A General Method of Describing Curves, by the Intersection of Right-Lines; Moving about Points in a Given Plane. In a Letter to Dr. Hoadly, by the Rev. Mr. Braikenridge

VI. A general Method of describing Curves, by the Intersection of Right-Lines; moving about Points in a given Plane. In a Letter to Dr. Hoadly, by the Rev. Mr. Braikenridge. Celeberrimo Viro D. Benj. Hoadly, M.D. Gulielmus Braikenridge. S. P. D. Cum plurimum delectaris Matheaeos studio, tantosque progressus in ea ipse feceris, haud ingratum tibi me facturum duxi, si nova quaedam de descriptione Curvarum tibi mitterem, quae a te si probata fuerint, procul dubio & sana & utilia existimabuntur. Habes hic ni fallor Generalem Methodum Lineas, cujuscunque ordinis describendi, ope intersectionum rectarum circa polos revolventium; quae est Newtoniana multo simplicior, & quae plurima problemata soluta dabit inventu difficillima; ac nescio an ex aliis principiis inveniri queant. Hujus Methodi particularem tantum casum explicatum dedi in Exercitazione illa Geometrica Londini edita anno, 1733. Illo tempore rem totam exponere nec commodum, nec aptum censui, quamvis Methodum bene cognitam haborem. Abhinc enim triennium est ex quo in Theorema Generale incideram, sed celare multa me moverunt; et mecum statui, ut biennium saltem peractum esset ab edita illa Exercitazione antequam hæc Generalis Methodus in lucem prodiret. Nihil enim dubitatam, si qui alii hujus Inventi potirentur, quin, particulari casu edito, occasionem arrepturi essent praesertim praesertim lacessiti, generalem Methodum edendi, si talem sibi compertam revera habuissent. Sed ne nimiis sim, en Methodum ipsam pluribus Propositionibus expressam, quarum demonstrationes minutim tibi exhibere haud necessarium duco; ipse enim perspicacius hæc videbis quam ut prolixo calculo aut arduo ratiocinio indigeas. Harum prior demonstratur in Exercitatione supra dicta; & in eum finem huc transcripta est, ut uno intuitu videos eam contineri sub hac generali Methodo. Circa tria puncta data A, B, C, in plano quovis tanquam polos moveantur tres rectæ AN S, BOS, CNO, quæ se se intersecent in punctis S, N, O, & ducantur duo intersectionum puncta S, & N, per rectas D K S, RNK positione datas; reliquum O Sectionem Comicam describet. Demonstratur in Exerc.Geom.Prop.I. Si per puncta A, B, C, agantur rectæ A B, A C sibi invicem occurrentes in A & rectis R K, D K positionae datis in R & M; Figura descripta transibit per quinque quinque puncta, B, C, K, M, R. Et hinc patet nova methodus Sectionem Conicam describendi per quinque puncta data omnibus haec tenus inventis multo facilior. Vid. Exerc. Geom. Prop. 3. Moveantur circa quatuor puncta A, B, C, D, in plano quovis tanquam polos totidem rectae A NS, B OS, C NO, D PO, quartum tres A NS, B OS, C NO se se intersecent in tribus punctis S, N, O, & du-  cantur duo intersectionum puncta S, N, per rectas d K, R K positione datas, & interea transeat per reliquum O recta D P O ducta a polo quarto D, rectamque A N S fecit in P; atque punctum illud P describet Lineam tertii ordinis. Demonstratur ex undecima Prop. Exerc. Geom. Per polos A,B,D, agantur rectae A B R, B D H sibi occurrentes in B, & rectis K R, K d positione datis in R,H; Figura motu puncti P descripta transibit per quinque puncta A, D, H, K, R, quorum A erit duplex. Hinc deducitur Methodus describendi Lineam tertii ordinis per septem puncta data quorum unum fit duplex. Dentur enim A, D, H, K, P, M, R, et oportet unum A esse duplex. Per duo puncta, H, R, ad aliud K agantur rectae HK, RK, & jungantur puncta A;R, & H,D, producanturque rectae AR, HD quae sibi occurrant in B. Ductis per A & puncta P,M, rectis APNS, AMns quae rectam KR secent in N,n, rectam vero HK, in S,s; per puncta illa S,s, ducantur ad B rectae BS,Bs, atque per D ad puncta P,M, age rectas DP,O,DM,T rectis BS; Bs, occurrentes in O,T. Jungantur puncta O,N, & T,n, & producantur rectae ON, TN quae conveniant in C. Dein circa puncta A,B,C,D, tanquam polos roten- tur rectae AS,BO,CO,DO, quarum tres AS; BO,CO se se intersecent in punctis S,N,O, & ducantur duo S,N, per rectas HK, KR & interea transeat semper recta DO per reliquum O,quae rectam ANS fecet in P, & hæc intersectio P rectarum AS, DO Linéam tertii ordinis describet per septem puncta data, A,D,H,K,M, P,R, transeuntem, dupliciter vero per datum A Describuntur etiam Linéæ tertii ordinis generalius sed minus commode hoc modo qui & priorem complectitur. Rotentur circa quinque puncta A,B, C, D, E, data tanquam polostotidem rectæ A NS,B O S,CNO; DPO, EPS, quarum tres A NS, B O S, C NO, se se intersecent in punctis N, S, O; ducantur duo S, N, per rectas positione datas d K, K R, atque per alter utrum S, e duobus S, N, & reliquum O transeant continuo rectæ EPS, DPO per polos E, D, ductæ, qua conveniant in P: punctum illud P describet li neam tertii ordinis, cum duplice puncto in polo E. Simili modo describi poslunt Linéæ quarti ordinis. Moveantur circa quinque juncta data A, B, C, D, E, in plano quovis tanquam polos totidem rectæ A NS, B Q S, C NO, DPO, EPQ, quarum tres, A NS, B Q S, C NO sibi occurrant in tribus punctis S, N, O; ducantur duo intersectionum puncta S, N, per rectas d K, RK positione datas, & interea per reliquum O transeat transeat semper recta D P O mobilis circa quartum polum D, quae secet rectam A N S in P; dein agatur per illud P recta E P Q ducta a polo quinto E, & producatur utrinque ut rectis B Q S, C N O, occurrat in Q & W: dico puncta Q, W, Lineas quarti ordinis describere. Demonstratur ex undecima Prop. Exerc. Geom. Per polos A, E, & B, D, agantur rectae A E H, B D F, rectae d K positione datae occurrentes in H, F; Jungantur D, E, atque per polos D, A, ducta A D, rectae, d K occurrente in V; ex illo V educatur recta V B ad polum B quae rectam D E secet in G. Figura descripta transibit per quinque puncta B, E, G, F, H, tripliciter autem per polum B. Producatur per polos A, B, recta A B R quae rectae K R positione datae occurrat in R; Curva etiam transibit per puncta R, K. Hinc elicitur methodus ducendi Lineam quarti ordinis per novem puncta data quorum unum sit triplex. Dentur enim B, E, F, G, H, L, M, T, Q, & oportet unum B esse triplex. Jungantur puncta B F, F H, H E, producanturque ducanturque rectae BF, FH, HE. Et per puncta E G, GB, agantur rectae EGD, BGV, quarum EGD rectam BF fecet in D, altera vero BGV rectam FH in V. Junctisque V & D ac producta VD quae rectae HE occurrat in A, ducatur per puncta A,B, recta dABR. Dein a punctis B, E, inflectantur ad datum Q rectae BQS, EPQ, quarum prior BQS conveniat cum FH producta in S; & per puncta A, S, ducta AS occurrente rectae EQ in P, per illud P ac D producatur recta DPO quae rectae BQS occurrat in O: Noteturque punctum O. Et similiter ab iisdem B, E, ad aliud datum T inflectantur rectae BT s E pT (supple figuram) quarum BT s conveniat cum FH in s, & ducta A s secante rectam EpT in p, agatur per p & D recta DpZ quae occurrat rectae BT s in Z & notetur Z. Et ita deinceps ducantur rectae ab iisdem B, E, ad reliqua data M, L, ductisque rectis ab A & D ut prius, notentur puncta inventa XY. Deinde Deinde per quatuor puncta inventa O, Z, X, Y & datum B describatur sectio Conica (vid. Prop. 3. Exerc. Geom.) quae rectam F H secet in punctis I, K, rectam vero d A B in B, R. Per puncta A, I, agatur recta A I quae sectionem Conicam secet in I & C; junganturque puncta K, R, & producatur recta K R. Moveantur jam circa quinque puncta A, B, C, D, E, tanquam polos totidem rectae A S, B S, C N, D O, E Q, quarum tres AS, BS, CN, sibi occurrant in N, S, O, & ducantur concursus N & S rectarum AS, CN, & AS, BS, per rectas KR, FHK, atque interea per polum D & concursum O rectarum BS, CN transeat semper recta D P O, quae rectam A S secet in P; perque illud P & polum E producatur recta E P Q rectam B S secans in Q & hæc intersectio Q rectarum B S, E P describet Lineam quarti ordinis transeuntem per novem data puncta BE F G H L M T Q quorum unum B fiet triplex. Methodo haud multum dissimili describi potest Linea quarti ordinis per octo puncta data, quorum tria sint duplicia, atque etiam Linea ejusdem ordinis per undecim puncta data, quorum duo sint duplicia, et alia plura hujsmodi. Sed hæc ne himiam tibi moram injiciam misa faciam: postea tamen explicaturus si non inutilia videantur. De numero autem punctorum quae lineam cujuscunque Ordinis determinant compertum habeo, si \( n \) sit numerus dimensionum Lineæ erit \( n^2 + 1 \) numerus punctorum per qua linea describi potest. v.g. Linea secundi ordinis per 5 puncta, tertii per 10, quarti per 17, quinti per 26. Atque hinc deducitur si Linea ordinis \( n \) sit multiplici puncto \( n - 1 \) prædita describi cribi potest per $2n + 1$, v.g. Linea tertii ordinis cum duplici puncto, i.e.: $n - 1 = 2$ per septem puncta Linea vero quarti ordinis cum triplici puncto per novem, &c. Et generaliter si $p, q, r, \&c.$ denotent puncta multiplicitia quorum numerus sit $m$, describi potest Curva per $n^2 - p^2 - q^2 - r^2 + m + 1$ puncta, in quibus sunt $m$ multiplicitia, v.g. Linea quarti ordinis quae tria habet duplicitia describi potest per octo puncta; nam $n = 4, p = q = r = 2, m = 3, \&c. 16 - 4 - 4 + 3 + 1 = 8$. Est & alia methodus a priori non multum abludens describendi Lineas quarti ordinis, sed paulo complicatior. Moveantur circa septem polos, A, B, C, D, E, F, G, totidem rectae AS, BS, CN, DS, EN, FO, GT quarum una ANS revolvendo secet rectas dK, RK, positione datas in punctis S, N; ducantur per eorum unum N rectae CN, EN, & per alterum S rectae BS, DS, quae rectis, CN, EN convenient in in punctis O, T, ut supra Sectiones Conicas describen- tibus; & interea per eadem O, T, transeant rectae FO, GT a polis F, G, ductae quae sibi occurrant in P; concursus P Lineam quarti ordinis describet cum dupli puncto in utroque polo F & G. Sed hisce ne diutius immorer, en tandem Theo- rema Generale. Moveantur circa puncta A,B,C,D,E, F,G,H, &c. quorum numerus sit n, tanquam polos, to- tidem rectae AS,BS,CN,DP,EQ,FW,XG,HY,&c. quarum tres AS, BS, CN, se se intersecent in punctis N, S, O, ducantur duo S, N, per rectas dK, KR, positione datas; & interea per reliquum O & polum D transeat recta DP rectam AS secans in P, & per il- lud P & polum E ducta recta EQ quae rectam BS fecet in Q, & ex hoc Q per polum F agatur FQ re- ctamque AS fecet in W, atque per W & polum G ducta WG rectam BS secante in X, & deinde per X & polum H producatur recta HY quae rectae SA S A occurrat in Y, &c. ita deinceps; concursus Y rectae YH ab ultimo polo H ductae cum alterutra rectarum AS, BS describet Lineam ordinis \( n-1 \); & Curva multiplex punctum \( n-2 \) habebit in polo A vel B prout fuerit descripta concursu rectae AS aut BS. Puncta O, P, Q, W, X, Y, &c. describent lineas ordinis secundi, tertii, quarti, quinti, sexti, septimi, &c. at si locentur omnes poli A, B, C, D, E, F, G, H, &c. in eadem recta, puncta illa O, P, Q, W, X, Y, &c. etiam totidem rectas describent. Neutonianana descriptio Curvarum magnopere etiam hac methodo promovetur. Tu satis superque nosti quod si circa data puncta A, B, rotentur dati anguli OAN, OBN, & intersectio N crurum AN, BN, ducatur per rectam NR positione datam; concursum O crurum AO, BO, Sectionem Conicam describere. Sumatur jam aliud punctum C circa quod moveatur recta OCP, quae transeat semper per concursum O crurum AO, BO & occurrat alteri cruri AN anguli A in P; concursus P Lineam tertii ordinis describet, dupliciter transeuntem per polum A. Et similiter si concursu cruris BN anguli B describitur curva, ejusdem erit ordinis, & duplex habebit punctum in polo B. Atque hinc etiam patet quomodo describi possest Linea tertii ordinis per septem puncta data quorum unum sit duplex. Moveantur ut prius anguli OAN, OBN circa data puncta A, B, & per concursum O crurum OA, OB, transeat recta OCP ducta ab alio dato C quae cruri AN anguli A occurrat in P, dein per P & quartum datum D agatur recta PDQ cruri AO occurrens in Q; punctum illud Q describit Lineam quarti ordinis cum triplici puncto in polo A. Atque ita augendo polorum numerum A, B, C, D, &c. ut sit tandem eorum numerus n, Linea descripta erit ejusdem ordinis n. Sed notandum si pro angulo OBN substituatur recta quae moveatur circa polum B, facilitior evadet descriptio. Haec tenus Curvae describuntur tantummodo intersectione rectarum: Quibusdam autem casibus simplior erit descriptio ope Linearum inferioris ordinis, & de his plurima Theoremata habeo quae necio tua observatione digna sint, praesertim cum multa hujusmodi in Exercitatione supra dicta jam explicantur. Denique enixe rogo ut benigne accipias & quae minus accurate & inconcinne dicta sint humaniter condones. VII. Ex-