Solutio Problematis de Curvis Inveniendis, Quae Quadam Ratione in Situ Inverso Dispositae se Intersecare Possunt in Angulo Dato

VII. Solutio Problematis de curvis inveniendis, quae quadam ratione in situ inverso dispositae se intersecare possunt in angulo dato. IAM primum ad manus pervenerunt Acta Eruditorum ad hunc mensem Augusti, ubi invenio a me peti, ut ea aperiam, quae notis fictis celata in Supplementorum ad Acta Eruditorum, Tom. 8. Sect. 1. edita sunt. Explicitur autem ea tabula sequenti. In hac tabula sex sunt notarum ordines: supremus literas continet, quibus verba celata scribi debent, reliqui literas numerosque continent, quae verarum litterarum loco usurpantur. Literas autem b, g, n, q, x, quae e laevâ horum ordinum inferiorum collocantur, propter earum usum indices appellare licet. Scripturaræ pars celata ab horum indicum duobus incipit, quorum posterior ostendit notas illum sequentes in eo ordine, cui praefigitur, quæri oportere, ut veræ literæ cognoscantur, quae supra has notas in ordine literarum primo primo semper habentur: Ex hoc autem ordine notæ fictæ desumendæ sunt, donec alteri alicui indicium occurritur, quod cum fit, hoc novo indice utendum est ut priori. Et hac regulâ tota scriptura explicabitur, nisi quod quandocunque plures indices sunt contigui, omnes præter ultimum negligi debent: item verborum aperte scriptorum interpositio hunc indicum usum non turbat. Hoc modo scriptura occulta, si pauci errores typographicici emendentur, verba sequentia complecti invenietur. Curvarum, qua problemati conveniant, quæcunque sumatur ordinata, illius fluxio secunda ab ejusdem fluxione primâ divisa (ut sermone arithmeticorum utar) eandem dat quotientem, sed contrario signo, ac fluxio secunda a fluxione primâ divisa ordinatæ ex alterâ principii abscissæ parte jacentis, & ad eandem ab eo principio distantiam*. Hujusmodi autem curvæ inveniri possunt tribus regulis. Prima regula curvam, qualem problema requirit, ope spatii hyperbolici à curvâ quacunque deducit, quæ habeat ad æquales distantias a principio suæ abscissæ ordinatas æquales, & ab eâdem parte abscissæ positas. Est enim ordinata curvae quæstæ, ut area alius curvae ordinatam habentis æqualem segmento asymptoti hyperbola terminato a spatio hyperbolico æquali areae curvae primo assumpta. Regula autem secunda pendet a primâ, & curvam problemati satisfacientem sine ope spatii hyperbolici ex curvis derivat, quæ habeant ad æqualia intervalla a principio suæ abscissæ ordinatas æquales, sed a contrariis partibus abscissæ positas. * Scilicet, si abscissa a suo principio in oppositas partes æqualibus momentis fluit. Et hæc secunda regula theorema sequens præbet, nimium, si aliqua curva sumatur, qua problema solvi possit per regulam primam, si hujus ordinata insistunt abscissa ad perpendicularum, invenietur curva problemati satisfaciens, si ad eandem abscissam construatur alia linea curva, eà lege, ut illius ordinata ex alterâ parte abscissa ubique æqualis sit aggregato assumpta linea curvae ejusdem ordinatæ; excessui autem hujus curvae praæ ordinatâ suâ æqualis sit unaquæque curvae construenda ordinata, quæ ex alterâ parte abscissa jacet; omnes enim curvae hac ratione construetæ problemati conveniunt. Hoc autem theorema demonstratur propositione sequenti, quod in omni triangulo rectangulo quadratum ab alterutro latere angulo recto adjacenti æquale est rectangulo sub summâ alterius lateris angulo recto adjacentis laterisque angulo ei subtendentis, sub differentiâ corundem laterum. Denique tertia regula derivatur a secundâ, ope propositionis nonæ libri de quadraturâ curvarum Neutoni. SCHOLIUM. Exemplum generale, quod exhibui, curva logarithmica, cyclois plurimis modis investigari possunt his regulis. Unus casus curvae logarithmicæ commodè invenitur per regulam primam, assumptâ linea rectâ loco curvae in illâ regulâ memoratae. Alter hujus lineæ casus deducitur ex regulâ secundâ ope speciei quinquagesimæ nonæ linearum tertii ordinis, quæ omnium curvarum in illâ regulâ utilium est fere simplicissima præter parabolam cubicam hyperbolam conicam. Cyclois Cyclois optime invenitur theoremate, quod a regulâ secundâ deduci diximus. Exemplum istud generale facile invenitur regulâ tertia, aliis vero regulis non sine ambagibus. Regulis secundâ & tertia commodissime inveniuntur curvae geometrice rationales; que deducuntur etiam a theoremate in regulam secundam pendente; quandoquoque enim curva assumpta tam longitudinem quam ordinatam rationalem habet, cujusmodi simplificissima est parabola semicubica, curvae quoque inventae ordinata rationalis erit. Denique his regulis, vel etiam conditione in principio positâ facile est invenire, an curva aliqua proposta problemati satisfaciet, & quibus positionibus id fit: unde intelligi potest, an eadem curva diversis modis problemati conveniat. Horum brevem explicationem jam apponam, descriptendo, ex amici chartâ, problematis frequentis solutionem. **PROBLEMA.** Datis duabus lineis rectis AB, CD (in Fig. 1.) parallelis, ad abscissam AB curva EF describenda est, quae talis sit, ut in situ inverso ad abscissam CD descripta seipsam semper intersecet in angulo quolibet dato. Ad abscissam CD describantur curvae GH, KL similes & æquales curvae EF, quarum altera huic curvae EF occurrat in puncto quolibet I, altera vero per punctum M transeat, ut partes EM, KM curvarum EF, KL similes sint & æquales; & per punctum M, quod partes curvae EF dirimit, quae se mutuo intersecare debent, ducantur lineæ NMO, nMO, quae cum rectis AB, CD angulos sub NOB & sub CONO, item angulos sub nOA, & sub oAD constituent ei æquales, in quo curva seipsam secare ponitur. Ducatur IPTS lineis AB, CD parallela; lela; item huic proxima & parallela j x pts; deinde ducatur I v lineae NO parallela, & denique I w, S y parallelae lineae n o, ut angulus sub I wj æqualis sit angulo sub I v x. Jam anguli sub I x w & iub I j v simul sumpti æquales erunt angulo sub x I M, ideoque & angulo sub I w v æquales; unde angulus sub x I w æqualis erit ei sub I j v; & eodem modo angulus sub j I v ei sub I x w æqualis invenietur; adeo ut triangula I j v, x I w sunt similia, & j v : I v :: I w : w x. Porro pro abscissis æqualibus M P, M T scribatur z, pro ordinatâ P I, y, & — v pro ordinatâ T S, pertinente ad curvae K L arcum K M, qui arcui E M curvae E F respondet. Crescentibus autem abscissis M P, M T, & simul increcentibus ordinatis P I, T S, earum fluxiones primæ eadem habebunt signa cum suis ordinatis, sed utraeque fluxiones secundae idem habebunt signum; nam fluxio secunda unius ordinatæ idem habebit signum cum suâ ordinatâ, sed alterius ordinatæ fluxio secunda signum habebit a signo suæ ordinatæ diversum; propterea quod curvarum K M, M F alterius concavitas versus convexitatem alterius convertitur, ut manifestum est. His autem cognitis invenietur j v : I v (= P p) :: y : z, I w (= T t) : w x (= s y) :: z : — v, & y : z :: z : — v, item — y v = z², & denique positâ z invariabili — y v — y v = α, vel y v + y v = 0, ideoque y y = — v v, quando y & y ad curvam E F, sed v & v ad curvam K M pertinent. Idem vero locum quoque habet, quando omnes hæ fluxiones ad curvam E F referuntur, si abscissa in oppositas partes a suo principio fluere statuitur; nam sumptâ M Q = M P, & M q = M p, ductisque Q R, q r ad A B, C D parallelis, puncta R, r in curva E F punctis S, s in curva K M respondent. Ponendo igitur abscissam in contra- contrarias partes a suo principio æqualibus momentis fluere, Curvarum, quæ problemati conveniunt, quæcunque sumatur ordinata, illius fluxio secunda a fluxione prima divisa eandem dat quotientem, &c. ut supra. Haec autem curvarum quaestiarum conditio est, unde deducuntur regulæ sequentes ad problematis solutionem. Regula Prima. CUM requiritur, ut MQ existente = MP sit \( \frac{\ddot{y}}{y} = -\frac{\ddot{v}}{v} \), quando abscissa in oppositas partes a puncto M æquabiliter fluit, ita ut ejus fluxionis in partibus abscissæ, quæ a contrariis lateribus puncti M jacent, signa diversa tribuenda sint, ponere licet \( \frac{\ddot{y}}{y} = \dot{z} \) ductæ in quantitatem quamcunque, quæ eadem maneat, & sub eodem signo, pro eadem magnitudine z, sive illa affirmativa sive negativa sit. Describatur igitur (in Fig. 2.) ad abscissam NO curva quælibet KL, cujus ordinatæ angulum quemcunque datum cum abscissâ constituant, & quæ habeat eas ordinatas æquales, &c. ab eodem latere abscissæ NO positas, quæ æqualiter distant a puncto M, ut ordinatæ PW, QX; deinde fiat \( \frac{\ddot{y}}{y} \) ordinatæ PW x \( \dot{z} \) proportionalis, &c. \( \frac{\ddot{v}}{v} \) ordinatæ QX x \( \dot{z} \). Jam (in Fig. 3.) exponatur hyperbola YZ ad asymptotos ΓΔ, ΓΘ, angulum sub ΘΓ Δ angulo dato sub NPW æqualem comprehendentes, descripta, &c. in alterutra asymptoto, ut ΓΔ, sumatur ad libitum punctum Λ, & ducatur ΛΞ alteri asymptoto ΓΘ parallela, & parallelogrammum ΓΞ compleatur: deinde in curvâ KL ad abscissam NO, & ad punctum M ordinatim U 2 applicetur applicetur \( M \Pi \); sumatur spatium hyperbolicum \( \Lambda \equiv \Sigma \), rectâ \( \Sigma \) asymptoto \( \Gamma \Theta \) parallelâ abscissum, æquale spatio \( W P M \Pi \), & fiat \( P \Phi = \Gamma \Sigma \), eâque ratione describatur curva \( \omega \Psi \Phi \Omega \); dico \( P I \) curvæ quaestæ ordinatam esse ut spatium \( M P \Phi \Psi \). Hoc autem manifestum est; fluxio enim spatii \( M \Pi W P \) æqualis est fluxioni spatii \( \Lambda \equiv \Sigma \), ideoque \( P W \times z \) = fluxioni lineæ \( \Gamma \Sigma \) ductæ in \( \Sigma \) vel in \( \frac{\Gamma \Lambda \times \Lambda \Xi}{\Gamma \Sigma} \); erit igitur \( P W \times z \) ut fluxio lineæ \( \Gamma \Sigma \) sive lineæ \( P \Phi \) per ipsam \( P \Phi \) divisa; sed \( P W \times z \) est ut \( \frac{y}{y} \); unde erit \( P \Phi \times z \) ut \( y \), & necessario \( y \) sive \( P I \) ut spatium \( M P \Phi \Psi \). Prima igitur regula curvam, qualem problema requirit, ope spatii hyperbolici, &c. ut supra. In exemplum hujus regulæ loco curvæ \( K L \) (in Fig. 2.) sumatur linea recta lineæ \( N O \) parallela, & erit linea \( \omega \Psi \Phi \Omega \) ea, quæ logarithmica dicitur, cui \( N O \) asymptotos est; ideoque & linea \( E F \) etiam logarithmica, per punctum \( M \) transiens, & asymptoton habens lineæ \( N O \) parallelam; propterea quod area \( M P \Phi \Psi \) hic erit ut \( P \Phi - M \Psi \) (a). Si vero ordinatæ \( \epsilon n \zeta, \beta \alpha \gamma \) ducantur æqualiter distantes a puncto \( M \), ordinatæque \( M \Psi \) proximæ, erunt \( \epsilon n, \alpha \beta \) æquales quando primum nascuntur, quoniam spatia \( \epsilon \zeta \Psi M, M \Psi \gamma \alpha \) tunc æqualia sunt; ex ostensi autem est \( \epsilon n \times \alpha \beta = M \epsilon q \) vel \( M \alpha q \), unde \( \epsilon n = M \epsilon \); & \( \epsilon n \) ad \( \frac{M \Psi \zeta n}{M \Psi} \) ut radius ad sinum anguli sub \( N M \Psi \). Quoniam igitur \( P I \) semper est ut spatium \( \Psi M P \Phi \), erit \( P I \) ubique ad \( \frac{\Psi M P \Phi}{M \Psi} \) ut radius ad sinum anguli sub \( N M \Psi \); & (a) V.d. Barrov. Lection. Geometr. p. 123. denique limes ordinatarum negativarum ad spatium totum comprehensum a parte \( \Psi \omega \) lineæ logarithmicæ \( \omega \Psi \Omega \) ab ordinatâ \( M \Psi \), & ab asymptoto \( M O \) ad ordinatam \( M \Psi \) applicatum ut radius ad sinum anguli sub \( NM \Psi \): est autem rectangulum sub \( M \Psi \) & sub lineæ logarithmicæ \( \omega \Psi \Omega \) subtangente ad spatium prædictum etiam ut radius ad sinum anguli sub \( NM \Psi \): adeo ut limes ordinatarum negativarum lineæ curvæ \( E F \) æqualis erit huic subtangenti; unde si \( \Psi M \) retro producatur ad \( \delta \), ut \( M \delta \) huic subtangenti sit æqualis, & ducatur \( \theta \delta \lambda \) lineæ \( NO \) parallela, erit illa curvæ \( E F \) asymptotos; erit autem curvæ hujus \( E F \) subtangens lineæ \( M \delta \) æqualis; propterea quod \( M \epsilon = \text{est} \epsilon n \): Unus igitur casus curvae logarithmicae commodè invenitur per regulam primam, &c. ut supra. Hæc autem regula primum ostendit modum, quo problema solvitur. **Regula Secunda.** Describatur curva quæcunque \( M \mu \) per punctum \( M \) transiens in Fig. 2, vel \( x nc, mp \mu \) in Fig. 4. ubi curva invenienda duobus cruribus \( e M F, EM f \) constat; ut curvarum \( x M \mu, \& x nc, mp \mu \) ordinatæ ut \( P v, Q \rho \), quæ æqualiter a puncto \( M \) principio abscissæ distant, sint æquales, sed a contrariis partibus abscissæ positæ, ita ut mutato abscissæ signo ordinatæ signum etiam mutetur. Exponatur porro (in Fig. 5.) hyperbola æquilatera \( a b \) cujus axis transversus \( a g \), conjugatus \( h q \), centrum \( d \), asymptotid \( r, ds \); sumatur \( dt = P v, \& ducatur tvw \) ad \( hq \) perpendicularis, junctâ \( dw \), sumatur quoque \( dx = Mn, \& ducatur x y \) item rectæ lineæ \( hq \) perpendicularis, junctâ \( dy \). Jam sit curva \( KL \) (in Fig. 2,) vel \( KkLl \) (in Fig. 4,) talis ut spatium \( PMPW \) ΠΜΡW æquale sit spatio ad w, si curva χ μ per punctum M transit, aliter æquale spatio da w — d a y; hac enim ratione curvae K L, & K k L l non desinent conditionem habere, quae in regulâ priori requiritur, nempe ut ordinatæ ad æquales distantias a puncto M sint æquales, & ab eadem abscissæ parte positæ. Nam area hyperbolica a d w affirmativa est, quando d t vel P ν est affirmativa, & cadem area negativa est, quando d t vel P ν negativa est, quia area tota hyperbolica ab eadem parte lineæ h q jacet; ideoque area curvarum K L, K k L l ad ordinatam M Π terminata signum suum mutabit, quando abscissa M P, magnitudine servata, signum mutat; & curvae ordinata nec magnitudinem nec signum mutabit, mutatione signi abscissæ. Sit porro ' a d q = parallelogrammo Γ Σ in hyperbolâ priori: quo efficietur ut t w + t v sit ad a d ut Γ Σ ad Γ Λ (a); si igitur Γ Λ fiat = a d, erit t w + t v = Γ Σ = P Φ. Porro ducantur ordinatæ ε n ζ, αβγ ordinatæ M Ψ proximæ; deinde in Fig. 2. ubi curva ω Ψ Ω simplex est, cum ε n sit ad αβ ut spatium M Ψ ζ ε ad spatium M Ψ γ α, erit ε n = αβ; unde & earum utraque = M ε = M α. Ideoque ε n ad M Ψ ζ ε ut radius ad sinum anguli sub NM Ψ, & ubique P I ad M Ψ Φ P in eadem ratione. In figurâ quartâ ubi curva ω ψ Ω ex duobus cruribus composita est, ε n est ad αβ ut spatium Ψ M ε ζ ad spatium ψ M α γ five ut M Ψ ad M ψ, propterea quod M ε = est M α. Cum igitur necesse sit, ut ε n × αβ = fit M ε q, scilicet ut crura M F, M E in angulo proposito se mutuo interfecent, erit ratio ε n ad M ε subduplicata rationis ε n ad αβ vel subduplicata rationis M Ψ ad M ψ: (a) Vid. Philos. Transact. No. 338. prop. 4. ideoque ε n ad spatium M Ψ ζ applicatum ad mediam proportionalem inter M Ψ, M ψ ut radius ad sinum anguli sub N M Ψ; & generatim P I ad spatium M Ψ Φ P applicatum ad mediam proportionalem inter M Ψ & M ψ in eadem ratione. Est autem M Ψ = y x + d x, & M ψ = y x - d x, & ad media est proportionalis inter y x + d x & y x - d x. Unde utrobique dictis ad, a; dt vel P ν, R; erit P Φ = √aa + RR + R; R = ½ a × PΦ/a - a/ΦP; & P I ad MPΦΨ ut radius ad sinum anguli sub NM Ψ. Regula igitur secunda pendet a prima, & curvam problemati satisfacientem sine ope spatii hyperbolici, &c. ut supra. Nam hic sine spatio hyperbolico curva invenitur, cujus quadraturâ problema solvitur. Duæ autem sunt in hac regulâ formulæ. Formula prior nimirum P Φ = √aa + RR + R, curvarum geometricæ rationalium, quæ maxime hic requiruntur, inventioni accommodatur; facile enim est ita sumere quantitatem indeterminatam R, ut curva ω Φ Φ Ω quadraturam admittat. Ne casus magis compositi memorentur, ponatur R vel P ν = c z^n, ut m & n numeri sint impares vel inter se primi, vel eorum alter unitas: hac enim ratio ne curva, cujus ordinata est P ν, conditionem habebit in hac regulâ necessariam, & erit P Φ = √aa + RR + R = √aa + cc z^(2m) + c z^n = z^n √cc + aaz^n + c z^n. Si igitur m/n + 1 sit vel numero 2m/n æqualis, vel ejusdem multiplex, id est, si sumatur m = — i, & n numero cuilibet impari æqualis; pars ordinatae \( z^n \) \( \sqrt{c + aaz^n} \) \( + c z^n \) sub vinculo inclusa, ideoque & ordinata tota quadraturam admitteret. (a) Verbi causâ, ponatur \( \frac{m}{n} = -\frac{1}{2} \), \( c = 1 \), & \( P \Phi \) \( = z^{-\frac{1}{2}} \sqrt{1 + aaz^3} + z^{-\frac{1}{2}} \). Unde erit area \( M \Psi \) \( \Phi P = \frac{1 + aaz^3}{aa} + \frac{1}{2}z^3 \), & \( PI = \frac{1}{aa} + \frac{3z^3}{2a} \), curvaque quaesita hac æquatione comprehendetur \( a \times PIq - 3z^3 \times PI = \frac{1}{a^5} + \frac{3z^3}{a^3} + \frac{3z^4}{4a} + a z^2 \). In hac æquatione cum \( z^3 \) signum non mutabit, mutatione signi abscissæ \( z \); pro eadem ipsius magnitudine tam negativâ quam affirmativâ \( P I \) candem habebit magnitudinem, & sub eodem signo; unicuique autem magnitudini abscissæ \( z \) respondet & affirmativa & negativa ordinata: adeo ut curva quaesita habebit formam hic appositam (in Fig. 6.); e tribus constans cruribus \( a b c, d e, d f \) punctis \( b, d \) æqualiter a puncto \( M \) distantibus; quippe est \( M d = M b = \frac{1}{a^3} \): quando enim est \( z = 0 \), crit \( PIq = \frac{1}{a^6} \); & \( PI = \pm \frac{1}{a^3} \). (a) Vid. in Tract. de quadr. curv. Newton, tab. curv. simplicior. qua quadrari possunt. Hæc Hæc autem regulae hujus formula prior secundum exhibet curvas quæsitas inveniendi modum. In formulâ posteriori, cum \( R \) sit \( = \frac{1}{2} a \times \frac{P\Phi}{a} - \frac{a}{P\Phi} \), \( R \) vel \( P \nu \) ejusdem magnitudinis manebit, sed signum mutabit, quando abscissa magnitudinem suam signo mutato retinet, si \( P\Phi \) talis sumatur, ut mutando abscissæ signum \( \frac{P\Phi}{a} \) convertatur in \( \frac{a}{P\Phi} \), & contra ut \( \frac{a}{P\Phi} \) conver- tatur in \( \frac{P\Phi}{a} \). Et hæc formula posterior tertium conti- net problema solvendi modum. Verbi causâ, sit \( P\Phi = a \times \frac{c - z}{c + z} \), quando \( z \) est af- firmativa, & erit \( R \) vel \( P \nu \) codem tempore \( = \frac{1}{2} a \times \) \( \frac{c - z}{c + z} - \frac{c + z}{c - z} \), quando autem \( z \) negativa est, fiet \( P\Phi = a \times \frac{c + z}{c - z} \), & \( R \) vel \( Q\rho = \frac{1}{2} a \times \frac{c + z}{c - z} \) \( \frac{c - z}{c + z} \). Hinc autem \( R \) æqualis erit \( \frac{2acz}{cc - zz} \), & \( R \cdot zz + 2acz = ccR \); ideoque curva \( \kappa M \mu \) linea tertii ordinis, imo species earum quinquagesima nona; propterea quod æquationis \( ccRR + aacc = o \) ra- dices sunt impossibiles (a). Linea autem curva hinc invenienda, si fiat (in Fig. 7.) \( NM \) vel \( MO = c \), lo- garithmica est, cui recta \( AB \) est asymptotos. Cum (a) Vid. Newton. Enumerat. linear. tert. ordin. ad Fig. 63. enim \( P \Phi \) sit \( = a \times \frac{c - z}{c + z} \), erit eadem \( = \frac{ac}{c + z} - \frac{az}{c + z} \). Si igitur (in Fig. 8.) in rectâ lineâ quacunque \( \alpha \varepsilon \) sumatur \( \alpha \kappa = OM = c \), & ei ad perpendiculum erigantur \( \alpha \beta, \kappa \mu \) quarum \( \kappa \mu \) sit \( = a \), & si asymptotis \( \alpha \varepsilon, \alpha \beta \) per punctum \( \mu \) describatur hyperbola \( \zeta \nu \), & sumptâ \( \kappa \nu = MP = z \), ducatur \( \nu \rho \) asymptoto \( \alpha \beta \) parallela; parti \( \frac{ac}{c + z} \) ordinatæ \( P \Phi \) respondet area, quae erit ad aream \( \kappa \mu \rho \nu \) ut sinus anguli sub \( NPI \) ad radius, & alteri parti \( \frac{az}{c + z} \) ejusdem ordinatæ respondet area, quae erit ad \( a \kappa \nu - \kappa \mu \xi \nu \) in eâdem ratione (\( a \)). Unde \( PI \), quae est ad \( \frac{MP \Phi \Psi}{a} \) ut radius ad sinum anguli sub \( NM \Psi \), erit \( = \frac{2 \kappa \mu \rho \nu}{a} - \kappa \nu \). Si igitur sumatur \( O \varsigma = OM \), & ducatur \( \varsigma M \) ordinatæ \( PI \) retro productæ occurrens in \( \chi \), ut fit \( P \chi = PM = \kappa \nu \), erit \( \chi I = \frac{2 \kappa \mu \rho \nu}{a} \): ideoque linea \( MI \) logarithmica, cui \( AB \) asymptotos est, & \( \varsigma M \) ordinatim applicata, efficiens cum asymptoto \( AB \) angulum sub \( A \varsigma M \) versus contingentem æqualem dimidio anguli sub \( AON \). Alter igitur hujus lineæ casus deducitur, &c. ut supra. Magis generatim, si \( r \) ordinatam curvæ aliquidus denotat, quae instar curvarum \( \kappa M \mu, \& \kappa nc, mp \mu \) ad abscissam \( NO \) descripta ordinatas habeat æquales, quae \((a)\) Vid. Newton. de quadr. curv. tab, curv. simpl. quae cum circ. & hyperb. compar. possunt, form. prim. æqualiter æqualiter distant a puncto M, sed a contrariis partibus abscissæ positas, poni potest ordinata \( P \Phi = ax \) \[ b + cr + drr + er^3 + \&c \times f + gr + \&c \times h + kr + lrr + \&c \] Ex priori hujus regulæ secundæ formulâ deducitur quoque theorema, cujus supra fit mentio, ad inveniendas curvas tam rationales quam irrationales utile, quod quartus erit modus problema solvendi. **Theorema.** Quoniam est \( P \Phi = \sqrt{aa + RR} + R, \) & \( R = Pr, \) manifestum est, si \( \frac{R}{a} \) vel \( \frac{P}{a} \) sit ut fluxio ordinatæ, quaæ abscissæ suæ ad perpendiculum insistat, alicujus curvæ, erit \( \frac{\sqrt{aa + RR}}{a}, \) ut ejusdem curvæ fluxio; curvæ autem hujus ordinata æqualis erit areae curvæ \( x \mu \) ad \( a \) applicatæ, si angulus sub \( MP \) rectus sit, & cum area curvarum (in Fig. 2, 4.) \( xM \mu, \) & \( xn c, mp \mu \) eodem signo afficiatur, tam quando abscissa est affirmativa, quam quando est eadem negativa, quoniam areae ad diversas abscissæ partes in illis diversis casibus jacent; & præterea cum eisdem abscissæ magnitudinibus areae æquales respondeant, curvæ, quales problema requirit, inveniri possunt curvarum ope, quarum ordinatæ ad eadem abscissæ magnitudines æquales sint, & ab eadem abscissæ parte positæ, si modo ordinatæ insistent abscissæ ad perpendiculum. Descripta sit ejusmodi curva \( n o, \) quæ tangat abscissam in puncto \( M \) (ut in Fig. 9.) si evanescat, quando abscissa est \( = 0, \) fluens quantitas fluxioni longitudinis curvæ \( no \) respondens; aliter, quæ habeat ordinatam primam \( Mm \) (ut in Fig. 10.) æqualem magnitudini fluentis fluentis istius quantitatis, quando abscissa est = o. Eri- gantur ordinatae Pp, Qq; deinde erit PI curvae qua- sitae ordinata, quae ab altera parte puncti M jacet, vel = Mp + Pp, vel = Mm p + Pp; ordinata autem QR, quae ab altera parte puncti M cadit, vel = Mq — Qq, vel = Mm q — Qq. Observandum autem est hoc theorema aliquando partem dumtaxat curvae quasitae describere. Ex ratione autem, qua hoc theorema investigatur, manifestum est duo crura curvae hic descriptae ejusdem lineae esse partes: nimirum utriusque naturam cadem aequatione definiri. Hanc autem curvam in situ inver- so dispositam se intersecare in angulo aequali angulo sub NOB inde manifestum est, quod rectangulum sub flu- xione PI & sub fluxione QR, ordinatarum scilicet ae- qualiter a puncto M distantium, aequalis est quadrato fluxionis abscissae: si enim curvae n o ordinatae w r, x t applicentur ordinatis Qq, Pp proximae, & Px, Qw sint aequales, & ducantur rs, tv abscissae NO parallelae, erunt triangula pt v, qr s rectangula similia & aequalia: in omni autem triangulo rectangulo quadratum ab al- terutro latere angulo recto adjacenti aequalis est rectan- gulo sub summâ alterius lateris angulo recto adjacentis laterisque angulo ei subtendentis, & sub differen- tiâ eorundem laterum. Igitur tv = Px² = pt + pv × pt — pv = pt + pv × qr — qs: est autem ultima ratio Px ad pt + pv ca, quam fluxio abscissae habet ad fluxionem ordinatae PI; & ratio Px vel Qw ad qr — qs ea, quam fluxio abscissae habet ad ordinatae QR fluxionem. Unde constat propositum. Regula igitur secunda theorema, &c. ut supra. Jam si n o sit circuli circumferentia, linea EF cyclois crit, quando angulus sub NOB vel sub NPI rectus est. Porro si curvae n o longitudo cum rectâ conferri potest, quarum curvarum simplicissima est parabola semicubica, curva inventa rationalis erit. Speciatim parabola semicubica, si rite disponatur, ejus curvae partem dimidiam exhibebit, quam in exemplum formulae prioris regulae secundae delineavimus; scilicet (in Fig. 6.) crurs d e, partemque inferiorem b c cruris a b c. Reliquae autem illius partes describi possunt, si retro producatur ordinata I P donec pars producta æqualis sit M m p — P p, & producatur R Q ab altero abscissæ latere, donec pars producta æqualis sit M m q + Q q. Nunc transcundum est ad regulam tertiam, quæ etiam curvas geometricæ rationales largitur. Regula Tertia. Regula hæc tertia duos quoque complectitur problema solvendi modos a prioris regulæ formulis propositione nonâ tractatus de quadraturâ curvarum Newtoni derivatos. Propositione istâ ad formulam regulæ praecedentis priorem adhibita invenitur area curvae, cujus abscissa est z, & ordinata $\sqrt{aa} + RR + R$, æqualis areae curvae, cujus abscissa est R & ordinata $\frac{z}{R} \sqrt{aa} + RR$. Hinc autem quinto modo solvitur problema. Verbi causâ, ut exemplum generale, quod antea (a) exhibui, investigetur, positis MP = z, & PV = R, ut prius, fiat $\frac{z}{R} = R^{\frac{m-n}{n}} \times c + dR^2$, & erit $z = R^{\frac{m}{n}}$. (a) In Act. Erud. Mens. April. 1721. × \( \frac{n}{m} c + \frac{n}{m+2n} d R^2 \); sint autem \( m \) & \( n \) numeri impares vel inter se primi vel eorum alter unitas; ut signa abscissae \( z \) & ordinatae \( R \) simul mutentur, sicut in regulâ priori requiritur; jam erit ordinata \( \frac{z}{R} \sqrt{aa+RR} \) \[ + \frac{z}{R} R = R^{m-n} \times c + d R^2 \times \sqrt{aa+RR+R^n} \] × \( c + d R^2 \); area igitur curvae, cujus abscissa est \( z \) & ordinata \( \sqrt{aa+RR+R^n} \times c + d R^2 \times \sqrt{aa+RR+R^n} \times c + d R^2 \), si modo hæc posterior ordinata cum abscissâ suâ angulum contineat æqualem angulo sub \( NM \Psi \); unde hujus posterioris curvae quadraturâ linea exhibetur problemati satisfaciens. Erit autem hæc linea curva geometricè irrationalis, nisi \( m \) & \( n \) certos quosdam numeros designant, vel certa quædam sit relatio inter coefficientes \( c, d \); hæ autem conditiones ratione sequenti inveniuntur. Erit (a) area curvae, cujus abscissa \( R \) & ordinata \( R^{m-n} \times c + d R^2 \) \[ + R^{m-n} \times c + d R^2 \times \sqrt{aa+RR}, ad R^{m+n} \] × \( \frac{n}{m+n} c + \frac{n}{m+3n} d R^2 + R^n \times \sqrt{aa+RR} \) \[ \times \frac{n}{maa} c + \frac{d - \frac{m+3n}{maa} \times c}{m+2n} \times \frac{d}{aa} \] (a) Per prop. quint. quadr. curv. Newton. guli sub NM Ψ ad radium. Hæc autem series terminabitur, & quadraturam finitam dabit, si \( n \) sit unitas & \( m \) numerus negativus ternario major, vel si ultimus terminorum hic fcriptorum sit nihilò æqualis, id est, si fit \( d = \frac{m + 3n}{maa} c \), vel si sit \( d = 0, n = 1, \& m = -3 \). Et hic quidem ultimus casus curvam exhibet, quæ theoremate præcedenti a parabolâ semicubicâ invenitur. Magis generatim ponere licet \( \frac{z}{R} = R^{\frac{m-n}{n}} \times c + dR^2 + eR^4 + \&c \ldots + fR^p \), ubi \( p \) numerum quemcunque parem denotat; unde fiat \( z = R^{\frac{m}{n}} \times \frac{n}{m} c + \frac{n}{m+2n} dR^2 + \frac{n}{m+4n} eR^4 \ldots + \frac{n}{m+pn} fR^p \), & curvæ \( \omega \Omega \) ordinata \( = R^{\frac{m-n}{n}} \times c + dR^2 + eR^4 \ldots + fR^p \times \sqrt{aa + RR + R} \). Hinc (a) si \( n \) sit unitas & \( m \) numerus negativus numero \( p + 1 \) major, curva dabitur geometrice rationalis, vel si certa quædam relatio sit inter coefficientes \( c, d, e, \&c. \ldots f \), quæ relatio facile invenitur ut antea. Porro ad alteram regulæ secundæ formulam adhibendo propositionem nonam memoratam libri de quadraturâ curvarum, sextus oritur problema solvendi modus. Literà \( r \) denotante ut supra, fieri potest ordinata \( P\Phi = a \times \frac{b + cr + dr^r + \&c}{b - cr + dr^r - \&c} \), area curvæ, cujus abscissa est \( z \) & ordinata \( P\Phi \), æqualis erit ææ curvæ, (a) Per prop. proxim. citat. cujus abscissa est \( r \) & ordinata \( a \times \frac{z}{r} \times b + cr + drr + \&c \) Ponatur igitur \( \frac{z}{r} = r^{m-n} \times b + cr + drr + \&c \times \) \[ \left( b - cr + drr - \&c \right)^p = r^{m-n} \times bb + 2bd - cc \times rr + ddr^4 + \&c \] \(^p + i \times A + Brr + Cr^4 + \&c \), cujus seriei coefficientes \( A, B, C \&c \) dantur per propositionem quintam Tractatus de Quadraturâ Curvarum. Manifestum autem est nec terminos hujus seriei nec quantitatem \( bb + 2bd - cc \times rr + ddr^4 + \&c \)^p + i signa sua mutare mutatione signi quantitatis \( r \); quantitas autem \( r^n \), si \( m, n \) numeri sint impares, signum mutabit, quando ipsa \( r \) signum mutat; ideoque ordinata \( r \) & abscissa \( z \) signa simul mutabunt. Ordinata autem \( a \times \frac{z}{r} \times b + cr + drr + \&c \) erit \[ \left( ar^{m-n} \times bb + 2bd - cc \times rr + ddr^4 + \&c \right)^p - i \times b + cr + drr + \&c \] Et hinc facile inveniri possunt curvæ rationales. Pro exemplo simplici ponatur \( p = i = m = n, d, \&c = 0 \); unde erit \( \frac{z}{r} = bb - ccrr, \& z = bbr - \frac{1}{3} ccr^3 \). Ordinata autem curvæ metiendæ \( = abb + 2abcrr + accrr \); ejusdem igitur area est ad \( abbr + abcrr + \frac{1}{3} accr^3 \) ut sinus anguli sub NM \( \Phi \) ad radium; ideoque erit \( PI = bbr + bcrr + \frac{1}{3} \) Hinc autem invenitur parabolam semicubicam problemati satisfacere, quam ita describere oportet. Datâ (in Fig. 11.) lineâ rectâ A B, & in eâ puncto C, una cum lineâ rectâ C D angulum sub B C D cum lineâ C B constituente æqualem angulo, in quo curva se intersecare requiritur. Ducatur ad libitum H G I ad CD parallela, sumaturque in eâ G H = 2 C G; deinde dividatur angulus sub A C D in duas partes æquales lineâ rectâ C E, & denique ad diame- trum H I & verticem H describatur parabola semicubi ca K H L, quae transeat per punctum C, ita ut C E ordinatim applicetur ad diametrum H I. Hæc para- bola ad eandem lineam similiter applicata, sed situ in- verso, se intersecabit in angulo æquali angulo sub B C D. Si placet curvas hac regula inventas theoremate præcedente construere, ex iis, quæ hic tradita sunt, cur- va huic negotio apta inveniri potest; erit enim curvæ illius ordinata æqualis areae curvæ \( x \mu \) ad \( a \) applicatae, quando angulus sub M P \( \nu \) rectus est. Verbi causâ, hujus areae fluxio, nimirum P \( \nu \times z \) in exemplo secun- do prioris partis hujus regulæ erit \( R R \times R^n \) \[ \times c + dR^2 + eR^4 \ldots + fR^p = R R^n \times c + dR^2 + eR^4 \ldots + fR^p ; \] ideoque curvæ hic requisitæ or- dinata erit \( \frac{1}{a} R^{m+n} \times \frac{n}{m+n} c + \frac{n}{m+3n} dR^2 \) \[ + \frac{n}{m+5n} eR^4 \ldots + \frac{n}{m+p+1} fR^p . \] In exemplo posterioris partis hujus regulæ erit \( R \) \[ (= \frac{1}{a} \times \frac{P\Phi}{a} - \frac{a}{P\Phi}) = \frac{2bc + 2cd + 2c}{bb + 2bd - cc \times rr + ddr^4 + \&c} \] V ideoque ideoque \( R \times z = r^m \times \frac{2bc + 2c dr^2 + \mathcal{E}c}{b b + 2bd - cc \times rr + ddr^4 + \mathcal{E}c}^{p-1} \); hæc igitur est fluxio ordinatæ curvæ quæsitæ. Si sit \( m = 1 = n = p, d, \mathcal{E}c = 0 \), erit \( R \times z = 2bcrr, \) & ordinata curvæ quæsitæ \( = bcrr; \) quo- niam igitur \( z = erit bbr - \frac{1}{3}ccr^3, \) erit curva quæ- sita in hoc casu parabola divergens cum nodo, qua- definitur hac æquatione \( 3ezz = y^3 - 2eyy + eey (a). \) Et hac curvâ describetur parabola fæmicu- bica supra inventa. Verbi causâ, ad rectam lineam (in Fig. 12.) A B du- catur perpendicularis C D, & ad illam ut axim descri- batur ejusmodi parabola divergens F E C E G. Dein- de ducatur ad libitum H I angulum quemcunque datum cum rectâ A B constituens, & ducatur H K L M ad C D parallela; deinde sumatur \( HN = HK + arc. CK, HO = HL + arc. CKL, \) & ab alterâ parte puncti H, HP = CEM — HM; & curva hac ra- tione descripta parabola fæmicubica erit. Hinc apparent quomodo curvæ, quarum investiga- tioni regula hæc tertia aptatur, theoremate præcedenti construi possunt, postquam carum formæ cognoscun- tur, sed hæ curvarum formæ, a quibus rationales deri- ventur, regulâ hac tertiâ optime inveniuntur. Hæ sunt tres regulæ, quarum supra fit mentio. Ul- tima sententia, quæ sub notis fictis celata fuit, exemplo frequenti illustrari potest. Sit \( y = a + bx + \sqrt{c + 2dx + ex^2} \) vel \( = \frac{a + bx + cx^2}{d + ex}, \) quaæ (a) Vid. Enumerat. linear. tert. ord. Fig. 73. duae æquationes omnes complectuntur sectiones conicas. Inde vero inveniemus \( \frac{y}{y} = \frac{ec}{d + ex} - dd \) \[ \frac{b \sqrt{c + 2dx + exx} \times c + 2dx + exx}{2cdd + 2aee - 2bde} z; quae æquationes ostendunt in nullâ sectione conicâ, quomodo cunque disponatur, quantitatem \( \frac{y}{y} \) conditionem habere, quam hoc problema requirit; ideoque nullam sectionem conicam problemati satisfacere. Quod comprobari etiam poteat examinando rectangulum sub flutionibus primis ordinatarum æqualiter ad diversas partes a principio abscissæ distantium. Hinc autem cognoscitur nullam linæam curvam geometricæ rationalem problema solvere, quæ parabolâ semicubicâ sit simplicior. Si vero talis inter quantitates \( a, b, c, d, e \) relatio statui potuisset ut \( \frac{y}{y} \) conditionem in hoc problemate necessariam obtineret, nempe ut quantitas, quæ in \( z \) ducitur, eadem esse potuisset, & sub eodem signo, pro eadem magnitudine tam negativâ quam affirmativâ abscissæ \( z \), quo eveniret ut \( \frac{y}{y} \) foret \( = - \frac{v}{v} \), si abscissa in oppositas partes a suo principio, æqualibusque momentis fluere ponitur: tum profecto sectio conica hinc determinanda vel problema solveret, vel sectionis problemati satisfacientis ordinata ad ordinatam hujus rationem haberet datam. Jam vero his regulis alias aliquot, quas ab amico accepi, ad problema solvendum adjungam. Regula Quarta. Iisdem positis ac in regulâ primâ, sit (in Fig. 13.) NO ad AB, CD perpendicularis; sint PI, QR ordinatæ æqualiter a puncto M distantæ, & sit curva GH per punctum I ducta similis & æqualis curvae fEF. Ordinatis PI, QR parallelæ & proximæ ducantur πj l, δr, & lineæ rectæ Ik, Rs lineæ NO parallelæ. Angulus sub sRr = est angulo sub kIl; unde anguli sub jIk, sRr simul sumpti æquales sunt angulo dato sub jIl; & quantum angulus sub jIk dimidium anguli sub jIl superat, tantum angulus sub sRr ab eodem dimidio deficit. Si igitur (in Fig. 14.) radio quolibet mn circuli arcus no describatur, & sumatur angulus sub nmp = dimidio anguli dati sub jIl, angulus sub nmq = angulo sub jIk, & angulus sub nmt = ei sub sRr, sectores qmp, pmt erunt æquales. Positâ autem Ik = Rs = r, erit jk ut tangens anguli sub jIk vel anguli sub nmq, & rs erit ut tangens anguli sub sRr vel anguli sub nmt; ideoque & fluxio ordinatæ PI erit ut tangens anguli sub nmq, nimirum ut nv; & fluxio ordinatæ QR ut tangens anguli sub nmt, nimirum ut nw; curvae igitur ΨΦΩ, cujus areae ordinata PI proportionalis est, ordinata PΦ potest esse æqualis tangentis nv, & ordinata Qχ ab alterâ parte puncti M = nw. Quoniam autem sectores pmq, pmt sunt æquales, constitui potest sector pmq æqualis areae MΠWP curvae cujuscunque KL conditionem habentis in regulâ primâ indicatam; & sector pmt æqualis areae MΠXQ ejusdem curvae. Denique que si ducatur linea recta εηζ lineæ MΨ parallela & proxima; cum angulus sub εMη = sit dimidio anguli sub jIl, vel angulo sub n m z, erunt triangula εMη, n m z similia, & prima ratio εη ad εM eadem cum ratione zn ad nm; ideoque εη = \frac{MΨζε}{nm}, propterea quod εM = est \frac{MΨζε}{MΨ}, & MΨ = nz. Hic autem habetur septimus modus, quo problema solvi potest. Si loco curvæ KL linea recta sumatur, quicunque sit angulus sub n m z eadem describetur curva; adeo ut hac ratione invenitur una eademque curva, quæ diversis sitibus in angulo quocunque dato problema solvit. Haec autem curva a circuli & hyperbolæ quadraturâ dependet; si enim ducantur mτ, nσ ad m n perpendicularares, quarum nσ = sit m n, & asymptotis mn, mτ hyperbola ωσ ↓ describatur, & deinde qφν, pθς ducantur lineis mτ, nσ parallelæ; quando MP = est arcui circuli p q, erit ordinata PI = \frac{θφυς}{mn}, si mn = sit 2 MΠ (a). Regula Quinta. Describatur (in Fig. 13.) curva κMμ ut in regulâ secundâ, & (in Fig. 15.) radio = mn describatur semicirculus αβγ, cujus centrum δ, sit autem δβ diametro αγ perpendicularis. Sumatur δε = Pν, ducatur εζ ad δβ parallela, jungaturque δζ. Deinde sit curva KL ejus naturæ, ut area MΠWP semper æqualis sit sectori βδζ. In circuli arcu (Fig. 14.) n o du- (a) Vid. Barrov. lect. geometr. pag. 110. etis \( p_n \) sinu arcus \( pq \), & \( p \theta \) sinu arcus \( np \), producatur \( mp \) ad \( z \), ducaturque \( z \xi \) ad \( pn \) parallela. Porro di- etis \( mn = mp, a; m \theta, b; nz, c; pn, R; nv, y; \) erit ut \( mp : pn :: mz : z \xi \), sed ut \( m \theta : mn (mp) :: \) \( mn : mz ; ex æquo igitur ut m \theta (b) : pn(R) :: mn \) \( : z \xi :: mv (\sqrt{aa + yy}) : zv (y - c) \) unde \( by - \) \( bc = R \sqrt{aa + yy}, \& \) denique \( y = nv = P \Phi = \) \( bb + aR \sqrt{aa - RR} \). Hinc autem modo octavo solvitur problema. Regula Sexta. Per propositionem nonam Tractatus de Quadraturâ Curvarum area curvae, cujus abscissa est \( z \) & ordinata \( \frac{bbc + aR \sqrt{aa - RR}}{bb - RR} \), æqualis est areae curvae, cujus abscissa est \( R \) & ordinata \( \frac{z}{R} \times \frac{bbc + aR \sqrt{aa - RR}}{bb - RR} \) Unde habetur modus nonus problema solvendi. Literæ \( m \) & \( n \) eadem denotent, ac in regulâ ter- tiâ, & fiat \( \frac{z}{R} = R^{\frac{m-n}{n}} \times \frac{bb - RR}{p} \), & ordinata \( \frac{z}{R} \times \frac{bbc + aR \sqrt{aa - RR}}{bb - RR} \) fiet \( = bbcR^{\frac{m-n}{n}} \times \) \( \frac{bb - RR}{p}^{-1} + aR^{\frac{m}{n}} \times \frac{bb - RR}{p}^{-1} \times \sqrt{aa - RR} \). Unde si \( n \) unitatem denotet, & \( p \) numerum quemcun- que integrum & affirmativum, curva geometrice ratio- nalis invenietur. Regula Regula Septima. Ducatur (in Fig. 15.) β λ semicirculum αβγ contingens in β, & producatur εζ ad μ, ducta δνμ. Sit autem curva (in Fig. 13.) K L ejus naturae, ut area MΠWP = sit sectori δβν. Dictis igitur mn, a; nž, c; & tangente arcus pq, R; crit nv = PΦ = \frac{aac + aaR}{aa - cR}. Et hic est decimus problema solvendi modus. Quando angulus intersectionis rectus est, & c = a, haec regula sub formula posteriori regulae secundae comprehenditur. Item si loco ηΜμ linea recta sumatur, quicunque sit intersectionis angulus, casus ille curvae logarithmicae invenietur, quem in regulâ secundâ tradidimus. Regula Octava. Ut antea, est area curvae, cujus abscissa z & ordinata \frac{aac + aaR}{aa - cR}, æqualis areae curvae, cujus abscissa est R & ordinata \frac{z}{R} \times \frac{aac + aaR}{aa - cR}. Hic autem est undecimus modus problema exequendi. Literis m, n iisdem denotantibus, ut antea, fit \frac{z}{R} = R^{\frac{m-n}{n}} \times \frac{a^4 - ccRR}{a^4}; & ordinata \frac{z}{R} \times \frac{aac + aaR}{aa - cR} fiet = R^{\frac{m-n}{n}} \times \frac{a^4c + a^4 + a^2cc}{a^4} \times R + aacRR \times a^4 - \[ \frac{x^a - c c R R}{p - 1} : \text{quae formula curvas geometricae rationales facile praebet.} \] Si sit \(m = r = n = p\); eadem parabola femicubica atque ex regulâ tertiâ invenietur. **Regula nona.** Si (in Fig. 16.) NO ad lineas A B, C D perpendicularis sit, & ducatur curva K L, cujus ordinatæ P W, Q X, quæ æqualiter a puncto M distant, æquales sint, & ab eadem abscissæ parte positæ; radio ordinatæ P W æquali describatur circuli segmentum a b c, quæ angulum comprehendat angulo æqualem, in quo curva se ipsam secare requiritur. Ducatur autem & alia curva \(x\) M \(y\) cujus ordinatæ P \(v\), Q \(p\) æqualiter a puncto M distantæ sint æquales & a contrariis partibus abscissæ NO positæ. Deinde sumptâ M f = P \(v\) duetâque f h lineæ N O ad perpendiculum, junctâque c h, manifestum est, si curva quaesita E F ejus sit naturæ, ut contingens in puncto I semper sit parallela lineæ c h, proposito satisfaciet. Nam cum sit W P = Q X, idem circuli segmentum ordinatis P W, Q X convenit; adeo ut si sumatur Mg = Q \(p\), ducatur g k ad N O perpendicularis, & jungatur c k, linea recta contingens curvam quaesitam EF in puncto R parallela erit lineæ c k. Quoniam igitur Q \(p\) = est P \(v\), ideoque Mg = M f in situ hujus curvae EF inverso, & quando punctum R in punctum I cadit, contingens in puncto R lineæ puncta a, h conjungenti parallela erit, & cum contingente in puncto I angulum constituet æqualem ei sub a h c, nimirum angulo in segmento ab c comprehenso. Invenitur igitur hujusmodi curva, si fiat ut \(y : z : : f h : f c\). Quamobrem si pro P W ponatur m; pro a M \[= Mc\] \( M c \) ponatur \( n \); pro intervallo inter punctum \( M \) & centrum segmenti ponatur \( p \); & pro \( P v = M f, q \); habebimus \( y : z :: \sqrt{m m - qq} \pm p : n + q \), & \( y = \frac{\sqrt{m m - qq} \pm p}{n + q} \). Dantur autem ratios inter \( m, n, p \) ob datum segmenti \( a b c \) angulum, & invenietur \( y \) vel \( P I \) metiendo curvam, cujus abscissa est \( z \) & ordinata \( \frac{\sqrt{m m - qq} \pm p}{n + q} \). Hic autem exhibetur duodecimus modus problema tractandi. Si angulus sub \( a h c \) sit rectus, erit \( p = 0, n = m, \) & ordinata curvae metiendae \( \frac{m - q}{m + q} \). Quam profecto ordinatam problemati satisfacere, intelligi quoque potest ex posteriori regulae secundae formulâ. Si loco linearum curvarum \( K L, x M \mu \) rectae sumantur, quando angulus sub \( a h c \) rectus est, erit curva \( E F \) cyclois; quae facile determinatur formâ undecimâ tabulae curvarum simpliciorum, quae cum circulo & hyperbolâ comparari possunt in Tractatu de Quadraturâ Curvarum Newtoni. **Regula Decima.** Porro area curvae, cujus abscissa est \( z \) & ordinata \( \frac{\sqrt{m m - qq} \pm p}{n + q} \), æqualis est tum areae curvae, cujus abscissa est \( m \) & ordinata \( \frac{z}{m} \times \frac{\sqrt{m m - qq} \pm p}{n + q} \); tum areae curvae, cujus abscissa est \( q \) & ordinata \( \frac{z}{q} \times \frac{\sqrt{m m - qq} \pm p}{n + q} \). Unde habentur duo alii mo- di, quibus problema solvi potest; quorum posteriori, ratione sequenti, curvae geometricae rationales inveniri possunt. Sint δ, ε numeri impares, n numerus par, & ponatur \[ \frac{z}{q} = \frac{\delta - \varepsilon}{\varepsilon} \times \frac{n^n - q^n}{n + q}, \text{ item } m = 1 + \frac{1}{4} qq. \] Unde erit \( z = \) areae curvae, cujus abscissa est \( q \) & ordinata \[ \frac{\delta - \varepsilon}{\varepsilon} \times \frac{n^n - q^n}{n + q}, \& \text{ ordinata } \frac{z}{q} \times \frac{\sqrt{mm - qq} \pm p}{n + q} \] fiet \( = n^n - 1 - n^n - 2q + n^n - 3qq + \&c \ldots - q^n - 1 \) \[ \times 1 - \frac{1}{4} qq \pm p. \] His quatuordecim diversis modis generalibus amicus meus problematis solutionem absolvit. Demonstratio- nes autem illius ex compositione usus in hoc proble- mate curvarum Geometris notarum sic se habent. De Casi primo Linearum logarithmicarum. Sit (in Fig. 17.) A B linea logarithmica asympto- ton habens C D; eique ordinatim applicetur E F, quae sit subtangenti logarithmicæ æqualis. Ad lineam rectam E F & ad quodcumque in ea punctum I con- stituatur alia linea logarithmica G H I priori similis & æqualis, sed situ inverso disposita. Deinde si contin- gentes H L, H M ducantur, dico angulum sub L H M angulo sub C E F esse æqualem. Ordinatim applicetur H N, fiat E O = E N, ordi- natim applicetur O P, & ducatur contingens P Q. Puncta P & H æqualiter distant a rectâ E I, unde punctum P in curva A B puncto H in curva G I respondet, & angulus sub O P Q = est angulo sub N H M, propterea quod curvae A B, G I similes sunt & æquales. Quoniam vero curva A B est logarith- mica mica & EN, EO æquales, erit NH x OP = EF q. Est autem EF = NL = OQ, unde ut NH : EF (NL) :: EF (OQ) : OP. Cum igitur anguli sub HNL, QOP sint æquales, triangula HNL, QOP sunt similia, & angulus sub QPO, qui æqualis est angulo sub NHM, æqualis quoque erit angulo sub NLH. Unde anguli sub NHM & sub NLH æquales erunt, & angulus sub LHM angulo sub CNH sive angulo sub CEF æqualis. Q. E. D. De Casu altero Linearum Logarithmicarum. Sint (in Fig. 18.) AB, CD duæ lineæ rectæ paralle- læ, intra quas quælibet alia linea recta EF ducatur. Ad asymptoton A B describatur linea logarithmica GH, cujus subtangens fit æqualis lineæ EF, & ordi- natim applicatæ comprehendant cum asymptoto angu- los versus contingentes æquales parti dimidiæ anguli sub AEF. Quibus positis, si ad asymptoton CD alia describatur linea logarithmica ILM priori similis & æqualis, & si ducantur contingentes LN, LO, dico angulum sub OLN angulo sub BEF esse æqualem. Ducatur NP, ut angulus sub ANP angulo sub AE F sit æqualis, & erit NP = EF. Sumatur NQ lineæ EF sive subtangenti lineæ logarithmicæ æqualis, jun- gaturque QL. Quoniam igitur QL punctum Q conjungit cum puncto contactus L, QL ordinatim ad asymptoton A B applicabitur, ideoque angulus sub LQN versus contingentem LN æqualis erit parti di- midiæ anguli sub AEF vel anguli sub ANP; est au- tem NP = EF = NQ, quoniam igitur NP, NQ sunt æquales, & angulus sub LQN æqualis dimidio angu- li sub ANP, recta QL producta transibit per P effi- ciens triangulum PNQ isosceles. Eadem ratione si ducatur OS, ut angulus sub COS æqualis fit angulo Z 2 sub AEF erit OS = EF; si vero sumatur OR = EF, ducaturque RL, ordinatim ea applicabitur ad asymptoton CD, & producta transibit per S, propterea quod linea IM similis est & æqualis lineæ GH. Erit autem angulus sub PRL (= angulo sub LSQ) = angulo sub LQS = angulo sub NPQ. Unde erit angulus sub LSQ = angulo sub NPQ, & triangula SLQ, PNQ similia sunt, angulusesque sub SLQ = angulo sub PNQ = angulo sub BEF. Est autem & LS = LQ, OS = NQ, item angulus sub OSL (= angulo sub ORS) = angulo sub NQL. Triangula igitur OSL, NQL æqualia sunt, habentia bases OL, NL æquales, & angulos sub NLQ, OLS, etiam æquales: auferatur communis angulus sub NLS, & relinetur angulus sub OLN = angulo sub SLQ = angulo sub BEF. Q. E. D. De Cycloide. Sint (in Fig. 19.) AB, CD duæ rectæ lineæ parallelae, quas EF ad perpendiculum fecet. In diametrum EF describatur semicirculus EGF, & eo semiciculo describatur semicyclois FH. Jam si alia semicyclois ILQ priori similis & æqualis sed situ inverso intra parallelas describatur, & si contingentes LM, LN ducantur, dico angulum sub MLN rectum esse. Sit IOP semicirculus, quo describitur semicyclois IQ, ejus diameter IP; ducatur LGO, lineis AB, CD parallela, & jungantur FG, GE, IO. Erit inde contingens LM parallela rectæ FG, & contingens LN parallela rectæ IO, quae parallela est rectæ EG. Angulus igitur sub MLN = est angulo sub FGE recto, ideoque angulus sub MLN rectus est. Q. E. D. De Parabolâ Semicubica. Si (in Fig. 20.) rectam lineam AB alia recta linea CD intersecat in puncto D cum lineâ AB angulum quemcunque constituens; & si sumatur DE = ½ DC; deinde ducatur EF, ut DF sit = DE; & denique diametro CF & vertice C describatur parabola semicubica GCH, quae transeat per punctum E, habeatque ordinatim applicatas ad diametrum CF lineæ FE parallelas: his positis, si parabola hæc ad lineam AB in situ inverso descripta sit, ut eandem in situ jam dicta descriptam intersecet, & contingentes ad punctum intersectionis ducantur, illæ contingentæ se interseca- bunt in angulo æquali angulo sub CDB. Sumatur in parabolâ GCH punctum quodvis I, ducatur IL C, & sumptâ EM = EL ducatur MNC. Deinde ordinatim applicentur OIP, NQR, ducaturque CEV, item EX diametro CO parallela. His positis erit VX : XE :: EF : FC, & XE : XP :: DF : EF. Unde ex æquo ut VX : XP :: DF : FC, dividendoque ut VX : VP :: DF : DC. Quoniam igitur est DF = DE = ½ DC, est etiam VX = ½ VP. Porro ut IOq : EFq :: COc : CFc :: VOc : EFc. Quatuor igitur ratione continuatâ proportionalium est VO secunda, quarum IO est prima & EF ultima. Est autem & IO : OV :: LF : EF. Ideoque sunt IO, OV, FL, FE quatuor ratione continuatâ proportionales; unde ut VO : LF :: LF : EF :: VO — LF : LE, componendoque ut LF + EF : EF :: VO — EF (= VX) : LE. Demonstratum autem fuit VX æqualem esse dimidio lineæ VP. Ut igitur 2 LF + 2 EF : EF :: VP : LE :: 2 LFE + 2 EFq : EFq. Jam vero ut IO : LF (:: IV : LE) :: LFq (2 LFE + LEq — EFq) : EFq, propterea quod lineæ IO, VO VO, LF, EF sunt quatuor ratione continuata proportionales; quoniam igitur ut VP : LE :: 2LF + 2EFq : EFq, erit ut PI : LE :: 3EFq - LEq : EFq. Eodem modo demonstratur ut NR : EM :: 3EFq - EMq : EFq. Cum igitur EM = sit EL, erit NR = PL, sunt autem parallelæ, ideoque puncta N, I æqualiter distant a linea AB. Si igitur parabola semicubica GCH in situ inverso ad lineam AB describatur, punctum N incidere potest in punctum I. Parabola huic detur ille situs inversus hcg, & ducantur contingentes IT'S, EW, ΔNT, tI; item lineae WLY, WZM. Erit ex naturâ parabola hujus OS = ½ OC, FW = ½ FC, & QT = ½ QC. Est autem & FD = ½ FC; unde FD, DE, & DW sunt æquales, & angulus sub FEW rectus: &, cum EL sit = EM, erunt & anguli sub EWL, EWM æquales. Quoniam autem LMF lineis IO, NQ parallela est, & lineae OC, FC QC similiter dividuntur in punctis S, W, T, erit WLY contingentis I S T parallela, & W Z M contingentis ΔNT. Est igitur angulus sub WYD = angulo sub ITt, & angulus sub WZD = angulo sub NAD = angulo sub ItT. Porro cum anguli sub EW L, EWM sint æquales, & anguli sub DEW, DWE etiam æquales propter linearum DW, DE æqualitatem, erit angulus sub YWD = angulo sub WZD. Ideoque angulus sub CDB, qui æqualis est summæ angulorum sub WYD & sub YWD, æqualis erit summæ angulorum sub ITt, & sub ItT, nimirum angulo sub ΓIΔ æqualis. Q. E. D. Lond. Aug. 27. 1722.