Solutio Problematis Florentini de Testitudine Veliformi Quadrabili, a Davide Gregorio, M. D. ac R. S. S. Communicata

Vigilies, and a constant Trepidation, with a reiterated snatching up of the lower Mandible, making signs as if he would have bit at any thing that was offered him. His Voice was uttered with a Canine hoarseness, and had an extraordinary resemblance to the barking of a Dog. He was moreover infested from that time with a Singultus, and foaming at the Mouth. Thus he continued the most part of the Day: being with him for a considerable time, to observe these wonderful Phenomena, I took the occasion (out of Curiosity) to present a Looking-glass before him, but found him so extremely disturbed thereat, that I immediately took it away: He was no sooner sensible of the Reflection, than that he threw his Head backwards with great violence, and continued barking, and snapping at every thing near him: In the Evening, notwithstanding such Alexipharmicks as had been exhibited, he sunk under the Oppression of these cruel Symptoms. I would very desirously have opened his Body, but it was forbidden by his Parents. The Abdomen, I perceived, was excessively inflated, his Limbs convuls'd, and the surface of the Body of a livid colour; the Muscles of the Face were drawn into such a form as did nearly represent a Spasmus Cinicus. VI. Solutio Problematis Florentini de Testudine Veliformi Quadrabili, a Davide Gregorio, M.D. ac R.S.S. Communicata. Prodiit Florentiae Anno MDCXCII. Ænigma Geometricum de miro opificio Testitudinis Hemisphaericae quadrabilis quod eo spectabat ut detractis ex Hemisphaerica Testudine quatuor æqualibus similibus similiterque positis fenestris, reliqua Hemisphaerica superficies sit quadraturæ verè verè Geometrica capax. Nec diu post Enigmatis Author constructionem Problematis ingeniose admodum & expeditè dedit in tractatu Italico de formatione & mensura Testudinum omnium ad Serenif. Etruriae Principem ubi & nomen suum profiteri dignatus est, nempe à V.V. postremo Galilei Discipulo, cum antea dispositis horum verborum ut in Anagrammate elementis sub facto nomine D. Pio Lisci pullo Geometra teclus latuisset. Verum constructionis demonstrationem celat Author. Illam, cum Viris Doctis non ingratam futuram pro comperto habe-rem, libuit paucis preferre. Præsertim cum nunc primum assignetur portio superficiæ Sphæricæ quadrato æqualis. Enigma igitur ab Auctore in sequens Problema convertitur. Super hemispherii superficiem assignare portionem dato quadrato æqualem quod sic construit. Sphæra cujus Axis æqualis lateri dati quadrati exponatur per circulum ACBD in proposta Sphæra verticalem cujus diameter horizontalis est AB, centrum E. Perforetur Sphæra duobus cylindris rectis quorum communes sectiones cum plano ACBD sunt circuli BLEG, AHEI diametris EB, EA descripti. Dico factum; hoc est à quolibet hemisphærico Ver. Gr. superiori ACB ablatas esse per Cylindros perforantes quatuor figuras bilineares, duas fīz. in parte antica & duas in postica æquales similes & similiter positas, ita ut residua superficies hemisphærica sit æqualis quadrato rectae AB. Et quoniam hemisphærica superficies, demptis spatiis quatuor bilinearibus praeditis, refert velum vento inflatum & tensum, Testudinemve hemisphæricam quatuor fenestris interruptam qua circulari basi AEB imposita, ipsi ad puncta A, E, E, B innititur, banc pro jure suo appellat Testudinem Veliformem Florentinam quadrabilem, Vela Quadrabile Fiorentina. Auctor deinceps in memorato tractatu plurima ad praxin attinentia proferit, ut ope Torni & Terebræ cylindricæ tam hujus quam reliquarum quinque Testudinum fiant exemplaria: Atque in hanc rem alia quædam Problemata subtilia construit. construit quorum omnium demonstrationes ab Auctore consulto omissae facillime ex nunc proferendis consequuntur Quod quatuor fenestrae in hemisphaerio ut dictum est extructae sint figurae aquaeae similes & similiter positae satis liquet, reliquum est ut ostendamus reliquam superficiem hemisphaericam tetragonismi vere Geometrici esse capacem. Ad Planum CADB in puncto E erigi intelligatur normalis recta æqualis EA; & super peripheriam ACBD superficies cylindrica recta ejusdem altitudinis. Vulgo notum est portionem superficiæ Sphaericae inter quolibet duo plana circulo ABCD parallela comprehensam æqualem esse portioni superficiæ cylindricæ inter eadem plana; & horum annulorum similes portiones resellae à planis in erecta ex E normali se mutuo intersecantibus esse etiam æquales. Si jam ducendo innumera plana basi ACBD parallela dicto modo designari intelligantur in superficie cylindrica partes respondentibus Sphaericis æquales, quae è regione superficiæ perforatione ablatae designatur illi æqualis est. Quare patet residuum à perforatione superficiem æqualem esse residuae superficiæ cylindricæ dempta illa quae è regione ablatae per dicta innumera plana designatur. Ducatur diameter quolibet PM secans peripheriam AHE utcunque in H. Juncatur HA, per H ducatur RT normalis ad AB & parallela ad CD per E ductam, occurrens peripheria ACBD in R & T & peripheria AIE in I. Super RT diametro fiat semicirculus cujus peripheriae occurrant HS, IQ ad RT normales in S & Q. Hujus semicirculi planum intelligatur normaliter erectum ad circulum ABCD. Unde peripheria RSQT erit in superficie hemisphaerica, rectaque HS nunc ad planum ACBD normalis, erit altitudo superficiæ cylindricæ perforantis supra bascos punctum H. Idemque de quolibet puncto superficiæ cylindricæ perforantis verum est, sive ejus altitudinem usque ad superficiem Sphaeræ supra quodvis in basi punctum H esse retem HS ut dictum est genitam, sed HS æqualis est HA sinui recto arcus MA, quoniam tam hæc quam illa est media Geometrica inter PH HM, altera in circulo MAP altera in circulo Sphærae etiam maximo per puncta M, S & P transente. Si in erecta in E ad planum ACBD normali, ab E summatur recta æqualis HS aut HA & ab extremito ejus puncto ducantur rectae parallelæ ad PM & VN, planum per illas extensum erit ad planum ACBD parallelum, & rectae ha per puncta S & Q transitunt, & productæ usque ad superficiem cylindricam hemispherio circumscriptam abscent ex lateribus cylindri rectas ipsis HS vel HA itidem æquales; comprehendentque arcus æquales & respondentes arcubus MN & VP. Quod si alterum planum hinc ad minimam distantiam parallelum similiter ductum intelligatur, hæc duo per supra ostensa designabunt in superficie cylindrica annuli portionem æqualem portioni inter eadem plana à superficie hemispherica perforatione ablatae. Quod si similis constructio fieri supponatur ad quodlibet in peripheria AHE punctum portiones omnes in superficie cylindrica hemispherica circumscripta dicto modo genitæ & designatæ erunt æquales superficie Sphærica perforatione ablatae. Quare residua superficies hemispherica æqualis erit reliquaæ superficiei cylindricæ conflatæ ex rectis omnibus HA ad respectiva puncta M, N, V & P erectis, seu figuræ sinuum retorum semiperipheriarum ACB ADB, hoc est, per duum à Geometris cognita, quadruplo quadrato Radii AE, frue denique quadrato diametri AB. Cumque dua integra figuræ comprehensæ à communi sectione prædictæ superficiei cylindricæ perforantis cum superficie Sphærica, æquales sint quatuor ablatis quatuor spatii bilinearibus (ut supra in constructione) æqualem esse quadrato diametri AB. q.e.d. Si semiperipheria AHE ita inflectatur ut congruet cum æquali quadrante peripheria ARC; punctum H incidet in punctum M ob æquales arcus AH, AM, & HS altitudi ad H superficiei cylindricæ super AHE insistentis congruet cum æquali HA altitudine ad M figuræ sinuum retorum super AMC erectæ; idemque in reliquis punctis fit. Unde Unde curva quae est communis, intersectio superficiei Sphaericae cum superficie cylindrica super basi AHE, quamvis non jaceat in eodem plano inflexa, ut dictum est, congruet et proinde aequalis est curvae terminanti figuram sinuum rectorum; hoc est communi Sectioni superficiei cylindricae super quadrantalem arcum ARC ereditae cum plano secante planum baseos in recta BA ad angulos semirectos; sive quadrati curvae Ellipseos cujus minor Axis est AB major vero potest hujus duplum. Adeoque perimeter veli quadrabilis Florentini ex hujusmodi quattuor constantes aequalis est perimetro dictae ellipsoes. Sed et hoc amplius adnotare non pigabit, superficies cylindrorum duorum perforantium intra Sphaeram, aequales esse superficiei Sphaerae post perforationem relictae, sive duplici Velo Florentino, hoc est duplo quadrato diametri. Atque hoc exinde patet quod Velum Florentinum aequale sit figuris quattuor sinuum rectorum quadrantis et superficies perforans iisdem etiam sit aequalis, quoniam illis congruit si inflexio fiat ut supra. Hoc tantum addam, Considerationem figurae sinuum rectorum [cujus etiam partes in quadrata facile mutantur] sufficere ad demonstrationem eorum omnium quae de aliis solidis torno elaboratis vel cylindro perforatis, eorumque superficiebus ab Acutissimo Geometra V.V. [Vincentio Viviani fallor] dignissimo Galilaei Discipulo proferuntur; dum fabricam et Mensuram Testudinum docet. Speciatim superficies Testudinis Scaphoidis Romanae Volta a Schito alla Romana ex osto figuris sinuum rectorum arcus quadrantalis constat, ac proinde Testudini Veliformi Florentinae aequalis est. Unde patet quomodo aequalibus quadratis superimponi possunt dua Testudines quarum altera est undique clausa, altera quattuor fenestris interrupta, utraque quadrati baseos dupla. Ex supra demonstratis reliqua facile elicuntur, cum praecipua quae celare voluit Author habentus demonstrentur.