Investigationes Aliquot, ex Quibus Probetur Terrae Figu am Secundum Leges Attractionis in Ratione Inversâ Quadrati Distantiarum Maximè ad Ellipsin Accedere Debere, per Dn. Alexin Clairaut, Reg. Societ. Lond. & Reg. Scient. Acad. Paris. Soc.

V. Investigationes aliquot, ex quibus probatur Terrae figuam secundum Leges attractionis in ratione inversâ quadrati distantiarum maximè ad Ellipsin accedere debere, per Dn. Alexin Clairaut, Reg. Societ. Lond. & Reg. Scient. Acad. Paris. Soc. Tab. II. Fig. 1. Ex principiis mathematicis Philosophiae naturalis Newtonianæ (Corol. 3. Prop. xci. Lib. i. & Prop. xix. Lib. 3.) si Sphærois Elliptica ex partibus constans fluidis & homogeneis sese mutuo attrahentibus in ratione inversâ quadrati distantiarum circa suum axem A æ revolvatur, quo columna CE, CN, CA, ex quibus conflatur ista Sphærois, in æquilibrio constituuntur, sicque Sphæroidi semper eadem habeatur figura, necesse est ut gravitas in superfici quocumque puncto N, sit in ratione inversâ radii CN. Ut igitur sciamus an Sphærois gaudeat hâc proprietate, nunc quaeramus quam patiatur attractionem quodcumque Corpusculum N, totius Sphæroidis secundum directionem CN; atque ex ista attractione subducemus illam vis centrifugæ partem, quæ provenit ex rotatione Sphæroidis secundum CN agentis, & quaeramus an vis residua sit proportionalis ipsi $\frac{1}{CN}$. Ideo quaeremus primò Sequentia problemata; Cumque is nobis fit animus inventa applicare ad Terræ Sphæroïdem, dem, quam Sphæræ parum dissimilem esse apud omnes constat, computa nostra erunt iis Sphæroidibus aptanda, quarum axis maximus minorem superat quam minimâ quantitate. **Problema Primum.** 2. Attractionem invenire, quam Sphærois AEaeE, à Sphæra quam parum dissidens exercet in Corpusculum situm ad Polum A. Ad Solutionem hujus Problematis repetendum est Corollarium 2um Prop. 91. Princip. Math. Philos. nat. ex quo discas modum inveniendi Sphæroidis cujuscumque attractionem, si substituas scilicet in valore generali pro CE quantitatem, quæ infinitè parùm differat ab AC; sed cum in isto casu multò facilius evadat problema, modo sequenti solvemus. Sit AMD ad Sphæra, cujus radius est AC: quaeramus attractionem Spatii orti ex revolutione ADAE, quæ attractio attractioni Sphæræ addita dat quaestam attractionem. Ad inveniendam attractionem Spatii ex revolutione ANEaDM orti, sint AC, r, DE, ar, AP, u, ex naturâ Ellipseos erit NM = \(\alpha \sqrt{2ru - uu}\); ex naturâ verò circuli AM = \(\sqrt{2ru}\). Spatium verò ortum ex revolutione NnmM erit \(\frac{\alpha c}{r} \cdot \sqrt{2ru - uu} \cdot du\) cum sit, c circumferentia, r verò radius. Propter parvitatem ipsius NM, particulas omnes materiæ isto in Spatio conclusas habere licebit tanquam æqualiter attrahentes corpusculum in A: quare parvi istius spatii attractionem habebis, si soliditatem illius per attractionem in M multiplices, atqui ista attractio in M debet esse \( \frac{1}{AM^2} \times \frac{AP}{AM} \). Habebis ergo analyticè \[ \frac{u}{2ru\sqrt{2r}} \cdot \frac{\alpha c}{r} \cdot 2ru - uu \cdot du = \frac{\alpha c}{2rr\sqrt{2r}} (2rdv\sqrt{u} - udu\sqrt{u}) \text{ cujus integralis } \frac{\alpha c}{2rr\sqrt{2r}} \left( \frac{4}{3}rv\sqrt{u} - \frac{5}{3}uv\sqrt{u} \right) \] est attractio spatii orti ex revolutione ANM. Quo in valore si facias \( u = 2r \), habebis per reductionem \( \frac{8}{15}c\alpha \). Unde totius spatii AEaC exprimitur attractio, ad- dendo postea \( \frac{2}{3}c \) prototius Sphaeræ attractione. Habebis \( \frac{2}{3}c + \frac{8}{15}c\alpha \) Ellipsoidis attractionem. 3. Coroll. Si oblongatum Sphæroidem habere ve- lis, \( \alpha \) erit negativus, summa verò attractionis crit \( \frac{2}{3}c - \frac{8}{15}c\alpha \). 4. Nota. Si prædicta Sphærois loco circularium elementorum in PN exsurgentium aliis constaret ele- mentis, v. gratiâ Ellipticis, quæ non magis quam Ellipsis AE à circulo discreparent, & quibus eadem quæ cir- cularis PN esset superficies, eadem, ut patet, semper esset attractio, quia in istis elementis PN, quæcumque vis residua esset, circulis PM sublatis, haberetur tan- quam conflata ex partibus quæ eadem ac in eam El- lipsoidis attractionem haberent, ratione habitâ parvi- tatis NM, æquabilisque quantitatis materiæ. **Lemma. Tab. II. Fig. 2.** 5. Sint KL circulus, H centrum circuli, VH per- pendicularis in area circuli, NH verò linea æqualis per- pendiculari VH, quæ faciat angulum infinitè parvum, vel perexiguum cum illâ, dico attractionem circuli KL in N haberì posse absque errore sensibili, tanquam attractionem ipsius circuli in V, sive, quod idem est, aliam. aliam attractionem ab altera non differre nisi quantitate infinite minore respectu utriusque quam VN minor est respectu HV. Quae propositio ut demonstretur, ostendendum est, duobus corpusculis ad extremitatem constitutis aliquidus Diametri KL unam esse vim attractivam in N, & aliam vim in V, quarum summa haberi potest cadem. Atqui neglecta computatione ad habendam attractionem corporis in K positi in corpusculum N, facile videas illud idem futurum esse cum attractione in V, cui addita foret insuper parva quantitas, quam ingrederetur NV. Similiter etiam videas attractionem corporis positi in L in corpusculum N candem fore cum attractione in V, sublata cadem parva quantitate. Ideoque harumce ambarum attractionum summa una & cadem est. 6. Coroll. Si loco circuli KL esset certa Ellipsis, sive quaedam alia curva linea, qua discreparet quam parum à Circulo, ex iisdem argumentis, qua jam attulimus art. 4. facile colligitur locum semper fore propositioni praedicta. **Theorema Primum.** **Tab. II. Fig. 3.** 7. Sit AEae Elliptica Sphærois, cujus sit Aæ axis revolutionis: dico quam attractionem hæc Sphærois exercet in corpusculum in N positum, eandem esse cum illâ attractione, quam exercet quæcumque Sphærois cujus esset Polus N, axis revolutionis NN, axis vero secundus radius circuli, cui eadem esset superficies ac Ellipsi FG sectioni Ellipsoidos AEae per planum aliquod perpendiculariter erectum in FG Diameterum coniugatam ipsius. Quod Quod ut demonstremus, imaginemur innumera elementa KL, quae sint parallela ad Ellipsim FG, id est quae sint omnia erecta in ordinatas ad Diametrum. Evidens est quod Sphaeroidis AEae in eo tantum a Sphaeroides praedicta disludabit, quod in prima omnia elementa faciant angulum cum CN ab angulo recto discrepantem angulo infinitè parvo, in secunda vero Elementa omnia angulum rectum faciant absque ullo discrimine, cum in utraque Sphaeroides Elementa superficiem habent eandem. Atqui ex propositione praecedenti uniuscujusque Elementi KL in N attractione quasi cadem censetur in utroque Casu; quod spectat vero crassitatem Elementorum KkLL, licet sumere Hh pro perpendiculari hi propter parvitudem anguli ihH; utrinque ideo Sphaeroidis attractiones totales, altera in alterius vicem sumi poterunt. **PROBLEMA SECUNDUM.** 8. Invenire attractionem Sphaeroidis AEae in corpusculum quocumque in puncto N positum. Sint AC = a, CE = b, CN = r, CG Diameter conjugata CN erit \( \frac{ab}{r} \) (quando a & b quamminimè inter se differunt,) oportet ex propositione praecedenti quaere attractionem Sphaeroidis, cujus major axis sit r, minor vero \( \sqrt{\frac{ab}{r}} \), sive \( \frac{ab}{r} \). Ad hoc adhibenda est formula, quam invenimus (Problemate 1°) \( \frac{2}{3} c - \frac{8}{15} ra \), sive \( \frac{2}{3} pr - \frac{8}{15} pr \alpha \) (ponendo pr pro c) in locum α vero hac in formula substituendum est \( \frac{r - b \sqrt{\frac{a}{r}}}{r} = 1 - \frac{b}{r} \sqrt{\frac{a}{r}} \), sive \( \frac{2}{3} n - m \); si \( a + ma \) pro b, \( a + na \) pro r ponas, atque in computo contemnas gradus secundos magnitudum n et m. Si Si ergo \( \frac{2}{3} n - m \) in locum \( a \) sufficias, formula praedicta evadet \( \frac{2}{3} pr - \frac{4}{5} prn + \frac{8}{15} prm \), sive \( \frac{2}{3} pa - \frac{2}{15} pam + \frac{8}{15} pam \); quae expressio est quæsitæ attractionis Sphæroidis in N. 9. Si \( n = o \), tunc habeas \( \frac{2}{3} pa + \frac{8}{15} pam \) pro attractione in \( a \), id est ad Polum. 10. Si vero \( n = m \), tunc habeas \( \frac{2}{3} pa + \frac{6}{15} pam \) pro attractione ad Æquatorem. **Theorema Secundum.** **Tab. Fig. i** 11. Sit, ut supra, AE ae Sphærois, cujus axes inter se differant quamminimâ quantitate, quam ad majorem perspicuitatem dicam infinitè parvam. Si hæc Sphærois concipiatur esse ex materia fluida ac homogenea, & rotata circum axem Aα, tempore congruenti, quo æqualis sit columnæ CE gravitas, gravitati columnæ AC, hoc est, ex principiis Newtonianis attractione in E, demtâ vi centrifugâ sit ad attractionem in A, sicut CA ad CE: dico quod omnes columnæ CN, infinitè parvo secundi ordinis deficienti, æquilibrium cum istis duabus columnis servabunt; id est, attractione in N, sublatâ vi centrifugâ simplici effectâ secundum CN, est ad attractionem in A, sicut CA ad CN. Ad Demonstrationem eadem serventur denominations, quas in propositione praecedenti adhibui; quæratur primo vis centrifuga in E, quæ conveniat cum Æquilibrio Columnarum CE, CA. Propteræa sic dicitur \( \frac{2}{3} pa + \frac{6}{15} pam - f : \frac{2}{3} pa + \frac{8}{15} pam : : 1 : 1 + m \), unde educitur \( f = \frac{8}{15} pam \). Deinde ad adhibendam gravitatem in N compositam ex attractione, demtâ vi centrifugâ, quærenda est vis centrifuga in N, sive, quod idem est, in M supra Sphæram, Sphæram, quia a se invicem non dissidere debent nisi infinite parvo secuudi ordinis, si supponatur DE exprimere vim centrifugam in E, MN exprimet vim centrifugam in N, vires enim centrifugae sunt ut radii, quando eadem sunt revolutionum tempora, per proprietatem vero Ellipsoideos fit ut DE : NM :: CE : MP. Vis autem centrifuga si agat secundum NP, oportet eam reducere secundum NC. NO erit pars residua. Vis igitur centrifuga in N vel in M est ad vim centrifugam in E vel in D, sicut NO est ad DE. Expressio adeo vis centrifugae in N erit $\frac{8}{15}pan$, ac consequenter expressio gravitatis eodem erit $\frac{2}{3}pa - \frac{2}{15}pan + \frac{8}{15}pam - \frac{8}{15}pna$, vel $\frac{2}{3}pa - \frac{2}{15}pna + \frac{8}{15}pam$. Nunc ad inveniendam vim centrifugam in N qua sequitur ex Aequilibrio Columnarum, gravitas in A sit oportat ad gravitatem in N, sicut NC ad AC, gravitas in A est $\frac{5}{3}pa + \frac{8}{15}pam$, qua expressione ducta in $\frac{1}{1+n}$ sive $1-n$, post reductionem evadet $\frac{2}{3}pa - \frac{2}{15}pn + \frac{8}{15}pam$, & eadem qua supra est expressio. Inde videre licet inter figuram quam obtinere debet Terra ex hypothesi Newtoniana, et Ellipsoideum non nisi infinite parvum discrimen esse posse. Quantitas enim DE cum sit $\frac{1}{230}$ pars AC circiter, in praecedenti Computatione, contemnuntur tantummodo quantitates ejusdem ordinis cum $\frac{1}{230}$.