Solutio Generalis Problematis XV. Propositi à D. de Moivre, in tractatu de Mensura Sortis inserto Actis Philosophicis Anglicanis No 329. Pro Numero Quocunque Collusorum: per D. Nicolaum Bernoulli, Basiliensem, Reg. Soc. Sodalem

II. Solutio Generalis Problematis XV. proposti à D. de Moivre, in tractatu de Mensura Sortis inserto Actis Philosophicis Anglicanis No 329. pro numero quocunque Collutorum: per D. Nicolaum Bernoulli, Basiliensem, Reg. Soc. Sodalem. Cum Methodus synthetica, qua usus est D. de Moivre ad inveniendam cujusque Collutoris sortem, in usum verti nequeat tunc quando plures quam tres sunt collusores, ob vix perspicendi legem progressionis serierum quae se offerunt; ostendam hic quo modo Analysis in ejusmodi Problematibus, ubi depositum continuo augetur, adhiberi queat: eumque in finem demonstrationem dabo analyticam trium Theorematum, quae inveni, & quidem diu ante visum D. Moyurei libellum de Mensura Sortis, occasione triplicis quaestionis mihi ab amico circa ludum hunc, quem Galli vocant le Jeu de la Poule, propositae, pro inveniendis scil. probabilitate vincendi, lucro item vel damno cujusque Collutoris, & duratione certaminis. THEOREMA I. Si Collusores aliquot A, B, C, D, E, &c. quorum numerus est \( n + 1 \) & dexteritates sunt æquales, deponant singuli 1, & istis conditionibus certent. 1°. Ut illorum duo A & B ludum incipient. 2°. Ut victus locum suum tertio C cedat, ita ut ille tertius C jam cum victore contendat, quique ex hoc certamine victor evaserit cum quarto D ludat, & ita deinceps. 3°. Ut ille depositum totum obtineat, qui omnes collusores successivè vicerit. Dico probabilitates vincendi duorum quorumlibet collutorum sese immediate in ordine ludendi sequentium esse in ratione \( 1 + 2^n \) ad \( 2^n \), adeoque expectationes luforum A (B), C, D, E, &c. esse in progressione Geometrica. Demonstratio. Ponantur expectationes vincendi ipsius \( A \) vel \( B = a \), ipsius \( C = c \), ipsius \( D = d \), ipsius \( E = e \), &c. Porro cum accidere possit, ut collutor aliquis prima vice in ludum intrans inventat adversarium qui vel nondum, vel semel, vel bis, vel ter, &c. jam successive victor extitit, vocetur expectatio lusoris illius primo casu \( z \), secundo \( y \), tertio \( x \), quarto \( u \), quinto \( t \), &c. Item cum collutor aliquis vinci possit ab adversario qui antea jam vel nullum, vel unum, vel duos, vel tres, &c. collusores successive vicit, ita ut exiens è ludo relinquit adversarium qui vel semel, vel bis, vel ter, vel quater &c. victor extitit, vocetur expectatio seu probabilis vincendi ejus qui exit è ludo primo casu \( h \), secundo \( k \), tertio \( l \), quarto \( m \), &c. Hisce omnibus positis habebuntur sequentes novem series æquationum signatae N°. 1. N°. 2. N°. 3, &c. usque ad N°. 9. Tab. I. Ratio eas inveniendi breviter hæc est. Inter æquationes N°. 1°. reperitur ex gr. \( f = \frac{1}{8} t + \frac{1}{8} u + \frac{1}{4} x \) \[ + \frac{1}{2} y. \text{ Nam collutor } F \text{ certabit vel cum collusore } A, \text{ vel } B, \text{ vel } C, \text{ vel } D, \text{ vel } E : \text{ ut primum vel secundum contingat, oportet ut vel } A \text{ vel } B \text{ quater successive victor existat, cujus eventus probabilis est } \frac{2}{16} \text{ seu } \frac{1}{8} : \text{ Ut tertium contingat oportet ut } C \text{ ter victor existat, cujus eventus probabilis est etiam } \frac{1}{8} : \text{ Ut quartum contingat oportet ut } D \text{ bis successive vincat, quod probabilitatem habet } \frac{1}{4} ; \text{ Ut quintum contingat, oportet ut } E \text{ semel vincat, cujus eventus probabilis est } \frac{1}{2} ; \] ergo ergo lusoris $F$ probabilis vincendi est $= \frac{1}{8} t + \frac{1}{8} x + \frac{1}{4} x$ $+ \frac{1}{2} y$. Sic inter æquationes No. 2. est, ex gr. $x = \frac{1}{2}$ $+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1$. Collusor enim qui certat cum adversario qui jam bis successivo victor extitit, vincere potest vel omnes collusores, vel aliquos, vel nullum. Prioris eventus probabilis est $\frac{1}{2^n}$, secundi $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \frac{1}{2^n}$, & tertii $\frac{1}{2}$; si primus eventus contingat, probabilis vincendi evadit certitudine integra seu 1; si secundus, exit è ludo relinquens collusorem qui semel vicit; si tertius, exit è ludo relinquens collusorem qui ter successivo vicit; adeoque sors ejus totalis est $\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1$. Simili ratiocinio inveniuntur æquationes No. 3. Collusor enim qui victus ab adversario exit è ludo, relinquentis ex gr. collusorem unius tantum ludi victorem, acquirit fortissimam vel ipsius $C$, vel ipsius $D$, vel ipsius $E$, vel ipsius $F$, &c. prout adversarius à quo victus est vincit vel omnes collusores praeter unum, vel omnes praeter duos, vel omnes praeter tres, &c. unde sequitur quod $b = \frac{1}{2^{n-1}} \times c + \frac{1}{2^{n-2}} \times d + \frac{1}{2^{n-3}} \times e + \frac{1}{2^{n-4}} \times f + &c.$ Æquationes No. 4. inveniuntur subtrahendo æquationes No. 2. ab invicem: & æquationes No. 5. subtrahendo æquationes No. 3. ab invicem. Æquationes No. 6. inveniuntur substituendo in æquationibus No. 4. valores inventos per æquationes No. 5. Æquationes No. 7. inveniuntur quarendo valores ipsarum $z, y, x, u, &c.$ per æquationes No. 1. Et his valoribus substitutis in æquationibus No. 4. habebuntur æquationes No. 8, quae comparatae cum æquationibus No. 6. dant æquationes N°. 9. ex quibus sequitur quod \(1 + 2^n \cdot 2^n : 1\) :: \(a : c :: c : d :: d : e\), &c. Q.E.D. Corollarium. Hinc faciē inveniuntur probabilitates vincendi singulorum Collusorum, quas habent tum ante ludum inceptum, tum in quolibet statu in quem ludum prosequendo pervenire possunt. Si sint, ex gr. tres collusores \(A, B, C\), erit \(n = 2\), & \(1 + 2^n : 2^n :: 5 : 4 :: a : c\) id est, probabilitates vincendi ipsorum \(A, B, C\), antequam \(A\) vicerit \(B\), vel \(B\) vicerit \(A\), se habent ut numeri \(5, 5, 4\), adeoque ipsæ probabilitates sunt \(\frac{5}{14}, \frac{5}{14}, \frac{4}{14}\); omnes enim simul sumptae facere debent \(r\) seu certitudinem integram. Postquam \(A\) vicerit \(B\), probabilitates vincendi ipsorum \(B, C, A\), erunt \(b, y\) seu \(c\), & (quia \(A\) æqualem habet expectationem ad victoriam, & ad sortem ipsius \(B\) obtinendam) \(\frac{1 + b}{2}\) respectivè, hoc est, quia per æq. r. N°. 3. \(b = \frac{1}{2^{n-1}} \times c = \frac{1}{2} c, & c = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\) ut modo inventum, haæ probabilitates erunt \(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{4}{7}\), ut D. de Moivre invenit Coroll. i. Prop. r 5. pag. 242. Si sint quattuor collusores \(A, B, C, D\), erit \(n = 3\), & \(1 + 2^n : 2^n :: 9, 8\), adeoque probabilitates collusorum ab initio ludi erunt ut \(9, 9, 8, \frac{8 \times 8}{9}\), sive ut \(81, 81, 72, 64\), hoc est, ipsæ \(a, a, c, d\), erunt \(\frac{81}{298}, \frac{81}{298}, \frac{72}{298} & \frac{64}{298}\). Postquam \(A\) vicerit \(B\), probabilitates ipsorum \(B, D, C, A\), erunt \(b, d, c, \frac{1 + 3b}{4}\), est autem per æq. r. N°. 3. \(b = \frac{1}{2^{n-1}} \times c + \frac{1}{2^{n-2}} \times d = \frac{1}{4} c + \frac{1}{2} d\), \[ e = \frac{72}{298} = \frac{36}{149}, \quad \& \quad d = \frac{64}{298} = \frac{32}{149}, \text{ut modo inventum:} \] ergo hæ probabilitates erunt \( \frac{25}{149}, \frac{32}{149}, \frac{36}{149}, \frac{56}{149} \) respective. Postquam \( A \) vicerit \( B \& C \), probabilitates vincendi ipsorum \( C, B, D, A \), erunt \( k, \frac{c}{2}, x, \frac{1 + b}{2} \), seu (quia per æq. 2 N°. 3: \[ k = \frac{1}{2^{n+2}} \times d = \frac{1}{2} d, \quad \& \quad \text{per æq. 3. N°. 7. } x = 2d - c \frac{16}{149}, \frac{18}{149} \] \( \frac{28}{149}, \frac{87}{149} \). Et nota quod calculi bonitas confirmetur ex eo, quod summæ harum probabilitatum, hoc est, \( \frac{1}{7} + \frac{2}{7} + \frac{4}{7} \) in priori exemplo, \( \& \frac{25}{149} + \frac{32}{149} + \frac{36}{149} + \frac{56}{149} \), nec non \( \frac{16}{149} + \frac{18}{149} + \frac{28}{149} + \frac{87}{149} \) in posteriori exemplo, singulæ sint \( = 1 \) seu certitudini integræ. **THEOREMA II.** Positis quæ prius & insuper hac conditione, ut victus semper multetetur summa \( p \), quæ deposito augendo inserviat; quod depositum sic gradatim auctum illi soli cedat, qui omnium successivi collutorum victor extiterit; denotatis etiam ut antea per literas minusculas \( a, c, d, e, \&c. \) probabilitatibus vincendi ipsorum \( A \) (vel \( B \)), \( C, D, E, \&c. \) respective: per eadem vero literas majusculas \( A, C, D, E, \&c. \) ipsorum \( A \) (vel \( B \)), \( C, D, E, \&c. \) expectationibus, hoc est, portionibus depositi quas singuli expectant: Dico, fore semper \( C = \frac{A + ap \times 2^n - nc}{1 + 2^n} \) \[ x \quad D = \] \[ D = \frac{C + cp \times 2^n - ndp}{1 + 2^n}, \quad E = \frac{D + dp \times 2^n - necp}{1 + 2^n}, \quad \text{&c.} \] **Demonstratio.** Denotetur ut prius per literas minusculas \( z, y, x, u, t, \) &c. probabilitas vincendi ludentis cum adversario, qui jam vel nullum, vel unum, vel duos, &c. collusores successively vicit; per easdem vero literas majusculas \( Z, T, X, U, T, \) &c. ejus expectatio, quam scil. habet diversis illis casibus, deposito existente \( n + 1, n + 1 + p, n + 1 + 2p, n + 1 + 3p, \) &c. respectivè. Sic etiam per literas minusculas \( h, k, l, m, \) &c. denotetur probabilitas vincendi lusoris victi ab adversario, qui antea vel nullum, vel unum, vel duos, &c. collusores successively vicerat; quemadmodum per literas majusculas \( H, K, L, M, \) &c. ejusdem expectatio diversis illis casibus, deposito existente \( n + 1 + p, n + 1 + 2p, n + 1 + 3p, \) &c. respectivè. His positis iisdem quibus antea ratiociniis inveniuntur sequentes duodecim æquationum series in Tab. II. signatae N°. 1. N°. 2. N°. 3, &c. Inter æquationes N°. 1. ex. gr. est \( E = \frac{U}{4} + \frac{X + xp}{4} + \frac{T + 2yp}{2}. \) Lusor enim \( E \) ludet vel cum lusore \( A, \) vel lusore \( B, \) vel \( C, \) vel \( D. \) Si ludit cum \( A \) vel \( B, \) expectatio ejus erit \( = U, \) quia ludit cum adversario qui jam tres adversarios vicit, deposito existente \( n + 1 + 3p. \) Si ludit cum lusore \( C, \) expectatio ejus erit \( = X + xp, \) ludit enim cum adversario qui jam duos collusores vicit, adeoque si depositum esset \( n + 1 + 2p \) ejus, expectatio esset \( = X: \) verum quia ludente \( E \) depositum est \( = n + 1 + 3p, \) ob tres collusores victos & summa \( p \) multatos, addenda est expectationi \( X \) portio illa multæ unius \( p, \) quam lusor \( E \) (perare potest: est autem hæc portio (quia probabilitas ejus vincendi est \( x)) = xp, \) ejus igitur expectatio totalis tunc erit \( = X + xp. \) Sic si ludit cum lusore \( D, \) expectatio ejus erit \( = T + 2yp : \) additur ad \( T \) (quæ esset ejus expectatio deposito existente \( n + 1 + p)) \) portio \( 2yp, \) quæ ipsi debetur de duabus multatis. multis \(2p\), quibus depositum \(n + 1 + 3p\) majus est quam \(n + 1 + p\). Simili modo habentur æquationes N°. 2, 3, 4, & 5. Substituendo autem primam æquationem N°. 2. Tab. I. in æquationibus N°. 4, habentur æquationes N°. 6. Et substituendo primam æquationem N°. 3. Tab. I. in æquationibus N°. 5, habentur æquationes N°. 7. quibus dein in æquationibus No 6. substitutis habentur æquationes No. 8. Æquationes N° 9. inveniuntur quærendo valores ipsarum \(Z, T, X, U, \&c.\) per æquationes N°. 1. Tab. I. & II. vel N° 2. Tab II. & N°. 7. Tab. I. Et his valorigibus substitutis in æquationibus N°. 4. habentur æquationes N°. 10. Quæ comparatæ cum æquationibus N°. 8 (in quibus pro \(z\) substituatur \(a\), per I. æq. Tab. I.) dant æquationes N°. 11. Et hæ æquationes N°. 11. comparatæ cum æquationibus N°. 9. Tab. I. dant æquationes N°. 12, quæ constituunt Theorema, quod demonstrandum erat. Corollarium. Hinc quoque facile inveniuntur singulorum Collusorum sortes seu expectationes, ipsorumque adeo lucra vel damna. Sint ex gr. tres collusores \(A, B, C\): erit \(C = \frac{A + ap \times 2^n - nc}{1 + 2^n}\). \(= (ob n = 2) \frac{4A + 4ap - 2cp}{5} = (ob a = \frac{5}{14} \& c = \frac{2}{7}\) per coroll. Theor. I.) \(\frac{4A + \frac{5}{7}p}{5}\). Unde cum omnium trium expectationes simul sumptæ, id est, \(A + A + C\) æquare debent id quod ab initio depositum fuit, id est 3, erit \(2A + \frac{4A + \frac{5}{7}p}{5} = \frac{14A + \frac{5}{7}p}{5} = 3, \& 14A = 15 - \frac{5}{7}p, \&\) \(A = \frac{15}{14} - \frac{3}{49}p =\) expectationi lusoris \(A\) vel \(B\): proinde \(C\) expectatio lusoris tertii \(C = \frac{4A + \frac{5}{7}p}{5} = \frac{6}{7} + \frac{6}{42}p\). A qui- bus bus expectationibus si subtrahatur 1, id quod ab initio singuli deposuerunt, remanet ibi $\frac{1}{14} - \frac{3}{49} p$, hic $\frac{6}{49} p - \frac{1}{7}$; quemadmodum D. de Moivre invenit. Exempl. 2. Sint collusores $A, B, C, D$, crit $C = \frac{A + ap \times 2^n - nc p}{1 + 2^n} = (ob n = 3)$ $\frac{8A + 8ap - 3cp}{9} = (ob a = \frac{81}{298} & c = \frac{36}{149})$, per coroll. Theor. 1.) $\frac{8A + \frac{36}{149} p}{9}$; item $D = \frac{C + cp \times 2^n - ndp}{1 + 2^n} =$ $\frac{8C + 8cp - 3dp}{9} = (ob d = \frac{32}{149} \text{perid. corr.}) \frac{8C + \frac{102}{149} p}{9} =$ $\frac{64A + \frac{3456}{149} p}{81}$: unde habebitur æquatio $2A + C + D = 2A +$ $\frac{8A + \frac{315}{149} p}{9} + \frac{64A + \frac{3456}{149} p}{9} = \frac{298A + \frac{102}{149} p}{81} = 4$, sive $149A$ $+ \frac{2700}{149} p = 162, & A = \frac{162}{149} - \frac{2700}{22201} p$. Hinc $C =$ $\frac{8A + \frac{315}{149} p}{9} = \frac{144}{149} + \frac{1176}{22201} p$, & $D = \frac{64A + \frac{3456}{149} p}{81} = \frac{128}{149}$ $+ \frac{4224}{22201} p$. Subtracta autem unitate 1, quam singuli ab initio ludi deposuerunt, remanet $\frac{13}{149} - \frac{2700}{22201} p$ pro lusore $A vel B, \frac{1176}{22201} p - \frac{5}{149} pro C, & \frac{4224}{22201} p - \frac{21}{149} pro D$; quæ singula indigitabunt lucrum vel damnum, prout pars affirmata præpollet negatæ, vel contra. Simili ratione habebuntur etiam fortæ quas acquirunt in quolibet statu in quem ludum prosequendo pervenire possunt. THEO. THEOREMA 3. Positis quae prius, si adsint spectatores Q, R, S, T, U, &c. quorum numerus sit n unitate minor quam numerus collusorum, quorumque prior Q affirmet certamen finitum iri post n + p ludos peractos, R post n + p - 1, S post n + p - 2, T post n + p - 3, U post n + p - 4, &c. præcise, non antea; sintque q, r, s, t, u, &c. fortis ipsorum Q, R, S, T, U, &c. Diro fore q = \frac{1}{2} r + \frac{1}{4} s + \frac{1}{8} t + \frac{1}{16} u + &c. Demonstratio. Vocetur A collusor ille, qui post n + p ludos vincere supponitur: hic intrare debet in ludum post p ludos peractos, & tum ludet contra adversarium, qui jam vel unum vel duos, vel tres, &c. collusores successively vicit. Jam cum, ut primus casus contingat, & ut collusor A omnes suos collusores praeter unum, id est, n - 1 collusores successively vincat, æque probabile sit quam ut adversarius ejus vincat n - 1 collusores, id est, (quia jam unius collusoris victor fuit) ut certamen finiat post n + p - 1 ludos peractos; hujusque eventus probabilitas sit = r: erit probabilitas ut collusor A unum adhuc collusorem vincat, id est, certamen finiat post n + p ludos = \frac{1}{2} r. Sic, ut secundus; casus existat, & ut A omnes collusores praeter duos vincat, æquè probabile est quam ut certamen finiatur post n + p - 2 ludos, adeoque ut tunc A vincat adhuc duos collusores, id est, ut certamen finiat post n + p ludos, probabilitas erit = \frac{1}{4} s. Eodem modo ut, tertio casu existente, A vincat omnes collusores, probabilitas est = \frac{1}{8} t; ut quarto = \frac{1}{16} u, &c. Quare ut indifferenter certamen finiatur post \( n + p \) ludos, probabilitas est \[ \frac{1}{2} r + \frac{1}{4} s + \frac{1}{8} t + \frac{1}{16} u + \&c. = q. \] Corollarium 1. Facile hinc invenitur quænam sit probabilitas ut certamen finiatur intra datum quemvis ludorum numerum. Series enim fractionum incipientium à fractione \( \frac{1}{2^n-1} \), quarum denominatores crescant in continua proportione dupla, numerator autem cujusque fractionis sit summa numeratorum tot fractionum immediate praecedentium quot sunt unitates in \( n - 1 \), dabit omnes successive probabilitates, ut certamen finiatur peractis præcise \( n, n + 1, n + 2, n + 3 &c. \) ludis: & per consequens si addantur tot termini hujus seriei quot sunt unitates in \( p + 1 \), summa ipsorum exprimet probabilitatem ut certamen finiatur ad minimum ludis \( n + p \) peractis. Ex. gr. Si sint collusores 4, adeoque \( n = 3 \), habebitur hæc series \[ \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{2}{16}, \frac{3}{32}, \frac{5}{64}, \frac{8}{128}, \frac{13}{256}, \frac{21}{512} &c. \] E qua si fiat alia \[ \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{8}{16}, \frac{19}{32}, \frac{43}{64}, \frac{94}{128}, \frac{201}{256}, \&c. \] cujus termini sint summæ terminorum praecedentis seriei, denotabunt iidem termini qualis sit probabilitas ut certamen finiatur ad minimum 3, 4, 5, 6, &c. ludis. Corollarium 2. Porest terminus quicunque prioris seriei (excepto primo termino,) ut & summa omnium terminorum, id est, terminus quicunque posterioris seriei, per formulam generalem exprimi hoc modo. Si \( n + 1 \) sit numerus collusorum, & \( p \) sit numerus terminorum, erit ultimus terminus prioris seriei \[ \frac{1}{2^n} \] \[ \frac{1}{2^n} \left( p - n + 1 \right) + \frac{p - 2n \times p - 2n + 3}{1 \times 2 \times 2^{3n}} \\ + \frac{p - 3n \times p - 3n + 1 \times p - 3n + 5}{1 \times 2 \times 3 \times 2^{4n}} \\ + \frac{p - 4n \times p - 4n + 1 \times p - 4n + 2 \times p - 4n + 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 2^{5n}}, \text{etc.} \] summa omnium terminorum sive ultimus terminus posterioris seriei \[ = \frac{p + 1}{1 \times 2^n} - \frac{p - n \times p - n + 3}{1 \times 2 \times 2^{2n}} + \frac{p - 2n \times p - 2n + 1 \times p - 2n + 5}{1 \times 2 \times 3 \times 2^{3n}} \\ - \frac{p - 3n \times p - 3n + 1 \times p - 3n + 2 \times p - 3n + 7}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 2^{4n}} + \text{etc.} \] Tabula I. | Intrat | Exit. | N°. 1 | |--------|-------|------| | Sors | Sors | \(a = x\) | | 0 | z | \(b = y\) | | 1 | y | \(c = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y\) | | 2 | x | \(d = \frac{1}{4} u + \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} y\) | | 3 | u | \(e = \frac{1}{8} t + \frac{1}{8} u + \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} y\) | N°. 2. \[ z = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1 \] \[ y = \frac{1}{2} k + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1. \] \[ x = \frac{1}{2} l + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1. \] \[ u = \frac{1}{2} m + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \frac{1}{2^n} \times b + \frac{1}{2^n} \times 1. \] No. 3. N°. 3. \[ b = \frac{1}{2^{n-1}} \times c + \frac{1}{2^{n-2}} \times d + \frac{1}{2^{n-3}} \times e + \frac{1}{2^{n-4}} \times f + \cdots \] \[ k = \frac{1}{2^{n-2}} \times d + \frac{1}{2^{n-3}} \times e + \frac{1}{2^{n-4}} \times f + \cdots \] \[ l = \frac{1}{2^{n-3}} \times e + \frac{1}{2^{n-4}} \times f + \cdots \] \[ m = \frac{1}{2^{n-4}} \times f + \cdots \] N°. 4. \[ z - y = \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} k = \frac{1}{2^n} \times c = a - c \] \[ y - x = \frac{1}{2} k - \frac{1}{2} l = \frac{1}{2^{n-1}} \times d = 2c - 2d \] \[ x - u = \frac{1}{2} l - \frac{1}{2} m = \frac{1}{2^{n-2}} \times e = 4d - 4e \] N°. 5. \[ h - k = \frac{1}{2^{n-1}} \times c \] \[ k - l = \frac{1}{2^{n-2}} \times d \] \[ l - m = \frac{1}{2^{n-3}} \times e \] N°. 6. \[ z = a \] \[ y = c \] \[ x = 2d - y = 2d - c \] \[ u = 4e - x - 2y = 4e - 2d - e \] N°. 7. \[ c = a \times \frac{2^n}{1 + 2^n} \] \[ d = c \times \frac{2^n}{1 + 2^n} \] \[ e = d \times \frac{2^n}{1 + 2^n} \] Corollarium 3. Potest quis priusquam ludus inchoetur in se suscipere, ut summam \( n + 1 \) de qua collusores contendunt, & multas omnes pendat, si sibi initio in manus datum sit \( n + 1 + 2^n - 1 \times p \). Demonstrationem duorum praecedentium corollariorum curiosis indagandam relinquó.