Propositiones Aliquot de Projectilium Motu Parabolico, Scriptae An. 1710. Per B. Taylor, LL. D. R. S. S.

VIII. Propositiones aliquot de Projectilium motu Parabolico, Scriptæ An. 1710. Per B. Taylor, LL. D. R. S. S. PROPOSITIO I. Vi gravitatis, ejusq; directione datis, motus corporis proiecti, in medio non resistente, fit in Parabola. DEMONSTRATIO. Projiciatur corpus de loco A (Fig. 1.) in directione lineæ AB, sitque ejus trajectionia curva AC D. Ad trajectioniae punctum quodlibet C, duc rectam CB in directione vis Gravitatis, rectæ AB occurrentem in B; atq; resolvetur motus projectilis per AC in partes AB, BC, quarum AB oritur a motu projectionis uniformi, atq; BC a vi gravitatis accelerante. Est ergo recta descripta AB temporis proportionalis ab initio motûs in A, atq; est BC in duplicatâ ratione ejusdem temporis, sicut olim demonstravit Galilæus; adeoque in duplicatâ ratione rectæ AB. Cum ergo sit BC in duplicatâ ratione rectæ AB, constat curvam AC D esse Parabolam. Q. E. D. PROP. II. Velocitas corporis projecti in quolibet puncto trajectionia, ea est, quam corpus acquirere potest cadendo per altitudinem aequalem quartae partis parameetri Parabolae ad punctum illud. DEMONSTRATIO. Sit Trajectoria \( ACD \) (Fig. 2.) Ad punctum quodlibet \( A \) ducantur tangens \( AB \), & diameter \( AE \). In tangente \( AB \) fiat \( AB \) aequalis dimidio parameetri ad verticem \( A \), & diametro \( AE \) parallela ducatur \( BC \), trajectioniae occurrens in \( C \), & ad punctum \( C \) duci intelligatur tangens \( CG \), tangenti \( AB \) occurrens in \( F \), atq; diametro \( AE \) in \( G \). Tum ex naturâ parabolae erunt \( AG, CB \) aequales, adeoq; & \( AF, FB \); & quoniam est \( AB \) aequalis dimidio parameetri ad punctum \( A \), erit \( BC \) quarta pars ejusdem parameetri, & proinde aequalis ipsi \( BF \). Ipsi \( BC \) proximam & parallelam duc \( b c \), parabolae occurrentem in \( c \), & duc lineae \( Bb \) parallelam \( C\beta \), ipsi \( b c \) occurrentem in \( \beta \). Tum quoniam spatium \( Cc \), adeoque & spatium \( \beta c \), finguntur perexigua, velocitates quibus describuntur erunt aequabiles quamproximè; adeoq; spatia \( Bb \), seu \( C\beta, Cc \), cum eodem tempore describantur, erunt ut velocitates quibus describuntur, & vicissim velocitates erunt ut spatia. Coincidant puncta \( C, c \), atq; erunt hæ rationes accuratae. Sed in isto casu propter similia triangula \( C\beta c, FBC \), fit \( C\beta \) ad \( \beta c \), sicut \( FB \) ad \( BC \); ideoq; velocitates quibus describuntur \( Bb, \beta c \) sunt ut \( FB, BC \), hoc est, sunt aequales. Velocitas autem, qua describitur \( \beta c \), ea ea est, qua movetur projectile in puncto \( A \), & velocitas altera qua describitur \( \beta c \), ea est quam corpus acquirit cadendo per altitudinem \( BC \) quartae partis parametri ad punctum \( A \). Est ergo velocitas projectilis in quolibet puncto \( A \) æqualis velocitati, quam corpus acquirere potest cadendo per altitudinem quartae partis parametri ad punctum illud. Q. E. D. PROP. III. Datis velocitate & directione projectionis, invenire Trajectoriam corporis projecti. 1. Projiciatur corpus de loco \( A \) (Fig. 3.) in directione rectæ \( AB \). Duc \( AC \) in directione vis gravitatis, (hoc est Horizonti perpendicularis,) ejus longitudinis, ut sit \( C \) punctum, unde corpus cadendo acquirere potest velocitatem in \( A \), quâ fit projectio. Duc \( AF \) æqualem \( AC \), angulum \( FAB \) constituentem cum lineâ directionis \( AB \), æqualem angulo \( CAB \). Duc \( CD \) perpendicularis ad \( AC \) (hoc est horizonti parallelam,) eiq; occurrentem \( FD \), ipsi \( AC \) parallelam. Bifeca \( FD \) in \( E \); atq; erit \( EF \) axis, atq; \( E \) vertex principalis Parabolaæ, per quam movetur projectile. Unde describetur Trajectoria per notas proprietates Parabolaæ. Q. E. F. DEMONSTRATIO. Est enim \( AC \) quarta pars parametri ad verticem \( A \). Unde constant caetera ex conicis. 2. Ad punctum Trajectoriae quodvis \( G \), duc \( GH \) ipsi \( AC \) parallelam, & ipsi \( CD \) occurrentem in \( H \); atque iter \( HG \) altitudo, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem, quâ movetur projectile in puncto G. Q. E. F. Hoc item constat ex Prop 2. & ex conicis. Scholium. Si ad puncta A, & C (Fig. 2.) ducantur tangentes A B, C G occurrentes rectis horizonti perpendicularibus C B, A G, in B & G; velocitates in A & C erunt inter se ut tangentium partes interceptae, A B, C G. PROP. IV. Unico facto experimento invenire velocitatem projectionis. Projiciatur corpus de loco A (Fig. 2.) in directione qualibet A B, atq; observetur punctum percussum C. In directione vis gravitatis ducatur C B, ipsi A B occurrens in B, atque ipsis C B, A B, fiat tertia proportionalis L. Erat quarta pars longitudinis L altitudo, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem projectilis in A. Q. E. I. DEMONSTRATIO. Est enim L parameter Trajectoriae ad punctum A; unde constat solutio per propositionem secundam. Scholium. Commodissime instituitur experimentum, erectâ ad horizontem perpendiculari A G, & directionem fumendo A B, quae bisecet angulum C A G, rectâ etiam A C existente horizonti parallelâ. Nam in isto casu altitudo quaestà æqualis est dimidio distantiae A C. PROP. PROP. V. Datis directione & velocitate projectionis; invenire occursum Trajectoria cum rectâ transeunte per punctum unde fit proiectio. Projiciatur corpus de loco \( A \) (Fig. 4.) in directione rectae \( AB \). In directione gravitati contrariâ, fiat \( AC \) æqualis altitudini, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem, quâ fit proiectio, atq; ducatur \( CE \) ipsi \( AC \) perpendicularis. Fiat \( FA \) æqualis ipsi \( CA \), atq; angulum constituens \( FAB \) æqualem angulo \( CAB \). Sit \( AK \) recta, cujus occursus cum Trajectoriâ quaeritur. Duc \( FI \) ipsi \( AK \) perpendiculararem, atq; ipsi \( CE \) occurrentem in \( D \). In \( CE \) sume \( ED \) æqualem \( CD \), atq; ducatur ipsi \( CE \) perpendicularis \( EK \), ipsi \( AK \) occurrens in \( K \). Erat \( K \) punctum quaeritum. DEMONSTRATIO. In \( FI \) productâ fiat \( fI \) æqualis \( FI \), atq; ducantur \( fA, fE, FE, FK \). Quoniam est angulus \( FIA \) rectus, atq; \( fI \) æqualis \( FI \), est etiam \( fA \) æqualis \( FA \). Sed per constructionem est \( FA \) æqualis \( CA \), atque angulus \( DCA \) rectus. Sunt ergo puncta \( C, F, f \) ad circulum centro \( A \) descriptum, quem tangit recta \( DC \) in \( C \). Sunt ergo \( FD, CD, fD \), continuè proportionales. Sed est \( ED \) æqualis \( CD \) (per constructionem) Sunt ergo \( FD, ED, fD \) continuè proportionales; adeoque ob angulum communem ad \( D \), triangula \( FED, EfD \) sunt similia, atque angulus \( DEF \) æqualis angulo \( EfF \). Z 2 Puncta itaque tria $F$, $E$, $f$ sunt ad circulum, quem tangit recta $ED$ in $E$. Sed quoniam est $fI$ æqualis $FI$, atque angulus $FIK$ rectus, centrum illius circuli est in rectâ $IK$; item quoniam est angulus $DEK$ rectus; centrum illud est etiam in rectâ $EK$. Est ergo $K$ centrum illius circuli, adeoque $FK$ æqualis est ipsi $EK$. Jam (per Prop. 3.) sunt $F$ focus Trajectoriae, atque $CA$ quarta pars parametri ad punctum $A$. Unde cum sit $CE$ ad $AC$ & $EK$ perpendicularis, atque $FK$ æqualis $EK$, erit punctum $K$ ad Trajectoriam (per conica). Q.E.D. **PROP. VI.** *Iisdem datis, invenire occursum Trajectoriae cum rectâ, quâlibet positione data.* Projiciatur corpus de loco $A$ (Fig. 5.) in directione $AB$, sitque $GH$ recta cujus occursus cum Trajectoria quæritur. Duc $AC$ in directione gravitati contrariâ, atque æqualem altitudini, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem, quâ sit projecțio; & duc $AF$ æqualem ipsi $AC$, ita ut sit angulus $FAB$ æqualis angulo $CAB$; & ducatur $CE$ perpendicularis ipsi $CA$. Ducatur $FI$ ipsi $GH$ occurrens ad angulos rectos in $I$, atque ipsi $CE$ in $D$; & in $FI$ fiat $fI$ æqualis $FI$. In $CE$ fiat $ED$ media proportionalis inter $FD$ & $fD$; & ipsi $CE$ ducatur perpendicularis $EK$, ipsi $GH$ occurrens in $K$. Erit $K$ punctum quaesitum. Q.E.I. **DEMONSTRATIO.** Conjungendo $fE$ demonstratur ad modum propositionis præcedentis. *Scholium.* Scholium. Quoniam punctum $E$ sumi potest ad utramlibet partem puncti $D$, duo sunt puncta $K, k$; ubi recta $G H$ occurrit Trajectoriae. PROP. VII. Data velocitate projectionis, invenire directionem, qua faciat, ut Trajectoria transeat per punctum datum. Projiciatur corpus de loco $A$, (Fig. 4.) & sit $K$ punctum, per quod transire debet Trajectoria quaesita. Fiat $AC$, in directione gravitati contrariâ, aequalis altitudini, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem projectionis. Ducatur $CE$ ipsi $AC$ perpendicularis, & ad eam duc $KE$ perpendicularem. Centris $A$ & $K$, & radius $CA$, $EK$ describantur duo circuli sibi mutuo occurrentes in $F$. Duc $FA$, & biseca angulum $CAF$ rectâ $AB$. Erit $AE$ directio quaesita, in qua fieri debet projectio, ut transeat Trajectoria per punctum $K$. Q.E.F. DEMONSTRATIO. Est $CA$ aequalis quartae partis parametri ad punctum $A$ (per Prop. 2.) Et per constructionem sunt $FA$, $CA$ aequales, item $FK$, $EK$. Est ergo $F$ focus Parabolæ per puncta $A$, $K$, descriptæ. Sed illam tangit recta $AB$ in $A$, propter angulos $FAB$, $CAB$ aequales. Corpore itaque projecto de puncto $A$, in directione $AB$, ea cum velocitate, quam corpus acquirere potest cadendo per altitudinem $CA$, transibit Trajectoria per punctum $K$. Q.E.D. NB. Cum NB. Cum circulorum centris \( A, K \), & radiis \( CA, KE \), descriptorum duo sint concursus, \( F, f \), bisectis angulis \( FAC, fAC \), duo etiam erunt directiones, quae faciant, ut Trajectoria transeat per punctum datum \( K \). **PROP. VIII.** *Data direzione projectionis, invenire velocitatem, qua faciat ut Trajectoria transeat per punctum datum.* Projiciatur corpus de loco \( A \) (Fig. 6.) in direzione rectae \( AB \), & faciendum sit ut transeat Trajectoria per punctum \( K \). Duc \( AK \), eamq; biseca in \( C \), & in directione gravitatis duc \( CB \), ipsi \( AB \) occurrentem in \( B \); & junge \( BK \). Duc \( AD, KE \), ipsi \( CB \) parallelas, & ducantur \( AF, KF \) sibi mutuo occurrentes in \( F \), ita ut sint anguli \( FAB, DAB \) æquales, item \( FKB, EKB \). Erit \( FA \) æqualis altitudini, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem quæsitam, quæ projectio fieri debet in direzione \( AB \), ut transeat Trajectoria per \( K \). Q.E.F. **DEMONSTRATIO.** Quoniam \( CB \) est in direzione gravitatis, est diameter Parabolæ; & quoniam \( CA \) æqualis est \( CK \), est \( CB \) diameter ad ordinatam \( AK \). Unde cum sit \( AB \) tangens ad parabolam in \( A \), erit etiam \( KB \) tangens ad punctum \( K \). Hinc quoniam \( AD \) est in direzione diametrorum, atq; angulus \( FAB \) æqualis angulo \( DAB \), transit \( AF \) per focum parabolæ. Eodem argumento transit etiam \( KF \) per focum. Ergo ergo \( F \) focus parabolæ, adeoque; \( FA \) quarta pars parametri ad punctum \( A \), quæ proinde æqualis est altitudini, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem ad hoc necessariam, ut projecto corpore de \( A \), in directione \( AB \), transeat Trajectoria per punctum \( K \). **PROP. IX.** *Invenire velocitatem minimam & directionem ei congruam, quæ fieri potest, ut transeat Trajectoria per punctum datum.* Projiciendum sit corpus de loco \( A \) (Fig. 7.) cum velocitate omnium minimâ & directione ei congruâ, quæ fieri potest ut perveniat in locum \( K \), hoc est ut transeat Trajectoria per punctum \( K \). Ductis \( AC \), \( KE \) in directione gravitati contrariâ, & ductâ \( AK \), biseca angulos \( CAK \), \( EKA \), rectis \( AB \), \( KB \), sibi mutuo occurrentibus in \( B \). Duç \( BC \) ipsi \( AC \) occurrentem ad angulos rectos in \( C \), atq; erit \( CA \) altitudo, per quam corpus cadendo acquirere potest velocitatem quaësitam; eritq; \( AB \) directio quaësita. Q.E.F. **DEMONSTRATIO.** Ducatur \( BF \) ipsi \( AK \) occurrens ad angulos rectos in \( F \), atque occurrat \( CB \) ipsi \( KE \) in \( E \). Propter angulos \( CAB \), \( BAF \), item angulos \( EKB \), \( BKF \), æquales atq; angulos rectos in \( C \), \( E \), & \( F \), erunt æquales \( CA \), \( FA \), item \( EK \), \( FK \). Hinc constat puncta \( A \), \( K \) esse ad parabolam, quam tangit recta \( AB \) in \( A \), cujusq; parameter ad punctum \( A \) est quadruplum altitudinis \( CA \), foco existente \( F \). Corpore itaque projecto projecto de \( A \) in directione \( A B \), eâ cum velocitate, quam corpus acquirere potest cadendo per altitudinem \( C \). Trajectoria erit dicta Parabola (per Prop. 2.) Dico autem illam esse velocitatem minimam, seu esse \( CA \) partem quartam parametri omnium minimae, quâ Parabola describi potest, quæ transeat per puncta \( A, K \). Si fieri potest, in \( CA \) capiatur altitudo \( cA \) minor, quæ sit quarta pars parametri ad punctum \( A \). Duc ipsi \( CA \) perpendicularem \( ce \), ipsi \( KE \) occurrentem in \( e \), & centro \( A \) & radio \( Ac \) describatur circulus ipsi \( AK \) occurrens in \( f \). Quoniam \( cA \) dicitur quarta pars parametri ad punctum \( A \), focus Parabolæ erit punctum aliquod \( p \), in circumferentia circuli \( cpf \), centro \( A \) & radio \( Ac \) descripti. Si ergo sit punctum \( K \) ad parabolam illam, erit \( pk \) æqualis \( ek \). Est vero \( FK \) æqualis \( EK \). Unde cum sit \( ek \) minor ipsâ \( EK \), erit etiam \( pk \) minor ipsâ \( FK \). Sed est \( pk \) major ipsâ \( fK \), atq; est \( fK \) major ipsâ \( FK \), (quoniam est \( fA \) minor ipsâ \( FA \) per hyp.) unde fit \( pk \) major ipsâ \( FK \). Sed jam dicebatur \( pk \) minor ipsâ \( FK \); quæ repugnant. Nequit ergo Parabola describi, quæ transeat per puncta \( A, K \), minori parametro quam in solutione definitum est. Q.E.D. **PROP. X.** Data velocitate projectionis, invenire directionem, quæ faciat, ut corpus projiciatur ad distantiam omnium maximam in plano dato; atq; distantiam illam definire. Sit planum datum \( AK \) (Fig. 8.) atq; invenienda sit distantia maxima \( AK \), ad quam corpus projici potest in plano illo. Duc AC in directione gravitati contrariâ, æqualem quartæ partì parametri ad punctum A. Tum bis do angulo CAK rectâ AB, erit AB directio projectionis quaesita. Duc CB ipsi CA perpendicularem, rectâ AB occurrentem in B, atque in CB productâ fiat BE æqualis ipsi BC. Tum ductâ EK, ipsi CA parallelâ, quae occurrat plano AK in K, erit AK distantia maxima quaesita. DEMONSTRATIO. Centro A & radio AC describe circulum, ipsi AK occurrentem in F, & ducantur BF, BK. Quoniam anguli CAB, BAF sunt æquales (per constructionem) atque AF æqualis CA, erit BF æqualis CB, æqualis BE (per constructionem) atq; anguli ad F recti. Unde etiam fit FK æqualis EK. Sunt ergo puncta A, K ad parabolam foco F descriptam, quam tangit AB in A (propter angulos CAB, FAB æquales) quartâ parte parametri ad punctum A existente CA. Corpore igitur projecto de loco A, in directione AB, eâ cum velocitate, quam corpus acquirere potest cadendo per altitudinem CA, Trajectoria transit per punctum K (per Prop. 2.) Q.E.D. Dico autem, quod sit KA distantia omnium maxima, ad quam corpus projici potest de loco A eâdem cum velocitate. Si fieri potest, eâdem parametro, ad A describatur parabola, quae transeat per punctum distantius k; hoc est projiciatur corpus ad distantiam majorem kA. Duc Bk, atq; ipsi KE parallelam ke, ipsi CE occurrentem in e. Quoniam FB, EB, item FK, EK sunt æquales, sunt etiam anguli FBK, EBK æquales. Angulus ergo FBK major est angulo kBe; unde fit \( kF \) major ipsâ \( ke \). Sed quoniam est \( AC \) quarta pars parametri ad punctum \( A \), focus parabolæ erit aliquid in circumferentia circuli centro \( A \), & radio \( CA \) descripti. Sit focus ille \( p \), & ducatur \( pk \). Tum quoniam \( pk \) major est ipsâ \( Fk \), erit etiam \( pk \) major ipsâ \( ke \). Sed ut parabola transeat per punctum \( k \), debet esse \( pk \) æqualis \( ke \). Nequit ergo parabola duci in circumstantiis propositis, quae transeat per punctum \( k \) distantius puncto \( K \); adeoque; nec corpus projici ad distantiam majorem ipsâ \( KA \). Q.E.D. **PROP. XI.** *Iisdem positis, invenire locum puncti \( K \), seu Curvam describere, qua tangat omnes parabolas eodem vertice \( A \) & eadem parametro descriptas.* Sit \( A \) (Fig. 9.) vertex datus, atq; in directione gravitati contrariâ ducatur \( AC \) æqualis quartæ partis parametri datae. Tum descriptâ parabolâ, cujus vertex principalis sit \( C \), atq; focus \( A \); erit ea curva quæsita. **DEMONSTRATIO.** Duc quamlibet \( AK \), atq; in eâ fume \( FA \) æqualem \( CA \), & ducatur \( CB \) ad \( CA \) perpendicularis, sitq; \( K \) punctum in propositione praecedente inventum. In \( AC \) produciâ, factâ \( CC \) æquali \( CA \), ducatur \( ce \) parallela ipsi \( CE \); ducatur etiam \( KE \) parallela ipsi \( AC \), ipsis \( CE \), \( ce \) occurrens in \( E \) & \( e \). Per propositionem praecedentem est \( KE \) æqualis ipsi \( FK \); unde cum sit etiam \( FA \) æqualis ipsi \( AC \), æqualis ipsis \( CC \), \( Ee \) (per con- constructionem) est ergo $K_e$ æqualis $KA$; unde est punctum $K$ ad parabolam foco $A$ & vertice principali $C$ descriptam. Q.E.D. Bifecto autem angulo $AKE$ à rectâ $KB$, tanget hæc utramq; parabolam, tam foco $F$ per $A$ & $K$, quam foco $A$ per $K$ descriptam. Unde se mutuo tangunt parabolæ. Q.E.D. Errat. Pag. 152. l. ult. pro βc. l. Bb. FINIS. LONDON: Printed for W. and J. Innys. Printers to the Royall Society; at the Sign of the Prince's Arms, End of St. Paul's-Church-Tard.