Epistola D. Guidonis Grandi, Societatis Regalis Londin. Socii, ad Illust. Comitem D. Laurentium Magalotti, Dictae Societatis Socium, De Natura & Proprietatibus Soni

of necessity must become more dense. But to proceed; I caus'd some Water to be heated about Blood-warm, when weighing my Bottle in it, I found the bulk of Water equal to the bulk of the Bottle was about 3 Grains less than when Cold; which shows, that the component Parts of the Water are easily separated by Heat, and the Matter lodg'd in its Interstices capable of dilation. Then I took that Water that I had purg'd of all its Air, (as near as I could,) and gave it a degree of Heat, not exceeding luke-warm; upon weighing the premention'd Bottle in it, I found, that altho' the Heat it had received was very inconsiderable, yet the bulk of the Water, in that State, equal to that of the Bottle, was now diminish'd 2 Grains: which plainly shews, that notwithstanding the Water contain'd no Air that I could discover, yet there seems a Matter latent in it, capable of Intumescence. V. Epistola D. Guidonis Grandi, Societatis Regalis Londin. Socii, ad Illust. Comitem D. Laurentium Magalotti, dictæ Societatis Socium, De Natura & Proprietatibus Soni. Clarissimo Viro Laurentio Magalotti Guido Grandus S. Legantissimum Præsulis Armachani commentario- lum de Sono, quod mihi nuper communicasti, fummâ animi voluptate perlegi; at circa Semiplani figu- ram in calce ejus scripti commemoratam, in cujus potif- simum expositione meam à te operam desiderari signi- ficar- sicaveras (sive ob argumenti ipsius difficultatem, ingenii mei viribus longè superiorem, sive ob diagrammatis Londino transmissi, minus fortasse ad impressum exemplar exactam delineationem) vereor, ut satis assequi mentem Auctoris, tuisque votis pro merito respondere valuerim. Ne tamen jussis tuis nihil interim videar detulisse, qualescumque animadversiones, & conjecturas meas ad proposti nodi evolutionem spectantes aperiam, & sin minus Interpretis, saltem Divinatoris personam hac in re suscipere non gravabor, ut eorum quæ ad implendam munere injuncti provinciam pertinerent, nihil à me suisse, tuae auctoritatis gratia, prætermittum intelligas. Comparat doctissimus Præful scientiam auditus cum Theoria visionis, atque ut hæc in directam, reflexam, & refractam dividitur, ita illam pari ratione trifariam distribuit, ut non modo sonos directos, & reflexos (quod dudum in usu fuit) sed & refractos consideret; quemadmodum autem eximiis inventis opticis, catoptricis, & dioptricis visionem à majoribus nostris magnâ jam ex parte perfectam suisse animadvertit, ita compluribus instrumentis Acusticis, Catausticis, & Diacusticis, sive Phonicis, Cataphonicis, & Diaphonicis (utrovis enim modo nominat) auditum, tam ex objecti, quam mediī, vel organi parte perfici posse non dubitat, eoque spectantia problemata proponit, quæ tamen in hoc scripto, nedom absque demonstratione, sed & absque determinatione, aut constructione ullâ exhibentur, unde non major ad ipsorum solutionem lux nobis affulget, quàm quæ, ante inventa à M. Galilæo scientiæ motus principia, haberi potuisse ad enodationem problematum circa determinandam proiectorum semitam, vel aquarum ex datâ altitudine descendentium velocitatem propositorum: Neque enim affirmare verebor, perinde ignota nunc esse Acusticæ doctrinæ fundamenta, certè nondum passim vulgata, aut inter eruditos recepta, licet fortasse lauda- laudatissimo huic Præfuli innotuisse videantur, si quae ab illo indicata, & promissa sunt, attendamus, quorum quidem uberiori expositione, atque apertâ demonstratione totam sibi literariam Rempublicam demeruit, cum vix credendum sit, omnes simplici illâ Opticorum, & Acusticorum comparatione fore contentos, quae vix ultra satis latam analogiam extenditur, ob tot discrimina, quibus propagatio Lucis a diffusione Soni secernitur: inter quae illud palmarium est, quod Lux per lineam rectam semper exporrigitur, dum tonus etiam per curvas, & inflexas uteunque semitas quaquaversum spargitur, atque, intercepto cujusvis opaci corporis obice, sensibilis redditur. Et vero hæc ipsa, quae de Soni diffusionе doctissimus Auctor noster edifferit, ejus differentiam à lucis propagatione manifestant: docet siquidem, sonum secus parietes, aut fornices lævigatissimos, elipticâ, vel cycloidalì, potius quam circulari flexurâ donatos, blando quodam, & expeditissimo lapsu feliciter excurrere, nec non per mollem aquæ superficiem, sonoris tremoribus, quibus aer crispatur, obiequentem validius promoveri: quae vereor, ut in luminis propagatione adeo generatim obierventur; nam de Ellipsi quidem hoc tantum habemus ex catoptricâ demonstratum, quod radii lucis ex altero ejus foco D emanantes, & in ellipticam curvam A B C impingentes, inde reflexi in altero foco E colligentur; at si ex alio quovis puncto G, praeter focos, exeant radii, non omnes amplius in unum punctum coibunt, sed ita reflectentur, ut curvam causticam f F f contactu suo efforment, supra cujus convexitatem existentes uno aut altero reflexo radio, non pluribus gaudere poterunt, in ipsâ vero curva và positi aliquot ex maxime vicinis participabunt; at qui intra cavitate ejusdem veriabuntur, ab omnibus reflexorum radiis am illapsu immunes erunt, adeo nullum inde sibi emolumentum obventurum sperabunt. Cycloidem quod attinet, ostendit quidem Cl. V. Joannes Bernoullius in Actis Lipsiae 1697. Lucis radius, si per media transit, quorum raritates in quolibet puncto juxta rationem subduplicatam altitudinum variarent, ita continuo flexu refrangendum, ut in curvam cycloidis sinuaretur: at seu reflexione, seu directa per idem medium propulsione, quid figura cycloidis ad feliciorem lu-  minis diffusionem conferret, planè non video; hæc enim curva focis omnino caret, adeò ut in nullo puncto radios recolligere possit, sed in curvas irregulares abeunt radii ab ipla reflexi, nisi quod ubi ad axem K L paralleli radii P M, Q N in Cycloidem E M K N H inciderebant, tunc linea caustica per contactum reflexorum radiorum M R, N S, efformata, ex binis cycloidibus E R L, H S L, circulo subduplæ diametri generatis, componeretur, radiosque reflexos confertissimos circa utriusque confinium L, ad medium basis reflectentis cycloidis exhiberet: cæterum tam in his quam in aliis causticis ex qualibet luminosi puncti radiorumque positione resultantibus, eadem observationes locum haberent, quas sub finem praecedentis paragraphi causticis per ellipsim efformatis competere diximus. De planâ aquarum superficie nihil est quod addam, cum pateat, lucis radios per illam aut omnino refractos transire, aut ordinatâ reflexione in adversam partem remitti, perinde ac e chry stalli solidioris superficie, imò ab hac aliquantò fortius, quam ab illâ, tantum abest, ut per illam facillimè repentes in directum expeditius promoveri possint, illumque blandum progressum obtinere, quem tremoribus harmonicis, per mollem aquarum superficiem, crispatione suâ ipsorum flexui se accommodan-tem serpentibus Auctor tribuit: immò & dubitare licet, an lavigatisimae speculorum superficies, perinde ac luminis, lic soni reflexionibus valdè conducerent, cum Echo ipsa speluncarum recessus asperrimos, magis quam politos, ac tenui gypso incrustatos parietes habitare videatur, ab incultis vallibus, ab antraetuosis antris, atque e veterum ædificiorum ruderibus frequentius respondens; quocirca Poeta Mythologus Metamorphof. lib. 3. tab. 5. de illâ sic cecinit: *Spreta latet sylvis: pudibundaque frondibus ora Protegit, & solis ex illo vivit in antris. Vox manet, ossa ferunt lapidis traxisse figuram, Inde latet Sylvis, nulloque in monte videtur, Omnibus auditur: Sonus est qui vivit in illâ.* Quæ tamen non ideò à me dicta velim, ut quidpiam aut debita fidei, aut promeritæ laudis derogem pronunciatis Cl. Auctoris, quem potius extimulandum censeo ad hanc Sonorum Theoriam ex integro edendam, aut, si quid amplius, & absolutius jusso volumine jam ediderit, nobiscum communicandum: ut quà tandem lege sonori treiores per aerem, per aquam, & per variæ densitatis corpora qualibet, tum fluida, tum solida progrediantur, & in quo soni, lucisque convenientia nondum satis haætenuis nobis comperta confisit, innotescere posse, unde firmatis Acusticæ fundamentis mirum in modum scien- tia hæc deinceps perficere tur, idoneis organis ad sonum congregandum, augendum, promovendum, multiplicandum, aptiusque discernendum excogitatis, quorum in hoc scripto spem facit, & desiderium accendit Præful doctissimus. Interim ego ostensurus, quantum illius verbis deferendum existimem, Acusticum ipsum, seu spheram Phonicam ab eodem propositam, divinando magis, quam interpretando, exponere utcunque aggre- diar, verbis illius primùm adductis, ut cum meis conje- cturis mox subjiciendiis conferri queant, & quàm exactè iisdem respondeant cujuslibet possit arbitrio judicari. Addam hoc loco, inquit Auctor, Semiplani Acustici, seu Sphære Phonicae figuram, quasi tentamen ad magnum scientia hujus principium explicandum, quod in sonorum progressionem consistit. Consideretis oportet rude hoc semiplanum velut horizonti parallelum, nam si eidem perpendicularare fuerit, suppono extremitatem illius superiorum non amplius circula- rem futuram, sed hyperbolicam, partem vero inferiorem aqua- lem fore uni ex maximis terra circularis: adeo ut universa sphera Phonica, si ita appellare liceat, sit quaedam hyperbola solida, super concava basis sphærica superfície erecta. Porro Di- agramma Londino transmissum hujusmodi erat, nullis præ- terea notis ad ejus illustrationem facien- tibus instructum. Ipse igitur, hoc alio Schemate substituto, mentem Auctoris aperire satagam. Sit terræ globus C G F E, atque in puncto C ejus superficiei sonus aliquis excite- tur. Hic per terram ipsam nec non per aerem circum- quaque propagabitur, adeo ut quo tempore ad maximum terræ circulum polo C descriptum, nempe ad Peripheriam G B E aut reipsâ (licet fortasse insensibiliter) perve- nit, nit, aut faltem (si validior esset) perveniret, per aerem diffusus, quoddam spatium repletet, pro variâ transitus facilitate, non prorsus sphericè, sed inæqualiter exporrectum, & à perimetro hyperbolæ G L A K E, circa axem C A O sonoro corpori C perpendiculararem positæ, circumscriptum: imo vero à superficie conoidis hyperbolicæ, quam hyperbola A L G circa suum axem rotata generat, definitum. Itaque universa sphaera phonica, per quam dato tempore sonus extenditur, erit solidum spatium comprehensum ab hyperbolicâ conoide G A E B, quæ maximo terræ circulo G B E insiftit, & concavâ superficie hemisphericâ G C E B inferius terminatur: quod quidem spatium plano ad horizontem parallelo ubilibet sectum, exhibebit semicirculum L I K, qualem ostendit Auctoris figura, quem & semiplanum appellat, ec quod ipsius diagrammatis prospectus alteram folum medietatem ejus exhibeit, dimidia reliqua trans hyperbolam verticalem (quæ & ipsa phonicam spheram per axem bifariam fecat) inconspicuâ manente. Verum quæ sit hujusmodi hyperbolæ species, aut quibus principiis doctrina hæc fulciatur, nec Auctor indicat, nec mihi suppetit unde hac de re quidpiam certi conjiciam. Quod unum supereft, adnitar, ut inverso vestigandi ordine procedens, detegam primò per quod linearum genus tremores sonoros diffundi oporteret, ut in ejusmodi hyper- hyperbolam dato tempore expanderentur; secundò, quae raritatis variatio foret in variis aeris altitudinibus supponenda, ut (stante refractionis communi lege, qualem radii lucis observant) sonorum directiones juxta inventam linearum speciem flectere posset; ac tertio, quae vicissim dicenda sit lex refractionis, quam sonori tremores in ejusmodi curvarum genus abeuntes sequuntur, suppositâ raritatis aeris variatione tali, qualem plerique Philosophorum, & Mathematicorum in illo agnoscent juxta reciprocam rationem ponderis atmosphaë incumbentis, & inferiores partes gravantis, quam experimentis congruere testantur. Pro quo consideremus, corpus sonorum C tremores suos per directiones C n, C m, C h, quaquaverus communicare, aut certè juxta eas lineas, per quas impulsum fuerat, se restituendo repellere aerem, eumdemque frequentissimis oscillationibus protrudere, quibus crispatur, atque ad motum tremulum juxta easdem directiones diffusum sollicitatur; hi ergo tremores quodam minimo tempore pervenisse concipientur ad puncta n, m, h, unde iter suum prosequentis, successivè post aliud datum tempus simul propagabuntur, primus ad punctum N; secundus ad M, tertius ad H; iterumque post aliud datum tempus simul progredientur, prior ad G, alter ad L, postremus ad A. Nunc igitur lineas quidem C n N G, C m M L, C h H A, per quas quilibet tremor successivè diffunditur, voco Radios sonoros; lineas vero n, m, h, N M H, G L A, quas praedicti sonori radii, omnesque alii synchroni iis intermedii dato quolibet tempore simul attingunt, Undas sonoras appello. Et quidem in medio protus ubilibet uniformi, cessante caufa, quae tremores tonoros à fuâ direftione in hanc, vel illam partem deflectere cogat, patet tonoros radios semper rectos procedere, seu per viam breviffimam ab uno ad alium terminum directe progredi, atque undas penitus circulares tonoro corpori concentricas efficere, quia cum non majorem hic, quàm alibi transitus difficulatem inveniant, utique ad pares distantias singuli dato, quovis tempore elongabuntur: Secabit autem radius, quilibet undam suam perpendiculariter, atque undæ quælibet concentricæ, & similes erunt, ut constat ex elementis. At in medio difformis densitatis, velut in aere terræ circumfuso, qui diversam pro variâ altitudine (nam caloris, frigoris, humiditatis, & ficcitatis vices, quae ad certam legem revocari non possunt, pro nunc feponimus) raritatem obtinet, solus radius C H A perpendiculariter traiiciens omnes aereas lamellas, five superficies terræ concentricas, irrefractus transibit, ac rectus manebit; cæteri vero iisdem superficiebus oblique impingentes continuo quodam flexu in quolibet puncto refringentur, & in curvas C M L, C N G sinuabantur; nec non pro variâ transitus facilitate non ad eandem ubivis distantiam dato tempore progredientur, quare puncta A, L, G, aut H, M, N, quae eodem momento sonus per quoslibet radios emissus attingit, inæqualiter à tonoro C remota erunt, adeoque undæ A L G, H M N, b m n, omnino circuli non erunt corpori tonoro concentrici, fed alterius generis curvae, quas tamen oportet invicem similes esse, ac similiter positas: quare in hypothesi nostri Auctoris, qui extremam illam undam A L G, ultimos globi terræque fines lambentem hyperbolicae voluit, necesse est quævis alias undas intermedias H M N, b m n, esse hyperboles similes, ac similiter positas, diversis quidem verticibus A, H, b, fed eodem centro, ad eumdem axem, & sub similibus laterum figuris descriptas; nam, quæ- quæcumque sit ratio, quæ ostendat, ob simultaneum appulsum soni ad puncta A; L, G, per vias synchronas CHA', CML, CN G, unde A L G facescere in curvam talis speciei (puta hyperbolicam): eadem prorsus iisdem fundamentis evincet, ob simultaneum appulsum soni etiam ad puncta H, M, N, per synchronas lineas C h H, C m M, C n N, undam H M N, in curvam ejusdem speciei (nempe hoc casu in hyperbolam similem, ac similiter positam) pariter abire, ut de se constat. Nec dubium insuper, sonoros radios CHA, CML, CN G, semper undas illas similes A L G, H M N, h m n debere perpendiculariter, sive ad rectos angulos secare, ut in circularibus undis contingit; quod cum in simili proposito de lucidis undis offenderit jam Vir Cl. Christianis Hugenius, pag. 44. tractatus sui de Lumine Gallicè editi, non est cur in hac observatione pluribus momentis confirmandâ tempus teratur. Itaque investigatio viae, per quam radii sonori, juxta hypothesim Auctoris nostri, propagantur, ad hoc purè geometricum Problema reducitur, ut inquiratur natura curvarum, quaslibet hyperbolas similes, & circa eundem axem, eodem centro similiter descriptas, perpendiculariter secantium. Sint hyperbolæ similes A L G, H M N, h m n, aliæque innumeræ intermediae, aut supra, vel infra ipsas similiter positæ, idem commune centrum O habentes, eodemque axe O A H, cui alter O S coniugatur, descriptæ: ducenda est per punctum C curva C m M L, aut C n N G, propositas omnes hyperbolas perpendiculariter secans. Describatur per datum punctum C, inter asymptotos O A, O S hyperbola C m M L talis naturæ, ut positâ ratione transversi lateris priorum hyperbolarum AL, HM, &c. ad latus rectum earumdem æquali rationi t ad r, potestates ordinatarum L Q denominatae ab exponente r sint reciprocè proportionales potestatibus abscissarum à centro O Q denominatis ab exponente t, nempe facta O Q = x, & Q L = y, ita ut $y^r = \frac{1}{x^t}$; sive, ducta qualibet alia ordinata $m$, $i$, $M$, $I$, ita ut ratio distantiarum à centro $O$ $Q$, $O$ $I$ sit reciproce tam multiplicata rationis applicatarum $I$ $M$, $Q$ $L$, quam quam multiplex est fractio \( \frac{r}{t} \) unitatis. Dico hanc tatis facere quaesito; ducta enim cujusvis hyperbola A L tangente L P in puncto, ubi à curva C M L secatur, nec non S L R tangente ipsius hyperbolae C M L in eodem puncto, patet ex his quae in Theorematum Hugenianorum demonstratione, cap. 7. n. 9. ostendimus, fore O Q ad Q R, ut exponens potestatis distantiarum O Q ad exponentem potestatis ordinatarum Q L, nempe ut \( t \) ad \( r \); sed ut \( t \) ad \( r \), nempe ut transversum latus ad rectum, ita per 37. l. Conic. est rectangulum O Q P ad quadratum Q L; igitur ut O Q ad Q R, sive sumpta communi altitudine Q P, ut rectangulum O Q P ad rectangulum P Q R, ita rectangulum O Q P ad quadratum Q L, quod ideo æquabitur rectangulo P Q R; quare angulus P L R rectus erit: unde curva C M L perpendiculariter occurret in puncto L hyperbola A L G, eodemque modo aliis hyperbolis H M N, \( b m n \), in punctis M, \( m \), in quibus illas secat, perpendicularis esse ostendetur; quod erat, &c. Hinc primò colligitur, quod si hyperbola determinans spheram Phonicam Audoris nostri, nempè A L G, aliæque similes concentricæ H M N, \( b m n \), fuerint æquilateræ, tunc proper æqualitatem laterum \( t \), \( r \), hyperbola C M L erit & ipsa hyperbola Apolloniana, & quidem pariter æquilateræ, ejus enim æquatio superioris allata transformabitur in hanc \( y = \frac{1}{x} \) ubi ratio ordinatarum simpliciter reciproca erit rationis distantiarum à centro, itaque radii pariter sonori æquæ ac sonoræ undæ, juxta hanc hypothesin forent hyperbolæ ejusdem speciei, diversa duntaxat positione collocatae: Memini porro Illustrissimum Equitem Isaacum Newtonum Optice fuisse, lib. 3. p. 287. Observ. 10. ostendere, quod & radii lucis trans duorum culrorum acies in obscurum cubiculum admisos, in hyperbolicas simbrias, qualis effet. C M I., pariter pariter sinuari, cujus phenomeni si ratio physica asservi posset, eadem hyperbolicos pariter soni radios, quales Armachani Præfulis systema invehere videtur, fortasse persuaderet. Secundò observandum est, quod si plures ejusmodi curvæ, seu radii hyperbolici \( m \) \( M L \), \( n \) \( N G \), &c. secantes undas hyperbolicas ALG, HMN, &c. perpendiculariter, describantur, non in unum exactè punctum C poterunt convenire, tametsì propriùs, & propriùs coeant ad partes C, atque ad intervallum pervenire possint, minus quolibet dato intervallo; quare concipiendi erunt radii illi hyperbolici à corpusculo C alicujus extensionis procedere, non ab aliquo mathematico puncto, quod ipsum convenientissimum est; sonus enim ex collisione corporum nascitur, non ex unius rigorosi puncti, seu termini extensionis tremore produci potest. Imò cum omnes undæ à sonoro corpore propagatæ esse debeant, ut supra vidimus, hyperbolæ similes, congruum est, ut concipiamus, corpus sonorum C quasi fibrillam minutissimam frequentissimè oscillantem, cujus minima, & veluti initialis unda infinitè propomodum exigua 234, & ipsa reverà hyperbolica sit, seu potius apex physicus alicujus hyperbola; ita ut nimirum fibrilla oscillatoria corporis sonori C, dum pulsatur, ex situ directo 2 C 4 detrufa in situm concavum 254, vi percussionis adigatur, tum vehementissimi elateris sui, nec non propriæ tensionis vi, restituta in convexam hyperbolam 234 intumescat, ac rursus reducta alternis vibrationibus fluctuans hinc inde suos tremores in hyperbolicas undas, ipsimet initialibus 234, 254 perpetuo limites, tursùm, ac deorsum suapte naturâ, & in medio utrinque libero expandat, sed obice terrestris globi C E (cuius centrum T) impedita fortasse, hyperbolicas undas suas dumtaxat tursùm propaget, & Phonicam Spheram ab Autore nostro excogitatam describat, hemispherio terrestrì ab inferiori parte interruptum, ac definitam. Quod si vera effet P. Paradisi dephrina Artic. 81. suae staticae proposita, quod chordae extensae reipublica hyperbolicae figuram, qualis est 254, cuius centrum sit idem quod centrum terrae, vi proprii ponderis assumant, nemo non videt eam ipiam confirmando Auctoris nostris systemati fore congruentissimam, hinc enim ratio haberetur, cur fibrilla quaevis tonori corporis C, dum ad vibrationes harmonicas sollicitatur, in hyperbolam 254 excurreret centrum habens in centro terrae T, similiterque in aliam aqualem 234 assurgeret, indeque per alias ampliores hyperbolas tremorem diffunderet, quarum omnium centrum effet O æquæ distans à sonoro corpore C, ac sonorum corpus illud remotum sit ab ipsomet centro terrae; quare distantia CO æqualis semidiametro Globi Terraquei limitem definiret, ultra quam nulla sonora unda propagaretur, nullusque posset tonus audiri, & linea OS, utpote asymptotus quorumvis hyperbolicorum radiorum, per quos defertur sonus, confinim beatæ illius regionis constitueret, in qua ab omni terrenarum rerum fretu securis in summâ tranquillitate philosophari liceret. Potro ne quis speculationem hanc eo nomine contemnendam putet, quod fibrilla quaevis sonori corporis, cum brevissima fit, ac validè distenta, semper in situ recto 2C4 manere videatur, nec posse in concavas, aut convexas hyperbolas 254, 234 sinuari, considerandum insuper est, hyperbolas quo majoribus axibus praeditæ fuerint, eo magis ampliari, & ad lineam rectam accedere; itaque ob ingentem distantiam centrorum T, vel O, sicut lineæ quas gravia cadentia describunt, licet in centrum T collimantes pro parallelis habentur, & arcus circuli horizontalis cum rectâ ejus tangente confunditur, ita & initiales illas hyperbolas 254, 234 ferme coincidere discenda sunt cum rectâ 2C4, unde sensibilis non est incurvatio fibrilarum oscillantium in sonoro corpore, nec se prodit undarum hyperbolicarum species, nisi ubi in amplius spatium GALG dilatae fuerint centro suo propriæ accedentes. Animadvertendum adhuc tamen, his principiis positis, consequens fore, ut sonus hinc inde ad latera non excurreret ultra spatium ab hyperbolicis extremis radiis $298g$, $476g$ comprehensum, quas tangereant recte T 2, T 4, a centro terrae per terminos fibrae oscillantis adductae; ac revera fibrae illius tremores juxta aliam directionem non procederent, quam per T 2, T 3, T 4, aliasque intermedias angulo 2 T 4 comprehensiones, singulis particulis fibrae ejusdem correspondentes, itaque spatium extra dictas hyperbolas $298g$, $476g$ positum ab omnium tremore harmonico vacaret, nec posset juxta sensum Auctoris phonica sphaera ad integrum terrae hemispherium exportari; itaque oportet, nunquam reipsa unicum aliquam sonori corporis fibrillam tremere, quin terminos aliarum fibrarum, quibus connectitur, & inter quos distenditur, eo ipso trahat, & ad harmonicum tremorem pariter sollicitet, quae rursus alias, quibus implicantur, abducunt, & ad tremorem extimulant, quemadmodum tensa chorda musica ligneo instrumento, cui alligatur, tremores suos evidentem communicat; itaque harmonicae oscillationes in alia corpora, quibus mediaté, vel immediaté connectitur, percussa fibra sonori corporis, subinde transfunduntur, licet magis magisque semper debilitatae, ac demum insensibiles redditae per hemispherii terrestris superficiem sparguntur, & longius ac longius serpentent obrepunt (quod auris ipsa terrae applicata, & magnos saltum fragores in maximâ distantia excitatos discernens testari potest) itaque ex aliis etiam locis emergunt alii sonori radii hyperbolici per totum terrae hemispherium, a quibus Phonica sphaera Præfulis Armachani satis impleri posset. Vides, Vir Illusterrime, quam me ex inopinato procul abduxerit dulcissima haec contemplatio; sed parcior ero in duobus reliquis problematibus a me supra propositis, nostramque adhuc operam desiderantibus, prosequendis; conabor autem fecundam quaestionem genera liu lius solvere, ut major inde fructus elici queat; intelligatur quivis radius seu lucidus, seu sonorus N n G, in cujusvis naturae curvam, continuâ sui refractione, mutatus: quaeritur qua lege variari supponenda sit densitas, aut raritas medii in ejus diversis altitudinibus, ut stante refractionis theoriâ, quae sinum refractionis semper raritati medii refringentis proportionalem supponit, radius ille in talis naturae curvam obire potuerit? Sit axis curvae N n G, quam radius refraetus efficit, recta C O, in qua sumpto quolibet puncto C, radio quovis C L describatur quadrans circularis L P p, ductaque ubilibet refracti radii tangente N R, n r, agatur ex C radius dictae tangenti parallelus, occurrens circulo in P, ductaque P F axi parallela occurrat ordinatae N Q ad axim perpendiculari in puncto F; dico inde or- tam curvam $FfF$ exprimere suis ordinatis $FQ$, $fq$ raritates medii in variis ejus altitudinibus; nam quia $CP$ est parallela ipsi $RN$, erit angulus $PCB$ æqualis angulo, quem radius refractus $Nn$ in puncto $N$ efficit cum perpendiculo; & ideo $BP$, sive $FQ$ erit semper sinus refractionis, posito $CP$ sinu toto; quare cum supposita sit lex ea refractionis, ut sinus ejusdem proportionalis sit raritati medii; utique eadem $FQ$ exprimet medii raritatem ad altitudinem $Q$, sive ad æqué altum punctum $N$, per quod radius transit. Quod erat, &c. In nostro autem proposito, ubi $QN = \frac{1}{X}$, propter $\dot{Y} = \frac{1}{X}$, si $FQ$ exponens raritatem aeris vocetur $Z$, erit $Z = V\frac{t}{X^2 + t^2}$; aut sumpta etiam $r$, & $CP$ pro unitate, fiet $Z = V\frac{t}{X^2 + t^2}$; atque in casu; quòd unda hyperbolica fuerit æquilatera, adeoque & radius hyperbola similis æquilatera, $y = \frac{t}{X}$, propter $t = 1$, fiet $Z = V\frac{t}{X^4 + 1}$. Quoniam vero tum Jacobus Hermannus in Actis Lipsiae 1706, tum David Gregorius Astronom. lib. 5. oftendunt Curvam, quæ determinat gradus raritatum aeris esse logarithmicam, adeo ut altitudines $OQ$, $oq$, sive five X sint logarithmi numerorum exponentium aeris raritates in punctis Q, q: patet radii continuè refracti N n, N G curvaturam ea lege procedere, ut sinus complementi incidentiae, & refractionis ad potestatem \( \frac{r}{r + t} \), elevati rationem habeant compositam ex ratione sinuum rectorum ad similem potestatem evectorum, & ex ratione quam habent logarithmi raritatum. Caeterum et si consenserim, ordinariam legem refractionis lucis dare sinus incidentiae, & refractionis proportionales raritatibus mediorum, non dissimulo tamen id fortasse non adeo exactum esse, cum ratio sinuum in refractione ex aere in vitrum sit circiter sesquialtera, aer vero plusquam millies vitrosit rario; sed cum viderent Geometrae majorem fieri sinum refractionis in transitu ad aliud medium pro majori facilitate quâ illud lux penetrat in communi hypothesi, vel pro majori difficulitate juxta Cartesium, qui supponit e contrario lucem magis refringi ob majorem difficultatem in rario mediò quam in densiori (ut gravia corpora ob majorem difficultatem penetrandi densiora corpora, in his magis refringuntur, resiliendo a perpendiculari) & utramque legem in eo convenire, quod pro majori medii raritate, major fieret refractione: hinc invaluit, ut sinus proportionalis dicerentur, non quidem facilitati, aut difficultati transitus, quarum alterutra ab aliis in dubium vocatur, sed raritati medii, in quâ omnes conveniunt, licet vera proportio illi non prorsus respondeat in eadem geometricâ ratione; itaque ubicunque raritatis mentio facta est, subroganda est fortasse facilitas transitus in communi, & difficulitas in Carthesiana hypothesi, praeterquam ubi diximus, raritatem ex pondere aeris incumbentis variatam respondere altitudinibus ut \[ S f^2 \] numeri numeri logarithmis suis respondent; hoc enim exactè verissimum est. Hæc sunt, Vir Illusterrime, quæ te jubente, notanda censui circa doctrinam acusticam, & Semiplanum à Cl. V. Armachano Præfule propositum; quæ quidem diligentius expendi, atque accuratius explicari debuerant, sed variis subinde curis distrahentibus, non nisi per intervalla contemplationi harum rerum vacare licuit; itaque meæ erga Amplitudinem tuam observantiae argumento hoc qualicunque contentus eris, mihiique tuae humanitatis officia impendere pergens, aliis jussibus tuis paratissimum semper invenies. Vale. Florentiæ, 24 Maii, 1708.