Logometria Auctore Rogero Cotes, Trin. Coll. Cantab. Soc. Astr. & Ph. Exp. Professore Plumiano, & R. S. S.

LOGOMETRIA Auctore ROGERO COTES, Trin. Coll. Cantab. Soc. Astr. & Ph. Exp. Professore Plumiano, & R. S. S. Eruditissimo Viro EDMUNDO HALLEIO, Societatis Regalis Secretario S. P. Mitto tibi, hortatu Illusterrimi Praefidis Newtoni, quae aliquot abhinc annis conscripseram de Rationibus dimetriendis. Tu vero, quem & Ipse dudum in eodem Argumento praclare versatus fueris, pro solito tuo candore, tentamen hoc qualecunque benigne accipies. Vale. AGITUR in hoc Tractatu de Mensuris Rationum. Haec Mensurae sunt quantitates cujuscunque generis, quarum magnitudines magnitudinibus rationum sunt analogae. In dato itaque Systemate, rationis ejusdem eadem est mensura, duplicatae dupla, triplicatae tripla, subduplicatae subdupla, sesquiplicatae sesquialtera: denique quocunque modo per compositionem vel resolutionem auctae vel diminutae rationis, similiter aucta est vel diminuta mensura. Æqualitatis ratio nullam habet magnitudinem, quia nullam addita vel detracta mutationem inducit; rationes quae dicuntur majoris & minoris inæqualitatis contrarias habent magnitudinum variarum affectiones, quoniam in compositione & resolutione contraria semper efficiunt: itaque si mensura rationis quam habet terminus major ad minorem positiva censeatur, mensura rationis quam habet terminus minor ad majorem erit ænegativa, mensura vero rationis inter æquales terminos nullius erit magnitudinis. Porro diversa mensurarum oriuntur Systemata, prout modis diversis exponitur analogia illa determinata & immutabilis quae est inter magnitudines rationum. Inde vero patet, exhiberi posse numero infinita Systemata, minuendo vel augendo Systematis cujusvis dati mensuras omnes in eadem data quacunque proportione, aut etiam pro mensuris adhibendo quantitates diversi generis. In tanta autem varietate confusionem aliquam oboriri necesse est, ni probe constiterit ad quodnam Systema referendæ sint mensurae singulae de quibus contingat sermonem institui. Huic malo remedium optime parari potest si mensura datæ aliquidus rationis, quae commodissima videbitur, pro Modulo habeatur ad quem constanter in omni Systemate mensuræ reliquarum rationum exigantur. Id enim si fiat, statim ex dato illo Modulo determinabitur Systema totum: nam ex mensuris constabit quae Modulo erunt homogeneæ, quæque eo maiores habebunt magnitudines vel minores quo major ille fuerit vel minor, ut ira mensurandarum rationum invariata magnitudinum servetur analogia inter ipsas mensuras. Patebit igitur in sequentibus rationem quandam dari, dupli inter & tripli rationes intermediam, ad rationem vero triplici aliquanto propius accedentem, quae proposito nostro non immerito aptissima judicetur, siquidem ipsa rei natura hujus usum suadere ac non incertis indiciis efflagitare quodammodo videatur. Hanc ego, ex officio ejus defumpto nomine, Modularem Rationem appellabo; quo autem pacto ipsa fit accuratius definienda, ostendetur inferius, nunc enim de Logarithmis pauca sunt addenda. Logarithmi sunt rationum mensuræ Numerales: solent autem in Canone sic disponi, ut singulis numeris naturali ordine crescentibus, & in serie continua positis adscribatur Logarithmus, non quidem ipsius numeri ut vulgo dicitur, sed rationis quam habet numerus ad Unitatem. Exinde vero rationis per quoscunque terminos designatae facilis est inventio Logarithmi. Nam cum ratio antecedentis ad consequentem sit excessus rationis antecedentis ad Unitatem supra supra rationem consequentis ad Unitatem: Logarithmus ejus simi- liter erit excessus Logarithmi rationis quam habet antecedens ad Unitatem supra Logarithmum rationis quam consequens habet ad Unitatem; hoc est, ut vulgari sermone utamur, excessus Logarithmi antecedentis supra Logarithmum consequentis; neutiquam enim dif- ficilis loquendi modus jam à multis annis receptus, si recte intelli- gatur. Exinde porro pereggregium enascitur compendium ad ope- rationes Arithmeticas. Datis enim duobus quibuscunque numeris in se multiplicandis, si quaeratur numerus ex multiplicatione pro- ductus; quoniam rations numerorum datorum ad Unitatem, con- ficiunt simul additæ rationem producti ad Unitatem, & rations componendarum mensuræ simul additæ conficiunt rationis compo- sitæ mensuram: Logarithmus producti æquabitur Logarithmis nu- merorum datorum simul sumptis. Ad eundem modum si quaera- tur numerus ex divisione ortus; quoniam ratio divisoris ad Unitat- em è ratione dividendi ad Unitatem detracta relinquit rationem quoti ad Unitatem: habebitur quoti Logarithmus subducendo Lo- garithmum divisoris è Logarithmo dividendi. Et eodem argu- mento, si quaeratur dati cujuvis numeri qualibet potestas; quo- niam ratio dati numeri ad Unitatem per Indicem potestatis multi- plicata rationem efficit quam habet numeri potestas ad Unitatem, & mensura prioris rationis multiplicata per eundem Indicem efficit pariter mensuram rationis posterioris: Logarithmus potestatis æqua- bitur Logarithmo numeri dati per Indicem potestatis multiplicato. Et similiter Logarithmus cujuilibet radicis numeri dati æquabitur Logarithmo numeri dati per Indicem radicis diviso. Igitur ope Canonis peragetur inventio potestatum & radicum per multiplica- tionem & divisionem, multiplicatio autem & divisio per additionem & subductionem. Ceterum de hisce vulgo notis Logarithmorum usibus non est mei instituti fusius differere: missis ergo ambagi- bus, ad alia nunc me confero & rem ipsam protinus aggredior. Propositio I. Invenire Mensuram Rationis cujuscunque propositionis. Proponatur Ratio inter AC & AB, cujus Mensuram oportet invenire. Terminorum differentia BC divisa concipiatur in partículas innumerabiles quam minimas PQ, atque ratio inter AC & AB in totidem rationes quam minimas inter AQ & AP: & si detur magnitudo rationis inter AQ & AP, dividendo dabitur ratio quam habet PQ ad AP; atque adeo data illa magnitudo rationis inter AQ & AP, per datam quantitatem $\frac{PQ}{AP}$ exponi potest. Manente AP, augeri vel minui intelligatur particula PQ in proportione quavis; & in eadem proportione augebitur vel minuetur magnitudo rationis inter AQ & AP: capitur particula dupla vel tripla, subdupla vel subtripla, & evadet ratio duplicata vel triplicata, subduplicata vel subtriplicata; etiamnum igitur exponetur per quantitatem $\frac{PQ}{AP}$. Sed & assumpta determinata quavis quantitate M, exponi potest per $M \times \frac{PQ}{AP}$: erit ergo quantitas $M \times \frac{PQ}{AP}$ mensura rationis inter AQ & AP. Hæc vero mensura diversam habebit magnitudinem, & ad Systema diversum accommodabitur, pro diversa magnitudine quantitatis assumptae M, quæ adeo vocetur Systematis Modulus. Jam quemadmodum summa rationum omnium inter AQ & AP æqualis est propositionis rationis, quam utique habet AC ad AB: ita summa mensurarum omnium $M \times \frac{PQ}{AP}$ (per Methodos satis notas invenienda) æqualis erit ejusdem propositionis mensuræ quaestæ. Q.E.I. Corol. 1. Terminis AP, AQ ita ad æqualitatem accedentibus, ut quam minima sit eorundem differentia PQ: crit $M \times \frac{PQ}{AP}$ vel $M \times \frac{PQ}{AQ}$ æqualis mensuræ rationis inter AQ & AP ad Modulum M. Corol. Corol. 2. Unde Modulus ille \( M \) est ad mensuram rationis inter terminos \( AQ \) & \( AP \), ut terminorum alteruter \( AP \) vel \( AQ \) ad terminorum differentiam \( PQ \). Corol. 3. Data ratione inter \( AC \) & \( AB \), datur summa omnium \( \frac{PQ}{AP} \), & summa omnium \( M \times \frac{PQ}{AP} \) est ut \( M \). Itaque mensura datæ cujuscunque rationis est ut Modulus Systematis ex quo desumitur. Corol. 4. Modulus ergo, in omni mensurarum Systemate, semper æqualis fit mensuræ rationis cujusdam determinatae atque immutabilis: Quam proinde Rationem Modularem vocabo. Scholium 1. Problematis solutio per Exemplum illustrabitur. Sit \( z \) quantitas determinata quævis & permanens, sit vero \( x \) quantitas indeterminata fluxuque perpetuo variabilis, ejusque fluxio sit \( \dot{x} \); & quaeratur mensura rationis inter \( z - x \) & \( z - x \). Statuatur hæc ratio æqualis rationi inter \( y \) & \( r \), exponatur autem numerus \( y \) per \( AP \), fluxio ejus \( \dot{y} \) per \( PQ \), \( r \) per \( AB \): & ex Corollario primo colligetur fluxionem quæstæ mensuræ rationis inter \( y \) & \( r \) esse \( M \times \frac{\dot{y}}{\dot{r}} \). Reponatur jam pro \( y \) valor ejus \( \frac{z + x}{z - x} \), itemque pro \( \dot{y} \) valoris fluxio \( \frac{2z\dot{x}}{z - x^2} \): & fluxio mensuræ evadet \( 2M \times \frac{z\dot{x}}{zz - xx} \) vel \( 2M \times \frac{\dot{x}}{z - x} \): sive \( 2M \times \frac{\dot{x}}{z} + \frac{\dot{x}\dot{x}x}{z^3} - \frac{\dot{x}\dot{x}x^4}{z^5} + \&c. \). Atque adeo mensura illa fit: \( 2M \times \frac{\dot{x}}{z} - \frac{\dot{x}\dot{x}x}{z^3} + \frac{\dot{x}\dot{x}x^3}{z^5} + \&c. \). Unde patet Corollarium sequens. Corol. 5. Si duarum quantitarum summa sit \( z \) & differentia sit \( x \); & sumatur \( 2M \times \frac{\dot{x}}{z} = A \), \( A \times \frac{\dot{x}}{z} = B \), \( B \times \frac{\dot{x}}{z} = C \), \( C \times \frac{\dot{x}}{z} = D \), &c: Mensura rationis quam habet quantitas major ad quantitatem minorem, erit \( A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{3}C + \frac{1}{3}D + \&c \). Scholium 2. Non absimili computo mensura rationis inter \( i + v \) & \( i \) erit \( M \) in \( v - \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{3}v^3 - \frac{1}{4}v^4 + \frac{1}{5}v^5 - \&c. \). Unde si mensura illa vocetur \( m \), erit \( \frac{m}{M} = v - \frac{1}{2}vv + \frac{1}{3}v^3 - \frac{1}{4}v^4 + \frac{1}{5}v^5, \&c \): ac proinde unde \( \frac{m}{M} = vv - v^3 + \frac{1}{2}v^4 - \frac{5}{6}v^5, \) &c; similiterque \( \frac{m^3}{M^3} = v^3 - \frac{1}{2}v^4 + \frac{7}{4}v^5, \) &c; quinetiam \( \frac{m^4}{M^4} = v^4 - 2v^5, \) &c; ac denique \( \frac{m^5}{M^5} = v^5, \) &c. Ut igitur vicissim, ex data mensura \( m, \) inveniatur ratio quam estituri; addendo æqualia æqualibus habebitur \( \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} = v \) \[- \frac{1}{6}v^3 + \frac{1}{4}v^4 - \frac{5}{6}v^5, \) &c; atque iterum \( \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} + \frac{m^3}{6M^3} \) \[= v \ast \ast - \frac{1}{4}v^4 + \frac{3}{10}v^5, \) &c; rursusque \( \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} + \frac{m^3}{6M^3} \) \[+ \frac{m^4}{24M^4} = v \ast \ast \ast - \frac{1}{20}v^5, \) &c; atque tandem \( \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} \) \[+ \frac{m^3}{6M^3} + \frac{m^4}{24M^4} + \frac{m^5}{120M^5} = v \ast \ast \ast \ast, \) &c; id est, \( \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} \) \[+ \frac{m^3}{6M^3} + \frac{m^4}{24M^4} + \frac{m^5}{120M^5} + \) &c. \( = v. \) Itaque ratio quaæ sita inter \[1 + v & 1, \] est ea quam habet \( 1 + \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} + \frac{m^3}{6M^3} + \frac{m^4}{24M^4} + \frac{m^5}{120M^5} \) \[+ \) &c. ad \( 1. \) Ponatur \( m = M, \) sive \( \frac{m}{M} = 1; \) & exinde Ratio Modularis erit ea quam habet \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \) &c. ad \( 1. Eodem modo, si detur ratio inter \( 1 & 1 - v, \) mensura hujus rationis erit \( M \) in \( v + \frac{1}{2}v^2 + \frac{1}{3}v^3 + \frac{1}{4}v^4 + \frac{1}{5}v^5, \) &c. Et vicissim si detur rationis mensura \( m, \) ratio erit ea quam habet \( 1 \) ad \[1 - \frac{m}{M} + \frac{mm}{2MM} - \frac{m^3}{6M^3} + \frac{m^4}{24M^4} - \frac{m^5}{120M^5} + \) &c. Ponatur \( m = M, \) sive \( \frac{m}{M} = 1; \) & exinde Ratio Modularis erit ea quam habet \( 1 \) ad \[1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \) &c. Ex hisce vero patet Corollarium sequens. Corol. 6. Exposito termino \( R, \) si sumatur \( \frac{1}{2}R = A, \frac{1}{2}A = B, \) \[\frac{1}{3}B = C, \frac{1}{4}C = D, \frac{1}{5}D = E, \) &c. in infinitum; & capiatur \( S = R \) \[+ A + B + C + D + E + \) &c.: Ratio Modularis erit ea quaæ est inter terminum minorem expositum \( R \) & majorem inventum \( S. \) Vel exposito termino \( S, \) si sumatur \( \frac{1}{2}S = A, \frac{1}{2}A = B, \frac{1}{3}B = C, \) \[\frac{1}{4}C = D, \frac{1}{5}D = E, \) &c. in infinitum; & capiatur \( R = S - A + \) \[B - C + D - E + \) &c.: Ratio Modularis erit ea quaæ est inter terminum majorem expositum \( S \) & minorem inventum \( R. \) Porro eadem ratio est inter \( 2,718281828459 \) &c. et \( 1, \) vel inter \( 1 & \) \[0,367879441371 \) &c. Scholium 3. Si forte termini minores desiderentur, qui eandem proxime Rationem Modularum ita exhibeant, ut nulli ipsis non majores propius instituenda erit operatio ad modum sequentem. Dividatur terminus major $2.71828$ &c. per minorem $1$, vel etiam major $1$ per minorem $0.367879$ &c. & rursus minor per numerum qui reliquus est, & hic rursus per ultimum residuum, atque ita porro pergatur: & | Rationes Vera Majores | Rationes Vera Minores | |-----------------------|-----------------------| | $1$ | $0 \times 2$ | | $2$ | $1$ | | $3$ | $1 \times 2$ | | $8$ | $3$ | | $11$ | $4 \times 1$ | | $76$ | $28$ | | $87$ | $32 \times 1$ | | $106$ | $39$ | | $193$ | $71 \times 6$ | | $1264$ | $465$ | | $1457$ | $536 \times 1$ | | $21768$ | $8008$ | | $23225$ | $8544 \times 1$ | | $25946$ | $9545$ | | $49171$ | $18089 \times 10$ | | &c. | &c. | prodibunt quotientes $2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, &c.$ His inventis, perficiendae sunt binæ rationum columnæ, quarum altera terminos continet rationem habentes vera majorem, altera terminos quorum ratio est vera minor; in-eundo computationem à rationibus $1$ ad $0$, $0$ ad $1$, quæ remotissimæ sunt à vera; inde autem exorsam deducendo ad rationes reliquas, quæ quae continue ad veram proprius accedunt. Multiplicentur itaque termini 1 & o per quotientem primum 2, & scribantur facti 2 & o infra terminos o & i; & addendo prodibit ratio 2 + o ad o + i, sive 2 ad 1. Hujus termini multiplicentur per quotientem secundum 1, factique 2 & i addantur terminis i & o; & habebitur ratio 2 + i ad i + o, sive 3 ad i. Hujus termini multiplicentur per quotientem tertium 2, factique 6 & 2 addantur terminis praecedentibus 2 & i; & habebitur ratio 8 ad 3. Hujus termini multiplicentur per quotientem quartum 1, factique 8 & 3 addantur terminis praecedentibus 3 & i; & habebitur ratio 11 ad 4. Hujus termini multiplicentur per quotientem quintum 1, factique 11 & 4 addantur praecedentibus 8 & 3; & habebitur ratio 19 ad 7. Hujus termini rursus multiplicentur per quotientem sextum 4, factique 76 & 28 addantur praecedentibus 11 & 4, ad inveniendam rationem 87 ad 32; & sic porro pergendum quoique libuerit, transitu alternis facto in alteram columnam. Hisce peractis, habebuntur rationes verae majoris 3 ad 1, 11 ad 4, 87 ad 32, 193 ad 71, 1457 ad 536, 23225 ad 8544, 49171 ad 18089, &c. Vera autem minores erunt 2 ad 1, 8 ad 3, 19 ad 7, 106 ad 39, 1264 ad 465, 2721 ad 1001, 25946 ad 9545, &c. Atque haec quidem sunt praecipuae & primariae rationes, quibus ad rationem propositam continue appropinquatur. Quod si exquiratur integra series rationum omnium verae majorum quae ita dari possint, ut nulla minoribus terminis designata ratio vera major ad veram proprius accedat; & similiter series integra rationum omnium verae minorum quae ita dari possint, ut nulla minoribus terminis designata ratio vera minor ad veram proprius accedat: inter primarias illas modo inventas inferendae sunt aliae secundariae rationes. Haec vero locum habent ubi quotiens unitatem superat. Inveniuntur autem mutata multiplicatione, quae supra per quotientem facta est, in continuam additionem terminorum tot vicibus quot sunt unitates in quotiente. Sic quia quotiens primus erat 2, termini 1 & o bis addendi sunt terminis o & i; & summae dabunt rationes 1 ad 1, 2 ad 1. Hi ultimi termini 2 & i, quia quotiens secundus erat 1, semel addendi sunt terminis 1 & o; & summae dabunt rationem 3 ad 1. Hi termini 3 & i, quia quotiens tertius erat 2, bis addendi sunt terminis 2 & i; & summae dabunt rationes 5 ad 2, 8 ad 3. Hi ultimi termini 8 & 3, quia quotiens quartus erat 1, semel addendi sunt terminis 3 & i; & summae dabunt rationem 11 ad 4. Hi termini 11 & 4, quia quotiens tiens quintus erat 1, semel addendi sunt terminis 8 & 3; & summæ dabunt rationem 19 ad 7. Hi denique termini 19 & 7, quia quo- | Rationes Vera Majores | Rationes Vera Minores | |-----------------------|-----------------------| | 1 × 2 | 0 × 1 | | 1 | 1 | | 1 × 2 | 1 | | 3 | 1 | | 4 × 1 | 2 | | 7 | 3 | | 11 | 5 | | 19 | 3 | | 7 | 8 | | 18 | 3 × 1 | | 7 | 11 | | 7 | 4 | | 25 | 7 × 4 | | 7 | 87 | | 32 × 1 | 39 × 1 | | &c. | &c. | tiens sextus erat 4, quater addendi sunt terminis 11 & 4; & summæ dabunt rationes 30 ad 11, 49 ad 18, 68 ad 25, 87 ad 32. Et sic porro procedere licebit quousque commodum videbitur. Ista tandem operatione peracta, series integra rationum omnium vera majorum, erit 1 ad 0, 3 ad 1, 11 ad 4, 30 ad 11, 49 ad 18, 68 ad 25, 87 ad 32, &c. similiterque series integra rationum omnium vera minorum, erit 0 ad 1, 1 ad 1, 2 ad 1, 5 ad 2, 8 ad 3, 19 ad 7; &c. Harum approximationum utilitas ad alia multa se fese diffundit: quapropter earum inventionem aliquanto prolixius expositam dedi, per Methodum quæ mihi simplicissima & facillima videtur. Idem argumentum paulo aliter pertractarunt Viri celeberrimi Wallisius & Hugenius. Propositio II. Logarithmorum Canonem Briggianum construere. Numerorum Compositorum Logarithmi derivantur ex Logarithmis Primorum componentium, per additionem solam; horum autem investigatio pluribus modis institui potest: Exemplum unicum appono. Per Corollarium quintum Propositionis superioris, scribendo 1 pro M, inveniantur Logarithmi rationum inter 126 & 125, 225 & 224, 2401 & 2400, 4375 & 4374; qui vocentur respective p, q, r, s: & Logarithmus denarii seu rationis decupli erit $239p + 90q - 63r - 103s$, sive $2,302585092994$ &c. Itaque cum Logarithmus Briggianus denarii sit 1; fiat (per Corol. 3. Prop. 1.) ut denarii Logarithmus modo inventus $2,302585092994$ &c, ad Modulum suum 1, ita denarii Logarithmus Briggianus 1, ad Modulum Briggianum, qui adeo erit $0,434294481903$ &c. Ponatur ergo deinceps iste valor pro M, & erunt $$M \times 202p + 76q - 53r + 87s,$$ $$M \times 167p + 63q - 44r + 72s,$$ $$M \times 114p + 43q - 30r + 49s$$ Logarithmi Briggiani numerorum 7, 5, 3. Logarithmus numeri 2 habetur, subducendo Logarithmum numeri 5 à Logarithmo numeri 10. Atque ita dantur & Modulus Briggianus & Logarithmi Primorum omnium qui sunt minores denario. Logarithmi numerorum sequentium Primorum 11, 13, 17, 19, 23, &c. ita computari possunt. Queratur tum factus à numeris Primo proposito utrinque proxime adjacentibus, tum Primi ipsius quadratum, quod semper unitate factum illud superabit. Logarithmo rationis quadrati ad factum (per Corol. 5. Prop. 1. inventendo) addatur ipsius facti Logarithmus, qui semper componetur ex datis Logarithmis Primorum qui proposito Primo sunt minores: & semitiumma erit Logarithmus Primi quaestus. Corol. Canonis Briggiani Modulus est $0,434294481903$ &c: Hujus vero Reciprocus est $2,302585092994$ &c. Scholium. Ad hunc itaque modum perfici posset Logarithmorum Tabula amplissima, qualis edita est à Briggio vel Vlacco. Inventioni autem Numerorum & Logarithrorum fibi invicem congruentium, qui intermedii termedii sunt & ultra Tabulae limites excurrunt, abunde sufficiet terminus primus Seriei quae in Corollario quinto Propositionis praecedentis exhibetur. Si dato Numero intermedio quaeratur ejus Logarithmus; pone \(a\) & \(e\) pro Numero intermedio propposito atque huic proximo tabulari, ita ut \(a\) designet majorem, \(e\) minorem; sit eorum summa \(z\), differentia \(x\); pone \(\lambda\) pro Logarithmo rationis quam habet \(a\) ad \(e\), hoc est, pro excessu Logarithmi Numeri \(a\) supra Logarithmum Numeri \(e\): erit \(\lambda = \frac{2M}{z} x\) quamproxime. Si quaeratur Numerus qui congruit Logarithmo intermedio; quoniam est \(\lambda = \frac{2M}{z} x = \frac{2M}{2a-x} x\) vel \(\frac{2M}{2e+x} x\); erit \(x = \frac{\lambda}{M+\frac{1}{2}\lambda} a\) vel \(\frac{\lambda}{M-\frac{1}{2}\lambda} e\) quamproxime. **Propositio III.** Systematis cujusvis Logometrici constructionem exponere per Canonem Logarithrorum. **Cas. 1.** Si detur, è Systemate proposito, mensura rationis alicujus determinatae: rationis cujusvis oblatae mensura, erit ad mensuram illam datam determinatae rationis, ut oblatae rationis Logarithmus, ad Logarithmum rationis ejusdem determinatae. **Cas. 2.** Si non detur, è Systemate proposito, mensura rationis alicujus determinatae: inveniendus erit Modulus propositi Systematis, per Corollarium secundum Propositionis prima. Et mensura cujusvis oblatae rationis, erit ad Modulum inventum, ut oblatae rationis Logarithmus, ad Canonis Modulum. Casus hujus ultimi habentur Exempla in sequentibus. **Propositio IV.** Spatium quodvis Hyperbolicum quadrare per Canonem Logarithrorum. Sit Hyperbola quaevis \(ERSF\) centro \(A\), Asymptotis \(ABC\), \(AD\) descripta; & quaeratur area \(BEFC\) quam claudunt rectae \(BE\), \(CF\) ad Asymptoton \(AD\) parallelae. Compleatur parallelogramnum \(ABED\), & ad hunc Modulum inveniatur (per Propositionem ctionem tertiam) mensura rationis inter AC & AB vel inter BE & CF: Dico mensuram inventam æqualem fore magnitudini areae quæsitæ BEFC. Nam divisa concipiatur hujus areae basis BC in particulas innumeratas quam minimas PQ, ea lege, ut ubique detur ratio illa quæ est inter AQ & AP, & ducantur A-symptoto AD parallele PR, QS. Quoniam itaque est AQ ut AP; erit divisim PQ ut AP, hoc est, ut PR reciproce. Unde data est area PRSQ, quæ proinde potest haberi pro mensura rationis datæ quæ est inter AQ & AP. Hujus autem mensuræ Modulus erit parallelogrammum ABED, per Corol. 2. Prop.1. Nam si compleatur æquale parallelogrammum APRT; statim intelligetur, ita illud se habere ad aream PRSQ, ut se habet AP ad PQ. Similes ergo summas arearum atque rationum utrinque colligendo; area tota BEFC erit mensura rationis totius quæ est inter AC & AB, vel inter BE & CF, ad eundem Modulum ABED. Auct. Sit rursus Hyperbola quævis AP, centro C atque Asympto- to CB descripta; & quæratur area Sectoris cujuslibet CAP, semi-diametrī CA, CP curvæque AP interjecti. Producta semidiametro utravis CAQ ultra verticem A, ducatur illius conjugata CR; & ad ipsas CQ, CR ordinatim applicentur à puncto P rectæ PQ, PR, quæ Asympto CB occurrant in Z & X; deinde agatur AB quæ Hyperbolam tangat in A, Asympto ton secet in B rectamque CP in D: & Triangulo ABC existente Modulo, area quæsita sectoris CAP erit mensura rationis inter QZ + QP & AB, five rationis inter AB & QZ - QP, five sive subduplicatae rationis inter \( QZ + QP \) & \( QZ - QP \), sive subduplicatae rationis inter \( AB + AD \) & \( AB - AD \); vel erit mensurae rationis inter \( RP + RX \) & \( CA \), vel rationis inter \( CA \) & \( RP - RX \), vel subduplicatae rationis inter \( RP + RX \) & \( RP - RX \). Nam si ducantur rectae \( AE \), \( PF \) quae secent Asymptoton \( CB \) in \( E \) & \( F \), alterique Asymptoto parallelae sint: æquales erunt hæ omnes rationes rationi quam habet \( AE \) ad \( PF \), vel \( CF \) ad \( CE \); erit & sector \( CAP \) ærea \( EAPF \) æqualis; similiterque triangulum \( ABC \) duplicato triangulo \( AEC \), sive parallelogrammo Asymptotis & Hyperbolæ inscripto æquabitur. Quare patet propositum ex supra demonstratis. Data vero per modum priorem area \( BEFC \), vel per modum posteriorem area \( CAP \); dabitur alia quævis area Hyperbolica ad arcum \( EF \), vel ad arcum \( AP \) terminata: quippe quæ semper est ærea modo inventæ & ærea alicujus rectilineæ vel summa vel differentia. Q. E. I. Scholium. Hinc facilem habent solutionem Problemata omnia, quæcunque pendent ab Hyperbolæ quadratura. Exemplum satis luculentum præbebit descensus gravium in Mediis, quorum resistentia est in duplicata ratione velocitatis corporis moti. Sit \( V \) velocitas maxima quam corpus in hujusmodi Medio, infinite descendendo, potest acquirere; \( T \) dimidium temporis quo corpus idem in eodem Medio, vi sola ponderis sui relativi, absque resistentia cadendo velocitatem illam acquiret; \( S \) spatium hocce casu descriptum; \( R \) pondus relativum corporis in Medio resistenti: & quæratur spatium \( s \) quod corpus descendens, tempore quovis \( t \), describet in Medio resistenti; & resistentia \( r \) quam patitur in fine illius temporis; & velocitas \( v \) ex isto descensu acquisita. Centro \( D \), vertice \( A \) describatur Hyperbola æquilatera \( AT \), cujus una Asymptotorum est \( DC \) & ad verticem tangens \( AC \) semiaxi \( AD \) æqualis. Capiatur area \( DAT \) ad dimidium trianguli \( DAC \) ut \( t \) ad \( T \), secetque \( DT \) tangentem \( AC \) in \( P \): & erit v ad V ut AP ad AC. Sit AK ipsis AC, AP tertia proportionalis: & erit r ad R ut AK ad AC. Ad tangentem AC erigantur normales CZ, KN, AB; centroque C & Asymptotis CA, CZ describatur Hyperbola quævis BN: & erit s ad S ut area ABNK ad rectangulum CKN. Patent hæc omnia per Propositiones octavam & nonam Libri secundi Philosophiæ Newtonianæ. Est itaque t ad T ut area Hyperbolica DAT ad dimidium trianguli DAC, hoc est, ut dimidiata mensura rationis inter AC + AP & AC - AP ad illius mensuræ dimidiatum Modulum. Ergo si recta quævis EF producatur ad f, ita ut t sit mensura rationis inter Ef & EF ad Modulum T, & biseetur Ff in G: erit GF ad GE ut AP ad AC, hoc est, ut v ad V. Sumantur GE, GF, GH continue proportionales: & erit GH ad GE ut AK ad AC, hoc est, ut r ad R. Erit insuper EG ad EH ut CA ad CK; unde cum sit s ad S ut area ABNK ad rectangulum CKN, hoc est, ut mensura rationis inter CA & CK vel inter EG & EH ad mensuræ Modulum: erit s mensura rationis inter EG & EH ad Modulum S, atque inde dabitur. Ex hisce porro facillime se prodit, per unicum quamvis Hyperbolam, constructio non inconcinna; quam & adscribere visum est ob dignitatem Problematis. In recta quævis GE sumatur utcunque punctum F inter E & G, & ab altera parte capiatur Gf ipsi GF æqualis, & sint GE, GF, GH continue proportionales. Deinde per puncta E, F, H, G, f ducantur sibi invicem parallelae rectæ ER, FL, HM, GQ, fl, quas fecet Hyperbola quævis LMQL centro E, Asymptotis ER, EG descripta, & compleatur parallelogrammum EGQR. Jam si sit t ad T ut area Hyperbolica LFfl ad parallelogrammum EQ: erit s ad S ut area MHGQ ad EQ; v ad V ut GF ad GE; r ad R ut GH ad GE. Libet & casum alterum adjicere ubi corpus ascendit; ne forte analogia illa, quæ inter utrumque servari debet, in allata constructione quodammodo perire videatur. Ergo eadem atque prius denotantibus V, R, T, S, ponantur v & r pro velocitate & resistentia sub ascensus initio, s pro spatio quod corpus ascendendo describere possit antequam tota velocitas amittatur, t pro tempore hujus ascensus. Ad EG erigatur perpendicularis GO ipsi EG æqualis, & sumendo puncta F, f, ad eadem distantias hinc inde à puncto G, jun- jungantur OF, Of, quibus occurrat in T & t circuli arcus TG; centro O descriptus, & sint Gh, Gf, GE continue proportionales, & ducatur ipsi ER parallela hm Hyperbolae occurrans in m. De- inde si r sit mensura anguli FOf ad Modulum T, hoc est, si t sit ad T ut arcus TGt ad radium OG: erit s mensura rationis inter Eb & EG ad Modulum S, vel erit s ad S ut area Hyperbolica mbGQ ad EQ; & v erit ad V ut Gf ad GE; atque r ad R ut Gh ad GE. **Propositio V.** *Logisticam describere per Canonem Logarithmorum.* SI ad Logisticæ BQDG Asymptoron APCF ordinatim applicentur binæ quævis rectæ AB, FG intercludentes Asymptoti portionem quamvis AF: erit illa portio mensura rationis quam ad invicem habent ordinatae; hæc utique est natura Curvæ notissima. Integrum ergo & perfectum Systema Logometricum per hanc Linæam exhibetur: id quod etiam de Hyperbola dici potest per Propositionem praecedentem, de Spiralì Æquiangula per subsequentem; nam ommitto complures alias Figuras, quae & ipsae dudum sunt in Geometriam receptae. Itaque si detur Asymptoti positio & simul duo puncta per quae Curva transire debet, dabuntur puncta reliqua per casum priorem Propositionis tertiae. Quod si data positione Asymptoti, detur insuper Systematis Modulus atque unicum punctum per quod ducenda erit Curva; invenientur puncta reliqua per Casum posteriorem Propositionis ejusdem. Ille vero Modulus quo pacto definiendus sit, & qualem habeat magnitudinem, jam oportet exponere. Ducatur recta BC quae Curvam tangat in B & Asymptoton secet in C. Dico primo, magnitudinem subtangentis AC eandem permanere ubicunque sumatur punctum B. Intelligatur enim Ordinata PQ vicinissima Ordinatarum ARB, recta vero QR parallela Asymptoto AC, ac detur Ordinarum intervallum illud quam minimum AP. Ob datam igitur lincolam AP, dabitur ratio quam habet AB ad PQ, & divisim ratio quam habet AB ad RB, atque adeo (propter similia triangula BAC, BRQ) ratio quam habet AC ad RQ five AP, atque inde magnitudo ipsius AC. Dico secundo, determinatam hanc & immutabilem subtangensem AC, esse Modulum ad quem exigendae sunt mensurae illae interceptrae AF. Patet hoc per Corollarium secundum Propositionis primae: nam dum termini AB & PQ ad aequalitatem proxime accedunt, erit AC ad AP, quae metitur rationem inter AB & PQ, ut terminus AB ad terminorum differentiam BR. Unde data subtangente, facilis est descriptio Curvae & solutio Problematum omnium quae exhinc pendent. Si Curva jam descripta habeatur, subtangentis magnitudo sic determinabitur. Producatur Ordinata quaevis CD ad E, ita ut CE ad CD rationem habeat Modularem, per Corollarium sextum Propositionis primae definitam; & recta EB quae à puncto E parallela ducitur Asymptoto, quaeque Curvae occurrat in puncto B, æqualis erit subtangenti quaestæ. Corol. Corol. 1. Area $ABIH$, quae inter Curvam $BDI$ & Asymptotam ejus $ACH$ infinite versus $HI$ extenditur, & ad alteram partem ab Ordinata $AB$ terminatur, aequalis est parallelogrammo $ABEC$ ab Ordinata eadem $AB$ & subtangente $AC$ comprehenso. Componuntur enim area & parallelogrammum ex elementis quae sunt ut $AP \times AB$ & $AC \times RB$, quaeque adeo aequaliter propter analogiam inter $AP$ & $RB$, $AC$ & $AB$. Corol. 2. Atque hinc, ob datam subtangentis magnitudinem, area illa indefinita crit ut Ordinata ad quam terminatur. Scholium. Hujus Propositionis usus per Exemplum declarabitur. Proponatur ad quamlibet altitudinem à superficie telluris, invenire densitatem Atmosphaerae. Sit $AB$ telluris superficies, & abinde turium producatur perpendicularis $AH$, atque ad hujus puncta singula ductae concipientur Ordinatae $FG$, quae sint ut Acris densitates in locis $F$; & Ordinarum termini omnes $G$ in Linea Logistica $BDGI$ siti erunt. Patet hoc per Corollarium secundum hujus Propositionis. Nam area indefinita $FGIH$ est ut quantitas seu pondus Atmosphaerae supra locum $F$, & pondus illud est vis quae comprimit Aerem in hoc loco, isthaec vero vis (uti docet Experientia multiplex) est ut Acris compressi densitas $FG$. Itaque si quotlibet altitudines sumantur in Arithmetica progressionem: densitates Acris in his altitudinibus erunt in progressionem Geometrica; & differentia binarum quarumvis altitudinum, crit mensurae rationis quae est inter densitates Acris in istis altitudinibus. Cessante vi gravitatis, ita jam per vim aliquam extraneam intelligatur Acris facta compressio, ut eandem habeat ubique densitatem quam ad terrae superficiem; & quantitas ejus, quae modo erat expressa per aream indefinitam $HABI$, nunc per aequalis rectangulum $ABEC$ exhibebitur. Atmosphaerae hujus homogeneae altitudo $AC$, est ad altitudinem Hydrargyri in tubo Torricellii, ut gravitas Hydrargyri ad gravitatem Acris; atque inde datur. Huic autem datae altitudini aequatur (per Corol. 1.) subtangens Curva $BDGI$, atque adeo Modulus Systematis mensurarum omnium $AF$. Est ergo Logarithmus rationis inter densitates Acris in binis quibusvis altitudinibus, ad Modulum Canonis, ut altitudinem earundem differentia, ad Atmosphaerae praedictae homogeneae altitudinem illam datam $AC$. Hæc ita se habent ex Hypothesi, quod vis gravitatis eadem sit ad omnes altitudines. Ceterum ex Philosophia Newtoniana constat eam diminui, in recessu à centro telluris, in duplicata ratione distantiæ: conclusio itaque paulo aliter se habebit. Sit S centrum telluris, & AB superficies ejusdem; sumatur ipsis SF, SA tertia proportionalis Sf, erigatur ordinata fg quæ sit ut Aeris densitas in F: & Curva Bgn quam punctum g perpetuo tangit, erit eadem atque prius Logistica, sed inverso situ. Augeatur enim altitudo AF particula quam minima FM, capiatur Sm ad SA ut SA ad SM, ducatur Ordinata mn quæ sit ut Aeris densitas in M; & erit Sm ad Sf ut SF ad SM, & divisim fm ad FM ut Sf ad SM, sive ut Sf ad SF, hoc est, ut SAq ad SFq. Unde fm est ut SFq inverse & FM directe, id est, ut gravitatio & moles Aeris inter F & M conjunctim; adeoque fm × fg sive area fgnm est ut gravitatio, moles & densitas ejusdem Aeris conjunctim, hoc est, ut pressio illius in Aerem inferiorem: & summa similium omnium arearum infra fg est ut summa pressionum omnium supra F, id est, ut Aeris in F densitas fg: & summarum differentia fgnm ut densitatum differentia fg − mn. Detur lineola fm; & erit fg ut area fgnm, adeoque ut fg − mn, atque inde (componendo) ut mn. Ergo data lineola fm erit mensura datae illius rationis quæ est inter fg & mn: atque hinc patet Curvam Bgn esse Logisticam. Sed & eandem est cum supra descripta Logistica, facile abinde colligitur, quod ordinatae basi AB vicinissimæ & ad æqualia intervalla quam minima dispositæ, respective sint æquales in utraque Curva; ac proinde eadem curvatura, eadem inclinatio tangentis ad punctum B, eademque subtangentis magnitudo. Ergo Ergo si distantiæ $SF$ à centro telluris, capiantur in Musica progressionem; harum reciprocæ, nempe distantiæ $Sf$, erunt in progressionem Arithmetica; & Aeris densitates $fg$ erunt in progressionem Geometrica. Ad inveniendam itaque densitatem in loco quovis $F$, minuenda est altitudo $AF$ in ratione distantiæ $SF$ ad telluris semidiametrum $SA$: & Logarithmus rationis inter densitates Aeris in $A$ & $F$, erit ad Modulum Canonis, ut altitudo illa diminuta $Af$, ad Atmosphaeræ homogeneæ altitudinem $AC$. Quæ supra demonstrata sunt, accurate obtinebunt, si modo Atmosphæra ex Aere pariter Elastico tota constet: rationes igitur allatas paululum conturbabunt admitti vapores atque exhalationes, quibus etiam accedet Caloris Frigorisque diversa temperies ad altitudines diversas. **Propositio VI.** Logarithrorum Canonem ad Spiralem Æquangulam accommodare. Æquangula Spiralis appellatur Linea illa curva $ADE$, qua polo $P$ descripta, in eodem dato angulo secat excuntes à polo radios $PA$, $PD$, $PE$, &c. Si centro $P$ & intervallo quo vis $PA$ describatur circulus $ABC$, qui radiis $PA$, $PD$, $PE$ occurrat in $A$, $B$, $C$: Dico interceptum arcum $BC$ mensuram fore rationis quam habet $PD$ ad $PE$, & interceptum arcum $AB$ mensuram rationis quam habet $PA$ ad $PD$. Dividatur enim arcus $AB$ in particulæ quam minimas & æquales $QR$, & jungantur $PQ$, $PR$ secantes Spiralæ ad $S$ & $T$ in angulis datis $PST$, $PTS$: & ob datam particulam $QR$, dabatur angulus $QP R$, atque adeo species Figuræ $SPT$, & ratio laterum $PS$, $PT$. Data ergo particula $QR$ mentura erit rationis datæ quam habet habet \( PS \) ad \( PT \); & summa particularum, nempe arcus \( AB \), mensura erit summæ similis rationum, hoc est, rationis quam habet \( PA \) ad \( PD \). Et eodem argumento, erit arcus \( BC \) mensura rationis quam habet \( PD \) ad \( PE \). Ducatur \( AF \) Spiralem tangens ad Circuli & Spiralis intersectionem \( A \), huic vero in \( F \) occurrat recta \( PC \) qua ad radius \( PA \) normalis erigitur: & subtangens \( PF \) erit mensurarum modulus, per Corol. 2. Prop. 1. Nam si in recta \( PS \) iacetur \( PV \) ipsi \( PT \) æqualis, & jungantur puncta \( V, T \); similia erunt triangula \( PAF, VST \). Unde \( PF \) est ad \( VT \) ut \( PA \) ad \( VS \), sed & \( VT \) est ad \( QR \) ut \( PT \) ad \( PA \): ergo ex æquo perturbate, \( PF \) est ad \( QR \) quae metitur rationem inter \( PS \) ad \( PT \), ut terminus \( PT \) ad terminorum differentiam \( VS \). Scholium. Spiralem æquianugulam, ad Meridianæ Nauticæ divisionem demonstrandam, feliciter adhibuit Geometra clarissimus Edmundus Halleius. Sit \( acp \) pars octava Sphæræ terrestris, \( p \) Polus, \( ac \) quadrans Æquatoris, \( ap \) quadrans Meridiani; & quæratur magnitudo rectæ, quæ propofitum quemlibet hujus arcum designet in Planisphaerio. Per Æquatoris & Meridiani intersectionem \( a \), ducta intelligatur linea Helicoidea \( ade \) quæ fecet omnes Meridianos ad angulum semirectum, huic occurrat in \( d \) parallelus Æquatori circulus \( gd \), per idem punctum \( d \) agatur Meridianus \( pdb \); & longitudo intercepti arcus Æquatoris \( ab \), erit magnitudo Nautica quæsita arcus \( ag \). Resolvatur enim arcus \( ag \) in particulas innumeras quam minimas \( gk \), ducatur parallelus \( kmn \), secans Meridianum \( pdb \) in \( n \), Lineam \( ade \) in \( m \); & actus Meridianus \( pmb \) abscedet Æquatoris particulam \( bb \), quæ erit ad \( mn \), sive huic (ob angulum semirectum \( mdn \)) æqualem \( mn \) vel \( gk \), ut peripheria Æquatoris ad peripheriam paralleli \( kmn \). Est ergo particula \( bb \) magnitudo Nautica particula \( gk \), & summa particularum omnium \( bb \), nempe longitudo arcus \( ab \), magnitudo Nautica tica summæ particularum omnium \( gk \), id est, arcus \( ag \). Manente jam Æquatore \( abc \) vel \( ABC \), concipiatur Sphærica superficies in plano ejus Stereographice depingi; & Polo \( p \) occupante centrum \( P \), projicientur Meridiani \( pg \), \( pdb \), \( pec \) in totidem rectas \( PA \), \( PDB \), \( PEC \) à centro \( P \) exeuntes, ita ut distantia abinde puncti cuiusvis \( D \) vel \( A \), tangens sit arcus dimidiati \( pd \) vel \( pa \) quem distantia illa repræsentat. Linea vero Helicooides \( ade \) convertet se in Spirallem aquiangulam \( ADE \), polo \( P \) descriptam, & faciunt radios suos omnes ad angulum semicircum. Hoc siquidem postulat nota Lex hujus Projectionis, ut anguli omnes eandem in Plano ac in Sphærica superficie magnitudinem servent. Arcus itaque propoliti \( ag \) magnitudo Nautica \( ab \) vel \( AB \), est ad subtangentem \( PF \) vel huic jam æqualem Sphærae radium \( PC \), ut Logarithmus rationis inter \( PA \) & \( PD \), hoc est, inter tangentes diminutorum arcuum \( pa \) & \( pd \), vel \( pa \) & \( pg \), ad Modulum Canonis. Hinc quoniam longitudo Radii est ad longitudinem arcus minuti unius primi, ut \( 3437,746772784939 \) &c ad \( 1 \), & reciprocus Moduli Canonis est \( 2502535092994 \) &c, atque hi numeri in se multiplicati efficiunt \( 7915,704467897819 \) &c: si magnitudo illa Nautica \( AB \) in minutis primis exhibenda sit, uti nos exigit; subducta tangente artificiali dimidiati arcus \( pg \) à tangente artificiali dimidiati arcus \( pa \), multiplicetur residuum per numerum \( 7915,704467897819 \) &c, et factus dabit partes Meridionales desideratas. Perinde vero se habebit conclusio, siue in Æquatore, siue extra hunc alibi ad utramvis partem locetur punctum \( a \). Scholium Generale. In eum potissimum finem praecedentia conscripti, ut allatis aliquot Exemplis ostenderem, qua commodissima ratione Logarithrorum usus in Geometriam recipi, & ad resolutionem Problematum difficiliorum adhiberi possit. Visum est hoc loco nonnullas adjicere porro constructiones, codem consilio effectas, quae mihi ista tracianti subinde se obviam non invitae dederunt: ut ita, ex uberiori specimine, de praestantia Methodi hujus Logometricæ judicium feratur. Parabolæ Apolloniane \( AP \) sit \( A \) vertex, \( F \) focus, \( AQ \) axis, \( PQ \) ordinatim applicata ad axem. Ducatur \( AL \) qua bifariam secet \( PQ \) in \( L \), & productæ adjiciatur \( LM \) quae sit mensura rationis inter \( LA + AQ \) & \( QL \) ad Modulum \( AF \): & recta \( AM \) æqualis erit arcui Paraboloce \( AP \). Spiralis Archimedea \( PQ \) similem habet extentionem in rectam. Sit \( Q \) polus ejus, \( QP \) radius à polo ductus ad Curvae quodlibet punctum \( P \), & ad eum radium normalis \( QA \). Ducatur \( LA \) parallela tangenti Spiralem in \( P \), qua radium \( PQ \) bifariam secet in \( L \); & ponendo \( AF \) ad \( QL \) ut \( QL \) ad \( QA \), ipsi \( AL \) adjiciatur \( LM \) quae sit mensura rationis inter \( LA + AQ \) & \( QL \) ad Modulum \( AF \): & recta \( AM \) æquabitur Spiralis arcui \( PQ \). Spiralis Reciprocae \( AE \) sit \( A \) polus, \( AB \) radius primus & infinitus, \( CD \) asymptotos radio primo parallela ad distantiam \( AC \); & invenienda proponatur hujuscce Curvae longitudo. Inter Spiralem illam vulgarem Archimedis atque hanc, quam Reciprocam appello, isthæc intercedit differentia, quod cum illius radii sint ut anguli quos faciunt cum radio suo primo, hujus radii è contrario sunt sunt reciproce ut idem anguli: eandem utique proportionem habet radius $AE$ ad radium $Ae$ quam habet angulus $eAB$ ad angulum $EAB$. Unde facile colligitur, si ad puncta $E$ & $e$ ducentur tangentes $EF$, $ef$, & ad radios $AE$, $Ae$ erigantur normales $AF$, $Af$, fore normales illas sibi invicem & Asymptoti intervallo $AC$ æquales. Invenietur autem longitudo cujusvis arcus $Ec$, ponendo $LM$ mensuram rationis inter $AE$ & $EF - AF$ ad Modulum $AF$, & similiter $lm$ mensuram rationis inter $Ac$ & $ef - Af$ ad æqualem Modulum $Af$. Nam si tangentium differentiæ $EF - ef$ adjiciatur mensurarum differentia $lm - LM$, aggregatum æquabitur arcui $Ee$. Linea illa Logistica, cujus aliquas exposuimus affectiones in Propositione quinta, non absimilem habet longitudinis suæ determinationem; quam & hoc loco apponam in eorum gratiam qui hujusmodi contemplationibus delectantur. Oblata sit igitur Logistica $EMem$, cujus Asymptotos $AFaf$: & quaeratur longitudo cujusvis arcus $Ee$. Demissis in Asymptoton perpendiculis $ELA$, $ela$, & ducitis tangentibus \(EF, ef\), capiatur \(AL\) æqualis excessui quo tangens \(EF\) superat subtangentem \(AF\), & similiter al æqualis excessui quo tangens \(ef\) superat subtangentem \(af\): & actis \(LM, lm\) Asymptoto parallelis, si tangentium differentiae \(EF - ef\) adiciatur parallelarum differentia \(lm - LM\), aggregatum æquabitur arcui \(Ee\). Accedo ad Cissoidem Dioctam. Sit \(A\) vertex ejus \(AB\) diameter Circuli genitoris, \(BC\) Asymptotos, \(PQ\) perpendicularis in diametrum demissa, Cissoidi in \(P\) & diametro in \(Q\) occurrens. Agatur \(AC\) quæ secet Asymptoton in \(C\) ac faciat angulum \(BAC\) qui fit recti pars tertia, sumptaque inter \(BQ\) & \(BA\) media proportionali \(BD\) jungatur \(CD\); denique per medium perpendicularum \(PQ\) ducatur \(AE\) recta, quæ occurrat Asymptoto in \(E\): & Cissoidis arcus \(AP\) æquabitur duplicato excessui rectæ \(AE\) supra diametrum \(AB\), & simul triplicata mensurae rationis inter \(BA + AC + BD + DC\) ad Modulum \(BC\). Si Cissoidis arca \(APQ\) convertatur circum axem \(AQ\); generabitur solidum cujus dimensio pendet à Logometria, & sic construitur. Sint \(AQ, AB, AR, AS, AT\) continue proportionales; deinde ad Modulum \(TS\) capiatur \(QX\) mensurae rationis inter \(AB\) & \(BQ\), & retro ponatur \(XZ\) æqualis ipsi \(SR\) una cum dimidio ipsius \(RB\) ac triente simul ipsius \(BQ\): & solidum Cissoidale axem habens \(AQ\) basisque semidiametrum \(PQ\), æquabitur Cylindro cujus eadem est basis & cujus altitudo est \(OZ\). Adjungam solidum ex Conchoide Nicomedis genitum. Sint \(AE, ae\) Curvae conjugatae, polo \(P\), regula \(CD\), intervalllo \(CA\) vel \(Ca\), axe \(PaCA\) ad regulam normali, verticibufque \(A\) & \(a\) descriptae. Per polum \(P\) ducatur ad libitum recta \(PeDE\), regulae occurrens in \(D\), Lineæ vero in \(E\) & \(e\): & ex natura Conchoidis, erunt segmenta \(DE, De\) intervalllo \(CA\) vel \(Ca\) æqualia. Eodem intervalllo centroque \(P\) describatur circuli arcus \(RS\) secans axem \(PC\) in \(R\) & rectam rectam \( PD \) in \( S \): & semisumma solidorum Conchoidalium quae generantur ex conversione Figurarum \( AEDC \), \( aeDC \) circum axem \( AaP \), erit ad sectorem Sphaeræ genitum ex circuli sectore \( PRS \) circum axem eundem converso, ut \( 3PC \times PD + PRq \) ad \( PRq \). Eorumdem vero semidifferentia Cylindro æquatur, cujus basis est circulus diametro \( Aa \) descriptus, & cujus altitudo est mensura duplicata rationis inter \( PD \) & \( PC \) ad Modulum \( PC \). Area vero Figuræ totius \( AEe \) æquatur rectangulo cujus basis est \( Aa \), & cujus altitudo \( CM \) est mensura rationis inter \( PD + DC \) & \( PC \) ad Modulum \( PC \). Quod si desideretur quadratura partium \( AEDC \), \( aeDC \); ductis ad axem normalibus \( AF \), \( af \), in regula \( CD \) sumenda est \( CN \) qua sit anguli \( CPD \) mensura ad eundem Modulum \( PC \): & acta per punctum \( M \) recta \( FMf \) qua parallela sit rectæ jungenti puncta \( P \), \( N \), quæque occurrat normalibus in \( F \) & \( f \); erit area \( AEDC \) æqualis Trapezio \( AFMC \), & area \( aeDC \) æqualis Trapezio \( afMC \). Hyperbolæ quadraturam in superioribus expositam dedi, eo modo, qui mihi visus est ad propositum quam maxime accommodatus. Libet aliam constructionem hoc loco apponere, & simul adficere gravitatis centrum. Oblata sit portio interior \( ADB \), interclusa curvæ \( ADB \) & rectæ cuivis \( AB \) ad diametrum \( PQ \) parallela. A Figuræ centro \( C \) producatur diameter \( CDE \), qua basin \( AB \) bifariam fecet in \( E \); deinde si in diametro producta sumantur \( CR \) ad \( CD \), & \( CD \) ad \( CS \), ut basis \( AB \) ad diametrum \( PQ \), & ad Modulum \( CS \) fiat \( CN \) mensura rationis quam habet \( CD \) ad \( ER \): triangulum rectilineum \( ANB \) æquabitur areae curvilineæ \( ADB \). Hujus autem areae centrum gravitatis \( Z \) invenietur, capiendo \( CZ \) ad \( CR \) ut \( 2CR \) ad \( 3EN \). Sit nunc oblata portio exterior \( APQB \), interclusa curvis oppositis \( AP, BO \), diametro \( PQ \), & rectae cuivis \( AB \) ad diametrum illam parallele. Esto \( CD \) conjugatae semidiametri longitudo extra portionem oblatam \( APQB \) positæ, quæ producta in contrariam partem centri \( C \) bifariam secet basim \( AB \) in \( E \). Deinde in diametro producta si sumantur \( CR \) ad \( CD \), & \( CD \) ad \( CS \), & \( CS \) ad \( CT \), ut basis \( AB \) ad diametrum \( PQ \), ponantur vero \( CR \) & \( CT \) ad eandem centri partem cum basi \( AB \); & ad Modulum \( CS \), in contrariam centri partem, sumatur \( CN \) mensura rationis quam habet \( CD \) ad \( ER \): triangulum rectilineum \( ANB \) æquabitur areae curvilineæ \( APQB \). Hujus autem areae centrum gravitatis \( Z \) invenietur, capiendo \( CZ \) ad \( CR \) ut \( 2TR \) ad \( 3EN \). Pergo ad superficies ab Hyperbola circum axes fuos convoluta genitas. Sit \( AN \) Hyperbola descripta vertice \( A \), centro \( C \), Asymptoto \( CB \), foco \( F \), semiaaxe principali \( AC \), semiaaxe conjugato \( AB \) normali ad \( AC \); & ad axis \( AC \) punctum quodvis \( X \) sit \( XY \) ordinatim applicata, qua Hyperbolæ occurrat ad \( N \). In axe CA capiatur CE ad CA ut CA ad CF; & ad eundem axem erecta perpendiculari EZ, quae Asymptoto occurrat in G, angulo CEZ inscribatur æqualis ipsi CX recta CZ, quae porro producta fecet ordinatim applicatam XN ad O. Tum sumatur KL quae sit æqualis excessui quo XO superat AB, atque LM quae sit mensura rationis inter CZ + ZE & CG + GE ad Modulum CE: & superficies genita ex arcus AN conversione circum axem AX, erit ad Circulum semidiametro AB descriptum, ut excessus KM quo KL superat LM, ad semidiametrum illam AB. Sit rursus BN Hyperbola descripta vertice B, centro C, foco F, semiaaxe principali CB, semiaaxe conjugato CA normali ad CB; & ad axis AC punctum quodvis X sit XN ordinatim applicata, quae Hyperbolæ occurrat ad N. In axe CB capiatur CE ad CA ut CA ad CF, & jungatur EX. Tum sumatur KL quae sit ad XC ut XE ad CE, & LM quae rationis inter EX + XC & CE mensura sit ad Modulum CE: & superficies genita ex arcus BN conversione circum axem CX, erit ad Circulum semidiametro CB descriptum, ut linearum KL & LM aggregatum KM, ad semidiametrum illam CB. His addere licebit ab Ellipsi genitas superficies. Sit ANB Ellipsis descripta centro C, verticibus A & B, foco F, semiaaxe principali CB, semiaaxe conjugato CA; & ad axis CA punctum quodvis X sit XN ordinatim applicata, quae Ellipsi occurrat ad N. In axe CB capiatur CE ad CA ut CA ad CF, & jungatur EX. Tum sumatur KL quae sit ad XC ut XE ad CE, & LM quae rationis inter EX + XC & CE mensura sit ad Modulum CE: & superficies genita ex arcus BN conversione circum axem \(CX\), erit ad Circulum semidiametro \(CB\) descriptum, ut linearum \(KL\) & \(LM\) aggregatum \(KM\), ad semidiametrum illam \(CB\). Ut hæc ultima constructio locum habeat, oportet semiaxem \(CA\) circa quem conversio facta est, minorem esse altero semiaaxe \(CB\); aliter enim Moduli \(CE\) quantitas \(\frac{CA}{\sqrt{CB^2 - CA^2}}\) evadet impossibilis, & constructio illa Logometrica (quod in hujusmodi casibus fieri solet) convertet se in Trigonometricam, qualis illa est quæ jam sequitur. Sit \(ANB\) Ellipsis descripta centro \(C\), verticibus \(A\) & \(B\), foco \(F\), semiaxe principali \(CA\), semiaxe conjugato \(CB\); & ad axis \(CA\) punctum quodvis \(X\) fit \(XN\) ordinatim applicata, quæ Ellipsi occurrat ad \(N\). Angulo \(CXN\) inscribatur recta \(CE\), quæ fit ad \(CA\) ut \(CA\) ad \(CF\). Tum sumatur \(KL\) quæ fit ad \(XC\) ut \(XE\) ad \(CE\), & \(LM\) quæ anguli \(XEC\) mensura sit ad Modulum \(CE\), hoc est, quæ sit æqualis arcui cujus sinus est \(XC\) ad radius \(CE\): & superficies genita ex arcus \(BN\) conversione circum axem \(CX\), erit ad Circulum semidiametro \(CB\) descriptum, ut linearum \(KL\) & \(LM\) aggregatum \(KM\), ad semidiametrum illam \(CB\). Posset hujus etiam superficiei dimensio per Logometriam designari, sed modo inexplicabili. Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio \(CE\) descriptus, sinum habeat \(CX\) sinumque complementi ad quadrantem \(XE\): sumendo radius \(CE\) pro Modulo, arcus erit rationis inter \(EX + XC\sqrt{-1}\) & \(CE\) mensura ducta in \(\sqrt{-1}\). Verum isthæc aliis, quibus operæ pretium videbitur, diligentius excutienda relinquio. Ceterum ex praecedentibus intelligi potest, quanta sit cognatio inter angulorum atque rationum mensu- mensuras, quamque levi mutatione in se invicem facillime convertantur pro variis ejusdem Problematis casibus. De Cubicarum æquationum radicibus dudum ab Analystis observatum est; vel eas exprimi posse per Cardani regulas, atque adeo per duarum mediarum proportionalium inventionem; vel per divisionem arcus circularis in tres æquales partes, si forte fuerint inexplicabiles per memoratas regulas. * Hoc animadvertit Cartesius, sed & ante Cartesium idem observavit Franciscus Vieta sub finem Supplementi Geometriae. Exhinc autem aperte colligitur, qualis sit ordo Naturæ transfeuntis ad Anguli trisectionem à trisectione Rationis. Mirabilem illam Harmoniam ulterius declarare lubet, Exemplo desumpto ab eadem Figura circum axes suos convoluta. Sit igitur \(APBQ\) Ellipsis, axis ejus major \(AB\), minor \(PQ\), centrum \(C\), focus \(F\). Haec circum axem utrumvis convoluta Solidum generet, cujus particulae constantes ex materia homogenea, vires attractivas habent in duplicata distantiarum ratione decrecentes: & quaeratur vis qua Solidum illud attrahit corpusculum quodvis, in ejus super- --- * Sublato etenim termino secundo, tres habentur Aequationum casus. Hi vero refolvuntur ope trianguli rectanguli \(ABC\), rectum habentis angulum ad \(A\), quo insuper triangulo semper data sunt duo latera. --- **Cas. 1.** Nam si sit \(x^3 + 3ax = \pm 2aab\): ponantur \(AB = a\), \(AC = b\); & sumantur \(M\) & \(N\) binæ mediae proportionales inter \(BC + AC\) & \(BC - AC\): & erit \(M - N\) radix unica possibilis affirmativa, si habeatur \(+ 2aab\); vel \(N - M\) radix unica possibilis negativa, si habeatur \(- 2aab\). **Cas. 2.** Si fit \(x^3 - 3ax = \pm 2aab\), existente \(a\) minore quam \(b\): ponantur \(AB = a\), \(BC = b\); & sumantur \(M\) & \(N\) binæ mediae proportionales inter \(BC + AC\) & \(BC - AC\): & erit \(M + N\) radix unica possibilis affirmativa, si habeatur \(+ 2aab\); vel \(- M - N\) radix unica possibilis negativa, si habeatur \(- 2aab\). **Cas. 3.** Denique si fit \(x^3 - 3ax = \pm 2aab\), existente \(a\) majore quam \(b\): ponantur \(AB = b\), \(BC = a\); & sumatur \(M\) sinus tridentis angulorum summæ \(A + B\), atque \(N\) sinus tridentis angulorum differentiæ \(A - B\), existente radio \(2BC\): & erunt \(- M\), \(- N\), & \(M + N\) tres radices possibles, si habeatur \(+ 2aab\); vel \(M\), \(N\), & \(- M - N\) tres radices possibles, si habeatur \(- 2aab\). Atque ita Problemata omnia Solida solutionem facilem recipiunt, vel per Canonem Logarithmicum, vel per Canonem Trigonometricum. sicie locatum ad axis illius terminum. Jungantur puncta \( P, F \), ac sumatur \( CD \) quae sit mensura rationis inter \( PF + FC & CP \) ad Modulum \( CA \), pariterque sumatur \( CE \) quae sit anguli \( CPF \) mensura ad Modulum \( CP \); sitque \( FD \) excessus mensuræ \( CD \) supra \( CF \), atque \( FE \) excessus ipsius \( CF \) supra mensuram \( CE \): & Solidi convoluzione circum axem majorem \( AB \) geniti vis in corpusculum ad \( A \) locatum, erit ad Sphæræ homogeneæ & eodem axe descriptæ vim in idem corpusculum, ut \( 3FD \times CPq \) ad \( CFcub \); Solidi autem conversione circum axem minorem \( PQ \) geniti vis in corpusculum ad \( P \) locatum, erit ad Sphæræ homogeneæ & eodem axe descriptæ vim in idem corpusculum, ut \( 3FE \times CAq \) ad \( CFcub \). Unde cum vis Sphæræ prioris in corpusculum ad \( A \), sit ad vim Sphæræ posterioris in corpusculum ad \( P \), ut \( CA \) ad \( CP \): erit vis Solidi prioris in corpusculum ad \( A \), ad vim Solidi posterioris in corpusculum ad \( P \), ut \( FD \times CP \) ad \( FE \times CA \). Hinc quoniam Solidum posterius medium est proportionale inter Solidum prius & Sphæræm priorem: vis Solidi posterioris in corpusculum ad \( A \), erit media proportionalis quamproxime inter vires Solidi prioris & Sphæræ prioris in idem corpusculum ad \( A \), si modo axes Ellipseos sint prope æquales. Itaque in hoc casu, ponendo \( CG \) medianam proportionalem inter \( CF \) & \( 3FD \), & capiendo \( CH \) ad \( 3FE \) ut \( CA \) ad \( CF \); posterioris Solidi vires ad \( A \) & \( P \), vel ad \( B \) & \( Q \), erunt ad invicem quamproxime ut \( CG \) ad \( CH \). Id quod non inutile praebet compendium ad inventionem Figure Telluris, quam eam subtiliter instituit celeberrimus Newtonus, summus ille Philosophiæ sanioris Instaurator. Consideratio virium centripetarum aliud porro mihi suggerit Exemplum, in quo satis ampla se prodit mutationum varietas. Propo- natur Trajectoriarum species enumerare, in quibus corpora moveri possunt, quae à viribus centripetis in ratione distantiarum triplicata decrementibus agitantur, quæque de loco dato, cum data velocitate, secundum datam rectam egrediuntur. Caf. i. Sit $S$ centrum virium, exeatque corpus de loco $P$ secundum rectam $PQ$ vel $QP$, ea cum velocitate quam acquirere possit ab iisdem viribus, libere cadendo versus centrum $S$ de loco $C$, & caufu suo describendo altitudinem $CP$. In datam rectam $QPT$ demittantur perpendicula $SQ$, $CT$, centroque $S$ & intervallo $\sqrt{SQ} + QTq$ describatur circulus $RTA$, rectae $SPC$ occurrens in $R$: deinde ad Modulum $\sqrt{SCq} - SRq$ sit arcus $RA$ mensura rationis inter $SR \pm \sqrt{SRq} - SPq$ & $SP$, jaceant autem arcus ille $RA$ & punctum $Q$ ad diversas partes rectae $SR$; & punctum $A$ erit Apsis summa Trajectoriae. Exhinc vero Trajectoria dabitur, sumendo $SM$ æqualem ipsi $\sqrt{SCq} - SRq$, deinde in recta $SA$ capiendo longitudinem quamvis $SD$ quæ sit minor quam $SA$, ad eandem erigendo perpendiculum $DE$ secans circulum in $E$, & jungenndo $SE$. Nam si ad utrasque partes puncti $A$ ponatur arcus circularis $AR$, cujus longitudo sit mensura rationis inter $SE + ED$ & $SD$ ad Modulum $SM$, & in semidiametris $SR$ capiantur distantiae $SP$ æquales ipsi $SD$: erunt puncta $P$ ad Trajectoriam descriptandam. Tempus autem quo radius $SP$, à centro ad corpus motum ductus, percurret aream quamvis $SAP$, erit ut recta $DE$: nam area percura æquaturs ipsi $DE$ in Modulum dimidiatum $\frac{1}{2} SM$ ductæ. Velocitas vero corporis in loco quovis $P$, erit ad velocitatem qua in Circulo, ad eandem distantiam $SP$, cum iisdem viribus revolvi revolvi posset, ut \( \sqrt{SCq - SPq} \) ad \( SC \). Ex ipso constructione patet, hanc Spiralem primam infinitis gyris circa centrum virium con- torqueri, quin & seipsam infinitis vicibus decussare, & siti erunt Nodi omnes ad Apsidis lineam AS. Cas. 2. Recedat punctum C ad infinitam distantiam à centro S; & corporis de loco P secundum rectam PM vel MP excuntis ea sit velocitas, quam acquirere posset cadendo libere ad eundem locum P ab infinita distantia. Ad rectam SP ducatur normalis SM, qua secet PM in M; deinde centro S & intervallo SP describatur circulus, & in ejus circumferentia capiatur arcus PX, cujus longi- tudo sit mensura rationis in- ter distantiam quamvis SD & distantiam datam SP ad Modulum SM, jaceant au- tem arcus ille PX & pun- ctum M ad diversas partes rectae SP si SD fuerit ma- ior quam SP, aliter ad eas- dem, inque semidiametro SX ponatur SZ æqualis ipsi SD; & punctum Z erit ad Trajectoriam descripten- dam. Tempus autem quo radius SZ, à centro ad cor- pus motum ductus, percurret aream quamvis SPZ, erit ut differentia quadratorum ex SZ & SP: Nam area percura, est ad illam differentiam, in data ratione Moduli dimidiati \( \frac{1}{2} SM \) ad \( SP \). Velocitas vero corporis in loco quovis P, æqualis erit velocitati qua in Circulo, ad eandem distantiam SP, cum iisdem viribus revolvi posset. Ex constructione patet hanc secundam Spi- ralem esse Äquiangulam illam Propositionis sextæ; ea vero migra- bit in Circulum ubi angulus SPZ fit rectus. Cas. 3. Ut velocitas sit adhuc major, abeat jam punctum C ad distantiam plusquam infinitam à centro S, vel (quod perinde est) accedat à parte contraria eidem centro, ad finitam distantiam; & corporis de loco P secundum rectam PQ vel QP excuntis, ea sit velocitas, quam acquirere posset ascendendo libere de loco C ad in- finitam distantiam, & deinde ab infinita distantia ex altera centri parte parte descendendo ad locum P, viribus centripetis inter ascenden- dum in æquales vires centrifugas conversis. In datam rectam PQT demittantur perpendicula SQ, CT; & erit TQ vel major, vel æ- qualis, vel minor quam SQ. Si TQ fuerit major quam SQ; cen- tro S & intervallo $\sqrt{TQq - SQq}$ describatur circulus RBE rectæ SP occurrens in R, deinde ad Modulum $\sqrt{SCq - SRq}$ sit arcus RB mensura rationin inter SR ± $\sqrt{SRq + SPq}$ & SP, jaceant au- tem arcus ille RB & punctum Q ad partes diversas rectæ SP. Ex- hinc Trajectoria dabitur, sumendo SM æqualem ipsi $\sqrt{SCq - SRq}$, in recta SB capiendo longitudinem quamvis SD, ad eandem erigendo perpendicularum SE cir- culum secans in E, & jungendo DE. Nam si retro ponatur à puncto B circularis arcus BR, cujus longitudo mensura fitrationis inter SE + ED & SD ad Modulum SM, & in semidiametro SR capiatur distantia SP æ- qualis ipsi SD: erit punctum P ad Traje- ctoriam describendam. Tempus autem quo ra- dius SP, à centro ad corpus motum ductus, percurret aream quam- vis hujus Trajectoriae, erit ut incrementum vel decrementum rectæ DE per tempus illud factum: nam area percura æquatur huic incre- mento vel decremento in Modulum dimidiatum $\frac{1}{2}SM$ ducto. Ve- locitas vero corporis in loco quovis P, erit ad velocitatem qua in Circulo, ad eandem distantiam SP, cum iisdem viribus revolvi po- set, ut $\sqrt{SCq + SPq}$ ad SC. Ex constructione patet, hanc Spiræ- lem tertiam infinitis gyris centrum cingere infra punctum datum P; at supra idem punctum vel non undique cinget, si arcus RB minor fuerit quam circumferentia tota RBER; vel toties cinget, quoties arcus ille circumferentiam excedit. F Cas. 4. Caf. 4. Reliquis manentibus, sint jam $TQ$ & $SQ$ æquales. Centro $S$ & intervalllo $SP$ describatur circulus $PXB$, & sit arcus $PB$ æqualis ipsi $SC$, jacent autem arcus $PB$ & punctum $Q$ ad partes diversas rectæ $SP$. Exhinc Trajectoria dabatur, sumendo in recta $SB$ longitudinem quamvis $SD$, centroque $S$ & intervalllo $SD$ describendo circuli arcum $DZ$ æqualem ipsi $SC$. Nam si ordine circulari contrario ponantur arcus $PB$ à puncto $P$ & arcus $DZ$ à puncto $D$: crit punctum $Z$ ad Trajectoriam descriptam. Tempus autem quo radius $SZ$, a centro ad corpus motum ductus, percurrit aream quamvis $SPZ$, erit ut differentia radiorum $SZ$ & $SP$: nam area percura æquatur huic differentiæ ductæ in semissim distantia $SC$. Velocitas vero corporis in loco quovis $P$, erit ad velocitatem qua in Circulo, ad eandem distantiam $SP$, cum iisdem viribus revolvi posset, ut $\sqrt{SCq} + SPq$ ad $SC$. Ex constructione patet, hanc Spiralem quartam esse Reciprocam illam, cujus longitudinem supra dimensam dedimus. Caf. 5. Reliquis adhuc manentibus, sit jam $TQ$ minor quam $SQ$. Centro $S$ & intervalllo $\sqrt{SQ} - TQg$ describatur circulus $RAE$ rectæ $SP$ occurrens in $R$; deinde sit arcus $RA$, ad ejusdem circuli arcum cuius secans est $SP$, ut $\sqrt{SCq} + SRq$ ad $SR$; ponatur autem arcus ille $RA$ ad eadem partes rectæ $SP$ cum puncto $Q$: & $A$ crit Apsis ima Trajectoria. Exhinc vero Trajectoria dabatur, sumendo $SM$ æqualem ipsi $\sqrt{SCq} + SRq$, in recta $SA$ capiendo longitudinem quamvis $SD$ quæ sit major quam $SA$, ducento $DE$ quæ circulum tangat in $E$, & jungendo $SE$. Nam si ad utrasque partes puncti $A$ ponatur arcus circularis $AR$, cujus longitudino mensura fit anguli $DSE$ ad Modulum $SM$, & in semidiametriis $SR$ capiantur distantiae $SP$ æquales ipsi $SD$: erunt puncta $P$ ad. P ad Trajectoriam describendam. Tempus autem quo radius SP, à centro ad corpus motum ductus, percurrit aream quamvis SAP, erit ut recta DE: nam area percura æquatur ipsi DE in Modu- lum dimidiatum \( \frac{1}{2} SM \) ductæ. Velocitas vero corporis in loco quovis P, erit ad velocitatem qua in Circulo, ad eandem distan- tiam SP, cum iisdem viribus revolvi posset, ut \( \sqrt{SCq + SPq} \) ad SC. Ex constructione patet, hanc quintam Spiralem vel nullum habere Nodum, vel unicum, vel plures, pro varia proportione rectæ SM ad diametrum circuli EAR: toties enim Trajectoria sepe decus- sabit, quoties illa recta diametrum excedit, & Nodi omnes siti erunt ad Apsidis lineam AS. Sunt itaque Trajectoriarum quinque Species. Harum primam atque ultimam descriptit olim Newtonus, per Hyperbolæ & Ellipseos quadraturam. Geometris integrum erit, ex adductis hactenus Exemplis de Me- thodo nostra judicare; quam quidem, si proba suerit, ulterius excolare pergent & excolendo latius promovebunt. Pacte utique campus am- plissimus in quo vires suas experiri poterunt, praesertim si Loga- metriae Trigonometriam insuper adjungant, quibus miram quandam affinitatem in se invicem euntibus intercedere notabam. Hisce qui- dem Principiis haud facile crediderim generaliora dari possit; cum totae Mathesis vix quicquam in universo suo ambitu complectatur, praeter angulorum & rationum Theoriam. Neque sane commodiora sperabit, qui animadverterit Effectiones facilitatem per amplissimas illas, omnibusque suis numeris absolutas, tum Logarithmorum tum Sinuum & Tangentium Tabulas, quas antecefforum nostrorum laudatissime solertiae debemus acceptas. Ut vero tanti beneficii uberior nobis exsurgat fructus, id nuac exponendum refiat, quibus artibus ad istiusmodi conclusiones rectissima perveniatur. In hunc finem Theoremata quaedam, tum Logometrica tum Trigonometrica adiecisset, quae parata ad usum asservos; ni consultus visum esset, quam absque rimis ambagibus ea tradis non possent, intacta potius praeterire atque aliis denuo investiganda relinquere. Ceterum isthoc apparatu non semper est opus; nam in Methodo Fluxionum saepe evenit ut ipse Fluentes, omissis hujusmodi subsidiis, ad Logometriam satis commodae revocentur: id quod uno atque altero Exemplo ostendam. Egimus in praecedentibus de rectilineo Gravium descensu, per Medii resistentiam continuum retardato, ex Hypothesi quod illa resistentia esset in duplicata ratione velocitatis. Ex eadem Hypothesi resistentiam corporis penduli, in Cycloide oscillantis, jam sit propositionum invenire. Cycloidis itaque in rectam explicatae sit AC dimidium, C punctum infimum, B punctum a quo cadere incipit corpus pendulum, BC, CD arcus descensu ejus & subsequentem ascensum descripti. Hisce positis, exquirenda est ratio quam habet resistentia corporis in loco quovis E, ad pondus ejus relativum in Medio resistenti. Exponatur pondus illud per AC; & vis ab eodem oriunda, qua pendulum acceleratur ad E, exponetur per CE: qua si dicatur x, & momentum ejus $\dot{x}$; momentum arcus jam descripti BE erit $-\dot{x}$. Exponatur vis resistentiae per z; & vis qua pendulum vere acceleratur, erit ut excessus vis prioris supra resistentiam, hoc est, ut $x - z$. Itaque cum resistentia sit ut quadratum velocitatis, resistentiae momentum $\dot{z}$ erit ut velocitas & velocitatis momentum, hoc est, ut $-\dot{x}$ & $x - z$, sive ut $z\dot{x} - x\dot{x}$. Nam si tempus in particulas aequales dividatur, erit velocitas ut arcus descripti momentum $-\dot{x}$, & velocitatis momentum ut vis acceleratrix $z - z$ qua momentum illud generat. Quoniam ergo $\dot{z}$ est ut $z\dot{x} - x\dot{x}$, si capiatur piatur quantitas invariabilis \(a\), quae sit idoneae magnitudinis: erit \[a \dot{z} = z \dot{x} - x \dot{x}.\] Ad hanc aequationem construendam, assumatur quantitas \(v\) quaest variabilis, & singatur aequatio \(z = p + qx + rv\), in qua notae \(p, q, r\) designent alias novas quantitates invariabiles; & erit \(z = q \dot{x} + r \dot{v}\). Hisce porro valoribus ipsarum \(z\) & \(z\) substitutis in aequatione prima \(a \dot{z} = z \dot{x} - x \dot{x}\), habebitur \(aq - p, \dot{x} + ar \dot{v} = q - 1, x \dot{x} + rv \dot{x}\). Ut hæc aequatio simplicior evadat, ponatur \(q - 1 = 0, & aq - p = 0\); five \(q = 1, & p = a\): & fiet \(a \dot{v} = \dot{x}\), ac praetera \(z = x - x + rv\). Jacentibus punctis \(D\) & \(S\) ad eandem partem puncti \(C\), intelligatur \(CS\) æqualis ipsi \(a\): & erit \(z = SE + rv\), atque \(CS \frac{v}{c} = \dot{x}\). Sit valor quantitatis \(v\), dum incidit punctum \(E\) in punctum \(C\): & quantitas \(x\), five \(CE\), æquabitur mensurae rationis quam habet \(v\) ad \(c\) pro Modulo \(CS\), per Propositionem primam: quam æqualitatem sic designare solemo, \(CE = CS \frac{v}{c}\). Tota ergo Problematis difficulitas jam revocatur ad binas illas aequationes \(CE = CS \frac{v}{c}\), atque \(z = SE + rv\): hae vero deduci non poterunt in usum, priusquam determinatae fuerint quantitates \(r\) & \(CS\). Ad hoc efficiendum, duæ restant conditiones nondum adimpletae; oportet enim resistentiam esse nullam, atque adeo quantitatem \(z\) five \(SE + rv\) evanescere, ubi punctum \(E\) in puncta \(B\) & \(D\) inciderit. Sint ergo \(b\) & \(d\) valores ipsius \(v\), dum incidit punctum \(E\) in puncta \(B\) & \(D\) respective: & in his casibus habebuntur \(SB + rb = 0\), \(SD + rd = 0\). Unde \(r = -\frac{SB}{b}, r = -\frac{SD}{d}\), atque \(z = SE + rv = SE - \frac{v}{b} SB = SE - \frac{v}{d} SD\). Porro crit \(SB \frac{b}{SD} = \frac{b}{a}\); atque adeo \(CS \frac{SB}{SD} = (CS \frac{b}{a} = CS \frac{b}{c} - CS \frac{d}{c} = CB + CD = BD)\) unde dabitur punctum \(S\). Componetur itaque Problema hunc in modum. Producatur \(BD\) versus \(D\) ad \(S\), eo usque, donec \(BD\) fuerit mensurae rationis inter \(SB\) & \(SD\) ad Modulum \(CS\). Deinde ad arbitrium posita quantitate \(c\), ita capiantur quantitates \(b\) & \(v\); ut eodem Modulo \(CS\), fiat \(CB\) mensurae rationis quam habet \(b\) ad \(c\), fiat quoque \(CE\) mensurae rationis quam habet \(v\) ad \(c\): & erit vis resistentiae in loco \(E\), ad pondus relativum corporis penduli, ut \(SE = \frac{v}{b} SB\), ad \(CA\). Hujus Hujus Problematis solutio utilitatem habet in Physica non contemnendam: quapropter constructionem ejusdem Linacrem, ex eadem Analysis deducam, subjungere vitum est. Invento ut supra puncto S; ad rectam SA erigantur perpendicula DH, CO, EK, BP, AN, rectae SN utcunque per S ductae occurrentia in H, C, K, F, N. Per punctum c ducatur recta da parallela rectae DA, qua iisdem perpendiculis occurrat in d, c, e, b, a; & ad Asymptoton SA ducatur Logistica HGIF, qua transeat per puncta H & F, secetque perpendicula CO, EK in G & I, ac parallelam da in m: namque his positis, erit pondus relativum corporis penduli, ad vim illam qua pendulum acceleratur ad punctum E in Medio non resistente, ut AN ad eK; erit autem ad vim resistentiae in loco E, ut AN ad KI; atque adeo ad vim qua pendulum acceleratur ad punctum E in Medio resistente, ut AN ad eI. Porro, si per punctum m ducatur ad rectam SMA perpendicularis LMN, qua secet SN in L: erit M locus ubi resistentia fit maxima: atque adeo resistentia illa maxima, erit ad pondus relativum penduli, ut LM ad NA, hoc est, ut CM ad CA. Ceterum si ita ducatur recta SN, ut abscindat rectam DH qua sit dupla ipsius SD, centroque C & intervallo CB describatur Circulus BOP, qui occurrat perpendiculo KE in O: erit penduli in Medio resistente oscillantis velocitas in loco E, ad velocitatem penduli ejusdem ad eundem locum E delati per idem pondus relativum in Medio non resistente, ut media proportionalis inter CS & KI, ad EO. Adhæc Adhæc si jungatur CO, & in perpendiculari KE sumatur ER, quæ fit ad CB ut CB ad mediam proportionalem inter Ce & KI; continuoque ductu rectæ ER in basim BE generetur area BQRE: erit tempus quo Cycloidis arcus BE describitur in Medio resilitente, ad tempus quo idem arcus descripteretur in Medio non resilitente, ut area illa BQRE, ad Circuli sectorem BOC. Pergo nunc ad alia. Densitatem Aeris invenimus ad quamvis altitudinem, ubi vis Gravitatis vel erat uniformis, vel decrescet in recessu à centro telluris in duplicata ratione distantiae: libet candem exquirere denuò, ubi gravitatio vel augetur vel diminuitur in ratione datæ cujusvis dignitatis distantiae. Sit S centrum telluris, A punctum in ejus superficie vel alibi utequaque situm, SAF2 reæta à centro ad summam Atmophææ producita: & quaerenda sit ratio densitatis in loco A, ad densitatem in loco quo-vis F, ex Hypothesi quod vis gravitatis in F sit ut distantiæ SF dignitas quæcunque SFn, cujus index est n. Pro SF scribatur x, ac designent d & v densitates Aeris ad A & F; & cum densitas sit ubique ut pressura totius Aeris incumbentis, erit densitatis momentum ut momentum pressuræ, hoc est, v ut vxn, atque adeo v ut xvn. Sit AC altitudo Atmosphææ, cujus uniformis densitas cadem esset ac densitas loci A, vel sit AC ad altitudinem Hydrargyri barometrici in loco A, ut densitas Hydrargyri ad densitatem Aeris in codem loco A: & si punctum F accedere intelligatur ad punctum A; erit altitudo Hydrargyri barometrici in loco A, ad altitudinem Hydrargyri barometrici in loco F, ut AC ad FC. Aeris ergo in loco A densitas d, est ad Aeris in loco F densitatem v, ut AC ad FC: unde consequitur ut sit d—v sive v, ad d sive v, ut AF sive x, ad AC. Erit itaque, in hoe casu, ACv = x = xvn. Quoniam ergo, ubicunque fumeretur punctum F, erat v ut xvn: erit porro ACv = xvn, ubicunque fumatur punctum F. jam si gravitatio sit reciproce ut distantia à centro, sive ut \[ \frac{1}{x} \] vel \( x^{-1} \); crit \( n = -1 \), atque inde \[ AC \cdot \frac{\dot{v}}{v} = SA \cdot \frac{\dot{x}}{x}; \] unde si Fluentes statuantur æquales, mensura rationis inter densitates \( d \) & \( v \) ad Modulum \( AC \), æquabitur mensuræ rationis inter distantias \( SF \) & \( SA \) ad Modu- lum \( SA \). Si gravitationis sit alia quævis Lex: quo- riam est \( AC \cdot \frac{\dot{v}}{v} = \frac{\dot{x}^n}{SA^n} \); si Fluentes statuantur æquales, erit \( \frac{1}{n+1} \) in \( \frac{SF^{n+1}}{SA^n} = SA \) mensura rationis inter densitates \( d \) & \( v \) ad Modu- lum \( AC \). Itaque si sumantur in progressi- one Geometrica termini crescentes \( SA, SF, SF_1, SF_2, \&c \); decrescentes \( SF, SA, SF_2, SF_3, \&c \): mensura rationis inter densitates Aeris in \( A \) & \( F \) ad Modulum \( AC \), erit \( \frac{1}{2}AF_3 \), si gravitatio sit reciproce in triplicata ratione distantiae; erit \( AF_2 \), si gravitatio sit reciproce in duplicata ratione distantiae; erit \( AF_1 \), si gravitatio uniformis statuatur; erit \( \frac{1}{2}AF_1 \), si gravitatio sit ut distantia; erit \( \frac{1}{3}AF_2 \), si gravitatio sit in duplicata rati- one distantiae. Et sic proceditur in infini- tum. Denique ut plenius constet, Syntheticas etiam demonstrationes ex elementis præmissis levi negotio concinnari posse; sufficiet unicum insuper addidisse Exemplum, tædet utique plura jam proferre. Repetatur itaque divisio illa Nautica Meridianæ quam supra attigimus, & videamus etiam absque ope Curvæ cujuspiam Logo- metricæ, annon simplicior aliquanto sit futura demonstratio ad mo- dum sequentem. Sit \( PXCQ \) Telluris axis, \( CO \) semidiameter Æquatoris, \( PAOBQ \) Meridianus; & invenienda sit in planisphærio Nautico magnitudo cujusvis arcus \( AB \). Ad arcus illius terminos \( A \) & \( B \) ducantur ab alterutro Polorum \( P \) vel \( Q \) rectæ \( QA, QB, \) semidiametro \( CO \) occurrentes in \( D \) & \( E \): Dico magnitudinem Nauticam arcus \( AB \) æqualem esse mensuræ rationis inter \( EC \) & \( DC \) ad Modulum \( OC \). Nam divisus intelligatur arcus \( AB \) in parti- culas culas quam minimas RS, & jungantur QR, QS quae secent CO in T & V; & demissio in axem perpendiculo SX quod rectæ QR occurrat in Z, erit lineola SZ æqualis particula RS. Itaque magnitudo Nautica nascentis arcus RS, erit ad Sphæræ semidiametrum OC, ut arcus ille RS sive lineola SZ ad SX, hoc est, ut VT ad VC. Unde (per Corol. 2. Prop. 1.) magnitudo illa Nautica æquatur mensuræ rationis inter VC & TC ad Modulum OC: & similis utrobique summas colligendo, magnitudo Nautica totius arcus AB æquabitur mensuræ totius rationis inter EC & DC ad eundem Modulum OC.