De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus

PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS. For the Months of January, February, and March, 1711. DE MENSURA SORTIS, SEU; DE Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus. Autore Abr. De Moivre, R. S. S. Nobilissimo Viro Francisco Robartes, Mathematicarum Scientiarum Fautori summo. HORTATU tuo, Vir Nobilissime, Problemata quadam ad Aleam spectantia solvi, principiaque exposui quibus eorum solutio innitatur; nunc autem ea Regalis Societatis iussu in lucem emitto. Hugenius, primus quod sciam regulas tradidit ad istius generis Problematum Solutionem, quas nuperimus autor Gallus variis exemplis pulchre illustravit; sed non videntur viri clarissimi ea simplicitate ac generalitate nisi fuisse quam natura rei postulabat: enim dum plures quantitates incognitas usurpant, ut varias Collusorum conditiones representent, calculum suum nimis perplexum reddunt; dumque Collusorum dexteritatem semper quaerunt, doctrinam banc ludorum intra limites nimis arctos continent. Methodus qua petissimum utor, est Doctrina Combinationum, qua proba intellecta, facilis se prodit Soluto plurium Problematum aliorum difficillimorum; verum huic methodo non ita memet adstrinxii, quin aliquando Series infinitas etiam addibuerim, praesertim ubi prioritas ludendi consideranda venit. Series autem illae vel sponte abruptione, vel summantur exacte, vel ad verum convergunt. Problema tria qua tu, Vir Clarissime, mihi felvenda proposuisti, non sine magna voluptate confeci; si quid laudis, ex his rebus mihi fit accessum, eorum Solutioni, credo, praecipue debetur. Si tibi liceret, per tempus quod in Republica emolum mentum tam utiliter impendis, ea prosequi qua tibi animi obiectandi gratia tentata sunt & felici admodum successu comperta, nihil ad perfectionem hujus Artis adefeceretur; simulque pateret quam singulari ingenii acerrime eminas, quamque hujusmodi contemplationes cum severioribus & majoris momenti studiis minime sint incongrua. Vir Honoratissime, Tui Observantissimus, atque Obsequentissimus, Abr. De Moivre. I p sit numerus casuum quibus eventus aliquis contingere possit, & q numerus casuum quibus possit non-contingere; tam contingentia quam non-contingentia eventus suum habent probabilis gradum: Quod si casus omnes quibus eventus contingere vel non-contingere potest, sint æque faciles; probabilitas contingentia, erit ad probabilitatem non-contingentiae ut p ad q. Si A & B, collusores duo ita de eventibus certent, ut si casus p contingant, A vicerit; sin casus q contingant, B vicerit, atq; sit a summa deposita, fors seu expectatio ipsius A erit $\frac{pa}{p+q}$, fors vero seu expectatio ipsius B erit $\frac{qa}{p+q}$, adeoque si A vel B expectationes suas vendant, æquum est ut pro illis recipient $\frac{pa}{p+q}$ & $\frac{qa}{p+q}$ respective. Si præmium aliquod a proponatur victori concedendum, ita ut si casus p contigerint, præmium concedatur ipsi A, sin vero casus q contigerint, præmium ipsi B concedatur, atque A & B hoc paætum ineant, ut ante eventum, præmium dividatur pro ratione fortium, A debet sumere partem $\frac{pa}{p+q}$, B vero partem $\frac{qa}{p+q}$. Si eventus duo nullo modo ex se invicem pendeant, ita ut p sit numerus casuum quibus eventus primus contingere possit, & q numerus casuum quibus possit non-contingere; & fit r numerus casuum quibus eventus secundus contingere possit, & s numerus casuum quibus possit non-contingere: Multiplicetur $p + q$ per $r + s$, & Produetum Multiplicationis, viz. $pr + qr + ps + qs$ erit numerus casuum omnium quibus contingentia & non-contingentia eventuum inter se variari possunt. Ergo si A & B inter se ita de his eventibus certent, ut A contendat fore ut uterque contingat, ratio fortium erit ut $pr$ ad $qr + ps + qs$. Sed si A contendat fore ut alteruter contingat, ratio fortium erit ut \( pr + qr + ps \) ad \( qs \). Si vero A contendat fore ut eventus primus contingat, secundus autem non contingat, ratio fortium erit ut \( ps \) ad \( pr + qr \) \( - \frac{1}{2} \). Et eodem argumentandi modo, si tres vel plures sint eventus de quibus, A & B certent, ratio fortium invenietur Multiplicatione sola. Si eventus omnes habeant datum numerum casuum quibus contingere possint, & datum itidem numerum casuum quibus possint non-contingere, & sit \( a \) numerus casuum quibus eventus aliquis possit contingere, & \( b \) numerus casuum omnium quibus possit non-contingere, & sit \( n \) numerus eventuum omnium; elevetur \( a + b \) ad potestatem \( n \). Et si A cum B certet ea conditione ut si eventus unus vel plures contigerint, ipse A vicerit; sin nullus, tum B vicerit; ratio fortium erit ut \( a + b^n - bn \) ad \( bn \); etenim terminus unicus in quo \( a \) non reperitur est \( bn \). Si A cum B certet ea conditione, ut si eventus duo vel plures contigerint, A vicerit; sin nullus vel unus, tum B vicerit; ratio fortium erit ut \( a + b^n - bn - nab^{n-1} \), ad \( bn + nab^{n-1} \); Etenim termini duo in quibus \( aa \) non reperitur, sunt \( bn \) & \( nab^{n-1} \); & sic deinceps de caeteris. **PROB. I.** A & B una tessera ludunt, ea conditione, ut si A bis vel pluries, octo jactibus tesserae monada jecerit, ipse A vincat; sin semel tantum, vel non omnino, B vincat; quanam erit ratio fortium? **SOLUTIO** Quoniam est casus unicus quo monas contingere potest, & quinque casus quibus potest non-contingere, fiat \( a = 1 \), & \( b = 5 \). Rursus quoniam sunt octo jactus tesserae, fiat \( n = 8 \), & erit \[ \frac{a + b^n}{b^n - na^{n-1}} \text{ ad } b^n + nab^{n-1} \text{ ut } 663991 \text{ ad } 1015625. \] hoc est, ut 2 ad 3 circiter. **PROB. II.** A & B singulis globis ea conditione certant, ut qui globum proprius ad metam miserit, unum ludum vincat; jam post ludos aliquot peractos, ipsi A desunt ludi 4 quo minus victor abeat, ipsi vero B, 6: at ea est ipsius A in mittendis globis dexteritas, ut fors illius foret ad fortissimam ipsius B ut 3 ad 2, si de unico ludo contenderent; quanam est ratio fortium in casu proposto? **SOLUTIO** Quoniam ipsi A desunt 4 ludi quominus victor abeat, ipsi vero B 6, sequitur fore ut certamen futuris concludatur ludis ad plurimum 9, videlicet summa deficientium ludorum minus unitate; ergo elevetur \( a + b \) ad potestatem nonam, hæc erit, \( a^9 + 9a^8b + 36a^7bb + 84a^6b^3 + 126a^5b^4 + 126a^4b^5 + 84a^3b^6 + 36a^2b^7 + 9ab^8 + b^9 \). Et sumantur pro A termini omnes in quibus \( a \) habet 4 vel plures dimensiones, & pro B termini omnes in quibus \( B \) habet 6 vel plures dimensiones, ergo ratio fortium erit ut \( a^9 + 9a^8b + 36a^7bb + 84a^6b^3 + 126a^5b^4 + 126a^4b^5 + 84a^3b^6 + 36a^2b^7 + 9ab^8 + b^9 \). Exponatur \( a \) per 3, & \( b \) per 2, & habebitur ratio fortium in numeris, videlicet 1759077 ad 194048. Et generaliter, posito quod \( p \) & \( q \) sint numeri deficientium ludorum respective; elevetur \( a + b \) ad potestatem \( p + q - 1 \), & sumantur pro A & B respective tot termini quot ipsis desunt ludi reciproce, hoc est, pro A sumantur tot termini quot sunt unitates in \( q \), pro B vero tot termini quot sunt unitates in \( p \). **PROB.** PROB. III. Si A & B singulis globis ludant, & ea sit ipsius A in mittendis globis dexteritas, ut possit ipsi B duos ludos ex tribus largiri; quaritur quamnam foret ratio sortium si de ludo uno contenderent. SOLUTIO. Sint sortes quæsitæ ut z ad 1, & elevetur z + 1 ad Cubum; hic erit, $z^3 + 3zx + 3z + 1$. Jam cum A possit duos ludos ex tribus ipsi B largiri, A in se id suscipere poterit, ut tres ludos continuos vincat, adeoque sortes hoc in casu erunt ut $x^3$ ad $3zx + 3z + 1$. Ergo $z^3 = 3zx + 3z + 1$. Sive $2z^3 = z^3 + 3zx + 3z + 1$. Ergo $z\sqrt{2} = z + 1$, adeoque $z = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$: Igitur sortes quæsitæ erunt $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ & 1 respective. Et generaliter, si ea sit ipsius A dexteritas, ut possit æquali forte in se suscipere ut n vices continuas vincat, A poterit depone $n\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ contra 1, fore ut semel vincat. PROB. IV. Si A possit aqua sorte unum ex tribus ludis ipsi B largiri, quaritur ratio sortium ipsorum A & B cum de ludo unico contendunt, hoc est requiritur ratio dexteritatum. SOLUTIO Sit ratio dexteritatum ut z ad 1. Si autem A unum ludum ex tribus ipsi B largiatur, ergo suscipit A se ter victurum, priuquam B bis vicerit; elevetur itaque z + 1 ad pote statam quartam, quartam, videlicet, $x^4 + 4x^3 + 6xx + 4x + 1$, ergo ratio fortium erit ut $x^4 + 4x^3$ ad $6xx + 4x + 1$; Ergo cum aqua forte contendant, fiat $x^4 + 4x^3 = 6xx + 4x + 1$; Qua aquatione soluta, obtinebitur $x = 1.6$ prope. Ergo ratio dexteritatum erit circiter ut 8 ad 5. **PROB. V.** _Invenire quotenis tentaminibus futurum sit probabilis eventus ut aliquis contingat, posito quid sint casus a quibus primo tentamine contingere possit, & casus b quibus possit non-contingere, ita ut si A & B de eventu contendant, possint A & B aquae sorte eventum affirmare & negare._ **SOLUTIO.** Sit $x$ numerus tentaminum quibus eventus aliquis possit aequali expectatione contingere vel non-contingere, ergo per jam demonstrata erit $(a + b)^x - bx = bx$, sive $(a + b)^x = 2bx$, ergo $x = \frac{\log_2}{\log_a + \log_b - \log_b}$. Insuper resumatur aquatio $(a + b)^x = 2bx$, & fit $a : b :: 1 : q$, & aquatio migrat in istam, $1 + \frac{1}{q}x^2$. Elevetur $1 + \frac{1}{q}$ ad potestatem $x$, ope Theorematis Neutonianii, & fiet $1 + \frac{x}{q} + \frac{x}{1} \times \frac{x-1}{2q} + \frac{x}{1} \times \frac{x-1}{2} \times \frac{x-2}{3q^3}$ &c. = 2. In hac aquatione si fit $q = 1$, erit $x = 1$; si $q$ fit infinita, erit $x$ infinita. Sit $x$ infinita, ergo aquatio superior fiet, $1 + \frac{x}{q} + \frac{x}{2q} + \frac{x}{6q^3}$ &c. = 2. Iterum fit $\frac{x}{q} = z$, & erit $1 + z + \frac{1}{2}zz + \frac{1}{6}z^3$ &c. = 2. Sed $1 + z + \frac{1}{2}zz + \frac{1}{6}z^3$ &c. est numerus cujus Logarithmus Hyperbolicus est $z$, ergo $z = \log_2$. Sed Logarithmus Hyperbolicus ipsius 2 est .7 proxime, ergo $z = .7$ proxime. F f Igitur Igitur ubi \( q \) est 1, erit \( x = 1q \); & ubi \( q \) est infinita, erit \( x = .7q \) proxime. Jam ergo definitivimus limitas arctissimos intra quos ratio \( x \) ad \( q \) consistet, eterim ratio illa orditur ab æqualitate, & cum ad infinitum est proiecta, desinit tandem in ratione 7 ad 10 proxime. **EXEMP. I.** _Inveniendum sit quotenis jactibus A suscipere in se posse, ut duas monadas duabus tessellis jaciat._ **SOLUTIO.** Quoniam \( A \) habet casum unicum quo duas monadas jacere possit, & 35 quibus illas non jaciat, erit \( q = 35 \); Multiplicetur igitur 35 per .7, & productum 24.5 indicabit numerum jactuum quæsitum fore inter 24 & 25. **EXEMP. II.** _Inveniendum sit quotenis jactibus A suscipere in se posse, ut tres monadas tribus tessellis jaciat._ **SOLUTIO.** Quoniam \( A \) habet casum unicum quo monadas tres, tribus tessellis jacere possit, & casus 215 quibus illas non jaciat; Multiplicetur 215 per .7, & productum 150.5 indicabit numerum jactuum quæsitum fore inter 150 & 151. **LEMMA.** _Invenire numerum casuum quibus datus punctorum numerus dato tessellarum numero, jaci posse._ **SOLUTIO.** Sit \( p + 1 \) datus punctorum numerus, \( n \) numerus tessellarum, \( f \) numerus facierum in tessera: fiat \( p - f = q \), \( q - f = r \), \( r - f \) \( x - f = s, \quad s - f = t, \quad \text{etc.} \) Numerus casuum quæstus est, \[ + \frac{p}{1} \times \frac{p-1}{2} \times \frac{p-2}{3} \quad \text{etc.} \] \[ - \frac{q}{1} \times \frac{q-1}{2} \times \frac{q-2}{3} \quad \text{etc.} \times \frac{n}{1}. \] \[ + \frac{r}{1} \times \frac{r-1}{2} \times \frac{r-2}{3} \quad \text{etc.} \times \frac{n}{1} \times \frac{n-1}{2}. \] \[ - \frac{s}{1} \times \frac{s-1}{2} \times \frac{s-2}{3} \quad \text{etc.} \times \frac{n}{1} \times \frac{n-1}{2} \times \frac{n-2}{3}. \] \[\text{etc.}\] Quam seriem continuari oportebit, donec aliqui factorum sint vel æquales nihilo, vel negativi. N.B. Tot factores singulorum productorum, \( \frac{q}{1} \times \frac{p-1}{2} \times \frac{p-2}{3} \) \[\text{etc.} \quad \frac{r}{1} \times \frac{r-1}{2} \times \frac{r-2}{3} \quad \text{etc.} \quad \frac{s}{1} \times \frac{s-1}{2} \times \frac{s-2}{3} \quad \text{etc.} \sum \text{endi sunt, quot sunt unitates in } n - 1.\] **PRAXIS** Requiratur, v.g. numerus casuum, quibus 16 puncta 4 tesserae jaci possint. \[ + \frac{15}{1} \times \frac{14}{2} \times \frac{13}{3} = + 455 \] \[ - \frac{9}{1} \times \frac{8}{2} \times \frac{7}{3} \times \frac{4}{1} = - 336 \] \[ + \frac{3}{1} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{1} \times \frac{3}{2} = + 6 \] Jam 455 - 336 + 6 = 125. Ergo 125 est numerus casuum quæstus. Requiratur numerus casuum quibus 15 puncta 6 tesserae jaci possint. \[ + \frac{14}{1} \times \frac{13}{2} \times \frac{12}{3} \times \frac{11}{4} \times \frac{10}{5} = + 2002 \] \[ - \frac{8}{1} \times \frac{7}{2} \times \frac{6}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{1} = - 336 \] Jam 2002 - 336 = 1666 numerus casuum quæstus. Requiratur... Requiratur numerus casuum quibus 27 puncta 6 tesseris jaci possint. \[ + \frac{26}{1} \times \frac{25}{2} \times \frac{24}{3} \times \frac{23}{4} \times \frac{22}{5} = + 65780 \] \[ - \frac{20}{1} \times \frac{19}{2} \times \frac{18}{3} \times \frac{17}{4} \times \frac{16}{5} \times \frac{6}{1} = - 93024 \] \[ + \frac{14}{1} \times \frac{13}{2} \times \frac{12}{3} \times \frac{11}{4} \times \frac{10}{5} \times \frac{6}{1} \times \frac{5}{2} = + 30030 \] \[ - \frac{8}{1} \times \frac{7}{2} \times \frac{6}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{6}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = - 1120 \] Jam 65780 - 93024 + 30030 - 1120 = 1666 numerus casuum quaestus. COROLLARIUM. Puncta omnia æqualiter ab extremis distantia habent eundem numerum casuum quibus producuntur, adeoque si numerus punctorum datus vicinior sit majori extremo quam minori, subtrahatur numerus iste. ex summa extremorum, & inveniatur numerus casuum quibus residuus numerus producatur, & fiet operatio brevior. EXEMP. III. Invenire quotenis jactibus A suscipere in se posse ut 15 puncta 6 tesseris jaciat. SOLUTIO. Quoniam A habet casus 1666 quibus jacere possit 15 puncta, & 44990 quibus illa non jaciat, dividatur 44990 per 1666, & quotus 27 erit = q. Ergo multiplicetur 27 per .7, & productum multiplicationis 18.9 indicabit numerum jactuum quaestum esse 19 fere. PROB. PROB. VI. Invenire quotenis tentaminibus futurum sit probabile, ut even- tus aliquis bis contingat, posito quod sint casus a quibus prime tentamine contingere possit, & casus b quibus possit non-con- tingere; ita ut si A & B de eventu contendant, possint A & B æqua sorte eventum affirmare & negare. SOLUTIO Sit \( x \) numerus tentaminum, ergo per jam demonstrata patebit fore \( a + bx = 2b^x + 2axb^{x-1} \). Sive faciendo \( a : b :: 1 : q \), \( 1 + \frac{1}{q} \) \( x = 2 + \frac{2x}{q} \). 1°. Sit \( q = 1 \), & erit \( x = 3 \). 2°. Sit \( q \) infinita, & erit \( x \) infinita: Pone \( x \) infinitam, & \( \frac{x}{q} = z \), & erit \( 1 + z + \frac{1}{z}z^2 + \frac{1}{z}z^3 \), &c. \( = 2 + 2z \), adeoque \( z = \text{Log. } 2 \) + Log. \( \frac{1}{1+z} \); jam si Log. 2 vocetur \( y \), æquatio ista in hanc Fluxionalem transformabitur \( \frac{zz}{1+z} = y \). Si autem valor ipsius \( z \) investigetur per Potestates ipsius \( y \), invenietur \( z = 1.678 \) proxi- me, ergo \( x \) semper consistet intra limites \( 3q \) & \( 1.678q \); sed \( x \) citissime converget ad \( 1.678q \), adeoque si \( q \) ad 1 habuerit ratio- nem non adeo parvam, poterit assumi \( x = 1.678q \). Si vero sit aliqua suspicio ne \( x \) sit justo minor, substituatur ipsius valor in æquatione \( 1 + \frac{1}{q} \) \( x = 2 + \frac{2x}{q} \), & notetur error, si quis sit notatus dignus, tunc augeatur \( x \) aliquantulum, & substituatur valor sic auëtus pro \( x \) in prædicta æquatione, & notetur novus error, & ope duorum errorum, valor ipsius \( x \) poterit satis accurate corrigi. G g EXEMP. EXEMP. I. Inveniendum sit quotenis vicibus, A in se suscipere possit, ut tres monadas, tribus tesseris bis jaciat. SOLUTIO. Quoniam A casum habet unicum quo tres monadas jaciat, & 215 quibus illas non jaciat, erit \( q = 215 \): Ergo multiplicetur 215 per 1.678, & productum multiplicationis 360.7 indicabit numerum jactuum quaestum, fore inter 360 & 361. EXEMP. II. Inveniendum sit quotenis vicibus, A in se suscipere possit ut 15 puncta, 6 tesseris bis jaciat. SOLUTIO. Quoniam A habet casus 1666 quibus jacere possit 15 puncta, & 44990 quibus illa non jaciat; dividatur 44990 per 1666, & quotus 27 erit \( = q \): Ergo multiplicetur 27 per 1.678, & productum multiplicationis 45.3, indicabit numerum jactuum quaestum, fore inter 45 & 46. PROB. VII. Invenire quotenis tentaminibus faturum sit probabile, ut eventus aliquis, ter, quater, quinquies, &c. contingat, posito quod sint casus a quibus primo tentamine contingere possit, & casus b quibus possit non-contingere. SOLUTIO. Sit \( x \) numerus tentaminum quaestus, & ex jam demonstratis si dextripleci eventu contendatur, facto \( a : b :: 1 : q \), erit \[ \frac{1 + \frac{1}{q}}{x} = 2 \times 1 + \frac{x}{q} + \frac{x}{1} \times \frac{x-1}{2q} \cdot \text{Si de quadruplici,} \] \[ \frac{1 + \frac{1}{q}}{x} = 2 \times 1 + \frac{x}{q} + \frac{x}{1} \times \frac{x-1}{2q} + \frac{x}{1} \times \frac{x-1}{2} \times \frac{x-2}{3q} \cdot \text{Et continuatio illarum aequationum est manifesta. Jam in priori aequatione, si fit } q = 1, \text{ erit } x = 5q; \text{ si vero } q \text{ fit infinita, vel ad unitatem habuerit rationem fatis magnam, aequatio praedicta, ponendo } \frac{x}{q} = z, \text{ migrabit in istam } z = \log_2 + \log_1 + z + \frac{1}{2}z^2, \text{ vel in istam Fluxionalem posito } \log_2 = y, \frac{\frac{1}{2}z^2}{1 + z + \frac{1}{2}zz} = \dot{y}, \text{ ubi reperietur } z = 2.675 \text{ proxime; ergo } x \text{ semper consistet intra } 5q & 2.675q. In aequatione posteriori, si q fit = 1, erit x = 7q; si vero x fit infinita, vel ad unitatem habuerit rationem fatis magnam, erit z = \log_2 + \log_1 + z + \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{3}z^3, \text{ vel } \frac{\frac{1}{2}z^2}{1 + z + \frac{1}{2}zz + \frac{1}{3}z^3} = \dot{y}, \text{ ubi reperietur } z = 3.6719q \text{ proxime; & par est ratio omnium sequentium, & limites semper approximant ad rationem numeri binarii ad unitatem.} **TABELLA LIMITUM.** Si de eventu simplici contendatur, numerus tentaminum erit intra | Si de duplici, intra | 1q & 0.693q | |----------------------|-------------| | Si de triplici, intra | 3q & 1.678q | | Si de quadruplici, intra | 5q & 2.675q | | Si de quintuplici, intra | 7q & 3.6719q | | Si de sextuplici, intra | 9q & 4.679q | Si de pluribus, quorum numerus fit n, contendatur; modo n & q ad unitatem habuerint rationem fatis magnam, conjectura de numero tentaminum non multum a vero aberrans facile fiet, ponendo numerum tentaminum = \frac{m - 1}{2}q. Etenim x cito converget ad limitem minorem. **PROB.** PROB. VIII. Tres collusores A, B, C, singulis globis certant, ea condizione ut qui primus datum ludorum numerum vicerit depositum lucretur; jam post ludos aliquot peractos, defunt ipsi A, 1; ipsi B, 2; ipsi C, 3 ludi; rationes vero dexteritatum sunt ut a, b, c respective, quaeritur ratio expectationum. SOLUTIO Elevetur $a + b + c$ ad potestatem quartam (et enim 4 ad plurimum ludis certamen necessario concludetur) hæc erit, $$a^4 + 4a^3b + 6a^2bb + 4ab^3 + b^4 + 4a^3c + 12aabc + 6aacc + 12abcc + 6bbcc + 4ac^3 + c^4.$$ Termini $a^4 + 4a^3b + 12aabc + 4a^3c + 12abcc$, ubi $a$ ad dimensionem æque altam ac est numerus ludorum ipsi A desideratus, vel altiorum ascendit; & ubi $b$ & $c$ ad pauciores dimensiones, quam sunt numeri ludorum ipsis B & C desiderati, ascendunt; componunt partem expectationis ipsius A. Eodem modo termini $b^4 + 4bc^3 + 6bbcc$ componunt partem expectationis ipsius B. Et termini $4bc^3 + c^4$ componunt partem expectationis ipsius C: Reliqui omnes termini sunt communes, & ita dividì debent, ut partes illæ omnes quæ favent uni colluforum illi ipsi tribuantur. Jam cum ipsi A desit 1 ludus, ipsi B 2, ipsi C 3, partes illæ omnes in quibus $a$ dimensionem 1am vel altiorum affecutus fuerit, priusquam $b$ 2am & $c$ 3am affecuti fuerint, ipsi A favent; & eadem est ratio partium quæ ipsis B & C favent, adeoque si terminus $6aabb$ in partes suas $aabb$, $abab$, $abba$, $baab$, $baba$, $bbaa$, sit divisus, partes 5 priores, ipsi A sunt tribuenda pars unica posterior ipsi B; ergo jam $5aabb$ addi debet expectationi ipsius A, & $1aab$ expectationi ipsius B. Si terminus $4ab^3$ in partes suas $abbb$, $bab$, $bbab$, $bbba$, sit divisus, pars prima & secunda favent ipsi A, pars tertia & quarta favent ipsi B, adeoque $2ab^3$ utrique est tribuenda. Si terminus $12abbc$ in partes partes suas sit divisus partes 8 ipsi A, partes vero 4 ipsi B sunt tribuendae si terminus $4ac^3$ in partes suas sit divisus, partes 3 ipsi A sunt tribuendae, pars vero unica ipsi C, adeoque expectationes totales. jam erunt 1a. $a^2 + 4ab + 5aabb + 2ab^3 + 12aabc + 4a^3c + 6aacc + 8abbc + 3ac^3$. 2a. $b^4 + 4b^3c + 6bbcc + aabb + 2ab^3 + 4abbc$. 3a. $4bc^3 + ac^3 + c^4$. Sit $n$ numerus deficientium ludorum, $p$ numerus collusorum, rationes expectationum ut $a, b, c, d$, &c. elevetur $a + b + c + d$, &c. ad potestatem $n + 1 - p$, &c eodem modo procedatur. **PROB. IX.** A & B assumentes uterque 12 nummos, ludunt tribus tesseris, hac conditione, ut si 11 puncta jaciantur, A tradat unum nummum ipsi B, at si 14 puncta jaciantur, B tradat unum nummum ipsi A, & ut ille ludum victurus sit qui primus nummos habuerit omnes: Quæritur ratio fortis ipsius A ad sortem ipsius B. **SOLUTIO.** Sit $p$ numerus nummorum quos uterque singulatim assumit, sint $a$ & $b$ numerus casuum quibus A & B respective nummum unum obtinere posseant, & ratio fortium erit ut $ap$ ad $bp$; hoc in casu est $p = 12$, $a = 27$, $b = 15$; sive cum sit $27 : 15 :: 9 : 5$, fiat $a = 9$, $b = 5$, adeoque ratio expectationum erit ut $9^{12}$ ad $5^{12}$, sive ut $244140625$ ad $282429536481$ quam Hugenius fore afferuit. **SOLUTIO GENERALIOR.** Sit $p$ numerus nummorum ipsius A, $q$ vero numerus nummorum ipsius B; & A in se suscipiat ut prius nummos $q$, quam B nummos \( p \) lucretur, erunt fortæ ut \( a^q \times a^p - b^p \), ad \( b^p \times a^q - b^q \). Fingatur enim A nummos habere E, F, G, H, &c. quorum numerus \( p \); & B nummos habere I, K, L, &c. quorum numerus \( q \); fingatur insuper, valorem cujuslibet nummi esse ad valorem sequentis ut \( a \)-ad \( b \), ita ut E, F, G, H, I, K, L, sint in progressione Geometrica; his ita positis, poterunt A & B qualibet vice deponere nummos quorum valor sit proportionalis numero casuum quibus alter alterum vincere possit; etenim prima vice poterit A deponere H, B vero I; at H ad I ex hypothese est ut \( a \) ad \( b \); ergo jam A & B æquali condizione certant; si vicerit A, poterit ille deponere I, B vero K; sed I ad K ex Hypothese est ut \( a \) ad \( b \); si B vicerit, poterit A deponere G, B vero H, quorum ipsorum G & H ratio est ut \( a \) ad \( b \), & sic deinceps. Ergo quamdiu A & B certant, semper certant æquali condizione: Igitur eorum expectationes sunt inter se ut summa terminorum E, F, G, H, &c. quorum numerus est \( p \), ad summam terminorum I, K, L, quorum numerus est \( q \); hoc est, ut \( a^q \times a^p - b^p \) ad \( b^p \times a^q - b^q \), quod facile constabit, si summentur progressionis istæ Geometricæ: Jam posito, quemlibet nummum esse ad sequentem ut \( a \) ad \( b \), non exinde mutantur probabilitates vincendi, ergo posito, valorem nummorum esse æqualem, probabilitates vincendi, seu fortæ ipsorum A & B etiamnum erunt in illa ipsa ratione quam determinavimus. Maxime cavendum est ne Problemata propter speciem aliquam affinitatis inter se confundantur. Problema sequens videtur affine superiori. PROB. PROB. X. C assumptis 24 calculis, tres tesseras jaciat; jam quoties 27 puncta jecerit, tradat calculum unum ipsi A, quoties vero 14 puncta jecerit, tradat calculum unum ipsi B, at A & B hoc pacto certent, ut qui prior calculos 12 habuerit, depositum obtineat; queritur ratio expectationum. Problema igitur a superiori in hoc differt, quod 23 ad plurimum tessarum jactibus, ludus necessario finietur; cum ludus ex lege superioris problematis, posset in aeternum continuari, propter reciprocationem lucri & jacturae se invicem perpetuo destruentium. SOLUTIO. Elevetur \( a + b \) ad potestatem 23am, & termini 12 priores erunt ad 12 posteriores, ut expectatio ipsius A ad expectationem ipsius B. PROB XI. Tres collusores A,B,C, assumentes duodecim calculos, quorum 4 albi, & 8 nigri sint, ludant hac conditione, ut qui primus ipsorum, velatis oculis, album calculum elegit, vincat; & ut prima electio sit penes A, secunda penes B, tertia penes C; & tum sequens rursus penes A, & sic deinceps ordine: Queritur quamnam futura sit ratio sortium ipsorum A,B,C. SOLUTIO. Sit \( n \) numerus calculorum omnium, \( a \) numerus alborum, \( b \) numerus nigrorum, \( i \) summa deposita, seu praemium victori concedendum. 1°. A 1°. A habet casus \(a\) quibus album, & casus \(b\) quibus nigrum eligat, adeoque ejus expectatio ex prima electione oriunda est \(\frac{a}{a+b}\) live \(-\frac{a}{n}\). Igitur si \(\frac{a}{n}\) ex 1 subtrahatur, valor residuarum expectationum erit \(1 - \frac{a}{n} = \frac{n-a}{n} = \frac{b}{n}\). 2°. B habet casus \(a\) quibus album, & casus \(b - 1\) quibus nigrum eligat; sed prima electio est penes A, & incertum est utrum ille victurus sit nec ne, adeoque praemium respectu iplius B non est 1, sed tantummodo \(\frac{b}{n}\), igitur illius expectatio ex secunda electione oriunda est \(\frac{a}{a+b-1} \times \frac{b}{n} = \frac{ab}{n \times n-1}\) Subtrahatur \(\frac{ab}{n \times n-1}\) ex \(\frac{b}{n}\), & valor residuarum expectatio num erit \(\frac{nb - b - ab}{n \times n-1} = \frac{b \times b - 1}{n \times n-1}\). 3°. C habet casus \(a\) quibus album, & casus \(b - 2\) quibus nigrum eligat, adeoque ejus expectatio ex tertia electione est \(\frac{a \times b \times b - 1}{n \times n-1 \times n-2}\) 4°. Eodem modo A habet casus \(a\) quibus album, & casus \(b - 3\) quibus nigrum eligat, adeoque ejus expectatio ex quarta electione erit \(\frac{a \times b \times b - 1 \times b - 2}{n \times n-1 \times n-2 \times n-3}\) Et sic deinceps de caeteris. Scribatur ergo series \[\frac{a}{n} + \frac{b}{n-1} P + \frac{b-1}{n-2} Q + \frac{b-2}{n-3} R + \frac{b-3}{n-4} S &c.\] ubi P, Q, R, S, &c. denotant terminos praecedentes cum suis signis; &c. tumantur tot termini hujus seriei quor sunt unitates in \(b + 1\) (et enim non plures erunt electiones quam sunt unitates in \(b + 1\)) Et summa posteriorum omnium, intermissis binis, terminorum, inci- incipiendo ab $\frac{a}{n}$, erit tota expectatio ipsius A, summa tertiorum itidem omnium incipiendo a $\frac{b}{n-1}$ P, erit tota expectatio ipsius B; summa tertiorum omnium incipiendo a $\frac{b-1}{n-2}$ Q, erit tota expectatio ipsius C. Si plures sint collusores, A, B, C, D, &c. sive calculum unum, sive plures, sive eundem calculorum numerum, sive diversum unaquaque vice elegentur, illorum expectationes, ope praecedentis feriei, facili negotio itidem determinabuntur. Sed ut ad casum in Problemate propotitum revertamur, fiat $a = 4$, $b = 8$, $u = 12$, & series generalis jam in istam migrabit, $\frac{4}{7} + \frac{3}{7}P + \frac{2}{7}Q + \frac{5}{7}R + \frac{6}{7}S + \frac{7}{7}T + \frac{8}{7}V + \frac{9}{7}X + \frac{10}{7}Y$. Sive in alteram istam (multiplicando terminos omnes per numerum istum qui tollendis fractionibus magis idoneus judicabitur, nempe hoc in caso per 450) $115 + 120 + 84 + 56 + 35 + 20 + 14 + 4 + 1$. adeoque tribuantur ipsi A, $115 + 56 + 10 = 231$; ipsi B, $120 + 35 + 4 = 159$; ipsi C, $84 + 20 + 1 = 105$. Adeoque expectationes erunt ut 231, 159, 105; sive ut 77, 53, 35. COROLLARIUM Si numerus casuum quibus A, B, C, vel collusores quotunque vincere possunt, tandem aliquando exhaustur, expressiones formiam erunt finitae. I i PROB PROB. XII. Si collusores tres, A, B, C, vicibus suis Dodecaedron 4 albis faciebus, & 8 nigris, jaciant, ea conditione ut qui primus faciem albam jecerit, vincat; quaeritur ratio expectationum. SOLUTIO. Ratiocinia circa hanc Propositionem eadem sunt atque illa quibus uti sumus in praecedenti; sed cum jaetus Dodecaedri nihil detrahant de numero facierum, pro $b^1$, $b^2$, $b^3$, $b^4$, &c. $n^1$, $n^2$, $n^3$, $n^4$, &c. substituantur $b$ & $n$ respective, & series praecedentis Problematis evadet: $$\frac{a}{n} + \frac{ab}{n^2} + \frac{abb}{n^3} + \frac{ab^3}{n^4} + \frac{ab^4}{n^5} + \frac{ab^5}{n^6} &c.$$ qua feries in infinitum est continuanda. Et sumendo tertios quosque terminos, expectationes erunt $$\frac{a}{n} + \frac{ab}{n^2} + \frac{ab^2}{n^3} &c.$$ $$\frac{ab}{n^2} + \frac{ab^2}{n^3} + \frac{ab^3}{n^4} &c.$$ $$\frac{ab^2}{n^3} + \frac{ab^3}{n^4} + \frac{ab^4}{n^5} &c.$$ Sed termini ex quibus expectationes singulae componuntur sunt in progressionem geometricam, & ratio cujuslibet termini ad sequentem eadem est in singulis seriebus, nempe ut $n^3$ ad $b^3$; ergo summae serierum sunt ut primi serierum termini, nempe ut $\frac{a}{n}$, $\frac{ab}{nn}$, $\frac{abb}{n^3}$, sine ut $nn$, $bn$, $bb$. Hoc est, in caso istius Problematis, ut 9, 6, 4. COROLLARIUM. Si plures sint collusores, A, B, C, D, &c. iisdem conditionibus ac supra certantes, sumantur tot termini in ratione $n$ ad $b$, quot sunt collusores, & termini illi denotabunt expectationes collusorum respective. PROB. PROB. XIII. A & B ludant binis tesseris, hac conditione, ut A vincat si punctum senarium jecerit; B, si septenarium. A primo jactum unum instituat, deinde B duos jactus simul; tum rursus A duos jactus, atque sic deinceps, donec hic vel ille victor evadat: Quæritur ratio fortis ipsius A, ad fortem ipsius B. SOLUTIO. Ponatur \(a\) numerus casuum quibus A vincere possit, \& \(b\) numerus casuum quibus B vincere possit, \(n\) numerus variationum in tesseris datis; sit insuper \(n - a = d\), \& \(n - b = e\); sit etiam \(r\) praemium victori concedendum. 1°. A habet casus \(a\) quibus vincere possit, \& casus \(n - a\) quibus non vincat, adeoque illius expectatio ex primo jactu oriunda est \(\frac{a}{n}\); igitur si \(\frac{a}{n}\) ex \(r\) subtrahatur, valor residuarum expectationum erit \(1 - \frac{a}{n} = \frac{n-a}{n} = \frac{d}{n}\). 2°. Si B ad jactum suum perveniat, ejus expectatio ex jactu ipsius oriunda, erit \(\frac{b}{n}\); sed quoniam incertum est utrum ille ad jactum suum fit perventurus nec ne, expectatio \(\frac{b}{n}\) minuenda est in ratione \(d\) ad \(n\); Etenim praemium illius respectu, non \(r\), sed tantummodo \(\frac{d}{n}\) censendum est, adeoque expectatio ipsius B priusquam A jactum suum instituat, erit \(\frac{bd}{nn}\); subtrahatur \(\frac{bd}{nn}\) ex \(\frac{d}{n}\), \& valor residuarum expectationum erit \(\frac{d}{n} - \frac{bd}{nn} = \frac{ed}{nn}\). 3°. Eodem argumentandi modo, expectatio ipsius B huic novissima deinceps subsequens, est \(\frac{bed}{nn}\). 4°. Et 4°. Et expectatio ipsius A huic subsequens, est $\frac{aeed}{n^4}$. 5°. Et expectatio ipsius A huic demum subsequens est $\frac{aeedd}{n^5}$. Et sic deinceps de caeteris; adeoque erunt **Expectationes omnes ipsius A** $$\frac{a}{n} + \frac{aeed}{n^4} + \frac{aeedd}{n^5} + \frac{ae^4d^3}{n^8} + \frac{ae^4d^4}{n^9} + \frac{ae^6d^5}{n^{12}} + \frac{ae^6d^6}{n^{13}} &c.$$ Jam seposito parumper primo termino $\frac{a}{n}$, columna prima perpendicularis constituit progressionem geometricam infinite decrescéntem, cujus summa est $\frac{deed}{n^4-eeed}$. Resumatur primus terminus $\frac{a}{n}$, isque addatur summa progressionis, & aggregatum erit $\frac{naeed + an^4 - aeedd}{n \times n^4 - eeed}$. Columna secunda constituit progressionem alteram Geometricam, cujus summa est $\frac{aeedd}{n \times n^4 - eeed}$. Summa igitur expectationum ipsius A est $\frac{aeed + an^3}{n^4 - eeed}$. **Expectationes omnes ipsius B** $$\frac{bd}{nn} + \frac{bed}{n^3} + \frac{beed^3}{n^6} + \frac{be^3d^3}{n^7} + \frac{be^4d^5}{n^{10}} + \frac{be^5d^5}{n^{11}} &c.$$ Summa Samma primae columnæ est \( \frac{bdnn}{n^4 - eedd} \); Summa secundæ columnæ est \( \frac{bden}{n^4 - eedd} \); Adeoque summa expectationum ipsius B erit \( \frac{bdnn + bden}{n^4 - eedd} \). Ergo ratio expectationum erit, ut \( aeed + an^3 \) ad \( bdnn + bden \). Si pro \( a, b, n, d, e \), scribantur 5, 6, 36, 31, 30, respective, exprimetur ratio qualita in numeris, nempe ut 10355 ad 12276. COROLLARIUM. Si numerus casuum quibus collusores vincere possunt, numquam exhaustiatur, adeo ut ludus possit in infinitum continuari, ita tamen ut collusores, propter istam continuationem, ponantur aliquando in illud circumstantiis in quibus antea fuerunt; expressiones fortium finitæ erunt. PROB. XIV. Assumptis 12 calculis, 4 albis, & 8 nigris, certet A cum B fore ut velatis oculis, si 7 calculos exemerit, eorum 3 albi, sint futuri: Queritur ratio expectationis ipsius A ad expectationem ipsius B. SOLUTIO. 1°. Inveniantur casus omnes quibus 7 calculi ex 12 eximi possint; casus erunt 792, ut patet ex Doctrina combinationum. \[ \frac{12}{1} \times \frac{11}{2} \times \frac{10}{3} \times \frac{9}{4} \times \frac{8}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{6}{7} = 792. \] 2°. Seponantur 3 albi, & inveniantur casus omnes quibus 4 nigri ex 8 iis adjungi possint; casus illi erunt 70. \[ \frac{8}{1} \times \frac{7}{2} \times \frac{6}{3} \times \frac{5}{4} = 70. \] Quoniam autem 4 sunt casus quibus 3 albi ex 4 possint eligi, multiplicetur 70 per 4, adeoque casus erunt 280, quibus 3 albi cum 4 nigris possint eximi. 3°. Ex lege ludorum, ille qui in se suscipit ut effectum aliquem producat, etiamnum victor censetur, si effectum pluries produxerit quam in se susceperit, nisi contrarium expresse fit cautum, adeoque si 4 albi cum 3 nigris eximantur, A victor cenfendus erit; Igitur feponantur 4 albi, & inveniantur casus omnes quibus 3 nigri ex 8, 4 albis adjungi possint; casus illi erunt 56. \[ \frac{3}{1} \times \frac{7}{2} \times \frac{6}{3} = 56. \] 4°. Igitur A casus habet 280 + 56 = 336, quibus victor evadat: Subtrahantur casus illi ex 792, & casus residui erunt 456 quibus B victor evadere possit: Ergo ratio fortis ipfius A, ad fortem ipsum B, erit ut 336 and 456, five ut 14 ad 19. **GENERALITER.** Sit \( n \) numerus calculorum omnium, \( a \) numerus alborum, \( b \) numerus nigrorum, \( c \) numerus quem A eximat; & erit **Numerus Casuum omnium** \[ \frac{n}{1} \times \frac{n-1}{2} \times \frac{n-2}{3} \times \frac{n-3}{4} \times \frac{n-4}{5} \times \frac{n-5}{6} \&c. \text{ quae series continuari debet ad tot terminos quot sunt unitates in } c. \] **Numerus casuum quibus A calculos \( c \) eximere poteft absque ullo albo** \[ \frac{b}{1} \times \frac{b-1}{2} \times \frac{b-2}{3} \times \frac{b-3}{4} \times \frac{b-4}{5} \times \frac{b-5}{6} \&c. \] **Numerus casuum quibus A calculum unum album eximere poteft** \[ \frac{b}{1} \times \frac{b-1}{2} \times \frac{b-2}{3} \times \frac{b-3}{4} \times \frac{b-4}{5} \&c. \times \frac{a}{1} \] Numerus casuum quibus A calculos duos albos eximere potest \[ \frac{A}{1} \times \frac{b-1}{2} \times \frac{b-2}{3} \times \frac{b-3}{4} &c. \times \frac{a}{1} \times \frac{a-1}{2}. \] Numerus casuum quibus A calculos tres albos eximere potest \[ \frac{b}{1} \times \frac{b-1}{2} \times \frac{b-2}{3} &c. \times \frac{a}{1} \times \frac{a-1}{2} \times \frac{a-2}{3}. \] Numerus casuum quibus A calculos quatuor albos eximere potest \[ \frac{A}{1} \times \frac{b-1}{2} &c. \times \frac{a}{1} \times \frac{a-1}{2} \times \frac{a-2}{3} \times \frac{a-3}{4}. \] Et sic deinceps. **PROB. XV.** A, B, C, tres collusores, quorum dexteritas sint aequales, deponant singuli 1, & istis conditionibus certent; 1°. Ut illorum duo ludum incipient; 2°. Ut victus locum suum tertio cedat, ita ut ille tertius jam cum victore contendat, qua conditio in posterum semper sit observanda; 3°. Ut victas semper multeuer summa P qua deposito augendo inseriat; 4°. Ut ille depositum sic gradatim auctum, totum obtineat, qui alteros duos successve vicerit. Queritur quanto melior vel deterior sit fors ipsorum A & B, quos ludum insipere ponimus, quam ipsius C. **SOLUTIO.** Ponatur ludum in infinitum continuari posse, hoc pacto. A vincit B C vincit A B vincit C Depositum A vincit B C vincit A B vincit C A vincit B C vincit A B vincit C &c. Sit R spectator aliquis, qui postquam A vicerit B semel, rogat A an velit summas quas se obtenturum sperat ipsi vendere, &c. quanti illas æstimet, cui A annuens respondeat. Cum jam vicerim B, est mihi æqua fors utrum obtineam vel non obtineam $3 + 2p$, adeoque summa ista valet $\frac{3 + 2p}{2}$. Si jam acciderit ut C me vincat, sed tamen vices meæ certandi cum C revertantur, erit tunc mihi fors æqua utrum obtineam, vel non obtineam $3 + 5p$, adeoque expectatio vincendi ipsum C tunc temporis valebit $\frac{3 + 5p}{2}$. Sed cum sint 7 adversus 1 fore ut vices illæ non revertantur (etenim C vincere me debet, B vincere C, ego B rursus,) summa ista quam me obtenturum spero valet $\frac{3 + 5p}{2 \times 8}$. Ad eundem modum, A computatione rursus inita deprehenderet, valorem deinceps summae quam se obtenturum sperat, esse $\frac{3 + 8p}{2 \times 8 \times 8 \times 8}$. Et sequentis $\frac{3 + 11p}{2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8}$. Et sic in infinitum. R com- R computationem hanc justam esse comperiens, pendat ipsi A summam, $\frac{3+2p}{2}$, $\frac{3+5p}{2\times8}$, $\frac{3+8p}{2\times8\times8}$, $\frac{3+11p}{2\times8\times8\times8}$, &c. qua ope sequentis Theorematis in summam unam redigantur. **THEOREMA.** $$\frac{n}{b} + \frac{n+d}{bb} + \frac{n+2d}{b^3} + \frac{n+3d}{b^4} &c. ad inf. = \frac{n}{b-1} + \frac{d}{b-1}. $$ Distinguatur series $\frac{3+2p}{2}$, $\frac{3+5p}{2\times8}$ &c. in partes duas $$\frac{3}{2} \times 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8\times8} + \frac{1}{8\times8\times8} + \frac{1}{8\times8\times8\times8} &c. $$ $$+ \frac{p}{1} \times 2 + \frac{5}{8} + \frac{9}{8\times8} + \frac{11}{8\times8\times8} + \frac{14}{8\times8\times8\times8} &c. $$ Pars 1a constituit progressionem geometricam, cujus summa est $\frac{12}{7}$. Pars 2a sepositis communi multiplicatore $\frac{p}{2}$, & termino primo 2, summatur per Theorema praemissum, & fit $\frac{5}{7} + \frac{3}{49} = \frac{38}{49}$, cui jam addito primo 2, summa erit $\frac{136}{49}$, qua multiplicata per $\frac{p}{2}$, productum $\frac{68}{49}p$, exhibebit summam secundae seriei. Ergo R pendet ipsi A $\frac{12}{7} + \frac{68}{49}p$. Eodem modo R ad B se convertens, illum roget utrum velit summam quas ille se obtenturum sperat, ipsi vendere, cui B assentiens, & eadem innixus ratione qua ipsi A, requirat summam $\frac{3}{7} + \frac{31}{49}p$, quam R justam esse deprehendens, ipsi B pendat. Denique R eodem cum C pacto inito, pendat ipsi pro summis quas ille se obtenturum sperat, $\frac{6}{7} + \frac{48}{49}p$. Sit S spectator aliis, quem A roget (postquam vicerit B semel) utrum velit ipsius jacturas sustinere, hoc est utrum velit multari summis \( p \), pro ipso A, quoties acciderit ut ipse sit multandus, &c quanto pretio velit hanc in se fortem suscipere, cui S respondeat. Quoniam tibi fors est æqua utrum vincas C vel non, adeoque utrum multeris summa \( p \), vel non, hujus multæ fortem, si in manum mihi dederis \( \frac{1}{8} p \), sustinebo. Quod si illud evenerit ut C te vincat, & B vincat C, adeo ut secunda vice tibi cum C certandum sit, tunc multæ ejusdem fortem si dederis mihi \( \frac{1}{8} p \), pariter sustinebo: Verum cum sint 3 adversus 1 fore ut illud non eveniat, hujus multæ fortem, nunc si mihi in manum dederis \( \frac{1}{8} p \), sustinebo. Et eodem argumentandi modo, huic proximam fortem si mihi dederis \( \frac{1}{8} p \). Et huic deinceps proximam, si dederis \( \frac{1}{8} p \), &c. Jam A ipsi S assentiens, tradat ipsi S summam, \( \frac{1}{2} p * + \frac{1}{2} p \times \frac{3}{7} p + \frac{3}{7} p * + \frac{3}{7} p + \frac{1}{2} p + \frac{1}{2} p \), &c. quæ summæ in unam redactæ fiunt \( \frac{5}{7} p \). Et eodem modo B & C pacto inito cum S, ipsi tradant \( \frac{3}{7} p \) & \( \frac{5}{7} p \), respective, ut suas multarum fortes sustineat. \[ \begin{align*} A & \text{ recipit ab R } \frac{12}{7} + \frac{68}{49} p. \\ A & \text{ tradit ipsi S } \frac{35}{49} p. \\ Ipsi A & \text{ supereft } \frac{12}{7} + \frac{33}{49} p. \end{align*} \] Sed A deposuerat 1, priusquam ludus inciperetur: Ergo lucratur A \( \frac{5}{7} + \frac{33}{49} p \). B reci- B recipit ab R $\frac{3}{7} + \frac{31}{49} p$. B tradit ipsi S $\frac{21}{49} p = \frac{3}{7} p$. Ipsi B supereft $\frac{3}{7} + \frac{10}{49} p$. Sed B deposuerat $1 + p$, (videlicet $1$ priusquam ludus inciperetur, & $p$ postquam semel victus fuerat ab A,) ergo B lucratur $-\frac{4}{7} - \frac{39}{49} p$. Summa igitur lucrorum ipsorum A & B est $\frac{1}{7} - \frac{6}{49} p$. Jam posueramus A vicisse ipsum B semel, priusquam collusores pacta inirent cum R & S; sed priusquam ludus inchoaretur, B poterat aqua forte expectare ut vinceret ipsum A; adeoque summa lucrorum $\frac{1}{7} - \frac{6}{49} p$ in duas partes aequales dividenda, adeo ut utriusque lucrum cenendum sit $\frac{1}{14} - \frac{3}{49} p$. Ergo concludere jam licet, jaeturam ipsius C, esse $\frac{1}{7} - \frac{6}{49} p$, five lucrum $\frac{1}{7} + \frac{6}{49} p$. Sed ut corroboretur computatio nostra, videamus quale futurum sit lucrum ipsius C, eadem methodo qua usi fuimus pro invienendis lucris ipsorum A & B. C recipit ab R $\frac{6}{7} + \frac{48}{49} p$. C tradit ipsi B $\frac{42}{49} p$. Ipsi C supereft $\frac{6}{7} + \frac{6}{49} p$. Sed C deposuerat $\frac{7}{7}$ Ergo C lucratur $\frac{1}{7} + \frac{6}{49} p$. Jam fiat \(\frac{1}{7} - \frac{6}{49} p = 0\), & invenietur \(p = \frac{7}{6}\), ergo si multa ad summam quam singuli deponunt fit ut 7 ad 6, collufores æquali conditione certant. Si multa fit ad summam quam singuli deponunt in minori ratione quam 7 ad 6, A & B potiori conditione certabunt, C deteriori. Si multa fit ad summam quam singuli deponunt in majori ratione quam 7 ad 6, A & B deteriori conditione certant, C potiori. **COROL. I.** Postquam A vicerit B fæmel, probabilitates vincendi erunt ut \(\frac{12}{7}, \frac{6}{7}, \frac{3}{7}\), sive ut 4, 2, 1; ita ut maxima probabilitas sit ipsius A, proxima ipsius C, minima ipsius B. **COROL. II.** Spectator R priusquam ludus inchoetur, id fuscipere in se poterit, ut summa 3 de qua collufores contendunt, & multas omnes pendat, si sibi initio in manus datum fit \(3 + 3p\). **COROL. III.** Si dexteritates colluforum sint in ratione data, fortæ colluforum eadem ratiocinatione determinabuntur. **COROL. IV.** Si multa fit negativa, ita ut victus portiunculam depositi 3 famat, v. g. \(\frac{3}{10}\), & ludus fit finiendus statim atque depositum exhaustum fuerit, fortæ colluforum eadem ratiocinatione determinabuntur. **COROL. V.** Si plures sint collufores, A, B, C, D, &c. & non prius ludo desinant quam illorum manus alios omnes successive vicerit, ratio forum etiam invenietur. **COROL.** COROL. VI. Si multa non sit definita, sed continuo crescat vel decrecat, qua libuerit lege, ratio sortium etiam determinabitur, si non per expressiones finitas, at saltem per series ad verum perpetuo convergentes. PROB. XVI. A & B, quorum dexteritates sint aequales inter se, dato Globorum numero certent; jam post ludos aliquot perfectos, desit ipsi A ludus, quominus victor evadat, ipsi B vero 2: Quiritur ratio illorum sortium. SOLUTIO. Sit \( m \) numerus globorum omnium, ita ut uterque habeat \( \frac{1}{m} \); sit \( p \) numerus casuum quibus duo vel plures ex globis ipsius B propius ad metam accedere possint; sit \( q \) numerus casuum quibus unus vel plures ex globis ipsius B propius ad metam accedere possint, adeo ut \( q - p \) sit numerus casuum quibus unus ex globis ipsius B (exclusive pluribus) possit ad metam propius accedere; sit \( s \) numerus variationum omnium quas globi omnes subire possint; sit \( r \) depositum totum. Patet \( r \) habere casus \( p \) quibus obtineat \( x \), & casus \( q - p \) quibus obtineat \( \frac{1}{s} \), adeoque illius expectationem esse \[ \frac{p + \frac{1}{s}q - \frac{1}{s}p}{s} = \frac{\frac{1}{s}p + \frac{1}{s}q}{s}. \] Jam constat ex Doctrina combinationum, globos omnes \( m \) variari posse vicibus, \( m \times \frac{m-1}{m} \times \frac{m-2}{m-1} \times \frac{m-3}{m-2} \), &c. quae series, continuari debet, donec ultimus terminus fiat aequalis unitati, adeoque esse \( s = m \times \frac{m-1}{m} \times \frac{m-2}{m-1} \times \frac{m-3}{m-2} \) &c. Constat ex eadem Doctrina globos numero \( \frac{1}{m} \), posse permutari binos, vicibus \( \frac{1}{m} \times \frac{1}{m-1} \), dum globi reliqui omnes M m ipsorum ipforum A & B, quorum numerus \( m - 2 \) possunt variari vicibus \( \frac{m-2}{m-3} \times \frac{m-4}{m-5} \), &c. adeoque esse \( p = \frac{1}{2} m \times \frac{1}{2} m - 1 \times \frac{1}{2} m - 2 \times \frac{1}{2} m - 3 \times \frac{1}{2} m - 4 \), &c. Igitur \( s : p :: m \times m - 1 : \frac{1}{2} m \times \frac{1}{2} m - 1 : m - 1 : \frac{1}{2} m - \frac{1}{2} \), & \( p = \frac{\frac{1}{2} ms - \frac{1}{2} s}{m - 1} \). Liquet globos numero \( \frac{1}{2} m \), posse sumi sigillatim vicibus \( \frac{1}{2} m \), dum globi reliqui omnes ipforum A & B quorum numerus \( m - 1 \), variari possunt vicibus \( m - 1 \times m - 2 \times m - 3 \times m - 4 \), &c. adeoque esse \( s : q :: m : \frac{1}{2} m :: 1 : \frac{1}{2} \); Est igitur \( q = \frac{\frac{1}{2} ms - \frac{1}{2} s}{m - 1} \). Ergo \( \frac{\frac{1}{2} p + \frac{1}{2} q}{s} = \frac{\frac{1}{2} m - \frac{1}{2}}{m - 1} \), subtrahatur hoc ex 1, & residuum \( \frac{\frac{1}{2} m - \frac{1}{2}}{m - 1} \) erit expectatio ipsius A, adeoque ratio fortium ipforum A & B erit ut \( \frac{1}{8} m - \frac{1}{2} \) ad \( \frac{3}{8} m - \frac{1}{2} \), sive ut \( 5 m - 4 \) ad \( 3 m - 4 \). COROL. I. Si numerus globorum esset infinitus, ratio fortium fieret tandem ut 5 ad 3. COROL. II. Si dexteritates sint in ratione data, ratio fortium eadem ratiocinatione invenietur. PROB. PROB. XVII. A & B quorum dexteritates sint aequales inter se, dato globorum numero certent; jam post ludos aliquot peractos, desit ipsi A ludus i quominus victor evadat, ipsi vero B 3: Requiritur ratio sortium ipsorum A & B. SOLUTIO Sit ut in praecedenti Problemate m numerus globorum omnium; sit r numerus casuum quibus 3 vel plures ex globis ipsius B ad metam proprius accidere possint, p numerus casuum quibus 2 vel plures, q numerus casuum quibus 1 vel plures proprius ad metam possint accedere; sit s numerus variationum omnium quas globi omnes possint subire. Ergo B casus habet r quibus obtineat 1, casus p — r quibus obtineat \( \frac{1}{2} \), & casus q — p quibus obtineat \( \frac{3m-4}{8m-8} \), ut patet ex praecedenti, adeoque summa illius expe&ationum erit \[ \frac{r \times 1 + p - r \times \frac{1}{2} + q - p \times \frac{3m-4}{8m-8}}{s} = \frac{\frac{1}{2}r + \frac{1}{2}p + \frac{q - p}{8m-8}}{s}. \] Jam globi numero \( \frac{1}{2}m \) possunt permutari terni, vicibus \( \frac{1}{2}m \times \frac{1}{2}m - 1 \times \frac{1}{2}m - 2 \), dum globi omnes reliqui ipsorum A & B quorum numerus m — 3, possunt variari vicibus \( m - 3 \times m - 4 \), &c. Igitur est \( r = \frac{1}{2}m \times \frac{1}{2}m - 1 \times \frac{1}{2}m - 2 \times m - 3 \times m - 4 \), &c. Sed est \( s = m \times m - 1 \times m - 2 \times m - 3 \times m - 4 \), &c. ergo \( r = \frac{\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{2}s}{m - 1} \). Sed ex praecedenti Problemate est \( p = \frac{\frac{3}{4}ms - \frac{1}{2}s}{m - 1} \), & \[ q = \frac{\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{2}s}{m - 1}. \] Substitutis igitur valoribus istis pro \( r, p, q \), fiēt expectatio ipsius \( B = \frac{9mm - 26m + 16}{32mm - 64m + 32} \). Subtrahatur hæc ab \( r \), & erit expectatio ipsius \( A = \frac{23mm - 38m + 16}{32mm - 64m + 32} \); adeoque ratio fortium ipsorum \( A \) & \( B \), erit ut \( 23mm - 38m + 16 \) ad \( 9mm - 26m + 16 \), quaæ convenit numero globorum cuicunque, binario excepto. Verum ut ratio fortium ipsorum \( A \) & \( B \) quum singulis globis certant, sive quum numerus globorum est 2, inveniatur; resumatur expressio generalis expectationis ipsius \( B \), videlicet \[ \frac{\frac{1}{2}r + \frac{1}{2}p + \frac{q-p}{s}}{\frac{3m-4}{8m-8}}, \quad \& \text{ ponantur } r \& p = 0; \quad \& \text{ erit expectatio ipsius } B = \frac{q \times \frac{3m-4}{8m-8}}{\frac{1}{2}m - \frac{1}{2}} \times \frac{3m-4}{8m-8} = \frac{1}{2} \] \[ \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \quad \text{qua substraæta ex } 1, \quad \text{erit expectatio ipsius } A = \frac{7}{9}, \quad \text{ergo ratio fortium ipsorum } A \& B \text{ hoc in casu erit ut } 7 \text{ ad } 1, \quad \text{quod aliunde constat ex principiis jamdudum expositis.} \text{COROL. I.} Si numerus globorum esset infinitus, ratio fortium fieret tandem ut 23 ad 9. \text{COROL. II.} Si defint ipsi \( A \) ludi quotvis quominus victor evadat, & ipsi \( B \) ludi itidem quotvis, ratio fortium eadem ratiocinatione invenietur. \text{COROL. III.} Si dexteritates sint in ratione data, ratio fortium etiam invenietur. \text{PROB.} PROB. XVIII. Certet A cum B, fore ut ipse, dato tentaminum numero, teffera dato facierum numero constante, facies quaecunque da- tas jecerit: Queritur expectatio ipsius A. SOLUTIO. Sit $p + 1$ numerus facierum in teffera, $n$ numerus tentami- num datus, $f$ numerus facierum quas jaci oporteat. Numerus casuum quibus A monada semel vel pluries, tenta- minibus numero $n$, jacere possit, est $\frac{p+1}{p^n} - \frac{p^n}{p}$, ut patet ex jam demonstratis. Expungatur binarius e numero facierum, ita ut numerus facierum reducatur ad $p$, & erit numerus casuum quibus A monada semel vel pluries, tentaminibus numero $n$, jacere possit $\frac{p^n}{p} - \frac{p-1}{p^n}$. Ergo, jam restituto binario, numerus casuum quibus A mo- nada & binarium jacere possit, est differentia istorum ca- suum, videlicet $\frac{p+1}{p^n} - 2\frac{p^n}{p} + \frac{p-1}{p^n}$. Expungatur nunc ternarius, & erit numerus casuum quibus A monada & binarium jacere possit, $p^n - 2 \times p - \frac{p-1}{p^n} + \frac{p-2}{p^n}$. Ergo, jam restituto ternario, numerus casuum quibus A mo- nada, binarium, & ternarium jacere possit, est $\frac{p+1}{p^n} - 3 \times \frac{p^n}{p}$ $+ 3 \times \frac{p-1}{p^n} - \frac{p-2}{p^n}$. Et sic deinceps de cæteris. Scribantur ergo ordine potestates omnes, (mutatis alternatim signis) $\frac{p+1}{p^n} - \frac{p^n}{p} + \frac{p-1}{p^n} - \frac{p-2}{p^n} + \frac{p-3}{p^n}$ &c. Et praëganan- tur illis coefficientes potestatis delignatae per $f$, & summa ter- minorum erit numerator expectationis ipsius A, cujus denomi- nator erit $\frac{p+1}{p^n}$ N n EXEMP. I. Sit 6 numerus facierum in tessera, & 2 numerus facierum datarum quas jaci oporteat tentaminibus 8, & erit expectatio ipsius A, \(\frac{6^8 - 2 \times 5^8 + 4^8}{6^8}\). EXEMP. II. Sit 6 numerus facierum in tessera, & 6 numerus facierum quas jaci oporteat tentaminibus 12, & erit expectatio ipsius A, \[ \frac{6^{12} - 5 \times 5^{12} + 13 \times 4^{12} - 23 \times 3^{12} + 37 \times 2^{12} - 5 \times 1^{12}}{6^{12}} \] EXEMP. III. Contendat A cum B fore ut ipse, tentaminibus numero 43, tessera faciebus 36 constante, facies duas datas jecerit, five ut binis tesserae vulgaribus jecerit duas monadas simul, atque etiam duos binarios simul, & erit expectatio ipsius A \[ \frac{36^{43} - 2 \times 35^{43} + 34^{43}}{36^{43}} \] N.B. Facilis erit additio & subtractio partium ex quibus expectationes illae componuntur, ope Tabulae Logarithmorum. PROB. XIX. Invenire quotenis tentaminibus futurum sit probabile ut collusorum alter A facies quiscumque datas jaceret, tessera constante dato facierum numero. SOLUTIO Sit ut prius \(p + 1\) numerus facierum in tessera, \(n\) numerus tentaminum datus, \(f\) numerus facierum quasius. Ponatur \[ \text{Log. } \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{1}{p}}} = a, \quad \& \quad \text{Log. } \frac{p + 1}{p} = b, \quad \& \quad \text{erit } n = \frac{a}{b}, \text{ prope}. \] D.E. DEMONSTRATIO. Si numerus facierum quas jaci oporteat fit 6, expectatio ipsius A erit \[ \frac{p+1^n-6p^n+15xp-1^n-20xp^2+15xp^3-6xp^4+p^5}{p+1^n} \] Fingatur terminos \( p + 1, p, p - 1, p - 2, \) &c. effe in progression Geometrica, qua suppositio non multum a vero aberrabit, si praesertim \( p \) ad 1 habuerit rationem satis magnam, & ponatur \( \frac{p^n}{p+1^n} = \frac{1}{r^n}; \) ergo expectatio ipsius A erit \[ 1 - \frac{6}{r^n} + \frac{15}{r^{2n}} - \frac{20}{r^{3n}} + \frac{15}{r^{4n}} - \frac{6}{r^{5n}} + \frac{1}{r^n} = \frac{1}{2}. \] Extrahatur utrinque radix sexta, & fiet \( 1 - \frac{1}{r^n} = \sqrt{\frac{1}{2}}; \) ergo \( r^n = \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{1}{2}}}, \) ponatur jam Log. \( r = \beta, \) & Log. \( \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{1}{2}}} = \alpha, \) & erit \( n\beta = \alpha, \) adeoque \( n = \frac{\alpha}{\beta}, \) & eadem erit demonstratio de caeteris casibus. Si sit aliqua suspicio ne valor indicis \( n \) sic inventus non sit satis accuratus, tunc substituatur valor iste pro \( n, \) & notetur error, tunc mutetur aliquantulum valor iste, & notetur novus error, & ope duorum errorum valor indicis \( n \) satis accurato corrigetur, si Regula falsi adhibeatur. Poteat valor indicis \( n \) sic inventus corrigi per seriem infinitam ex natura Problematis depromptam, talem ut primus terminus hujus seriei sit valor illte quem assignavimus; sed correction per differentiam errorum sufficit ad usus practicos. EXEMP. I. Invenire quorenis jactibus vulgaris tesserae, probabile fit ut A facies omnes jaciat. Log. \(\frac{1}{1-\sqrt{\frac{1}{2}}}\) = 0.9621753, Log. \(\frac{6}{5}\) = 0.0791812, ergo \(n = \frac{0.9621753}{0.0791812} = 12 +\). Ergo concludere jam licet numerum jactuum quæsitum fore 12 circiter, si vero 12 substituatut pro \(n\) in æquatione casui huic competente, invenietur expectatio ipsius A .437 prope, quæ aliquanto debita nempe .5 minor est; ergo ponatur 13 pro \(n\), & invenietur expectatio ipsius A .513, quæ est debita major; ergo poterit A in se suscipere ut facies omnes tentaminibus 13 jaciat, idque potiori conditione. **EXEMP. II.** Invenire quotenis tentaminibus futurum fit probabile ut A tessera faciebus 216 constante, facies sex datas jaciat, sive ut tribus tesserae vulgaribus *Triadas omnes* jaciat. Log. \(\frac{1}{1-\sqrt{\frac{1}{2}}}\) = 0.9621753, Log. \(\frac{216}{215}\) = 0.0020152, ergo \(n = \frac{0.9621753}{0.0020152} = 477\) prope. * Raffles. DE Duratione Ludorum. PROB. XX. A & B quorum dexteritates sint in ratione data, videlicet, ut a ad b, ea conditione ludant, ut quoties A ludum unum vicerit, B tradat ipsi nummum unum; quoties vero B vice-rit, A ipsi tradat nummum unum: & non prius ludo desistant, quam eorum alter nummos omnes alterius lucratus fuerit. Adstant vero spectatores duo R & S, quorum R affirmet certamen finitum iri intra datum ludorum numerum, S neget: Quaeritur expectatio ipsius S. SOLUTIO. Casus I. Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat; fit etiam 2, numerus de quo R & S contendant: Jam propter 2, numerum ludorum de quo contenditur, elevetur $a + b$ ad potestatem 2, quae erit $aa + 2ab + bb$: terminus $2ab$ ipli S favet, reliqui adversantur, adeoque illius expectatio erit $$\frac{2ab}{a + b}.$$ Casus II. Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & sit 3 numerus ludorum de quo R & S contendant; elevetur itaque \(a + b\) ad potestatem \(3^am\), quae erit \(a^3 + 3aab + 3abb + b^3\). Jam termini duo \(+ a^3 + b^3\), omnino ipsi S adversantur, reliqui duo \(3aab + 3abb\), partim favent, partim adversantur; dividatur ergo termini isti in partes suas, videlicet \(3aab\) in \(aab, aba, baa\), atque \(3abb\) in \(abb, bab, bba\), & partes \(aba + baa + abb + bab\), sive \(2aab + 2abb\) ipsi S favent, reliquae adversantur. Adeoque expectatio ipsius S erit \(\frac{2aab + 2abb}{a + b}\), sive (divisis numeratore & denominatore per \(a + b\)) \(\frac{2ab}{a + b}\), quae eadem est ac in casu praecedenti. Casus III. Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 4 numerus ludorum de quo spectatores contendant; elevetur itaque \(a + b\) ad potestatem \(4^am\), quae erit \(a^4 + 4a^3b + 6aabb + 4ab^3 + b^4\); termini \(a^4 + 4a^3b + 4ab^3 + b^4\) omnino ipsi S adversantur, terminus unicus \(6aabb\). Partim favet, partim adversatur: dividatur ergo terminus iste in partes suas, \(aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa\), & partes quatuor, \(abab, abba, baab, baba\), sive \(4aabb\), ipsi S favent; adeoque illius expectatio erit \(\frac{4aabb}{a + b}\). Casus IV. Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 5 numerus ludorum de quo spectatores contendant, & expectatio ipsius S invenietur eadem ac in praecedenti casu. Cæsus V. Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 6 numerus ludorum de quo spectatores contendant, & expe- spectatio ipsius S invenietur \( \frac{8a^3b^3}{a + b} \) Generalius: Sit 2 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 2 + d numerus ludorum de quo spectatores contendant, erit \( \frac{2ab}{a + b}^{1 + \frac{1}{2}d} \) expectatio ipsius S: Ubi nota d numerum esse parem; quod si d sit numerus im- par, expectatio ipsius S eadem erit ac si numerus ille unitate effet diminutus. Cæsus VI. Sit 3 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 3 + d numerus ludorum de quo spectatores contendant, & invenietur expectatio ipsius S = \( \frac{3ab}{a + b}^{1 + \frac{1}{2}d} \) Ubi nota d numerum esse parem; quod si d sit numerus impar, expectatio ipsius S eadem erit ac si numerus ille unitate effet diminutus. Cæsus VII. Sit 4 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 4 numerus ludorum de quo spectatores contendant, & in- venietur expectatio ipsius S \( \frac{4a^3b + 6aabb + 4ab^3}{a + b}^4 \) Casus VIII. Sit 4 numerus nummorum quos uterque collutorum habeat; & 6 numerus ludorum de quo spectatores contendant, & invenietur expectatio ipsius $S = \frac{14a^4bb + 20a^3b^3 + 14aab^4}{a + b}^6$ Tabula expectationum ipsius $S$, pro numero nummorum 4. | | $\frac{4a^3b + 6aabb + 4ab^3}{a + b}^4$ | |---|----------------------------------------| | 4.| $\frac{14a^4bb + 20a^3b^3 + 14aab^4}{a + b}^6$ | | 6.| $\frac{48a^5b^3 + 68a^4b^4 + 48a^3b^5}{a + b}^8$ | | 8.| $\frac{164a^6b^4 + 232a^5b^5 + 164a^4b^6}{a + b}^{10}$ | | 10.| $\frac{560a^7b^5 + 792a^6b^6 + 560a^5b^7}{a + b}^{12}$ | | 12.| $\ddots$ | Tabula iste facile continuabitur, si sequentia adnotentur 1°. Coefficientem termini primi in quolibet numeratore esse summam coefficientem terminorum omnium in numeratore praecedenti. 2°. Coefficientem termini secundi esse aggregatum summae istius, & coefficientis termini secundi praecedentis. 3°. Coefficientem termini tertii eundem esse, ac coefficientem termini primi. 4°. Produeta literalia, ex praecedentibus, prima ex primis, secunda ex secundis, formari, multiplicatis praecedentibus per $ab$. 5°. Denominatores omnes esse potestatem illam binomii $a + b$, qua designatur per numerum ludorum de quo R & S contendunt. Hic Hic obiter venit observandum coefficientes omnes, primi ex primis, secundi ex secundis, generari posse. Etenim si ex ultimo praecedente quadruplicato, subtrahatur penultimus duplicatus, orietur coefficient quæsitus. Regula generalis. Sit $n$ numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, $n + d$ numerus ludorum de quo spectatores contendant. Elevetur $a + b$ ad potestatem $n$, & refecentur termini duo extremi; multiplicetur residuum per $aa + 2ab + bb$, & rejicientur termini extremi; fiat rursus multiplicatio residui per $aa + 2ab + bb$, & rejicientur extremi, & sic deinceps fiant tot multiplicationes quot sunt unitates in $\frac{1}{d}$; & productum ultimum erit numerator expectationis ipsius $S$; denominator vero semper erit $\frac{a + b}{n + d}$. N.B. Si $d$ sit numerus impar, subtrahatur $d - 1$ pro $d$. Si $n$ sit numerus impar, dividì poterunt numerator & denominator expectationis per $a + b$, & fiet expectatio simplicior. EXEMPI. Sit $4$ numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & $10$ numerus ludorum de quo spectatores contendant, sint autem dexteritates in ratione æqualitatis; quaeritur expectatio ipsius $S$. Est $n = 4$, & $n + d = 10$; igitur est $d = 6$, & $\frac{1}{d} = \frac{1}{3}$. Elevetur itaque $a + b$ ad potestatem $4^{am}$, & refectis semper extremis, fiant $3$ multiplicationes per $aa + 2ab + bb$. \[ a^4 + 4a^3b + 6a^2bb + 4ab^3 + b^4 \] \[ aa + 2ab + bb \] \[ 4a^3b + 6a^2bb + 4a^3b^3 \] \[ + 8a^2bb + 12a^3b^3 + 8aab^4 \] \[ + 4a^3b^3 + 6aab^4 + 4abs \] \[ 14a^4bb + 20a^3b^3 + 14aab^4 \] \[ aa + 2ab + bb \] \[ 14a^5bb + 20a^5b^3 + 14a^4b^4 \] \[ + 28a^5b^3 + 40a^4b^4 + 28a^3b^5 \] \[ + 14a^4b^4 + 20a^3b^5 + 14aab^6 \] \[ 48a^5b^3 + 68a^4b^4 + 48a^3b^5 \] \[ aa + 2ab + bb \] \[ 48a^7b^5 + 68a^6b^4 + 48a^5b^5 \] \[ + 96a^6b^4 + 136a^5b^5 + 96a^4b^6 \] \[ + 48a^5b^5 + 68a^4b^6 + 48a^3b^7 \] \[ 164a^6b^4 + 232a^5b^5 + 164a^4b^6 \] Et erit expectatio ipsius \( S = \frac{164a^6b^4 + 232a^5b^5 + 164a^4b^6}{a + b} \), & propter \( a \) & \( b \) aequales, erit ista expectatio \( \frac{164 + 232 + 164}{2} = \frac{560}{1024} = \frac{35}{64} \). **EXEMP. II.** Sit 5 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat, & 10 numerus ludorum de quo spectatores contendant, ita ut \( S \) neget certamen finitum iri intra ludos 10; fit autem dexteritas ipsius A ad dexteritatem ipsius B ut 2 ad 1. Est \( n = 5 \), & \( n + d = 10 \); est igitur \( d = 5 \). Et propter \( d \) imparem, fingatur \( d = 4 \), ergo \( \frac{1}{2}d = 2 \). Elevetur itaque \( a + b \) ad potestatem 5am, & resectis semper extremis, fiant 2 multiplicationes per \( aa + 2ab + bb \). \[a^5 + 5a^4b + 10a^3bb + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\] \[aa + 2ab + bb\] \[5a^6b + 10a^5bb + 10a^4b^3 + 5a^3b^4\] \[+ 10a^5bb + 20a^4b^3 + 20a^3b^4 + 10a^2b^5\] \[+ 5a^2b^3 + 10a^3b^4 + 10a^2b^5 + 5ab^6\] \[20a^5bb + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 20a^2b^5\] \[aa + 2ab + bb\] \[20a^7bb + 35a^6b^3 + 35a^5b^4 + 20a^4b^5\] \[+ 40a^6b^3 + 70a^5b^4 + 70a^4b^5 + 40a^3b^6\] \[+ 20a^5b^4 + 35a^4b^5 + 35a^3b^6 + 20a^2b^7\] \[75a^6b^3 + 125a^5b^4 + 125a^4b^5 + 75a^3b^6\] Ergo expectatio ipsius S erit \[\frac{75a^6b^3 + 125a^5b^4 + 125a^4b^5 + 75a^3b^6}{a + b}\] Sive divisis numeratore & denominatore per \(a + b\), propter numerum \(n\) imparem, fiet expectatio \[\frac{75a^6b^3 + 50a^5b^4 + 75a^3b^5}{a + b}\] \[= 25a^3b^3 \times \frac{3aa + 2ab + 3bb}{a + b}\] Et positis 2 & 1 pro \(a\) & \(b\) respective, fiet expectatio \[= \frac{8 \times 25 \times 10}{6561} = \frac{3800}{6561}\] PROB. PROB. XXI. Sit 4 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat; Requiritur ratio dexteritatum que faciat ut R possit aqua forte affirmare certamen finitum iri intra ludos 4, S negare. SOLUTIO. Expectatio ipsius S, jam inventa, est \(\frac{4a^3b + 6aab + 4ab^3}{a + b}^4\), & quoniam, ex Hypothesi, R & S aqua forte contendunt, ponatur \(\frac{4a^3b + 6aab + 4ab^3}{a + b}^4 = \frac{1}{2}\), five \(a^4 - 4a^3b - 6aab - 4ab^3 + b^4 = 0\). Addatur 12aab utrobique, & fiet \(a^4 - 4a^3b + 6aab - 4ab^3 + b^4 = 0\). Extrahatur hinc inde radix quadratica, & erit \(aa - 2ab + bb = ab\sqrt{12}\), five facto \(a : b :: z : 1\), \(zz - 2z + 1 = 2\sqrt{12}\), ubi invenietur radix duplex \(z = 5.274\), & \(\frac{1}{5.274}\). Ergo five ratio dexteritatis ipsius A ad dexteritatem ipsius B sit ut 5.274 ad 1, vel ut 1 ad 5.274, R & S aqua forte contendent. PROB. XXII. Sit 4 numerus nummorum quos uterque collusorum habeat; Requiritur ratio dexteritatum talis, ut possit R affirmare finitum iri certamen intra 4 ludos, S negare, atque sint sortes ipsorum R & S in ratione data, videlicet ut 3 ad 1. SOLUTIO. Expectatio ipsius S ex numero ludorum 4, & ratione dexteritatum oriunda est \(\frac{4a^3b + 6aab + 4ab^3}{a + b}^4\). Eadem expectatio propter datam rationem fortium est \(\frac{1}{4}\). Ergo fit \(\frac{4a^3b + 6aab + 4ab^3}{a + b}^4 = \frac{3}{4}\). \[ \frac{1}{2} \text{; sive } a^4 - 12a^3b - 18aabb - 12ab^3 + b^4 = 0. \quad \text{Jam facto } \\ a : b :: z : 1, \text{ erit } x^4 - 12x^3 - 18xz - 12z^3 + 1 = 0. \quad \text{Supponatur hæc æquatio ex binis istis quadraticis formari, } zz + yz + 1 = 0. \quad \text{Et } x^2 + px + 1 = 0. \] Ergo \( x^4 + yz^3 + pyzz + pz + 1 = 0 \). Comparentur coefficientes terminorum Homologorum, & erit \( y + p = -12, \) & \( py + 2 = -18, \) sive \( py = -20; \) unde orietur æquatio \( yy + 12y = 20, \) cujus radix negativa erit \( = -13.483. \) Substituatur valor iste in locum ipsius \( y, \) & erit \( zz - 13.483z + 1 = 0, \) cujus æquationis radix duplex invienietur \( 13.407, \) & \( \frac{1}{13.407} \) prope, ergo sive \( a \) ad \( b \) fit ut \( 13.407 \) ad \( 1, \) sive ut \( 1 \) ad \( 13.407, \) ratio fortium insorum \( R \) & \( S \) erit ut \( 3 \) ad \( 1. \) **PROB. XXIII.** Sit \( q \) numerus nummorum quos uterque collusorum habeat; Requiritur ratio dexteritatum quæ faciat ut \( R \) possit æqua forte affirmare certamen finitum iri intra ludos \( 6, \) \( S \) negare. **SOLUTION.** Expectatio ipsius \( S \) ex numero ludorum, & ratione dexteritatum oriunda, erit \( \frac{144abb + 2043b^3 + 144ab^4}{a + b} \). Ejusdem expectatio propter datam fortium æqualitatem erit \( = \frac{1}{2}. \) Ergo erit \( \frac{144abb + 2043b^3 + 144ab^4}{a + b} = \frac{1}{2}, \) sive \( a^6 + 6a^5b - 13a^4bb - 20a^3b^3 - 13aab^4 + 6ab^5 + b^6 = 0, \) & facto \( a : b :: z : 1. \) \( z^6 + 6z^5 - 13z^4 - 2oz^3 - 13zx + 6x + 1 = 0. \) Ponatur hæc æquatio ex binis istis formari. \[ x^2 + yx + 1 = 0 \] \[ & x^4 + px^3 + qx^2 + px + 1 = 0. \] Ergo \( z^6 + yz^5 + z^4 \) \[ + pz^5 + pyz^4 + pz^3 \] \[ + qx^4 + qyz^3 + qzz \] \[ + pz^3 + pyzz + pz \] \[ + zz + yz + 1. \] Sive \( z^6 + yz^5 + pyz^4 + 2pz^3 + pyzz + pz + 1 = 0. \) Et comparatis coefficientibus erit \( y + p = 6, \) \( r + py + q = -13; \) feu \( py + q = -14, \) \( 2p + qy = -20. \) Unde orietur æquatio \( y^3 - 6yy - 16y + 32 = 0, \) cujus una radicum erit \(-2.9644,\) qua substituta in locum ipsius \( y, \) in æquatione \( x^2 + yx + 1 = 0, \) habebitur æquatio nova \( x^2 - 2.9644x + 1 = 0. \) Ubi inveniatur radix duplex \( 2.576, \) & \( \frac{1}{2.576}; \) ergo five dexte- ritas ipsius A ad dexteritatem ipsius B fit ut \( 2.576 \) ad \( 1, \) feu ut \( 1 \) ad \( 2.576, \) R & S æqua forte contendent. **COROLLARIUM.** Omnes hujus generis æquationes, in quibus ratio dexteritatum determinanda venit ex datis numero nummorum & numero ludorum, ad dimensiones dimidio saltem pauciores, quam fit numerus ludorum datus semper reducentur; etenim coefficientes terminorum hinc inde ab extremis æqualiter distantium semper iudem erunt, adeoque si singatur æquationes istas formari ex \( y + yx + 1 = 0, \) & æquatione altera cujus coefficientes hinc inde ab extremis æqualiter distantes sint iudem, comparationes terminorum homologorum non erunt plures quam est dimidius ludorum numerus, adeoque dimensiones quantitatis \( y \) dimidio saltem pauciores erunt quam dimensiones quantitatis \( z. \) PROB. PROB. XXIV. Positis iisdem ac in Prob. 20. habeat A nummos p, B vero nummos q: Queritur expectatio ipsius S. SOLUTIO. Sumatur Binomium $a + b$, & rejectis semper terminis in quibus dimensiones quantitatis $a$ excedunt dimensiones quantitatis $b$ per $q$, & terminis in quibus dimensiones quantitatis $b$ excedunt dimensiones quantitatis $a$ per $p$, multiplicentur continuo termini residui per $a + b$, & fiant tot multiplicationes quot sunt unitates in dato ludorum numero unitate diminuto, & habebitur numerator expectationis ipsius $S$, cujus denominator erit potestas binomii $a + b$ designata per numerum ludorum. EXEMPLUM. Sit $p = 3$, & $q = 2$; numerus ludorum 7. \[ \begin{align*} & a + b \\ & a + b \\ \hline & aa + 2ab + bb \\ & a + b \\ \hline & 2aab + 3abb + b^3 \\ & a + b \\ \hline & 2a^3b + 5a^2bb + 3ab^3 \\ & a + b \\ \hline & 5a^3bb + 8a^2b^3 + 3ab^4 \\ & a + b \\ \hline & 5a^4bb + 13a^3b^3 + 8a^2b^4 \\ & a + b \\ \hline & 13a^4b^3 + 21a^3b^4 + 8a^2b^5 \\ \end{align*} \] Ergo erit expectatio ipsius $S = \frac{13a^4b^3 + 21a^3b^4 + 8a^2b^5}{a + b}$. PROB. XXV. «A & B collusores duo, quorum dexteritates sint in ratione data, hoc pactum inezat, ut non prius ludo desinant quam datius numerorum ludus sit transactus; sint R & S spectatores duo, quorum R contendat fieri ut aliquando ante conclusum certamen vel expirante certamine, A victorem se praetiterit pluries quam B dato ludorum numero; Queritur expectatio ipsius R. SOLUTIO Sit \( n \) numerus ludorum transigendus priusquam A & B ludo desinant; sit \( n - d \) numerus ludorum de quo R & S contendant, sit ratio dexteritatum ut \( a \) ad \( b \). Elevetur \( a + b \) ad potestatem \( n \), tunc si \( d \) sit numerus impar, sumantur tot termini istius potestatis quot sunt unitates in \( \frac{d+1}{2} \); sumantur etiam tot termini sequentes quot jam sumpti fuerunt, sed mutentur illorum coefficientes, ilisque praefigantur coefficientes terminorum praecedentium ordine retrogrado: Si vero \( d \) sit numerus par, sumantur tot termini potestatis \( \frac{a+b}{n} \) quot sunt unitates in \( \frac{d+2}{2} \), sumantur etiam tot termini sequentes quot sunt unitates in \( \frac{d}{2} \), sed praefigantur illis coefficientes terminorum praecedentium ordine retrogrado, omissio ultimo praecedentium, & habebitur numerator expectationis ipsius R, quorum denominator erit \( a + b \). EXEMP 1. Sit 10 numerus ludorum transigendus priusquam A & B ludo desinant, sit 3 numerus ludorum quibus aliquando A superatus est ipsum B, sit ratio dexteritatum ut 1 ad 1: Elevetur \( a + b \) ad potestatem 10\(^{10}\), videlicet \( a^{10} + 10a^9b + 45a^8bb + 120a^7b^3 + 210a^6b^4 + 252a^5b^5 + 210a^4b^6 + 120a^3b^7 + 45aab^8 + 10ab^9 + b^{10} \). 1°. Est 1°. Est \( n = 10 \); 2°. \( n - d = 3 \); ergo est \( d = 7 \), & \( \frac{d+1}{2} = 4 \). Sumantur ergo 4 termini istius potestatis, videlicet \( a^{10} + 10a^9b + 45a^8bb + 120a^7b^3 \); sumantur etiam 4 termini sequentes, illique praefigantur coefficientes terminorum praecedentium ordine retrogrado; & termini sequentes evadent \( 120a^6b^4 + 45a^5b^5 + 10a^4b^6 + a^3b^7 \). Ergo erit expeetatio ipsius \( R = \frac{a^{10} + 10a^9b + 45a^8bb + 120a^7b^3 + 120a^6b^4 + 45a^5b^5 + 10a^4b^6 + a^3b^7}{a + b}^{10} = \frac{352}{a + b}^{10} \) **EXEMPLI** Sit \( n = 6 \), & \( n - d = 4 \); ergo est \( d = 2 \), & \( \frac{d+2}{2} = 2 \). Ergo expeetatio ipsius \( R \) erit \( \frac{a^6 + 6a^5b + a^4bb}{a + b}^6 \) *N.B.* Si \( d \) sit numerus impar, poterunt numerator & denominator expeetationis ipsius \( R \) dividendi per \( a + b \) **PROB. XXVI** Collusores duo, A & B, quorum dexteritates sint in ratione data, videlicet ut \( a \) ad \( b \), hoc pactum ineant, ut non prius ludo desistant quam datus ludorum numerus sit transattus: Adsint spectatores duo R & S, quorum R assentet, S neget, fore ut aliquando ante finitum certamem, vel expirante certamine, A sit superaturas ipsum B dato ludorum numero q; & fore etiam ut aliquando B sit superaturas ipsum A dato ludorum numero p: Queritur expeetatio ipsius \( R \) **SOLUTIO** Inveniatur numerus casuum quibus A superare possit ipsum B dato ludorum numero q, per Prob. 25. Inveniatur numerus casuum quibus B superare possit ipsum A dato ludorum numero p, per idem. Inveniatur denique numerus casuum quibus neuter superare possit alterum datis ludorum numeris, per Prob. 24. Addantur hi casus simul, & ex eorum aggregato subtrahatur \( \frac{a + b}{n} \), & habebitur numerator expeetationis ipsius \( R \), cujus denominator erit \( \frac{a + b}{n} \). R.r. EX EXEMPLUM. Contendat R fore ut aliquando A sit superatus ipsum B 2 ludis, & forte estiam ut aliquando B sit superatus ipsum A 3 ludis, & sit numerus ludorum transigendus 7. Numerus casuum quibus possit A superare ipsum B 2 ludis, est $a^7 + 7a^6b + 21a^5bb + 21a^4b^3 + 7a^3b^4 + aab^5$. Numerus casuum quibus possit B superare ipsum A 3 ludis, est $1a^4b^3 + 7a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$. Numerus casuum quibus neuter alterum superare possit datis ludorum numeris, est $13a^4b^3 + 21a^3b^4$. Summa omnium istorum casuum erit $a^7 + 7a^6b + 21a^5bb + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$. Subtrahatur $a + b^7$ seu $a^7 + 7a^6b + 21a^5bb + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$. Residuum erit $1a^2b^5$. Ergo expectatio ipsius R erit $\frac{a^2b^5}{a + b^7}$. ERRATA. Pag. 216. lin. 12. dele omnium. Pag. 218. lin. 16. pro simul, lege prima vice. Pag. 219. lin. 7, lege ut eventus aliquis. Pag. 220. lin. 3. lege limites. Pag. 231. lin. 15. pro 450, lege 495. Lin. 16 & 17. pro 115, lege 165. Pag. 239. lin. 8. pro $\frac{p}{q}$, lege $\frac{p}{2}$. Pag. 258. lin. 10. pro $= 0$, lege $= 12aabb$. Pag. 262. lin. 4. pro numerorum ludus, lege ludorum numerus. LONDON: Printed for H. Clements at the Half-Moon, and W. Innys at the Prince's Arms, in St. Paul's Churchyard; and D. Brown at the Black Swan without Temple-Bar.