De motu Nervi Tenst. Per Brook Taylor Armig. Regal. Societat. Sodal

IV. De motu Nervi tensi. Per Brook Taylor Armig. Regal. Societatis Sodal. Lemma I. Sint ADFB, et A Δ Φ B Curvae duae, quarum re- latio inter se haec est, ut, ductis ad libitum ordinatis C Δ D, E Φ F, sit C Δ : CD :: E Φ : EF. Tum ordinatis in infinitum imminutis, adeo ut coincident Curvae cum axe AB; dico quod sit ultima ratio curvaturae in Δ ad curvaturam in D, ut C Δ ad CD. Demonstr. Duc ordinatam c & d ipsi CD proximam; & ad D & Δ duc tangentes Dt & Δ θ, ordinatae c d occurrentes in t & θ. Tum ob c Δ : cd :: C Δ : CD (per Hypothesen) tangentes productae sibi invicem & axi occurrent in eodem puncto P. Unde ob triangula similia CDP & c t P, C Δ P & c θ P, erit c θ : ct :: C Δ : CD (:: c Δ : cd, per Hyp) :: s θ (= c θ - c Δ) ad dt (= c t - cd.) Atqui sunt curvaturae in Δ & D, ut anguli contactūs θ Δ θ & t D d; & ob Δ & d D coincidentes cum c C, anguli isti sunt ut eorum subtensae θ θ & dt, hoc est (per ana- logiam supra inventam) ut C Δ & C D. Quare, &c. Q.E.D. Lemma Lemma 2. In aliquo articulo vibrationis sue induat Nervus tensus, inter puncta A & B, formam curvae cujusvis A p π B. Tum dico quod sit incrementum velocitatis puncti aliquujus P, seu acceleratio oriunda a vi tensionis Nervi, ut curvatura Nervi in eodem puncto. Demonstr. Finge Nervum consistere ex particulis rigidis aequalibus infinitae parvis p P & P π, &c. & ad punctum P erige perpendicularem P R = radio curvaturae in P, cui occurrant tangentes p t & π t in t, iis parallelae π s & p s in s, & chorda p π in c. Tum, per Principia Mechanicae, vis absoluta, qua urgentur particulae ambae p P & P π versus R, erit ad vim tensionis fili, ut s t ad p t s & hujus vis dimidium, quo urgetur particula una p P, erit ad Nervi tensionem, ut c t ad t p, hoc est, (ob triangula similia c t p, t p R) ut t p vel P p ad R. t vel P R. Quare, ob tensionis vim datam, erit vis acceleratrix absoluta ut $\frac{P p}{P R}$. Sed est acceleratio genita in ratione composita ex rationibus vis absolutae directe & materiae movendae inverse; atq; est materia movenda ipsa particula P p. Quare est acceleratio ut $\frac{1}{P R}$, hoc est ut Curvatura in P. Est enim Curvatura reciprocè ut radius circuli osculatorii. Q. E. D. E 2. Prob. 1. Prob. 1. Definire motum Nervi tensi. In hoc Proble- mate & sequen- tibus pono Ner- vum moveri per spatium mini- mum ab axe motûs; ut incre- mentum tensio- nis ex auctâ longitudine, item obliquitas radiorum curva- turæ possint tuto negligi. Itaq; extendatur Nervus inter puncta A & B; & ple- ctro deducatur punctum z ad distantiam C z ab axe A B. Tum amoto plectro, ob flexuram in puncto solo C, illud primum incipiet moveri (per Lemma 2.) At statim inflexo Nervo in punctis proximis & d, incipient hæc puncta etiam moveri; & deinde E & e, & sic deinceps. Item ob magnam flexuram in C, illud pun- ctum primo velocissime movebitur; & exinde auctâ curvaturâ in punctis proximis D, E, &c. ea continuo velocius accelerabuntur; & eadem operâ, imminutâ cur- vaturâ in C, id punctum vicissim tardius accelerabitur. Et universaliter, punctis justâ tardioribus magis & ve- locioribus minus acceleratis, tandem fiat ut viribus inter- se rite temperatis, motus omnes conspicient, punctis omni- bus ad axem simul euntibus & simul redeuntibus, vicibus alternis ad infinitum. Sed ut hoc fiat debet Nervus semper induere formam curvæ A C D E B, cujus curvatura in quovis puncto E est ut ejusdem distantia ab axe E n; velocitatibus etiam punctorum C, D, E, &c. constitutis inter se in ratione distantiarum ab axe C z, D z, E n, &c. Etenim in hoc casu, casu, spatia C x, D s, E ε, &c. eodem tempore minimo percursa, erunt inter se ut velocitates, hoc est ut spatia percurrenda C z, D s, &c. Unde erunt spatia residua x z, s s, ε n, &c. inter se in eadem ratione. Item (per Lemma 2.) erunt accelerationes inter se in eadem ratione. Quo pacto, semper servata ratione velocitatum inter se eadem ac spatiarum percurrendorum, puncta omnia simul pervenient ad axem & simul redibunt: adeoque recte definitur curva A C D E B. Q. E. D. Præterea, comparatis inter se duabus curvis A C D E B, & A x s ε B, per Lemma 1. erunt curvaturæ in D & s, ut distantiae ab axe D s & s s: adeoque per Lemma 2. acceleratio dati cujusvis puncti in Nervo erit ut ejusdem distantia ab axe. Unde (per Phil. Nat. Princip. Math. Sect. X. Prop. 51.) vibrationes omnes, tam maximæ quam minimæ, peragentur in eodem tempore periodico, & puncti cujusvis motus similis erit oscillationi corporis Funiculendi in Cycloide. Q. E. I, Cor. Sunt Curvaturæ reciprocè ut radii circulorum osculantium. Sit ergo a linea data, atq; erit radius curvaturæ in E = \frac{a a}{E n}. Prob. 2. Datis longitudine & pondere Nervi, una cum pondere tendente; invenire tempus unius vibrationis. Extendatur nervus inter puncta A & B per vim ponderis P, & sit nervi ipsius pondus N, & longitudo L. Item consti- tuatur nervus in positi- one A F p C B, & ad punctum medium C erige normalem C S = radio curvaturae in C, & occurrentem axi A B in D; & sumpto puncto p ipsi C proximo, duc normalem p c & tangente p t. Ergo, ut in Lemmate 2, constat vim absolutam quâ acceleratur particula p C, effè ad vim ponderis P, ut ct ad pt, i.e. ut p C ad CS. Sed est pondus P ad pondus ipsius particulae p C, in ratione compositâ ex rationibus P ad N, & N ad pondus particulae p C, vel L ad p C; hoc est, ut P × L ad N × p C. Quare compositis his rationibus, est vis acceleratrix ad vim gravitatis ut P × L ad N × C S. Constituatur igitque pendulum longitudine CD: tum (per Princip. Math. Sect. X. Prob. 52.) crit tempus periodicum Nervi ad tempus periodicum istius penduli, ut √N × C S ad √P × L. At (per eandem Proposit.) datâ vi gravitatis longitudines pendulorum sunt in duplicata ratione temporum periodicorum; unde crit \[ \frac{N \times C S \times CD}{P \times L} \] vel (pro CS scripto \[ \frac{a^2}{CD} \]) per Cor. Prob. I.) \[ \frac{N \times a^2}{P \times L} \] longitudo penduli cujus vibrationes sunt isochronae vibrationibus Nervi. Ad inveniendam lineam a, sit Curvae abscissa AE = z, & ordinata EF = x, & ipsa Curva AF = v, & CD = b. Tum (per Cor. Prob. I.) crit radius curvaturae in F = \[ \frac{a^2}{x} \] At dato \[ \dot{v} \] est radius curvaturae \[ \frac{\dot{v} \cdot \dot{x}}{z} \]. Unde \[ \frac{a^2}{x} = \frac{\dot{v} \cdot \dot{x}}{z} \]; adeoque; \[ \dot{a} \cdot \dot{z} = \dot{v} \cdot \dot{x} \cdot \dot{x} \]: & sumptis fluentibus \[ \dot{a} \cdot \dot{z} = \frac{\dot{v} \cdot \dot{x} \cdot \dot{x}}{2} - \frac{\dot{v} \cdot \dot{b} \cdot \dot{b}}{2} + \dot{v} \cdot \dot{a} \cdot \dot{a} \] ubi additur data quantitas \[ \dot{v} \cdot \dot{b} \cdot \dot{b} \] \[ \frac{v b^2}{2} + v a a, ut fiat z = v \text{ in puncto medio C.} \] Et hinc peracto calculo erit \( z = \frac{a^2 x - \frac{1}{4} b^2 x + \frac{1}{4} x_2 x}{\sqrt{a^2 b^2 - a^2 x^2 - \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{4} b^2 + \frac{1}{4} b^2 x^2}} \) Evanescant jam b & x respectu a, ut coincidat curva cum axe, & fit \( z = \frac{a x}{\sqrt{b b - x x}} \). At centro C & radio C D = b descripto quadrante circulari D P E, & facto C Q = x, & erectâ normali Q P, atque arcu D P existente y, crit \[ \dot{y} = \sqrt{\frac{b x}{b b - x x}} = \frac{b}{a} \dot{z}. \] Unde \( y = \frac{b}{a} z, \) & \( z = \frac{a}{b} y. \) Et facto \( x = b = C D, \) (quo casu etiam fit \( y = \text{arci quadrantali D P E, } \) & \( z = A D = \frac{1}{2} L \)) erit \( \dot{L} = a \times \frac{D E}{C D}, \) atq; \( a = L \times \frac{C D}{2 D E}. \) Sit ergo C D ad 2 D E (ut diameter circuli ad circumferentiam) ut d ad c; atq; erit \( a a = L L = \frac{d d}{c c}. \) Substituto itaq, hoc valore pro a a, erit \( \frac{N}{P} \times L \times \frac{d d}{c c} \) longitudo penduli isochroni ipsi Nervo. Sit ergo \( D \) longitudo cujus tempus periodicum est 1, atq; erit \( \frac{d}{c} \sqrt{\frac{N}{P} \times \frac{L}{D}} \) tempus periodicum Nervi. Q. E. I. Sunt enim pendulorum tempora periodica in dimidiatâ ratione longitudinum. Cor. 1: Cor. 1. Numerus vibrationum Nervi in tempore unius vibrationis penduli $D$ est $\frac{c}{d} \times \sqrt{\frac{P}{N}} \times \frac{D}{L}$. Cor. 2. Ob datum $\frac{d}{c} \times \sqrt{\frac{1}{D}}$, tempus periodicum Nervi est ut $\sqrt{\frac{N}{P}} \times L$. Et dato pondere $P$ est tempus ut $\sqrt{\frac{N}{P}} \times L$. Item constitutis Nervis ex eodem filo, quo casu fit $N$ ut $L$, est tempus ut $L$.