialium, idque adhibendo arcum circuli determinatae magnitudinis vice circumferentiae totius. Quo invento omnes hujus generis Species inter se commensurabiles esse secundum rationem quadraturae sua statim perspexit, Methodumque tradidit in exquisitis suis scriptis Miscellaneis nuper editis, quâ perveniatur ad quadraturam unius cujus libet formae ex datis Circuli & Hyperbola quadraturis. Ds. Kl. in Propositione sua, qua sequitur, in unum collegit quicquid de quadraturis curvarum hujus generis antehac a prioribus inventum fuit. Verum tamen ita collegit non quasi sint variæ formæ sub uno genere, sed quasi una sit eademque forma generis ipsius. Theorema duplex est, quatenus quadratura referat ad aream vel citra, vel ultra ordinatam. Exhibetur in ipsis aequationis terminis sine reductione aut restrictione. Instituitur secundum Cotesii doctrinam, usurpando mensuras Angulorum & Rationum pro areis Circuli & Hyperbola. Traditur sine demonstratione, ut pote cujus veritas facile innotescat ex Propositio- nibus Moivraeanis. Hæc de hujus doctrinae fontibus indigitasse, non abs re fore judicatum est, ne, lectoribus inexercitatis, auctoris nimia brevitas impedimento esset. **Propositio.** Quadrare curvam, cujus abscissa est $z$ & ordinata $\frac{cz^n \pm r^n - 1}{a^{2n} \pm a^{n-1}bzn + z^{2n}}$, ubi $n$ designat numerum quemlibet, $r$ & $n$ numeros quolibet integros & primos inter se, & denominator $a^{2n} \pm a^{n-1}bzn + z^{2n}$ non potest resolvi in duos factores binomios. In circumferentia circuli (Tab. 2. Fig. 1.) centro quo-vis O intervallo OR = $a$ descripta applicetur chorda RT = $b$, cui parallelus ducatur radius OP, ita quidem ut arcus PR sit quadrante major si habeatur $+b$, minor vero si habeatur $-b$. Incipiendo in puncto R, sumantur ordine tot arcus RR, RR, RR, RR, RR, &c. arcui PR æquales, quot unitates continet fractio $\frac{r}{n}$, & a punctis R, R, R, R, R, &c. ducantur totidem rectæ RR, RR, RR, RR, RR, &c. radio OP parallele & rectæ OR occurrentes in punctis, r, r, r, r, r, &c. Deinde dividatur arcus PR in tot partes æquales quot sunt unitates in numero $n$, quarum illa qua puncto P ad. adjacet sit P A. Facto initio in puncto A dividatur integra circumferentia in tot partes æquales A B, B C, C D, D E, &c. quot sunt unitates in n; sumtaque in radio O P, producto si opus ultra P, abscissa O S = \frac{a}{z}^n, jungantur S A, S B, S C, S D, S E, &c. ut & O A, O B, O C, O D, O E, &c. Denique sumantur arcus P A a, P B b, P C c, P D d, P E e, &c. qui sint ad arcus P A, P B, P C, P D, P E, &c. ut n + r ad unitatem, & a punctis a, b, c, d, e, &c. ducantur tum rectæ a a, b b, c c, d d, e e, &c. parallelæ radio O P & occurrentes rectæ OR in punctis a, b, c, d, e, &c. tum etiam rectæ a 1, b 2, c 3, d 4, e 5, &c. proribus normales, & rectæ Q O, quæ ad R O ducatur perpendicularis, occurrentes in punctis 1, 2, 3, 4, 5, &c. His factis area curvæ cujus abscissa est z & ordinata \frac{c z^n + r^n - 1}{a^{2n} \pm a^{n-1} b z^n + z^{2n}}, erit \frac{n c}{n a^n + 1} z^n in \frac{R_r}{r-n} \times \frac{a}{z}^n - \frac{R_r}{r-2n} \times \frac{a}{z}^2 + \frac{R_r}{r-3n} \times \frac{a}{z}^3 - \frac{R_r}{r-4n} \times \frac{a}{z}^4 - \frac{R_r}{r-5n} \times \frac{a}{z}^5, &c. + \frac{c}{n} a^{n-1} \text{in} \begin{cases} -a_a (SA : AO) - a_1 (+SAO) \\ +b_b (SB : BO) + b_2 (+SBO) \\ -c_c (SC : CO) + c_3 (+SCO) \\ +d_d (SD : DO) - d_4 (-SDO) \\ +e_e (SE : EO) + e_5 (-SEO) \end{cases} &c. &c. Et Et area curvæ cujus abscissa est \( x \) & ordinata \[ \frac{c}{a^{2n} \pm a^{n-1}b} x^n + x^{2n}, \text{ erit } \frac{n c}{n a^{n+1}} x - \frac{r}{n} x^n \] in \[ \frac{R_r}{r-n} \times \left( \frac{x}{a} \right)^n - \frac{R_r}{r-2n} \times \left( \frac{x}{a} \right)^2 + \frac{R_r}{r-3n} \times \left( \frac{x}{a} \right)^3 \] \[ - \frac{R_r}{r-4n} \times \left( \frac{x}{a} \right)^4 - \frac{R_r}{r-5n} \times \left( \frac{x}{a} \right)^5, \text{ &c.} \] \[ + \frac{c}{n} a^{-\frac{r}{n}-\frac{n}{n}-1} \text{ in } \begin{cases} -a \alpha (\text{SA:AO}) - a_1 (+ASO) \\ +b \epsilon (\text{SB:BO}) + b_2 (+BSO) \\ -c \gamma (\text{SC:CO}) + c_3 (+CSO) \\ +d \delta (\text{SD:DO}) - d_4 (-DSO) \\ +e \epsilon (\text{SE:EO}) + e_5 (-ESO) \end{cases} \] Harum arearum prior adjacet abscissæ ad ordinatam terminatæ, posterior vero abscissæ ultra ordinatam productæ. Signa autem quantitatum has expressiones ingredientium ita determinantur: 1. Rectæ \( R_r^1, R_r^2, R_r^3, \text{ &c. afficiuntur signis affirmativis, si a punctis circumferentiaæ } R, R, R, \text{ tendunt secundum directionem } OP, \text{ negativis vero si ab iisdem punctis secundum directionem contrariam } PO \text{ procedunt. 2. Moduli rationum } a \alpha, b \epsilon, c \gamma, \text{ &c. signa habent affirmativa, si a punctis } a, b, c, \text{ &c. tendunt secundum directionem } OP, \text{ negativa si secundum contrariam. 3. E centro circuli } O \text{ cadat G }\] cadat in chordam R T normalis O H. Et moduli angulorum a 1, b 2, c 3, &c. signis gaudebunt affirmativis si a punctis a, b, c, &c. tendunt secundum directionem HO, negativis si secundum contrariam. 4. Producat radius PO donec circumferentiae denuo occurat in p, & anguli S A O, S B O, S C O, &c. ut & ASO, BS O, CS O, &c. sumi debent affirmative si existunt in semicirculo superiore PRp, negative si in inferiore. Et secundum has regulas signa quantitatum quibus areae exprimuntur nostrae figurae accommodavimus. VII. Casus rarissimus Plicae Polonicae enormis à D. Abrahamo Vatro, M.D. Prof. Anatom. Wittemberg. & R. S. S. per D. Conradum Sprengell, Equitem, M.D. R. S. S. & Coll. Med. Lond. Licent. communicatus. Vid. Tab. II. Fig. 2. FEMINA rustica in Polonia, in terris Principis Radzivil, anno ætatis decimo quinto, viro nupta, incidit decimo octavo, in morbum Poloniae Endemium, qui Plica Polonica a capillo inenodabili vocatur. Hanc Plicam per quinquaginta annos femina gestavit, ac per totum fere illud tempus dolore arthritico et contracturis tandemque marasmo universali corporis afflita tecto affixa fuit, tandeinque senio confecta anno ætatis septuagesimo octavo diem suum obiit.