De Iride, Sive de Arcu Caelesti, Differtatio Geometrica, qua Methodo Directâ Iridis Ntriusq; Diameter, Data Ratione Refractionis, Obtinetur: Cum Solutione Inversi Problematis, Sive Inventione Rationis Istius ex Data Arcus Diametro. Per Edm. Halley Reg. Soc. Soc.

III. De Iride, sive de Arcu Cælesti, dissertatio Geometrica, qua methodo directâ iridis utriusq; Diameter, data Ratione Refractionis, obtinetur: Cum solutione inversi Problematis, sive Inventione Rationis istius ex data Arcus Diametro. Per Edm. Halley Reg. Soc. Soc. Physici omnes, quotquot Naturæ Historiam aggressi sunt, Iridem Meteoron coloribus suis praeprimis spectabile necessario descriptere, causâq; ejus deinde perpenderunt. Ac Mythologici veteres a miranda ejus specie Thaumantis quasi Admirationis filiam dixere, eiq; etiam in numerum Dearum adscita, munus Internuncia inter Deos & Mortales tribuere; quae fabula fortassis originem duxit ex Gen. Cap. 9. 13. Iridis vero Phænomena attentius respicientibus semper constabat, Solis radios a Nube aquosa reflexos, sub certo quodam angulo in oculum incurrere; unde forma ejus arcuata: Colorum autem Causa, ut etiam Magnitudinis anguli istius, quo constanter ab opposito Solis Iridem distare deprehendimus, tam Modernos quam Veteres diu multumq; torcit: Nec quicquam protecere, usq; dum præclarus ille Cartesius, in accuratis collatis Mathematicis Disciplinis, speculationes has physicæ strictiori argumentandi Methodo tractari posse ac debere, pluribus exemplis edocuit. Inter cætera, (Faciem tamen præferente Reverendissimo Antonio de Dominis Antistite Spalutenfi) Iridis Theoriam expoluit: inventisq; Refractionum, quas patiuntur Radii Lucis data corpora diaphana permeant, legibus; aperte demonstravit, Primariam Iridem nihil aliud esse, quam Solis Solis species a concavâ superficie guttularum Sphæricarum innumerarum cadentis pluviae reflexa; eà sub conditione, ut qui paralleli incidereint radii, a reflexione ac duabus in ingressu & egressu glutulæ refractio- nibus, non dissipentur, sed in oculum etiam paralleli incurrant. Radios vero Coloribus tingi a refractionibus istis, eo more quo a Prismate Vitreo coloratos Lucis radios conspicere est: Secundariam vero Iridem a radiis magis oblique incidentibus eodem modo produci, nisi quod hic duae sint Reflexiones, antequam radii Solis secundo refracti, ad oculum parallelo situ tendentes, e globulis aqueis emergant. Magnitudinem autem Iidis utriusq; pendere a gradu Refractionis, qui in diversis Liquoribus Solidisve pellucidis diversus reperitur. Posito vero quod ratio sinuum Incidentiæ ad sinus angulorum refractorum fuerit in Aquâ ut 250 ad 187, semidiametrum utriusq; Arcus Gaëstis observationibus congruam definitivit; Primariae scilicet 41°.30', Secundariae vero 51°.54': quibus non tam Theoriam suam aliunde demonstratam comprobavit, quam veritatem assumpta rationis praedictæ: De his vide Cap. VIII: Meteorum Cartesii, quo Lectorem ablegamus. Methodo autem indirectâ ac tentativâ usu in definiendis his angulis, visus est Cartesius Problematis sibi propositi facilitatem non rite perspexisse. Cumq; nemo haecenus, quod si iam post eum argumentum de Iride plenius tractaverit, atq; etiam nonnulli a Cartesio stabilita parum intellecterint, admisis gravibus paralogismis in quibusdam libris post eum Iidis Phænomena speciatim explicare profecerint; Volui quæcunque in hac doctrina mihi desse videbantur supplere, angulumq; quo distat Iris ab Opposito Solis puncto, ex data ratione Refractionis Geometricæ definere, vel e contra ex data Iride Liquoris vim refractivam determinare. Quæ vero de hac materia commentus fit Celeberrimus Newtonus, in li- bro suo de Luce ac Coloribus, majori cum fructu percipiet Lector, si quando subtilissimas istas suas lucubrationes publico donare dignabitur. Jam constat ex demonstratis Cartesi, Iridem Primariam a talibus Solis radiis produci, ubi excessus duorum angulorum refractorum supra unicum Incidentiae angulum omnium possibilium fuerit Maximus. Secundariam vero Iridem formari ab his Radiis tantum, ubi excessus trium Angulorum refractorum supra unum Incidentiae angulum similiter sit omnium Maximus. Ac pergere licet ad Tertiam, Quartamve vel quamvis aliam Iridem, quae fit ubi radii post tres, quatuorve, vel plures Reflexiones e guttulis emergunt. Haec vero in Coelo vix unquam conspicuae esse possint, ob Lumen Solis in singulis Reflexionibus ac Refractionibus magis magisq; attenuatum; unde fit ut Secundaria etiam Iris Coloribus tanto debilioribus Primariâ pingatur. In omnibus autem his Regula est generalis, ut excessus quatuor, vel quinq; vel plurium angulorum refractorum (numero fclicet Reflexionum Unitate aucto) supra unum Incidentiae angulum sit omnium Maximus. Excessus autem iste Maximus duplicatus ubiq; est distantia Iridis ab Opposito Solis, ubi numerus Reflexionum impar est. Si vero par sit iste numerus, duplum anguli istius Maximi fit distantia Iridis a Sole ipso, nempe in Iride Secundaria, Quarta, Sexta, &c. Hæc vel mera Cartesiana sunt, vel ex ejus scriptis, loco citato, nullo fere negotio consequantur. Ut autem habeantur Excessus isti Maximi, data Liquoris alicujus refractione, sive Ratione sinus Anguli Incidentiae ad sinum anguli refracti; observandum est, excessum duorum angulorum refractorum supra unum Incidentiae angulum Maximum fieri, ubi augmentum Momentaneum anguli Incidentiae præcise duplum est augmenti momentanei anguli Refracti: Trium vero angulorum gulorum Refractorum excesium Maximum esse, ubi augmentum Momentaneum anguli Incidentiae Triplum est momenti anguli refracti: & sic de caeteris. Atq; hoc per se satis evidens est: Angulos autem ipsos obtinebimus praemissio Lemmate sequente, quod demonstrare oportet. Lemma. Manentibus Cruribus Trianguli cujusvis Plani, si angeatur vel minuatur angulus Verticalis angulo quo-vis dato minore, erunt momenta sive mutationes instantaneae angulorum ad Basin inter se reciproce ut segmenta Basis. Fig. 4. Sit \(ABC\) Triangulum cujus vertex \(A\), Cru-ra \(AB\), \(AC\), & Basis \(BC\), in quam demittatur perpendicularum \(AD\): dein angeatur angulus \(BAC\) momento aliquo indivisibili \(CAc\), ac ducantur lineae \(Bcd\), \(cD\), quae non nisi intellectu differunt a lineis \(BCD\), \(CD\). Dico momentum anguli \(ABC\), nempe \(CBC\) esse ad momentum anguli \(ACB\) vel \(ACD\) ut \(CD\) ad \(BD\), hoc est reciproce ut segmenta Basis. Demonstratio. Cum Angulus \(ACD\) sit summa angulorum \(ABC\), \(BAC\), momentum ejus erit etiam summa momentorum istorum angulorum, sive \(CAc\) \(-CBc\); sed \(CAc\) æqualis est angulo \(CDC\), quoniam, ob angulum rectum ad \(D\), puncta \(A\), \(D\), \(C\), \(c\) sunt in arcu Circuli cujus diameter est \(AC\): per Euclid 3.9. ac proinde summa angulorum \(CBc\), \(CDC\), hoc est angulus \(Dcd\), erit momentum anguli \(ACD\), vel \(ACB\); anguli autem isti \(CBc\), \(Dcd\), cum minimi sint, sunt inter se ut latera fibi opposita, sive ut \(cD\) vel \(CD\) ad \(BD\), hoc est, ut segmenta Basis reciproce \(Q.E.D.\). Quod si angulus uterque \(B\) & \(C\) fuerit acutus, eodem modo demonstrabitur Lemma mutatis mutandis. Coroll. Coroll. Hinc consequitur momenta angulorum ad Basin esse inter se, ut sunt Tangentes angulorum ipsorum directe. Hoc Lemmate muniti facili negotio cujusvis Iridis Diametrum vel Constructione Geometrica vel calculo obtinere licet. Expedita enim linea quavis recta CA (Fig. 5.) dividatur primum in D, ita ut CA sit ad CD in ratione refractionis, quae in Aqua fit, ut 250 ad 187, sive accuratius ut 529 and 396. Deinde dividatur CA in E, ita ut CE sit ad AE ut Unitas ad Numerum Reflexionum quas patitur Radius Solis ad Iridem propositam producendam idoneus; ac diametro AE describatur semicirculus ABE, ac centro C radio CD duc arcum BD, semiciculo ABE in puncto B occurrentem: Ductis denique rectis CB, AB, demittatur in AB productam perpendicularis CF, eique parallela EB; Dico Angulum CBF esse angulum Incidentiae, ac Angulum CAB esse angulum refractum, quos quaerimus, quique producent Iridem propositam. Demonstratio. Cum Triangula ACF, AEB sint similia, crit AF ad BF ut AC ad EC, hoc est ut Numerus Reflexionum Unitate auctus ad Unitatem, per Constructionem; ac proinde momentum Anguli CBF erit ad momentum anguli CAF in eadem ratione, per Lemma praecedens. Sed sinus anguli CBF est ad sinum Anguli CAF, in ratione Laterum CA, CB, hoc est in ratione refractionis datae; etiam per Constructionem, Angulus itaque Incidentiae CBF habet angulum refractum. Sibi respondentem CAF, eorumque momenta sunt in ratione proposita, quocirca sunt anguli quaesiti. Q.E.D. Jamque multiplicando angulum refractum per numerum Reflexionum Unitate auctum, & e facto subducendo angulum Incidentiae, habebitur Semissis distantiae Iridis a Sole, si numerus reflexionum fuerit par, vel a Solis oppolito si fuerit impar, prout jam diximus. Hinc Hinc Constructione satis concinnâ nec incleganti, omnium ordine Iridum Incidentias Synoptice exhibere possimus, in quolibet Liquore cujus refractio cognita est. Si enim linea exposta A C Fig. 5. dividatur bifariam in E, Trifariam in e, Quadrifariam in ε, ac quinquifariam in η, &c. ac diametris A B, A e, Α ε, A η, describantur semicirculi A BE, Abe, Aβε, Avη; Quibus omnibus occurrat arcus circularis DBb θ v, centro C radio CD descriptus (qui sit ad AC in ratione refractionis data) in punctis B, b, β, v; dico quod ductae lineae A B, A b, A β, A v, constituent cum linea AC angulos CAB, CAB, CAβ, CAv æquales angulis refractis, ac cum radiis CB, Cb, Cβ, Cv, respectivo, angulos æquales angulis Incidentiæ requisitis, nempe ABC, vel potius ejus complementum ad semicirculum, pro Primariâ Iride, AbC pro Secundaria, AβC pro Tertia, ac AvC pro Quartâ: & sic deinceps. Quod si cui calculo accurato hos angulos investigare liberat, ex eodem fonte facile eruat Lector Analysta, quod posito radio = r, ac ratione refractionis ut r ad s, Sinus Incidentiæ erit $\sqrt{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}$, sinus vero anguli refracti $\sqrt{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}$, a quibus angulis provenit Iris Primaria. Pro Secundariâ vero $\sqrt{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}}$ erit sinus Incidentiæ, ac sinus anguli Refracti $\sqrt{\frac{9}{8} + \frac{1}{8}}$. Pro Tertia sinus Incidentiæ erit $\sqrt{\frac{16}{15} - \frac{1}{15}}$, Sinus refracti Anguli $\sqrt{\frac{16}{15} + \frac{1}{15}}$. Radii autem Lucis in Iridem Quartam emergentes in guttulas incidunt cum angulo cujus Sinus est $\sqrt{\frac{25}{24} - \frac{1}{24}}$: angulus autem refractus sinum habet $\sqrt{\frac{25}{24} + \frac{1}{24}}$. & sic de cæteris. Invenies autem suscepto calcolo, admissa ratione Cartesiana, Iridem primariam distare ab opposito Solis 41° 30′, Secundariam cundariam 51°. 55' ab eodem opposito. Tertiam vero 40°. 20', ac Quartam 45°. 33' ab ipso Sole, quas nescio an unquam aliquis videre posset ob causas jam dictas. Atq; hæc de Magnitudine Iridum in Guttulis perspicuis Fluidi, cujus vires refractivæ innotescant, dicta sunt. Restat ut nonnulla adjiciam de Coloribus quibus pinguntur Irides, eorumq; ordine in singulis, variatâ scilicet Refractione per omnes gradus possibilis. Sciendum autem imprimis docuisse sagacissimum Dn. Newtonum evidentibus experimentis, Luminis Radios non simplices ac uniformes e corpore luminoso egredi, sed constare Lucem albam puramq; quam conspicimus, ex omnigenarum Colorum corpusculis, motu rapidissimo inter se commixtis: Rerumq; Colores oriri secundum diversas earum dispositiones ad refringendam vel reflectendam peculiarem aliquam Lucis speciem: Hoc maxime probari a Refractionibus, quibus separantur hæ species, cum scilicet Lux Cærulea vel Purpurea, in eodem perspicuo, aliquanto plus refringatur, quam Flava vel Coccinea. Adeat autem Lector Epistolæ Viri Clarissimi (Num. 8o. & Seqq. Phil. Transact.) unde summa cum Voluptate ex specimine capiat, quantus in hoc de Luce argumento excutiendo Author sit futurus. Nostro autem negotio sufficit Lumen omne generis Cærulei paulo plus refringi quam Lumen quodvis Rubens, a qua differentia oritur Latitudo Iridum, observatione quidem ægre definienda, ob incertos Colorum in nube limites. Quo autem majoris est inæqualitatis ratio inter CA & CD, sive quo major est refractio, eo major provenit distanția Iridis cujusvis a Sole adeoque semper Iridum limites a Sole remotiores purpureo Colore fulgent, propiores vero spissè rubent: uti semper videre est in Iride Primaria, quæ quidem evanescit in opposito Solis si sinus Incidentiæ fuerit ad Sinum Anguli refracti sic ut CA CA ad CE sive ut 2 ad 1: Quod si major fuerit ratio illa, nulla omnino conspicui potest Iris Primaria. Secundariam autem Iridem notandum est in opposito Solis in punctum a dire, quoties ratio refractionis fuerit ut 1 ad \( \frac{9}{4} \), sive ut 1 ad, o, 847437... Inde vero ad sollem ipsum recurrere, ibi evanescere, si dicta ratio fuerit ut 3 ad 1, sive ut CA ad Ce. Intermediis vero rationibus (quales habentur in omnibus Fluidis notis, Acre excepto) quo major est ratio, eo plus distat Iris ab Opposito Solis, vel potius a Sole ipso, numerato ultra semicirculum arcu: ac proinde Coloros diverso a Primaria ordine reperiri videbuntur, in his recursibus, nisi hoc in sensu sumatur distantia Iridum a Sole: quod quidem ubiq in caeteris observandum. Tertia Iris in opposito Solis confunditur, existente ratione Refractionis ut 1 ad ,91855... Indeq, ad Solem recurrit in ratione 1 ad,68250... Unde iterum, restitutoColorum ordine,in ratione 4 ad 1, sive ut CA ad Ce, desinit in Solis Opposito.Iris autem Quarta a Sole incipiens in ratione æqualitatis, ad oppositum ejus transfit in ratione 1 ad ,94895... indeq, ad Solem regreditur si ratio fuerit ut 5 ad 4. Hinc iterum Ipargitur ad Solis Oppositum in ratione 1, ad ,56337... quo spatio clauduntur omnium Fluidorum refractiones notæ. Deniq, rationale existente ut 5 ad 1 sive ut CA ad Ce, in ipso Sole evanescit. Coloribus ubiq, quoad visum inversis in regresiu ad Solem, uti rectis in Egressu. Hinc in Nimbis Aqueis, Primaria ac Quarta Iris Coccineos Colores Soli objiciunt: Secundaria vero ac Tertia purpureos. Sed in his describendis fortasse nimius sum, cum Iris ipsa nihil aliud sit quam Phantasma Momentaneum. Unde autem oriatur diversa Fluidorum vis refractive non levis momenti Problema est, interq, arcana Na- Naturae, nondum sensibus nec ratiociniis nostris objecta, merito cenendum: Aqua enim pura, inter Fluida omnium minime Radios Lucis refringit; ac Salibus quibusvis solutis imbuta, secundum quantitatem Salis pondusq; suum, auget Refractiones: ac Spiritus corrosivi Aqua multo graviore, etiam Radios Lucis multo plus detorqueat; nec mirum cum Corpora densiora sint, eoq; magis Luminis transitus obstruere concipi possint: Cur autem in Spiritubus ardentibus aut Oleis quibusvis reperitur tanta refractio, praesertim in Sp. Terebinthinae aut Vini; cum Fluida sint respectu Aquae admodum levia, ac particulis athereis plurimum constantia, pari argumento non patet: Sed Luminis ac Materiae ipsius interiorum cognitionem postulare videtur. Ex data autem Iridis a Sole distantia, Refractionis rationem eruere Curiosis ansam praebet observandi accuratissime ac parvo negotio cujuvis Fluidi Refracti- onem: Si enim ab inferiori parte exilis Cannulae Vitreae dependeat Guttula alicujus Fluidi perspicui, ac Sole prope Horizontem constituto sed fortiter splen- dente, observetur sub quo angulo cum opposto Solis in Guttula conspiciantur Iridis colores, habebitur levi calculo ratio quaesita: Cubica autem est aequatio, unicâ Radice explicabilis, qua ex data Iride Primaria supputa- tur Ratio: nempe $T^3 - 3 TT t - 4 rr t = 0$, ubi $T$ est Tangens anguli Incidentiae requisitae, $t$ autem Tan- gens semissis distantiae Iridis ab Opposito Solis ad Radium $r = 1$: unde Juxta Cardani Regulas provenit Theorema. viz. De Cubo ipsius $t$ subducatur produc- tum ex $2 tr$ in excessum Secantis ejusdem arcus su- pra Radium: differentia erit Cubus minor. Eorundem autem summa, adjectis $4 trr$, erit cubus major. Summa Laterum utriusq; Cubi atq; ipsius $t$ equabitur Tangenti an- guli Incidentiae, ejusq; semis erit etiam Tangens an- guli anguli refracti, unde constat ratio quam quaerimus Hisjus rei cape Exemplum. In Guttula olei Terebinthinae observatur distantia Iridis Primariae ab Opposito Solis $25^\circ : 40'$, quaeritur ratio refractionis. $t = \text{Tang}: 12^\circ . 50' = 0.2278063$ $f = \text{Secant}: \text{ejusdem} = 1.0256197$ $\frac{t}{f} = 0.218217$ $\frac{f - r}{r} = 0.01167265$ Diff:Cub:minor $0.0014952 \sqrt[3]{0.0530773}$ Summa $0.02349482$ $4 \times r = 0.91122525$ Cubus major $0.93472007 \sqrt[3]{0.9777486}$ $t = 0.2278063$ $T = \text{Tang. Incid.} 51^\circ . 32' 1, 2586322$ $\frac{1}{2}T = \text{Tang. Refr.} 52^\circ . 11' 0, 6293163$ Denique ut $\sqrt{T}T + 4$ ad $\sqrt{T}T + 1$ :: ita $r$ ad $s$ :: ita $1$ ad $0.68026$. Quae quidem ratio proxime accedit ad illam, quam in Vitro ac plurimis Solidis pellucidis experimento inesse constat. Adamas autem non tantum duritie ac pretio Diaphana omnia praecellit, sed etiam hac vi Refractiva; cum sit ratio ejus ut $5$ ad $2$ proxime, vel rectius ut $100$ ad $41$. Sed de his fortasse suo loco uberius. Dum in his scribendis occupatus tenerer, meo hortatu peritissimus Geometra Dominus de Moivre similem æquationem pro investiganda ratione e data Iridis Secundariae semidiametro inquisivit; qua quidem paulo accuratius determinatur ratio, sed cum Biquadratica sit, pari facilitate Calculus non absolvitur: Hæc autem est $X \times x \times x \times x$ \[ T^4 + \frac{8}{3} T^3 t - 2 TT r r - \frac{1}{4} r^4 = 0 \] Ubi \( T \) est Tangens anguli Refracti, \( t \) Tangens semissis distantiae Iridis ab oppido Solis ad Radium \( r = 1 \). Haec autem æquatio ejus formæ est, ut semper Affirmativâ unà ac una Negativâ radice explicari possit, quarum altera ac Minor est Tangens anguli Refracti, in Regressu ad Solem, viz. cum Purpurei Colores Soli propiores sunt. Major autem Radix est Tangens anguli Refracti, in Iride a Sole egressiente, ut supra observavimus, nempe in Fluido minoris rationis. In Oleo Terebinthinae observatur distantia hujus Iridis ab Opposito Solis 81° 30′; unde eruere potest Lector Curiosus Radices 0, 80822 .. ac — 2, 98131 .. Tangeantes angulorum Refractorum; hinc supputatur Ratio majoris inæqualitatis ut 1 ad 0,67995 .. qualis est in Oleo Terebinthinae: A Maiori autem Radice provenit ratio minor, ut 1 ad 0,9540 proxime, quanta daretur in Fluido Iridem secundariam ejusdem diametri exhibente, sed quae Rubentibus coloribus more Primariae Solem respiceret. Si cui libeat Constructione Geometrica has radices inquirere, data quavis Parabola facilius efficitur, quam ut opus sit repeterre quæ N° 188 Phil. Transl: de ea re prodidi. Derivatur autem utraq; Æquatio ex præmissis, simulq; e Regulis pro Tangentibus arcus Dupli ac Tripli, quod indicasse mediocriter exercitato loco demonstrationis est. Hac dissertatione j.m prælo commissa, mihi ad manus venit, beneficio Amici, Liber cui titulus Thaumantiadis Thaumasia, sub praesidio Domini Chr. Sturmii, Noriburgæ anno 1699 editus, quo quicquid uspian de hoc argumento, tam apud Modernos quam Veteres reperiatur, collegisse videtur Scriptor solertissimus: Computumq; Cartesi, Eckardi, Honorati Fabri ac Mariotti subjungit, ac illustrat. Unde clarum est cateros parum aut nihil Cartesi inventa auxisse, iisdem Calculi methodis dis tentativis ac parum Geometricis innixos. Ut autem sentiat Lector æquus qualia in doctrina Iridis a me praëstita sint, vellem Librum prædictum perlegat, ac cum nostris conferat; ne in his edendis, actum agere, Crambenq; recoctam apponere videar. Quantos autem præbeat usus in Astronomicis Lemma hoc nostrum alià data occasione commonstrabitur. IV. An advertisement necessary for all Navigators bound up the Channel of England. For several years last past it has been observed, that many Ships bound up the Channel, have by mistake fallen to the Northward of Scilly, and run up the Bristol Channel or Severn Sea, not without great danger, and the loss of many of them. The reason of it is, without dispute, from the Change of the Variation of the Compass, and the Latitude of the Lizard and Scilly laid down too far Northerly by near 5 Leagues. For from undoubted observation the Lizard lies in $49^\circ 55'$, the middle of Scilly due West therefrom, and the South part thereof nearest $49^\circ . 50'$. whereas in most Charts and Books of Navigation they are laid down to the Northward of $50^\circ$: and in some full $50^\circ . 10$. Nor was this without a good effect as long as the Variation continued Easterly, as it was when the Charts were made. But since it is become considerably Westerly, (as it has been ever since the year 1657) and is at present about $7 \frac{1}{2}$ degrees; all ships standing in, out of the Ocean, East by Compass, go two thirds of a Point to the Northward of their true Course, and in every eighty Miles they fail, after their Latitude about ten