Methodus Nova Accurata et Facilis Inveniendi Radices AEqúationum Quarumcumque Generaliter, Sine Praevia Reductione. Per Edm. Halley

Methodus Nova Accurata & facilis inveniendi Radices Aequationum quarumcumque generaliiter, sine praevia Reductione. Per Edm. Halley. Ars Analyticae praecipuus quidem usus est Problema Mathematica ad aequationes perducere, eaque terminis quantum fieri possit simplicissimis exhibere. Ars autem ista manca quodammodo, nec satis Analytica merito videretur, nisi Methodi quaedam subministrarentur; quarum ope Radices, sive Lineae sive Numeri sint, ex jam inventis aequationibus elicere liceret, eoque nomine Problemata soluta dare. Veteribus sane vix quicquam supra Quadraticarum aequationum naturam innotuit; quaecunque vero scripseré de Solidorum Problematum Effectione Geometricâ ope Parabolæ, Cissoidis, aliisque Curvae, particularia tantum sunt, ac casibus particularibus destinata; de Numericâ vero Extractione ubique altum silentium; ita ut quicquid in hoc genere jam calculo praestamus, modernorum inventis fere totum debetur. Ac primus quidem ingens ille Algebrae hodiernae repertor ac restaurator Franciscus Vieta, annis abhinc circiter centum, Methodum generalern aperuit pro educendis radicibus ex aequatione qualibet; eamque sub titulo De Numerosà potestatum ad Exegetin Resolutione publico donavit, ubique ut ait observando retrogradam Compositionis viam. Hujusque Vestigiis insistentes Harriottus, Oughtredus aliique, tam nostrates tam extranei, quaecunque de hac re scriptis mandarunt, à Vieta desumpta debent agnoscere. Qualia vero in hoc negotio praefitterit sagacissima ingenii Newtoniani vis, ex contractio e Specimine à Clarissimo Wallifso, Cap. XCIV. Algebrae suae, edito, edito, potius conjecturâ assequi quam pro certo compe- riri licet. Ac dum obstinata Authoris modestia amico- rum precibus devicta cedat, inventaque hæc sua pul- cherrima in lucem promere dignetur, exspectare cogimur. Nuper vero eximius ille juvenis D. Josephus Ralphson, R. S. S. Analysin Æquationum Universalem Anno 1690. evulgavit, suæque Methodi praestantiam pluribus exem- plis abunde illustravit; quo Genii Mathematici maxima quæque pollicentis nobile indicium prodidit. Hujus exemplo ac ductu (ut par est credere) D. de Lagney, haud vulgaris apud Parisienses Mathematum Professor, idem argumentum aggreditus est; qui cum totus fere sit in eliciendis Potestatum purarum radicibus, præsertim Cubicâ, pauca tantum eaque perplexa nec satis demonstrata de affectarum radicum extraccióne subjungit. Regulas autem binas compendiosas admodum pro approximatione radicis Cubicæ profert, alteram ratio- nalem, alteram irrationalem; nempe Cubi \(a^3 + b\) latus esse inter \(a + \frac{ab}{3a^2 + b}\) ac \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{3} + \frac{b}{3a}} + \frac{a}{3}\). Radicem autem potestatis Quintæ \(a^5 + b\) sic exprimit \(= \) \[\frac{a}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{8} + \frac{b}{5a}} - \frac{a^2}{2} \quad (\text{non } \frac{a^2}{2} \text{ ut perperam} \] legitur in libro Gallico impresso) Has Regulas, cum nondum librum videram, ab amico communicatas habui, quarum vires experimento edoctus, compendium- quæ admiratus, volui etiam Demonstrationem investi- gare: Ea vero inventâ ad Universalem Æquationum om- nium resolutionem eandem methodum accommodari posse statim cognovi; Eoque magis eas excolere statui, quia uno intuitu rem totam Synoptice explicari posse vi- debam, quodque hoc pacto singulis calculi restaurati vi- cibus saltem triplicarentur notæ sive Ciphræ in radice jam inventæ, quæ quidem omnibus aliorum omnium computationibus non nisi pari cum datis numero augen- tur. Demon- Demonstrantur autem Regulæ prædictæ ex Genesi Cubi & Potestatis quintæ. Posito eaim Latere Cubi cujusque \(a - \frac{1}{3}e\), Cubus inde constatus fit \(aaa + 3aae + 3aee + eee\), adeoque si supponatur \(aaa\) Numerus Cubus proxime minor dato quovis non Cubo, \(eee\) minor erit Unitate, ac residuum sive \(b\) æquabitur reliquis Cubi membris \(3aae + 3aee + eee\): rejectoque \(eee\) ob psivitatem, \(b = 3aae + 3aee\). Cumque \(aae\) multo majas sit quam \(ae\), \(\frac{b}{3aa}\) non multum excedet ipsam \(e\), posicquæ \(e = \frac{b}{3aa}, \frac{b}{3aa + 3ae}\), cui proxime æquatur quantitas \(e\), invenietur \(= \frac{b}{3aa + 3ab}\) sive \(\frac{b}{3aa + b}\): hoc est \(\frac{ab}{3aaa + b} = e\), adeoque latus Cubi \(aaa + b\) habebitur \(a + \frac{ab}{3aaa + b}\) quæ est ipsa formula rationalis Dni de Lagrey. Quod si \(aaa\) fuerit Numerus Cubus proxime major dato, Latus Cubi \(aaa - b\) pari ratiocinio inventetur \(a - \frac{ab}{3aaa - b}\); atque hæc Radicis Cubicæ approximatio fatis expedita ac facilis parum admodum fallit in defectu, cum scilicet \(e\) residuum Radicis hoc patet inventum paulo minus justo sit. Irrationalis vero formula etiam ex eodem fonte derivatur, viz. \(b = 3aae + 3aee\), sive \(\frac{b}{3a} = ae + ee\); adeoque \(\sqrt{\frac{1}{4}aaa + \frac{b}{3a}} = \frac{1}{2}a + e\), atque \(\sqrt{\frac{1}{4}aaa + \frac{b}{3a}} + \frac{1}{2}a = a + e\) sive Radici quaæitæ. Latus vero Cubi \(aaa - b\) eodem modo habebitur \(\frac{1}{2}a + \sqrt{\frac{1}{4}aaa - \frac{b}{3a}}\). Atque hæc quidem formula aliquanto propius ad scopum collimat, in excessu peccans sicut altera in defectu, ac ad praxin magis commodæ commoda videtur, cum restitutio Calculi nihil aliud sit quam continua additio vel subductio ipsius $\frac{eee}{3a}$, secundum ac quantitas e innotescat; ita ut potius scribendum sit $$\frac{\sqrt[3]{aa} + \frac{b - eee}{3a}}{3a}$$ in priori caso, ac in posteriori $$\frac{\sqrt[3]{aa} + \frac{eee - b}{3a}}{3a}$$ Utrâque autem formulâ Cipheræ jam cognitæ in Radice extrahendâ ad minimum triplicantur, quod quidem Arithmeticae studiosis omnibus gratum fore confido, atque ipse Inventori abunde gratulor. Ut autem harum regularum utilitas melius sentiatur, exemplum unum vel alterum adjungere placuit. Quæratur Latus Cubi dupli, sive $aa + b = 2$. Hic $a = 1$ atque $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$, adeoque $\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ sive $1.26$ invénietur Latus prope verum. Cubus autem cx $1.26$ est $2,000376$, adeoque $0.63 + \sqrt{3969} = \frac{2000376}{378}$ sive $0.63 +$ $$\sqrt{3968005291005291} = 1,259921049895$$ quod quidem trédecim figuris Latus Cubi dupli exhiber, nullo fere negotio, viz. unâ Divisione & Lateris Quadrati extractione, ubi vulgari operandi modo quantum desudasset Arithmeticus norunt experti. Hunc etiam calculus quousque velis continuare licet, augendo quadratum additione $\frac{eee}{3a}$. Quæ quidem correctione hoc in casu non nisi unitatis in Radicis figurâ decima quam à augmentum affert. Exemp. 1 Quæratur Latus Cubi æqualis mensurae Anglice Gallon dictæ, uncias solidas 231 continentis. Cubus proxime 1 nor est 216 cujus Latus 6 = $a$, ac residuum $15 = b$ adeoque pro; prima approximatione provenit $3 + \sqrt{9} + \frac{1}{2} = \text{Radici}$. Cumque $\sqrt{98333}$ sit $3,1358...$, patet $6,1358 = a - \frac{1}{2}$. Supponatur jam $6,1358 = a$, & habebimus Cubum ejus $231,000853894712$, ac juxta regulam $3,0679 + \sqrt{9,41201041} - 2,000853894712$ $= 18,4074$ æquatur accuratissime Lateri Cubi dati, id quod intra horæ spatium calculo obtinui $6.13579243966195897$, in octodecimâ figurâ justum, at deficiens in decimâ nonâ. Hæc vero formula merito præferenda est rationali, ob ingentem divisorem, non sine magno labore tractandum; cum Lateris quadrati extracțio multo facilius procedat, ut experientia multiplex me docuit. Regula autem pro Radice Sursolidi Puri sive potestatis quintæ paulo altioris indaginis est, atque etiam adhuc multo perfectius rem præstat: datas enim in Radice Ciphras ad minimum quintuplicat, neque etiam multi nec operosi est Calculi. Author autem nullibi inveniendi methodum ejusve demonstrationem concedit, etiam si maxime desiderari videatur: præsertim cum in Libro impresso non recte se habeat; id quod imperitos facile illudere possit. Potestas autem Quinta Lateris $a + e$. conficitur ex his membris $a^5 + 5a^4e + 10a^3ee + 10a^2eee + 5ae^4 + e^5 = a^5 + b$, unde $b = 5a^4e + 10a^3ee + 10a^2e^3 + 5ae^4$, rejecto $e^5$ ob parvitetem suam: quo- circa $\frac{b}{5a} = a^4e + 2a^3e^2 + 2ae^3 + e^4$, atque utrinque addendo $\frac{1}{5}a^4$ habebimus $\sqrt{\frac{1}{5}aaaa + \frac{b}{5a}} = \sqrt{\frac{1}{5}a^4 + a^3e + 2a^2e^2 + 2ae^3 + e^4} = \frac{1}{5}aa + ae + ee$. Dein utrinque subducendo $\frac{1}{5}aa$, $\frac{1}{5}a + e$ æquabitur $\sqrt{\sqrt{\frac{1}{5}a^4 + \frac{b}{5a}} - \frac{1}{5}aa}$ cui si addatur $\frac{1}{5}a$, erit $a + e = \frac{1}{5}a + \sqrt{\sqrt{\frac{1}{5}a^4 + \frac{b}{5a}} - \frac{1}{5}aa} =$ radici potestatis $a^5 + b$. Quod si fuissest $a - b$, (assumptâ $a$ justo majore,) regula sic se haberet, $\frac{1}{5}a + \sqrt{\sqrt{\frac{1}{5}a^4 - \frac{b}{5a}} - \frac{1}{5}aa}$. Atque Atque hæc regula mirum in modum approximat, ut vix restitutione opus sit; at dum hæc mecum pensitavi, incidi in formularum methodum quandam generalem pro quavis potestate satis concinnam, quamque celare nequeo; cum etiam in superioribus potestatibus datas radicis figuras triplicare valent. Hæ autem formulæ ita se habent tam rationales quam irrationales. \[ \sqrt{aa + b} = \sqrt{aa + b} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{2aa + \frac{1}{2}b} \] \[ \sqrt[3]{a^3 + b} = \frac{1}{3}a + \sqrt{\frac{1}{3}aa + \frac{b}{3a}} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{3aaa + b} \] \[ \sqrt[4]{a^4 + b} = \frac{1}{4}a + \sqrt{\frac{1}{4}aa + \frac{b}{6aa}} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{4a^4 + \frac{1}{2}b} \] \[ \sqrt[5]{a^5 + b} = \frac{1}{5}a + \sqrt{\frac{1}{5}aa + \frac{b}{10a^3}} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{5a^5 + 2b} \] \[ \sqrt[6]{a^6 + b} = \frac{1}{6}a + \sqrt{\frac{1}{6}aa + \frac{b}{15a^4}} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{6a^6 + \frac{1}{3}b} \] \[ \sqrt[7]{a^7 + b} = \frac{1}{7}a + \sqrt{\frac{1}{7}aa + \frac{b}{21a^5}} \quad \text{vel } a + \frac{ab}{7a^7 + \frac{1}{3}b} \] Et sic de cæteris etiam adhuc superioribus. Quod si assumeretur \(a\) radice quaestà major, (quod cum fructu fit quoties Potestas resolvenda multo propior sit potestati Numeri integri proxime majoris quam proxime minoris,) mutatis mutandis eadem radicum expressiones proveniunt. \[ \sqrt{aa - b} = \sqrt{aa - b} \quad \text{vel } a - \frac{ab}{2aa - \frac{1}{2}b} \] \[ \sqrt[3]{aaa - b} = \frac{1}{3}a + \sqrt{\frac{1}{3}aa - \frac{b}{3a}} \quad \text{vel } a - \frac{ab}{3aaa - b} \] \[ \sqrt[4]{a^4 - b} = \frac{1}{4}a + \sqrt{\frac{1}{4}aa - \frac{b}{6aa}} \quad \text{vel } a - \frac{ab}{4a^4 - \frac{1}{2}b} \] \[ \sqrt[5]{a^5 - b} = \frac{1}{5}a + \sqrt{\frac{1}{5}aa - \frac{b}{10a^3}} \quad \text{vel } a - \frac{ab}{5a^5 - 2b} \] \[ \sqrt{a^2 - b} = \frac{1}{2} a + \frac{\sqrt{a^2 a - \frac{b}{15}}}{\sqrt{a^2 - \frac{b}{6}}} \text{ vel } a - \frac{ab}{6a^2 - \frac{b}{6}} \] \[ \sqrt{a^3 - b} = \frac{1}{3} a + \frac{\sqrt{a^3 a - \frac{b}{21}}}{\sqrt{a^3 - \frac{b}{7}}} \text{ vel } a - \frac{ab}{7a^3 - \frac{b}{3}} \] Atque inter hos duos terminos semper consistit vera Radix, aliquanto propior irrationali quam rationali; e vero juxta formulam irrationalem inventa, semper peccat in excessu, sicut in defectu a rationali formula resultans Quotus; adeoque si fuerit \(+\) \(b\), Irrationalis majorem juslo exhibet radicem, rationalis minorem. E contrario vero si fuerit \(-\) \(b\). Atque haec de eliciendis radicibus è Potestatibus puris dicta sunt; quae quidem, ad usus ordinarios sufficientes multo facilius habentur ope Logarithmorum: quoties vero ultra Tabularum Logarithmicarum vires accuratissime definienda est radix, ad hujusmodi methodos necessario recurrendum est. Praeterea cum ex harum formularum inventione ac contemplatione, Universalis Regula pro aequationibus affectis (quam non sine fructu Geometriae ac Algebrae studiosis omnibus usurpandam confido) mihi ipsi oblata sit, volui ipsius inventi primordia quo possim claritate appearire. Aequationum quidem affectarum Quadrato-quadratum non excedentium Constructionem Generalem concinnam admodum ac facilem, Num. 188 harum Transact. jam tum inventam publici juris feci: ex quo ingens cupidio animum incessit, idem Numeris efficiendi. At brevi post Dus Ralphson magna ex parte voto satisfecisse visus est, usque dum Dus de Lagney etiam adhuc compendiosius rem peragi posse hoc suo libello mihi suggerisset. Methodus autem nostra haec est. Supponatur Radix cuiusvis aequationis \(z\) composita ex partibus \(a\) \(+\) vel \(-\) \(e\), quarum \(a\) ex hypothesi assumatur ipsi \(z\) quantum fieri possit propinquam, (quod tamen com- Tabella Potestatum. | | s | t | n | w | x | y | |---|------|------|------|------|------|------| | 7 | l a^7 + 7 l a^5 e + 21 l a^3 e e + 35 l a^3 e^3 + 35 l a^3 e^4 + 21 l a^3 e^5 + 7 l a e^6 + l | | | | | | | 6 | k a^6 + 6 k a^5 e + 15 k a^4 e e + 20 k a^3 e^3 + 15 k a^2 e^4 + 6 k a e^5 + k e^6 | | | | | | | 5 | b a^5 + 5 b a^4 e + 10 b a^3 e e + 10 b a^2 e^3 + 5 b a e^4 + b e^5 | | | | | | | 4 | g a^4 + 4 g a^3 e + 6 g a^2 e e + 4 g a e^3 + g e^4 | | | | | | | 3 | f a^3 + 3 f a^2 e + 3 f a e e + f e^3 | | | | | | | 2 | d a^2 + 2 d a e + d e e | | | | | | | 1 | c a + c e | | | | | | Transactions, Numb. 210. Pag. 143. commodum est, non necessarium) & ex quantitate \(a + vel - e\) formentur Potestates omnes ipsius \(z\) in Aequatione inventas, iloque affigantur Numeri Coefficientes respectivè: deinde Potestas Resolvenda subducatur è summa partium datarum in primâ columnâ, ubi \(e\) non repetitur, quam Homogeneum Comparationis vocant, sitque differentia \(+ b\). Dein habeatur summa omnium coefficientium ipsius lateris \(e\) in secunda Columna, quæ sit \(s\); denique in tertia addantur omnes coefficientes quadrati \(e\), quarum summam vocemus \(t\): Ac radix quaë sit \(z\), formulâ rationali habebitur \(= a + vel - \frac{sb}{ss + vel - tb}\): Irrationali vero fiet \(z = a + \frac{1}{s} s + \sqrt{\frac{1}{4} ss + bt}\), id quod exemplis illustrare fortasse operæ pretium erit. Instrumenti vero loco adsit Tabella, Potestatum omnium ipsius \(a + vel - e\) Genesis exhibens, quæ si opus fuerit continuari facile possit. A septimâ vero incipiám, cum pauca Problemata eoque assurgere deprehendantur. Hanc Tabellam jure optimo Speculum Analyticum Generale appellare licet. Potestates autem praedictæ ex continuâ multiplicatione per \(a + e = z\) ortæ, sic proveniunt, cum suis coefficientibus adjunctis, Vide Tab. Quod si fuerit \(a -- e = z\), ex illisdem membris consicitur Tabella, negatis solummodo imparibus Potestatibus ipsius \(e\), ut \(e, e^3, e^5, e^7\): & affirmatis paribus \(e^2, e^4, e^6\). Sitque Summa Coefficientium lateris \(e = s\); Summa Coefficientium Quadrati \(ee = t\); Cubi \(u\); Biquadrati \(w\); Sursolidi \(e^3 = x\); Summa vero coefficientium Cubocubi \(y\); &c. Cum autem supponatur \(e\) exigua tantum pars radicis inquirendæ, omnes potestates ipsius \(e\) multo minores evadunt similibus ipsius \(a\) Potestatibus, adeoque pro prima Hypothesi rejiciantur superiores, (ut in potestatibus puris ostensum est) ac formatâ æquatione novâ, substituen- do \(a + e = z\) habebimus ut diximus \(+ b = + se + te\). Cujus rei cape exempla sequentia, quo melius intelligatur. Exemp. I. Proponatur æquatio \(z^4 - 3zz + 75z = 10000\). Pro prima Hypothesi ponatur \(a = 10\), ac consequenter prodibit æquatio. \[ \begin{align*} z^4 &= + a^4 + 4a^3e + 6a^2ee + 4ae^3 + e^4 \\ dz^2 &= - da^2 + dae - dee \\ + ez &= + ca + ce \\ &= + 10000 + 4000e + 600ee + 40e^3 + e^4 \\ &- 300 - 60e - 3ee \\ &+ 750 + 75e \\ &- 10000 \\ &+ 450 - 4015e + 597ee - 40e^3 + e^4 = 0 \end{align*} \] Signis \(+\) ac \(-\) (respectu \(e\) ac \(e^2\)) in dubio reliætis, utque dum sciatur an \(e\) sit negativa vel affirmativa; Quod quidem aliquam paret difficultatem, cum in æquationibus plures radices admittentibus, sæpe augeantur Homogenia Comparationis, ut appellant, à minuta quantitate \(a\), ac è contra eâ auctâ minuantur. Determinatur autem signum ipsius \(e\) ex signo quantitatis \(b\); sublatâ enim Resolvendâ ex Homogenio ab \(a\) formato, signum ipsius \(se\), ac proinde partium in ejus compositione prævalentium, sémper contrarium erit signo differentiæ \(b\). Unde patebit an fuerit \(- e\) vel \(+ e\), sive an \(a\) major vel minor radice vera assumpta sit. Ipsa autem \(e\) sémper æquatur \(s - \sqrt{\frac{a}{2}ss - bt}\), quoties \(b\) ac \(t\) eodem signo notantur; quoties vero diverso signo connectuntur, eadem \(e\) fit \(\sqrt{\frac{a}{2}ss + bt} - \frac{1}{2}s\). Postquam vero compertum sit fore \(- e\), in affirmatis æquationis membris negentur \(e, e^2, e^3, \&c.\) in negatis affirmentur; scribantur scilicet signo contrario; si vero fuerit \(+ e\), affirmentur in affirmatis, matis, negentur in negatis. Habemus autem in hoc no- stro exemplo 10450 loco Resolvendæ 10000, sive \( b = -\frac{1}{2} \cdot 450 \), unde constat \( a \) majorem justæ assumptam, ac proinde haberi \( e : Hinc \) æquatio sit \( 10450 - 4015e + \) + 597ee - 4e³ + e⁴ = 10000. Hoc est \( 150 - 4015e + \) - 597ee = 0. Adeoque 450 = 4015e - 597ee sive \( b = se - tee \) cujus Radix \( e \) fit \( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} ss - bt} \). Vel si mavis \( \frac{s}{2t} - \sqrt{\frac{ss}{4tt}} - \frac{b}{t} \), id est, in praesenti casu, \( e = \frac{2007}{2} - \sqrt{\frac{3761406}{2}} \), unde provenit Radix quaesita 597 prope verum, 9,886. Hoc vero pro secundâ Hypo- thesi substituto, emergit \( a + e = z \) accuratissime 9,8862603936495..., in ultima figura vix binario ju- stum superans; nempe cum \( \sqrt{\frac{1}{2} ss + bt - \frac{1}{2} s = e} \). At- que hoc etiam si opus fuerit, multo ulterius verificari possit, subducendo \( \frac{1}{2} ue³ + \frac{1}{2} e⁴ \) si fuerit \( + e \), vel addendo \( \sqrt{\frac{1}{2} ss + tb} \), radici prius inventæ, si sit \( - e \). Cujus compendium eo pluris æstimandum quod quandoque, ex sola prima suppositione, semper vero ex secunda, iisdem conservatis coefficientibus quoque velis calculum con- tinuare possis. Cæterum æquatio prædicta etiam ne- gativam habet radicem, viz. \( z = 10,26 \)... quam cuilibet accuratius expiscari licet. Exemp. II. Sit \( z^3 - 17zz + 54z = 350 \) ac ponatur. \( a = 10 \). Ex praescripto Regulæ, \[ \begin{align*} zzz &= aaa + 3aae + 3aee + eee \\ -dzz &= daa - 2dae - d ee \\ +c z &= c a + c e \end{align*} \] Y Id est Id est \(+1000 + 300e + 30ee + eee\) \(-1700 - 340e - 17ee\) \(+540 + 54e\) \(-350\) Sive \(-510 + 14e + 13ee + eee = 0\) Cum autem habeatur \(-510\), constat \(a\) minorem justo assumi, ac proinde \(e\) affirmativam esse, ac ex \(510 = 14e + 13ee\) fit \(\frac{\sqrt{bt} + \frac{1}{2}ss - \frac{1}{2}s}{t} = e = \frac{\sqrt{6679} - 7}{13}\), unde \(z\) fit \(15;7...\) quae nimia quidem est ob late sumptam \(a\); ideo supponatur secundo \(a = 15\), ac pari ratiocinio habebimus \(e = \frac{1}{2}s - \frac{\sqrt{1ss - tb}}{t} = \frac{109}{28} - \frac{\sqrt{11710}}{28}\) ac proinde \(z = 14,954068\). Quod si calculum adhuc tertio restaurare velis, usque in vigesimam quintam figuram vero conformem invenies radicem: Paucioribus vero contentus, scribendo \(tb + teee\) loco \(tb\), vel subtrahendo aut addendo radici prius inventae \(\frac{3eee}{\sqrt{1ss + tb}}\) ad scopum statim perveniet. Aequatio vero proposta nulla alia radice explicari potest, quia Potestas Resolvenda 350 major est Cubo ex \(1^2\) vel \(3^d\). Exemp. III. Sit Aequatio illa quam in Resolutione difficillimi Problematis Arithmetici adhibet Clarissimus Wallisius, Cap. LXII. Algebrae suae, quo radicem Vietae Methodo accuratissime quidem asscutus est: Eandemque exemplum Methodi suae affert laudatus D. Ralphson, pag. 25, 26. nempe \(z^4 - 80z^3 + 1998z^2 - 14937z + 5000 = 0\). Haec autem aequatio ejus formulae est, ut plures habeat radices Affirmativas, ac quod difficulatem ejus augeat, praegrandes sunt Coefficientes respectu Resolvendae datae: Quo melius autem tractetur, dividatur, ac juxta notas punctationum regulas ponatur \(-z^4 + 8z^3 - 20z^2 + 15z = 0,5\) (ubi \(z\) est \(\frac{1}{2}z\) in aequatione proposta) ac pro prima Hypothesi habemus \(a = 1\). Proinde. \[ +2 - 5e - 2ee + 4e^3 - e^4 - 0.5 = 0 \] Hoc est \( x^4 = 5e + 2ee; \) hinc \( \frac{\sqrt[4]{x^4} + b}{t} = e \) fit \[\sqrt{37 - 5} \text{ adeoque } z = 1.27: \text{ Unde constat } 12.7 \text{ radicem esse æquationis propositæ vero vicinam. Secundo loco supponatur } z = 12.7 \text{ ac juxta præscriptum Tabellæ Potestatum oritur.} \] \[ \begin{align*} b & \quad s & \quad t & \quad u \\ -26014.4641 & -8193.532 & -967.74 & -50.8e^3 - e^4 \\ +163870.640 & +38709.60 & +3048 & ee + 80e^3 \\ -322257.42 & -50749.2 & -1998 & ee \\ +189699.9 & +14937 & & c \\ -5000 & & & \\ +298.6559 & -5296.132 & +82.26 & ee + 29.2e^3 - e^4 = 0 \\ \end{align*} \] Adeoque \( -298.6559 = -5296.132e + 82.26ee, \) cujus radix \( e \) juxta regulam \( \frac{\sqrt[4]{x^4} + b}{t} \) fit \[ \frac{2648.066 - \sqrt{6987686.106022}}{82.26} = 0.5644080331... = e \] minori vero: Ut autem corrigatur, \( \frac{\sqrt[4]{x^4} - \frac{1}{2}e^4}{t} \) sive \[ \frac{0.0026201...}{82.26} \text{ fit } 00000099117, \text{ ac proinde } e \text{ correcta } \] \( = 05644179448; \text{ Quod si adhuc plures radicis figuras desideras, formetur ex } e \text{ correctâ } tue^3 - te^4 \) \( = 0.43105602423..., \text{ ac } \frac{\sqrt[4]{x^4} - \frac{1}{2}e^4}{t} \) sive \( \frac{2648.066 - \sqrt{6987685.67496597577}}{82.26} \) \( = 0.5644179448074402 = e, \text{ unde } a + e = z \text{ radix accuratissima fit } 12.75644179448074402... \text{ quam invenit Cl. Wallisius in loco citato. Ubi observandum redintegrationem calculi semper triplicare notas veras in summpta } a, \text{ quas prima correctione sive } \frac{\sqrt[4]{x^4} - \frac{1}{2}e^4}{t} \text{ quintuplices reddit, quaque etiam commodè per Logarithmos efficitur. Altera autem correctione post primam, etiam duplum Cipharum numerum } Y_2 \] numerum adjungit, ut omnino assumtas septuplicet; prima tamen plerumque usuibus Arithmetices abunde sufficit. Quae vero dicta sunt de numero cipherum in radice recte assumptarum, ita intelligi velim, ut cum \(a\) non nisi decimâ parte distet à vera radice, prima figura recte assumatur; si intra centesimam partem, duæ primæ: Si intra millesimam tres priorcs rite se habeant; quae deinde juxta nostram regulam tractatæ statim novem evadunt. Restat jam ut nonnulla adjiciam de nostra formula rationali, viz. \(e = \frac{s}{s} \pm \frac{b}{b}\), quæ quidem satis expedita videbitur, nec multum cedit priori, cum etiam datas cipheras triplicare valeat. Formata autem æquatione ex \(a \pm e = z\), ut prius, statim patebit an \(a\) assumpta sit major vel minor vero, cum facili- cet \(se\) ligno semper notari debat contrario signo differentiæ Resolvenda ac Homogenii sur ex \(a\) producti. Deinde positio quod \(+b \mp se + vel - te = o\); divisor fit \(s \mp b\) quoties \(b\) ac \(t\) illam signis actantur; idem vero fit \(s \mp bt\), si signa illa diversa sint. Praxi autem magis accommodata videtur, si scriberetur Theorema, \(e = \frac{b}{s} \pm \frac{t}{b}\) nempe cum una multi- plicatione ac duabus divisionibus res peragatur, quæ tres multiplicationes ac unam divisionem alias requireret. Hujus enim Methodi exemplum capiamus à prædictæ Equationis radice \(12,7...:ubi 298,6559 - 5296,132e + 82,26ee + 29,2e^2 - e^4 = 0,\) \[+ b \mp s \pm t \pm u\] adeoque \(\frac{b}{s} - \frac{t}{b} = e\), hoc est, fiat ut \(s\) ad \(t\) ita \(b\) ad \(\frac{tb}{s}\) \[= 5296,132)298,6559\] in \(82,26(4,63875...\) quocirca divisor fit \(s - \frac{tb}{s} = 5291,49325...\) \(298,6559(0,056441...\) \(= e\), viz. quinque figuris veris adjectis radici assumptæ. Corrigi autem nequit hæc formula sicut præcedens irrationalis; adeoque si plures considerentur radicis figuræ, praestat assumpta nova Hypothesi calculum de integro repeterè: ac novus Quotus tripli- cando figuras in radice cognitas supputatori etiam maxime scrupulofo abunde satisfaciet. London: Printed for Sam. Smith and Benj. Walford, Printers to the Royal Society, at the Prince's Arms in St. Paul's Church yard. 1694.