Logarithmotechnia Generalis. Authore Jo. Craig

III. Logarithmotechnia Generalis. Authore Jo. Craig. Illusterrissimi nostratis Jo. Nepairi incomparabile Logarithrorum inventum egregiis suis laboribus plurimum promoverunt Viri eruditissimi, quorum Methodi Logarithmos construendi praefixae sunt Logarithrorum Tabulis longe optimis à D. Henrico Sherwino publicatis. Adeo ut ad utilissimam hanc Arithmeticae partem perficiendam, hoc tantum inveniendum superesse videatur, ut scil. omnes Series Logarithmicas inveniendi Methodum habeamus generalem; talis autem est hæc quæ sequitur, facilis quidem illa & genuina, utpote ex ipsâ Logarithrorum Naturâ deducta. Per literam \( l \) numero cuilibet praefixam denotetur (ut vulgo solet) istius Numeri Logarithmus. Jam quoniam Numeri cujusvis propositi Logarithmus duobus modis investigari potest, ideo Logarithmotechniae hujus duas partes constituemus: In priori Logarithmum immediaté ex ipso numero deducimus; in posteriori vero Numerorum aliquot antecedentium Logarithmi adhibentur, ut ex iis propositi Numeri Logarithmus inveniatur. Pars Prior. Sit \( a + r \) numerus quilibet propositus, & \( x \) ejus Logarithmus inveniendus. Jam ex hypothesi \( x = l_a + r \), quæ æquatio vocetur Canon generalis. (1.) Fiat æquatio inter terminos ex \( a \) & \( r \) utcunque compositos & cum aliis quibusvis numeris quovis modo per Additionem, Subtractionem, Multiplicationem, Divisionem aut Radicum extractionem combinatos. (2.) Ope æquationis sic ad libitum assumptæ exterminetur \( a \) ex Canone generali, & habebitur æquatio exprimens relationem inter indeterminatos \( x, y \). (3.) Hujus aequationis (per regulam Bernoullianam) inveniatur Differentialis & hujus Integralis (per methodos notissimos) per Seriem infinitam expressa dat Logarithmi quaesti \( x \) valorem cognitum. Exemplum 1. Assumatur \( a = y \), unde per Canonem generalem \( x = l_1 + y \), cujus differentialis est \( \dot{x} = \frac{y}{1+y} \), & hujus integralis per Seriem infinitam expressa dat \[ x = y - \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{4} y^4 + \frac{1}{5} y^5 - \frac{1}{6} y^6 + \frac{1}{7} y^7 &c. \] Exemplum 2. Assumatur \( y = \frac{a}{a+2} \), unde \( a + 1 = \frac{1+y}{1-y} \), ideoque; per Canonem generalem \( x = l_1 \frac{1+y}{1-y} \), cujus Differentialis est \( \dot{x} = \frac{2y}{1-y} \); & hujus Integralis in Seriem resoluta dat \[ x = 2 \times y + \frac{2}{3} y^3 + \frac{2}{5} y^5 + \frac{2}{7} y^7 + \frac{2}{9} y^9 &c. \] Ubi numerus 2 Seriei praefixus multiplicari supponitur in singulos Seriei terminos. Nec plura addere exempla opus hic erit, cum ex his pateat Methodus inveniendi innumeras Series Logarithmicas, quae, absq; ullo ad aliorum numerorum Logarithmos respectu, exhibent numeri proposti Logarithmum. Q. E. I. Lemma 1. Sit \( z \) Logarithmus cujusvis fractionis \( \frac{b}{a+1} \), \( x \) Logarithmus denominatoris \( a + 1 \); erit \( lb - z = x \); Vel si sit \( z \) Logarithmus fractionis \( \frac{a+1}{b} \), erit \( lb + z = x \). Lemma Lemma 2. Sit e exponens cujusvis potestatis numeri b; erit \( l \cdot b^e = e \cdot l \cdot b \); ideoque datis Logarithmo numeri \( b^e \) & exponente e, datur ipsius b Logarithmus: Et ex Natura Logarithrorum constat utrumq; Lemma. Pars Posterior. Sit (ut prius) \( a+1 \) Numerus cujus Logarithmus \( x \) est inveniendus, itaq; \( b^e \) Numerus producatur ex Multiplicatione Numerorum, quorum maximus est minor quam \( a+1 \); & \( z \) Logarithmus fractionis \( \frac{b}{a+1} \), id est \( z=l \cdot \frac{b}{a+1} \), quae aquatio vocetur Canon generalis. Tum (1.) pro \( b \) sumatur quantitas ex \( a \) & numeris quibusvis determinatis utcunq; composita, & hic valor numeri \( b \) sic ad libitum sumptus substituatur in fractione \( \frac{b}{a+1} \), unde illa per \( a \) & numeros datos exprimetur. (2.) Fiat quaelibet aquatio inter \( y \) & \( a \) cum numeris ad libitum sumendis; & ope hujus exterminetur \( a \) ex Canone generali, unde habetur aquatio exprimens relationem inter indeterminatos \( z, y \). (3.) Hujus aquationis inveniatur (per Regulam Bernoullianam) Differentialis, hujusq; Integralis (juxta Methodos notissimas) per Seriem infinitam expressa dabit fractionis \( \frac{b}{a+1} \) Logarithmum \( z \); & ex invento \( z \) habebitur (per Lem. 1.) numeri propositi \( a+1 \) Logarithmus \( x=l \cdot b-z \). Nam ex hypothesi \( b^e \) producitur ex Multiplicatione Numerorum quorum maximus est minor quam \( a+1 \); & ex hypothesi dantur Logarithmi omnium numerorum proposito \( a+1 \) minorum, ergo & Logarithmus Numeri ex omnibus producti seu \( b^e \); & proinde (per Lem. 2.) ipsius b Logarithmus datur. Exemplum 1. Sumatur si placet \( b=a \), unde \( z=l \cdot \frac{a}{a+1} \): Dein (per art. 2) fiat ad libitum \( y=za+1 \), per hanc exterminetur \(a\), & erit \(z = l \cdot \frac{y - 1}{y + 1}\), cujus Differentialis est \(z = \frac{2y}{yy - 1}\); cujus Integralis per Seriem expressa dat \(z = -2 \times \frac{1}{y} + \frac{1}{3y^3} + \frac{1}{5y^5} + \frac{1}{7y^7} + \frac{1}{9y^9}\) &c. Unde per Lemma 1. \[x = lb + 2 \times \frac{1}{y} + \frac{1}{3y^3} + \frac{1}{5y^5} + \frac{1}{7y^7} + \frac{1}{9y^9} &c.\] Exemplum 2. Fiat \(b = \sqrt{aa + 2a}\), unde \(z = l \cdot \frac{\sqrt{aa + 2a}}{a + 1}\) sumatur etiam ad libitum \(y = 2a + 2a\), unde \(z = l \cdot \frac{1}{y} \sqrt{yy - 4}\), cujus Differentialis est \(z = 4y \times y^3 - 4y\)^{-1}, & hujus Integralis est \(z = -2 \times \frac{1}{y^2} + \frac{2^2}{2y^4} + \frac{2^4}{3y^6} + \frac{2^6}{4y^8} &c.\). Unde Lemma 1. \[x = lb + 2 \times \frac{1}{y^2} + \frac{2^2}{2y^4} + \frac{2^4}{3y^6} + \frac{2^6}{4y^8} + \frac{2^8}{5y^{10}} &c.\] Exemplum 3. Fiat \(b = \sqrt{aa + 2a}\), ut in praecedenti, sed jam assumatur \(y^2 = 2aa + 4aa + 1\); Si per has duas æquationes exterminentur \(b\) & \(a\) ex Canone generali, erit \(z = l \cdot \frac{\sqrt{yy - 1}}{\sqrt{yy + 1}}\), cujus Differentialis est \(z = 2yy \times y^4 - 1\)^{-1}; & hujus Integralis per Seriem expressa est \(z = -\frac{1}{y^2} - \frac{1}{3y^6} - \frac{1}{5y^{10}} - \frac{1}{7y^{14}} &c.\). Unde per Lem. 1. \[x = lb + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{3y^6} + \frac{1}{5y^{10}} + \frac{1}{7y^{14}} + \frac{1}{9y^{18}} &c.\] Notandum verò est quod numerus 2. Seriebus Exemp. 1 & 2. praefixus multiplicari supponitur in singulos Serierum terminos: Similesq; Series deduci possunt eodem modo ex $z = l \cdot \frac{a+1}{b}$, atqui tum $x = l \cdot b + z$, ut constat ex Lemmatis 1. parte secundâ. Ex his itaq; satis superque constat Logarithmotecniam jam expositam esse facillimam & maxime genuinam, nec-non adeo generalem ut duobus modis innumeræ Series inveniri possint Numeri cujusvis propositi Logarithmum exhibentes: Nam inumeras (ad libitum) assumere licet æquationes relationem inter $y$ & $a$ exprimentes, quarum unaquæq; novam exhibet Seriem Logarithmicam. Summa tamen adhibenda est cura, ut tales assumantur, quæ efficient ut Serierum termini quam celerrimè convergant, i.e. ut Logarithmus quam minimo Calculi labore inveniatur: Ad hoc præstandum perquam apta est Series in Exemplo postremo exhibita, & quæ eadem est cum illâ quam primus exhibuit Celeberrimus D. Ed. Hallejos in elegantì suâ Logarithmos construendi Methodo. Obiter Lectorem hic monitum volo, quod Curva, quæ ex nostrâ Problematis de Longitudine linearum Curvarum Analyfi in Aëtis Phil. R.S. Anni 1708. editâ eadem fit cum propositâ. Ego quidem de rectè institutâ Analyfi tantum sollicitus hanc Curvæ propositæ & inventæ coincidentiam minime observabam, priusquam de eâ me certiorem fecerit Clariss: D. Jo. Bernoulli in literis suis ad D. Guil. Burnetum, R.S.S. missis; in quibus etiam Celeberrimum virum meis contra Motum suum Reptorium objectionibus plenè satisfecisse ex puro (quam colo) Veritatis amore libenter agnosco.