Proprietates Quaedam Simplices Sectionum Conicarum ex Natura Focorum deductae; cum Theoremate Generali de Viribus Centripetis; quorum ope Lex Virium Centripetarum ad Focos Sectionum Tendentium, Velocitates Corporum in Illis Revolventium, & Descriptio Orbium Facillime Determinantur. Per Abr. de Moivre. R. S. Soc.

I have computed this Table so far, that the Reader may see in what manner this Method Approximates; this whole Work, as it appears, costing a little more than three Hours time. V. Proprietates quaedam simplices Sectionum Conicarum ex natura Focorum deductae; cum Theoremate generali de Viribus Centripetis; quorum ope Lex Virium Centripetarum ad Focos Sectionum tendentium, Velocitates Corporum in illis revolventium, & Descriptio Orbium facillime determinantur. Per Abr. de Moivre. R. S. Soc. Sit $DE$ Axis Transversus Ellipseos, $AO$ Axis alter, & $C$ centrum Sectionis. Sit $P$ punctum quodvis in circumferentia ejus; $PQ$ Tangens curvae ad $P$, occurrens Axi Transverso ad $Q$; puncta $S, F$ Foci; $CP, CK$ semidiametri Conjugatae; $PH$ Semilatus rectum ad diametrum $PC$; $PG$ normalis ad Tangentem, cui occurat $HG$, perpendicularis ipsi $PCH$, in puncto $G$, ut fiat $PG$ radius Curvaturae Ellipseos in puncto $P$: sint etiam $ST, CR, FP$ perpendiculares in Tangentem $PQ$ demissae: Jungatur $SO$, & demittatur in Axem normalis $PL$. His positis, Dico quod, 1. Rectangulum sub distantiis ab utroque Ellipseos Foco, sive $SP \times PF$ aquale est quadrato Semidiametri $CK$. Demonstratio. $$PSq = PCq + CSq - 2CS \times CL \text{ per } 13. II. Elem.$$ $$PFq = PCq + CSq + 2CS \times CL \text{ per } 12. II. Elem.$$ Unde $$PSq + PFq = 2PCq + 2CSq.$$ Jam $$PS + PF = DE = 2CD; \text{ ac propterea}$$ $$PSq + PFq + 2PS \times PF = 4CDq.$$ Quare Quare transponendo, \(2PS \times PF = 4CDq - 2PCq - 2CSq\). Ac Dimidiando \(PS \times PF = 2CDq - PCq - CSq\). Est autem \(CS\) quad. \(= CD\) quad. \(- CO\) quad., atque adeo \(PS \times PF = CDq + COq - PCq\). Sed \(CDq + COq = PCq + CKq\) per 12. VII. Conic. Apollonii. Quare \(PS \times PF = CKq\). Q.E.D. II. Distantia à Foco \(SP\) est ad perpendiculariorem in Tangentem demissam, ut Semidiameter Conjugata \(CK\) ad Semiaxim minorem \(CO\). Demonstratio. Ob similia Triangula \(SPT, FPV\), erit \(PS : PF :: ST : FV\); ac componendo \(PS + PF\) erit ad \(ST + FV\), & earundem dimidia \(CD\) ad \(CR\), ut \(PS\) ad \(ST\). Unde \(CD \times CK\) erit ad \(CR \times CK\) ut \(PS\) ad \(ST\). Sed \(CR \times CK\) æquale est rectangulo sub Semiaxibus \(CD\) in \(CO\), per 31. VII. Conic. Proinde \(PS\) est ad \(ST\) ut \(CD\) in \(CK\) ad \(CD \times CO\), sive ut \(CK\) ad \(CO\). Ac pari argumento demonstrabitur \(PF\) esse ad \(FV\) in eadem ratione. Q.E.D. III. In eadem etiam est ratio Semiaxis Transversus \(CD\) ad normalem è centro \(C\) ad Tangentem demissam, sive ad \(CR\). Etenim cum rectangulum \(CR \times CK\) æquale sit rectangulo \(CD \times CO\), uti jam dictum est, erit \(CD\) ad \(CR\) ut \(CK\) ad \(CO\). Q.E.D. IV. Semidiameter quævis \(PC\) est ad distantiam puncti \(P\) à foco \(S\), sive ad \(SP\), ut distantia ab altero Foco \(FP\) ad dimidium lateris retii ad Verticem \(P\) pertinentis, sive ad \(PH\). Hoc autem manifestum est ob Propr. I. cum nempe quadratum ex \(CK\) æquale sit rectangulo sub \(SP \times PF\). V. Rectangulum Semiaxium \(CD \times CO\) est ad quadratum semidiametri conjugata \(CK\), ut \(CK\) ad Radium Curvaturæ in puncto \(P\), sive ad \(PG\). Sunt enim Triangula \( PCR, PGH \) inter se similia, unde \( CR \) est ad \( PC \), ut semilatus rectum \( PH \) ad \( PG \): hoc est, per præmissam Proprietatem III, \( \frac{CD \times CO}{CK} = CR \) est ad \( PC \) ut \( \frac{CK^2}{PC} = PH \) ad \( \frac{CK^3}{CD \times CO} = PG \). proinde \( \alpha \nu \alpha \lambda \sigma \gamma \omega \nu \) \( CD \times CO : CK^2 :: CK : PG \). Q.E.D. **THEOREMA GENERALE I.** *Vis centripeta ad idem punctum S tendens, in Curvis omnibus, est semper proportionalis Quantitati \( \frac{SP}{PG \times ST^3} \)* Hoc Theorema ante plures annos à me investigatum & cum amicis communicatum, propriis demonstrationibus firmavere Geometrae Clarissimi D. J. Bernoullius in Act. Lipsiae; D. J. Keillius in harum Transact. N. 317. & D. Jac. Hermannus in Phoronomia suâ pag. 70. quos vide. Scribendo autem \( CK^3 \) pro \( PG \), per Propr. V; & \( \frac{SP}{CK} \) juxta Propr. II, pro \( ST \); (ob datas scilicet \( CD, CO \)) erit Vis centripeta tendens ad focum Ellipseos \( S \), semper ut \( \frac{SP \times CK}{CK^3 \times ST^3} \), hoc est ut \( \frac{SP}{ST^3} \) vel \( \frac{I}{SP^2} \), nempe reciprocè ut quadratum ex \( SP \). Unde patet quod si Sectio fuerit Ellipsis motu corporis descripta, erit Vis Centripeta ut quadratum distantiae à centro Virium reciproce. Ex his Proprietatibus consequuntur Corollaria nonnulla norata non indigna. Coroll. 1. *Velocitas Corporis in Ellipsi revolventis, ad punctum quodlibet \( P \), est ad Velocitatem revolventis in circulo ad eandem distantiam \( SP \) à centro Virium, in subdupla ratione distantiae ab altero foco \( PF \), ad Semiaxem transversum Sectionis, sive ut media proportionalis inter \( PF \) & \( CD \) ad \( CD \). Est enim velocitas revolventis in Ellipsi ad distantiam \( SP \), ad Velocitatem revolventis in Circulo vel Ellipsi ad diste... distantiam Semiaxis \( CD \) vel \( SO \), ut \( CO \) ad \( ST \); hoc est per Propr. II. ut \( \sqrt{PF} \) ad \( \sqrt{SP} \). Velocitas autem revolventis in Circulo ad distantiam \( CD \) est ad velocitatem revolventis in Circulo ad distantiam \( SP \), ut \( \sqrt{SP} \) ad \( \sqrt{CD} \). Ex æquo igitur, Velocitas revolventis in Ellipsi ad distantiam \( SP \), est ad Velocitatem revolventis in Circulo ad eandem distantiam ut \( \sqrt{PF} \) ad \( \sqrt{CD} \). Coroll. 2. Ex datis Velocitate in Ellipsi, positione Tangentis, & centro Virium seu Foco, facile est determinare Focus alterum. Sit enim Velocitas Data \( R \); ea autem Velocitas quæ describeretur Circulus ad datam à centro distantiam \( SP \) sit \( Q \); ac per Coroll. præcedens, \( R \) est ad \( Q \) ut \( \sqrt{PF} \) ad \( \sqrt{CD} \), adeoque \( QQ \) est ad \( RR \) ut \( CD \) ad \( PF \), & \( 2QQ - RR \) erit ad \( RR \) ut \( SP \) ad \( PF \): Datur autem \( SP \); data est igitur \( PF \) magnitudine. Datur etiam positione, ob angulum \( PP \) angulo \( SP \) æqualem. Datur igitur punctum \( F \) alter Focorum: Quo invento pronum est Sectionem describere. Si vero \( \frac{1}{2} RR \) majus fuerit quadrato ex \( Q \), \( 2QQ - RR \) fit quantitas Negativa, & loco Ellipseos Trajectoria describenda in Hyperbolam transit. Eritque \( RR - 2QQ \) ad \( RR \) ut \( SP \) ad \( PF \) distantiam alterius Foci, ad alterum Tangentis latus ponendam, ut habeatur Focus \( F \). Proprietates autem omnes quas in Ellipsi demonstravimus; mutatis mutandis etiam Hyperbolæ competunt. Fig. II. Quod si acciderit \( QQ \) æquale esse dimidio quadrati ex \( R \); evanescente quantitate \( 2QQ - RR = 0 \), quarta proportionalis \( PF \) fit infinita: proinde Trajectoria describenda Parabolica est, Foco scilicet altero in infinitum abeunte. Axis autem Trajectoriarum positione datur; est enim ipsi \( PF \) parallelus, existente scilicet angulo \( FPV \) angulo dato \( SPT \) æquali. Coroll. 3. Velocitas revolventis in data Sectione Conica ad distantiam \( SP \) est ad Velocitatem ejusdem ad distantiam aliam \( SX \), ut media proportionalis inter \( FP \) & \( SX \) ad medianam proportionalem inter \( SP \) & \( FX \). Veloc- Velocitas enim in \( P \) est ut \( \sqrt{\frac{F}{S}} \cdot \frac{P}{P} \) (per propr. II.) & per eandem, Velocitas in \( X \) est ut \( \sqrt{\frac{F}{S}} \cdot \frac{X}{X} \). Unde manifesta est propositio. Coroll. 4. Ratio etiam Velocitatum duorum Corporum in eodem Systemate, sed in datis Coniunctionibus diversis, revolventium, datis autriusque à communi Orbium Foco distantiiis, ope Corollarii rmi. statim obtinebitur. Cum enim Velocitas corporis in \( P \) sit ad Velocitatem in Circulo ad eandem distantiam \( S \cdot P \), ut \( \sqrt{P \cdot F} \) ad \( \sqrt{C \cdot D} \); & in alia supposita Coniessione, cujus Semiaxis \( c \cdot d \) & Foci \( S, f \), ad distantiam \( S \cdot p \) Velocitates illae sint ut \( \sqrt{p \cdot f} \) ad \( \sqrt{c \cdot d} \): Velocitas autem revolventis in circulo ad distantiam \( S \cdot P \) sit ad Velocitatem in Circulo ad distantiam \( S \cdot p \) ut \( \sqrt{S \cdot p} \) ad \( \sqrt{S \cdot P} \); Compositis rationibus, erit Velocitas in \( P \) ad Velocitatem in \( p \), ut \( \sqrt{P \cdot F} \times c \cdot d \times S \cdot p \) ad \( \sqrt{p \cdot f} \times C \cdot D \times S \cdot P \). Quod si Sectio illa altera fuerit Parabola, erunt \( c \cdot d, p \cdot f \) infinitae, sed in ratione 1 ad 2; proinde ratio Velocitatum erit ut \( \sqrt{P \cdot F} \times S \cdot p \) ad \( \sqrt{2 \cdot C \cdot D \times S \cdot P} \). Coroll. 5. Quod si in Hyperbola punctum \( P \) abeat in infinimum, ex praecedentibus manifestum est, Velocitatem ultimam ac minimam, qua cum corpus in aternum ascenderet, aqualem esse ei qua, ad distantiam \( C \cdot D \) Semiaxi transverso aequalem, Circulum describeret. Coroll. 6. Ex data distantia à Foco, datur quoque Positio Tangentis, sive angulus \( S \cdot P \cdot T \), sub distantia \( S \cdot P \) & Tangente \( P \cdot T \) contentus. Est enim (per propr. II.) \( P \cdot S \) ad \( S \cdot T \) ut \( C \cdot K \) ad \( C \cdot O \) sive ut \( \sqrt{S \cdot P} \times P \cdot F \) ad \( C \cdot O \), atque ita Radius ad Sinum anguli \( S \cdot P \cdot T \). At in Ellipsibus Circulis affinis præstaret angulum \( P \cdot S \cdot T \), ejusdem complementum ad quadrantem, inquirere: Hujus autem Sinus est ad Radium ut \( \sqrt{S \cdot P} \times P \cdot F - C \cdot O \) q ad \( \sqrt{S \cdot P} \times P \cdot F \). Coroll. Coroll. 7. Atque hinc consequuntur Velocitates quibuscum distantia \( SP \) crescunt vel decrescunt. Nam cum, ex Corollario praecedente, \( \sqrt{SP} \times PF \) sit ad \( \sqrt{SP} \times PF - COq \) ut Radius ad sinum anguli \( PST \), ac in eadem sit ratio Velocitas Corporis in \( P \) ad Velocitatem momenti ipsius \( SP \); Velocitas autem illa in \( P \) sit (per propr. II.) ut \( \frac{PF}{SP} \); elisis superfluis, erit \( \sqrt{SP} \times PF - COq \) Velocitati, qua crescit vel decrescit distantia \( SP \), semper proportionalis. THEOREMA GENERALE II. In omni Trajectoria Curvilinea Velocitates angulares circa centrum Virium sunt reciproce proportionales quadratis distantiarum à centro. Nam ob Sectorum minimorum Areas æquales, arcus angulis minimis subtensi sive Bases, sunt reciproce ut Radii: Anguli autem minimi quibus Bases æquales subtenduntur sunt etiam reciproce ut Radii. Proinde anguli Sectorum minimorum Areæ æqualium, sunt inter se reciproce in dupla ratione Radiorum, sive ut quadrata distantiarum. Coroll. 8. Hinc Velocitates angulares revolventium in diversis Ellipsibus datis comparantur inter se. Velocitates enim angulares quibuscum ad distantias Semiaxibus Transversis æquales circuli descripterentur, sunt reciproce in ratione sesquialtera Axium, sive ut \( \frac{1}{CD\sqrt{CD}} \). Velocitates autem angulares has medias habent Corpora revolventia, cum quadrata distantiarum æquantur rectangulis sub semiaxibus Ellipseôn. Ideo (per Theor. II.) erit \( SPq \) ad \( CD \times CO \) ut \( \frac{1}{CD\sqrt{CD}} \) ad \( \frac{CO}{SPq \times \sqrt{CD}} \): quæ quidem Quantitas est ut Velocitas anguli ad centrum \( S \), motu rectæ \( SP \), tempore quam minimo dato, descripti. Coroll. 9. Velocitas angularis qua circumgyratur Tangens \( PT \), sive recta in Tangentem perpendicularis \( ST \), est ad Velocitatem Demonstratio. In Fig. III. Sint puncta $P, p$, quamproxima inter se; ducisque $SP, Sp$, sint $PT, pt$ duæ Tangentes, ad quas demittantur normales $ST, St$; iiisque parallelæ ducantur radii Curvarum $PG, pG$ coeuntes in $G$: ae describatur, centro $S$ & radio $SP$, arcus minimus $PE$ occurrens ipsi $Sp$ in $E$. Manifestum est angulum $PGp$ æqualem esse angulo $TSt$, sive angulari Velocitati normalis $ST$. Est autem angulus $PSp$ angularis velocitas rectæ $SP$; quare angulus $PGp$ est ad angulum $PSp$ ut angularis Velocitas ipsius $ST$ ad angularem velocitatem rectæ $SP$; hoc est, ut $\frac{PP}{PG}$ ad $\frac{PE}{PS}$. Sed $PP \cdot PE :: SP \cdot ST :: CK : CO$ (per propr. II). Haec igitur Velocitates sunt ut $\frac{CK}{PG}$ ad $\frac{CO}{PS}$. Pro $PG$ scribe $\frac{CK^3}{CD \times CO}$ (per propr. V.) ac $\frac{CK}{PG}$ fiat $\frac{CD \times CO}{CKq} = \frac{CD \times CO}{PS \times PF}$. Hinc $\frac{CD \times CO}{PS \times PF}$ erit ad $\frac{CO}{PS}$, sive, deletis superfluis, $CD$ ad $PF$, ut angulus $TSt$ ad angulum $PSp$, sive Velocitas angularis Tangentis ad angularem Velocitatem distantiae $SP$: proinde Velocitas qua circumgyratur Tangens, semper proportionalis est quantitati $\frac{CO \times \sqrt{CD}}{PF \times SPq}$. Pleraque horum Corollariorum ex aliis Conicarum Sectionum Proprietatibus deducta, vel facile deducenda, inveniet Lector in Sect. III. Lib. I. Princip. Nat. Philosophiae. FINIS. LONDON, Printed for W. Innys, at the Princes Arms in St. Paul's-Church-Yard, 1717.