Davidis Gregorii M. D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S. R. S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S. T. T. Decanum Aedis Christi Oxoniae

II. DAVIDIS GREGORII M.D. Astronomiae Professoris Savilianus & S.R.S. CATENARIA, AD REVERENDUM VIRUM D. HENRICUM ALDRICH S.T.P. Decanum Ædis Christi Oxoniae. Cum Problema de figura Catenæ (id est lineæ flexilis, versus centrum longinquum gravis, & pondere suo dum à duobus extremis immotis dependet incurvatae) sit inter hujus ævi Philosophos imprimis nobile, ac à Celeber- rimis Viris Hugenio, Leibnitio & Bernoullio, plurimæ figuræ istiæ proprietates fuerint detectæ, & in Actis Eruditorum Lipsiæ (at fine demonstratione) editæ: Libuit harum omnium demon- strationes pertexere, ope Methodi Newtonianæ Geometris hodie familiaris, fluxiones fluentium relatione data determinandi & vicissim; & alias insignes Curvae hujus proprietates nunc primum detectas adjicere, tibique Reverende Decane, harum rerum Judici idoneo mittere. Prop. I. Problema. Fig. 1. Invenire relationem inter fluxionem axeos & fluxionem ordinatæ in Curva Catenaria. Sit Catena F A D ab extremitatibus F & D dependens, cujus punctum imum (seu Curvae vertex) A, axis A B ad horizon- tem erectus, eique applicata B D horizonti parallela. Invenien- B b b b da da est relatio inter B b seu D & d; posito b puncto ipsi B proximo, & b d ad BD, item D ad BA parallela. Ex Mechanicis constat Potentias tres in æquilibrio positas eandem habere rationem cum rectis tribus ad ipsarum directiones parallelis, vel in dato angulo inclinatis, à mutuo occurrunt terminatis; Adeoque si D d exponat gravitatem absolutam particulae D d (ut in Catena æqualiter crassa rite fit) d repræsentabit gravitatis partem eam quæ normaliter in D d agit, quaque fit ut dD (ob Catena flexilitatem circa d mobilis) in situm verticalem se componere conatur. Adeoque si d (five fluxio ordinatae BD) constans fit; gravitatis actio in partes correspondentes Catena D d normaliter exerta etiam constans erit five ubique eadem. Exponatur hæc per rectam a. Porro ex supra citato Lemmate Mechanico, D five fluxio axeos AB exponet vim secundum directionem ipsius dD exerendam, quæ priori conati lineæ gravis dD ad componendam fæ in situm verticalem æquipolleat, eumque impedire possit. Hæc vero vis oritur à linea gravi DA secundum directionem dD trahente; etsique proinde (cæteris manentibus) lineæ DA proportionalis. Est igitur d fluxio ordinatae ad dD fluxionem abscissæ, sicut constans recta a ad DA curvam. q.e.f. Corollarium. Si recta DT tangat Catenariam, & axi BA producto occurrat in T, erit DB.BT :: (d.d.D:::) a . DA Curvam. Prop. 2. Theorema. Fig. 1. SI ad perpendicularum AB tanquam axem, vertice A, describatur hyperbola æquilatera AH, cujus semi-axis AC æqualis a; & ad eundem axem & verticem, parabola AP cujus parameter æqualis quadruplo axi hyperbolæ, & producatur semper hyperbolæ ordinata HB, donec HF æqualis Curvae AP: Dico Curvam FAD in quo puncta F & D versantur (positis BD, BF æqualibus) esse Catenariam. Vocetur Vocetur \( A B x \), erit \( B b = \dot{x} \), & \( B H = \sqrt{2ax + x^2} \). Unde ex methodo fluxionum, fluxio ipsius \( B H \) (sive \( m h \)) \( = \frac{a \dot{x} + x \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Rursus quia parabolæ \( A P \) parameter \( = 8a \), erit \( B P = \sqrt{8ax} \). Unde \( n p \) (hoc est fluxio ipsius \( B P \)) æqualis \( \frac{2a \dot{x}}{\sqrt{2ax}} \). Quare fluxio Curvæ \( A P \) (\( = Pp = \sqrt{npg + Png} \)) \( = \sqrt{\frac{4a^2x^2}{2ax} + \dot{x}^2} \) \( = \sqrt{\frac{2a \dot{x}^2 + x \dot{x}^2}{x}} \) quæ, ducendo tam numeratorem quam denominator in \( \sqrt{2a + x} \), \( = \frac{2a \dot{x} + x \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Et cum \( HF \) sit ubique \( = AP \), erit fluxio \( HF \) rectæ, hoc est \( m h + sf \) \( = \frac{2a \dot{x} + x \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Sed haçtenus inventa est \( m h = \frac{a \dot{x} + x \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Unde \( sf \) sive fluxio ipsius \( BF \) ordinatæ ad axem Catenariæ, est æqualis \( \frac{a \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Et igitur fluxio Curvæ \( AF \) (sive ipsa \( Ff = \sqrt{sfg + Fsg} = \sqrt{\frac{a^2x^2}{2ax + x^2} + \dot{x}^2} = \frac{a \dot{x} + x \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \), cujus fluens modo ostensa est \( \sqrt{2ax + x^2} \). Et igitur \( AF = \sqrt{2ax + x^2} \). Patetque fluxionem ordinatæ \( BF \) sive \( \frac{a \dot{x}}{\sqrt{2ax + x^2}} \) effe ad \( x \) fluxionem abscissæ \( AB \) sicut data a ad Curvam \( AF \), quæ est superius inventa Catenariæ proprietas. Igitur Catenariæ puncta recte determinantur per præcedentem constructionem. q.e.d. Corollaria. 1. Ex constructione patet \( BF \) ordinatam Catenariæ æquari Curvæ parabolicæ \( AP \), dempta \( BH \) correspondente ordinata hyperbolæ conterminæ \( AH \). B b b b b 2. Ex 2. Ex demonstratione constat Catenariam Curvam A F æquari B H correspondenti ordinatae Conterminae Hyperbolæ æquilateræ. Cum enim harum linearum fluxiones æquentur, & simul nascantur ipsæ lineæ; patet illas ubique esse æquales. Unde data catena, dabitur A C sive a, quippe æqualis semi-axi Hyperbolæ æquilateræ cujus vertex A, & ordinata ad abscissam A B catenæ A D est æqualis. 3. Catenariae omnes sunt inter se similes, cum ex simili similium & similiter positarum figurarum constructione generentur. Unde duæ rectæ ad Horizontem similiter inclinatae per Catenarum vertices ductæ abscedent figuras similes, & Catenarum portiones abscedentibus rectis proportionales. 4. Si Catena Q A D suspendatur à punctis Q & D inæqualiter altis, Curvae pars F A D eadem manet, ac si ex punctis æquialtis F & D esset suspensa, quoniam nihil refert utrum punctum F affixum sit vel non affixum ad planum verticale. 5. Si Catenæ vis trahens secundum directionem d D exponatur per D d, dividetur, ut vulgo notum, in vim ut d secundum directionem horizontalem, & vim ut d D secundum directionem verticalem: Igitur vis in Catenæ extremo directe accedendi ad axem, sive ad vim in eodem descendendi secundum perpendicularum; sive vis sustinentis pars secundum directionem B D agens, sive ad ejusdem partem secundum directionem D d agentem, ut semi-axis Hyperbolæ conterminæ A H ad D A longitudinem Catenæ usque ad verticem Curvae: Unde data Catena ratio hæc datur. Et in eadem Catena nunc magis nunc minus laxè suspensa, vis illa Horizontalis est ut Hyperbolæ conterminæ axis, cum D A eadem maneat si extrema æquialta sint. 6. Catena in plano verticali, sed situ inverso, figuram servat nec decidit, adeoque arcum seu fornicem facit tenuissimum: Hoc est sphærae minimæ rigidæ & lubricæ in inversa Curva Catenaria dispositæ, arcum constituunt cujus nulla pars ab aliis extrorsum vel introrsum propellitur; sed manentibus infimis punctis immotis, virtute sua figuræ sustinetur. Cum enim punctorum Curvae Catenariae situs, partiumque inclination ad Horizontem eadem sit, sive in situ F A D, sive in situ inverso, dummodo Curva sit in plano ad Horizontem recto, patet illam æquæ servare figuram immutatam in uno situ ac in altero. Et è converso verso soile Catenariae sunt fornices sive arcus legitimi: Et cu- juscunque alterius figurae Arcus ideo sustinetur, quod in illius crassitie quaedam Catenaria inclusa sit: Neque, si tenuissimus esse, partesque haberet lubricas sustineretur. Ex praecedente Corol. 5. colligitur quali vi arcus, muros quibus insiftit extra propellit; nempe hæc eadem est cum parte vis Catenam susti- nentis, quæ secundum directionem Horizontalem trahit. Quæ enim in Catena introsum trahit vis, in arcu Catenæ æquali, ex- trorsum propellit. Alia omnia de murorum quibus fornices im- ponuntur firmitate requisita, ex hac Theoria Geometrica de- terminantur, quæ in ædificiorum extructione præcipua sunt. 7. Si loco gravitatis alia quælibet vis similiter agens in li- neam flexilem vires suas exerat, eadem producetur linea. V. g: Si ventus æquabilis supponatur, & secundum rectas datæ posi- tione rectæ parallelas spirans, linea vento inflata eadem erit cum Catenaria. Nam cum omnia quæ in gravitate consideravimus, in altera hac vi obtineant, patet eandem Curvam producendum iri. Prop. 3. Theorema. Fig. 2. SI manente praedicta Hyperbola A H, per A ducatur recta G A L axi A B normalis, & describatur Curva K R ejus naturæ, ut B K sit tertia proportionalis rectis B H & A C, & ad A C applicetur rectangulum A V æquale spatio intermi- nato A B K R L A, erit F concursus rectarum H B, V G ad Catenariam. Nam ex constructione est B K = \frac{a^2}{\sqrt{2a x + x^2}}, quare fluxio spatii A B K R L A = (B K k b = B K x B b =) \frac{a^2 x}{\sqrt{2a x + x^2}}. Cumque B F = \frac{\text{spatio } A B K R L A}{A C}, & A C detur, erit fluxio ipsius B F = \frac{\text{fluxioni spatii } A B K R L A}{A C} = \frac{a x}{\sqrt{2a x + x^2}}. Sed in praecedentis Prop. constructione, fluxio ordinatæ \( \frac{a x}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Quare hæc construcio eodem redit cum constructione Prop. praecedentis, & consequenter punctum F est ad Catenariam. q.e.d. Corollarium. Sicut in Prop. praeced. Catenaria describitur ex data longitudine Curvæ parabolicæ, ita in hac, illius descriptio pendet à quadratura spatii in quo \( x^2 y^2 = a^4 - 2ax y^2 \). Nam \( y \) (sive \( BK \)) \( = \frac{a^2}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Prop. 4. Theorema. Fig. 1. Spatium \( AGF \) sub Catenaria \( AF \) & rectis \( FG, AG \) ad \( AB, BF \) parallelis comprehensum, æquale est rectangulo sub semi-axe \( AC, & DH \) intervallo applicatarum in Hyperbola & Catenaria. Nam \( DH = (BH - BD) = \), ex Prop. 2. hujus, \( \frac{ax + xx}{\sqrt{2ax + x^2}} \) \(- \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} = \frac{xx}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Quare fluxio rectanguli sub data \( AC & DH = (\frac{axx}{\sqrt{2ax + x^2}} = x \times \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} = fs \times FG = ) \) fluxioni spatii \( AGF \). Cumque figurae hæ simul nascantur, sequitur rectangulum sub \( AC & DH \) æquari spatio \( AGF \). q.e.d. Corollarium. Hinc sequitur spatium \( FAD \), sub Catena \( FAD \) & recta Horizontali \( FD \) comprehensum, æquari rectangulo sub \( FD & BA \), dempto rectangulo sub Hyperbolæ \( AH \) axe alterutro, & \( DH \) excessu rectæ \( BH \), vel Curvæ \( AD \), supra ordinatam \( BD \). Prop. Prop. 5. Theorema. Fig. 1. SI ad rectam AL applicetur rectangulum LE æquale spatio Hyperbolico ALH, erit E centrum æquilibrii Curvae Catenariae AFD. Concipiatur Curva gravis FA librari super axe GL. Ex Centrobarycis constat momentum gravis FA exponi per superficiem Cylindrici recti super FA erecti, & relecti plano per GL transeunte, cum plano Curvae angulum semirectum faciente. Et hujus superficie fluxio, sive FA × FG, æqualis est fluxioni spatii ALH sive BH × HL; quia FA, BH, item FG & HL æquantur. Ac præpterea (cum simul nascentur) dicta superficies Cylindrici recti æqualis est spatio Hyperbolico ALH. Hoc proinde applicatum ad ipsum grave AF, vel illi æqualem rectam AL, facit latitudinem AE æqualem distantiæ centri gravitatis ab axe librationis GL. Unde Curvae FAD, æqualiter ad utramque axeos AB partem jacentis, centrum æquilibrii est E. q.e.d. Corollaria. 1. Spatia ABHL, BAH, & AGF sunt Arithmetice proportionalia. Nam fluxio spatii ALH = \( \frac{ax + x^2}{\sqrt{2ax + x^2}} \times x \) \( = \frac{2ax + x^2 - ax \cdot x}{\sqrt{2ax + x^2}} = x \sqrt{2ax + x^2} \) \( = \frac{ax \cdot x}{\sqrt{2ax + x^2}} \) fluxioni spatii BAH, multatae fluxione spatii AGF, per Prop. 4. hujus. Cumque ha tres figuræ simul nascentur, erit BAH — AGF = (ALH — BL — BAH). Quare 2BAH = BL + AGF. Unde sequitur spatia BL, BAH & AGF esse in proportione Arithmetica. 2. Catenæ centrum gravitatis est omnium linearum ejusdem longitudinis, eosdemque terminos habentium, infimum. Nam tantum tantum descendet grave quantum potest. Cumque tantum descendat figura, quantum ejus centrum gravitatis descendit, se fic disponet linea gravis flexilis, ut ejus centrum gravitatis sit inferius quam si aliam quamcunque figuram indueret. Atque ex hoc symptomate lineae gravis flexilis, reliqua omnia facile deduci possint. 3. Si super quacunque Curvas eandem longitudinem eosdemque terminos D & F cum Catenaria F A D habentes, erecti Cylindrici recti secentur plano per DF transeunte; superficierum Cylindricarum sic resectarum maxima est quae super Catenariam insistit. Haec enim superficies (si angulus sub planis fuerit semirectus) ad ipsas Curvas (quae sunt in casu praesenti longitudinis ejusdem) applicatae, latitudines faciunt aequales distantias centrorum gravitatis Curvarum à DF recta: Cum distantia hæc fit in Catenaria maxima (ob maximum descensum centri gravitatis) erit Cylindrica superficies applicanda etiam maxima. Et quoniam superficierum Cylindricarum resectarum plano cum plano baseos angulum quemvis continente, eadem est ratio atque cum dictus angulus est semirectus, patet propositum universaliter. Lemma. Fig. 1. SI in cujusvis Curvae AFQ, descriptae evolutione alterius Curvae KV, ordinatam quamvis FB ad axem AB normalem, à correspondente in KV puncto V demittatur normalis VR ordinatæ occurrens in R: Erunt, manente fluxione axeos AB eadem, fluxio fluxionis ordinatæ BF, fluxio Curvae AF, & recta FR continue proportionales. Producatur rectula F t donec proximæ ordinatæ w ϕ occurrat in o. Et quoniam ex hypothesi Fs = f w, erit o f = F f, adeoque ϕ ϕ erit fluxio ipsius f's, hoc est fluxio fluxionis ordinatæ. Porro triangula ϕ ϕ f, f FR sunt æquiangula, quia ϕ ϕ f = alterno f FR, & f ϕ ϕ = (F f r = ) F f R, quia illorum intervallum R f r alterutrius respectu evanescit, cum R r praefr nulla sit. Et igitur ϕ ϕ f : : f F . FR, sed ϕ f, f F æquales les sunt, cum fluxione utriusvis tantum differant. Quare \( o \varphi . f F : : f F . F R \). q. e. d. **Prop. 6. Problema.** **Fig. 1.** Invenire Curvam K V cujus evolutione Catenaria A F Q describitur. Vocetur ut prius A B x, item B F y. Est, ex Prop. 2. hujus, \[ y = \frac{a x}{\sqrt{2 a x + x^2}}, \text{ sive } 2 a x y^2 + x^2 y^2 = a^2 x^2. \] Quare, per sati nunc usurpatam Neutoni methodum, \( 2 a x y^2 + 4 a x y y + 2 x x y^2 + 2 x^2 y y = (2 a^2 x x \text{ quae, propter } x = 0 \text{ cum constans } x \text{ non fluat}) = 0. \) Quare \( y = \left( \frac{-a x y - x x y}{2 a x + x^2} \right) \) \[ = \frac{a + x x}{2 a x + x^2} \times \frac{a x^2}{\sqrt{2 a x + x^2}}, \text{ ponendo loco } y, \text{ ejus valorem } \frac{a x}{\sqrt{2 a x + x^2}}. \] (Nam signum — quantitati y praefixum, tantum denotat locum puncti R ex F spectati, oppositum esse loco puncti F ex B spectati, cum curva A F Q est cava versus axem A B) Et F f, per Prop. 2. hujus, \( = \frac{a + x x}{\sqrt{2 a x + x^2}} \). Quare per praecedens Lemma, \[ F R = \left( \frac{F f}{y} = \frac{a + x x}{2 a x + x^2} \times \frac{2 a x + x^2}{\sqrt{2 a x + x^2}} \right) = \frac{a + x x \sqrt{2 a x + x^2}}{a}. \] Rursus ob triangula rectangula F s f, F R V habentia angulos f F s, V F R æquales, quia V F s est utriusque complementum ad rectum, est F s. s f : : F R . V R, sive \( x \cdot \frac{a x}{\sqrt{2 a x + x^2}} : : a + x x \sqrt{2 a x + x^2} : : V R \text{ quæ proinde æqualis } a + x. \) Hæc igitur est natura curvae K V, ut si A B vocetur x, erit F R \( = \frac{a + x x \sqrt{2 a x + x^2}}{a}, \& V R = a + x. \) q. e. i. Corol- Corollaria. 1. AC.CB::BH.FR. Haec enim est proprietas rectae FR superius inventa. 2. Recta CB æqualis est rectae BI sive VR. Utraque enim est æqualis \(a + x\). 3. Recta evolvens VF est tertia proportionalis ipsis AC, CB. Nam ob æquiangula triangula fFs, VFR, est sF.Ff :: FR.VF. Sive \(x \cdot \frac{a + x}{\sqrt{2ax + x^2}} = \frac{a + x}{\sqrt{2ax + x^2}} \cdot \frac{\sqrt{2ax + x^2}}{a}\). VF quæ proinde \(= \frac{a + x}{a}\). Unde \(a \cdot a + x :: a + x \cdot VF\), quæ præterea est radius circuli Catenæ in F æquicurvi. 4. Cum punctum F est in A, sive cum vertex evolutione describitur, id est cum \(x = 0\), valor evolventis rectae VF quæ in hoc casu est KA, nempe \(a + x\) fiet \(a\): hoc est punctum K ubi Curva VK occurrit axi, tantum extat supra Catenæ verticem A, quantum C deprimitur infra eundem. Unde diameter circuli, Catenæ ad verticem æquicurvi, æqualis est axi conterminæ Hyperbolæ AH. Adeoque Catenæ AD & Hyperbolæ AH eadem est curvatura in vertice A: Nam vulgo notum est circulum praedictum, Hyperbolæ æquilateræ AH in vertice A æquicurvis esse. Sed & hoc aliunde, ex ipsa Catenæ natura Prop. 2. hujus demonstrata, constat. Nam nascentis FH sive (AP = nascenti BP =) \(\sqrt{2ax}\) dupla est nascentis BH sive (\(\sqrt{2ax + x^2}\), hoc est, evanescente \(x^2\), cum \(x\) minima sit) \(\sqrt{2ax}\); Et igitur idem punctum est tam in nascente Hyperbola quam nascente Catenaria; h.e. Nascentis Hyperbola AH cum nascente Catenaria AD coincidit, & proinde æquicurvae sunt ha lineæ ad verticem A. 5. Curva KV est tertia proportionalis ad rectam AC & curvam AF sive rectam AL. Ex natura enim evolutionis, KV = (VKA - KA = VF - KA = \(\frac{a + x}{a} = \frac{a^2 + 2ax + x^2}{a} - a = \frac{2ax + x^2}{a}\). Et igitur \(a \cdot \sqrt{2ax + x^2} :: \sqrt{2ax + x^2} \cdot KV\). Sed \( \sqrt{2ax + x^2} \), ex Corol. 2. Prop. 2, \( = AF \). Unde \( AC \cdot AF = AF \cdot KV \). 6. Recta \( KI \) dupla est ipsius \( AB \). Cum enim \( BI = (BC = CA + AB) \), erit \( AI = CA + 2AB \); At \( AK = AC \), per Corol. 4. hujus; Igitur \( KI = 2AB \). 7. Rectangulum sub \( AC \) & \( BR \) est æquale duplo spatio hyperbolico \( BAH \). Nam \( FR \times AC = \left( \frac{a + x}{\sqrt{2ax + x^2}} \right)^a \times a = \frac{x}{\sqrt{2ax + x^2}} = x \times \sqrt{2ax + x^2} + a \times \sqrt{2ax + x^2} = AB \times BH + AC \times BH = ) AB \times BH + AC \times BD + AC \times DH. Quare \( FR \times AC - BD \times AC \), hoc est \( BR \times AC = AB \times BH + AC \times DH \). Sed, per Prop. 4. hujus, \( AC \times DH = AGF \) spatio. Et igitur \( BR \times AC = (ABHL + AGF = per Corol. 1. Prop. 5.) 2BAH. Prop. 7. Theorema. Fig. 3. SI in Curva Logarithmica \( LAG \) cujus data subtangens \( HS \) æqualis rectæ \( a \), Corol. 2. Prop. 2. hujus definitæ, sumatur punctum \( A \) cujus distantia ab \( HP \) asymptoto, nempe \( AC \), æqualis fit subtangenti \( HS \), & ex punctis \( H \) & \( P \) utcunque in asymptoto sumptis à puncto \( C \) æqualiter distantibus, erigantur \( HL \), \( PG \) ordinatæ ad Logarithmicam, quarum semisummæ ponatur æqualis \( HD \) vel \( PF \), erunt \( D \) & \( F \) ad Catenariam rectæ \( AC \) correspondentem. Vocetur \( ABx \), adeoque \( CB \) vel \( DH \) semisumma ordinarum \( HL \), \( PG \) erit \( a + x \); semidifferentia earundem vocetur \( y \). Unde \( HL = a + x + y \), & \( PG = a + x - y \). Cumque ex natura Logarithmicæ, \( CA \) sit inter has media proportionalis, erit \( a^2 + 2ax + x^2 - y^2 = a^2 \). Unde \( y = \sqrt{2ax + x^2} \). Adeoque \( HL = a + x + \sqrt{2ax + x^2} \) & \( PG = a + x - \sqrt{2ax + x^2} \). Quare fluxio ipsius \( HL \), sive ipsa \( l \) m est \( \frac{ax + xx + x\sqrt{2ax + x^2}}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Et ob equiangula triangula \( l m L, LHS \), est \( LH.HS :: lm \cdot mL \), unde \( mL \) sive \( d \) fluxio ipsius \( BD = \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Hoc est Curva A D ex Logarithmica supradicto modo genita, ejus est naturae, ut si axis Vocetur \( x \), ejusque fluxio \( x \), fluxio ordinatæ \( BD \) sit \( \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} \). Sed haec ipsa est proprietas Catenariæ ad quam a pertinet, Prop. 1. hujus demonstrata. Ergo Curva F A D superioris descripta est haec ipsa Catenaria. q.e.d. Corollaria. 1. Sicut ope Logarithrorum Catenaria describitur, vice versa ope Catenariæ per ipsam rerum naturam productæ, numeri dati vel potius rationis datæ Logarithmus invenitur. Ut si positæ CA unitate, cujus Logarithmus est nihilo æqualis, quaeratur Logarithmus numeri \( CQ \) sive rationis inter CA & \( CQ \); Rectis \( CQ \) & CA tertia proportionalis sit CV, ipsarumque \( CQ, CV \) semisumma CB; ex B ordinata ad Catenariam, nempe BD est Logarithmus quæsitus. Ratio ex Propositione manifesta est. 2. Vicissim si dato Logarithmo CH vel CP, quaeratur correspondens numerus HL vel PG, seu ratio HL ad CA, sive PG ad CA. Ex H vel P erigatur perpendicularum Catenæ occurrens in D vel F, ipsique HD vel PF hoc est CB, fiat æqualis CR ad horizontalem AR terminata; Eritque AR semidifferentia quæsitarum LH, GP, sicut ex supra demonstrata Catenæ natura HD vel CR est earundem semisumma: (Nam in tribus quantitatibus Geometricæ proportionalibus quales sunt HL, CA, PG, quadratum semisummae extremarum multatum quadrato mediae, æquatur quadrato semidifferentiae extremarum.) Adeoque CR + AR, & CR — AR sunt numeri HL vel GP, dato Logarithmo CH vel CP congrui. 3. Ex demonstratione patet quod sicut HD semisumma Logarithmicæ ordinatarum HL, PG, ad CH normaliter applicata in H, est ordinata Catenariæ, sic semidifferentia earundem HL, PG, ad CA normaliter applicata in B est ordinata Hyperbolæ æquilateræ centro C vertice A descriptæ: ac proinde (per Corol. Corol. 2. Prop. 2. hujus æqualis Catenæ A D. Nam \( y = \sqrt{a^2 x + x^2} \). Cumque Corol. praeced. ostensum sit A R esse etiam semidifferentiam rectarum H L, P G, patet A R esse æqualem Catenariæ portioni A D. Unde obiter elucdit modus, datâ Catenâ A D, inveniendi C centrum Hyperbolæ conterminae, vel punctum in asymptoto Logarithmicæ GL. Nam si sumatur A R æqualis Catenæ A D, & ex junctæ rectæ B R puncto medio erigatur ad ipsam B R normalis, hæc occurret B A axi Catenæ in quæsito puncto C, uti patet. Nam sic erit CR = CB. 4. Hinc etiam sequitur si B DT angulus fiat æqualis ACR, rectam DT tangere Catenariam in D. Nam sic fit in triangulis æquiangulis DBT, CAR; DB.BT :: CA.AR five huic æqualem AD curvam. Et igitur, per Corol. Prop. 1. hujus, DT tangit Catenariam. 5. Sequitur etiam spatium ACHD æquari rectangulo sub CA & AR. Nam quoniam AYD est, per Prop. 4. æquale rectangulo sub CA & (AD — BD), per Corol. 3. hujus Prop. AR — AY = YR, patet propositum. Et quoniam CA datur, constat spatium ACHD esse sicut AD curva, illiusque fluxionem H d sicut D d fluxio hujus. 6. Si per punctum K ubi CR fecat HD, ducatur KZ parallela PH, rectæ AC occurrens in Z, sumaturque CE æqualis semisummæ ipsarum BC, CZ, erit E centrum æquilibrii Curvae FAD. Intelligatur super FAD erecta superficies Cylindrici recti refecti plano per PH ad angulos semirectos cum plano Curvae FAD; Exponet hæc superficies momentum Curvae FAD super axe PH libratæ, ejusque fluxio est DH × DD + PF × FF \[ = 2BC \times AD = 2x + x \times \frac{ax + x}{\sqrt{2ax + x^2}} = \frac{2a^2 x + 4ax + 2x^2}{\sqrt{2ax + x^2}} \] \[ = \frac{a^2 x}{\sqrt{2ax + x^2}} + \frac{a^2 x + ax}{\sqrt{2ax + x^2}} + \frac{3ax + 2x^2}{\sqrt{2ax + x^2}} \] cujus fluens \[ a \times BD + a \sqrt{2ax + x^2} + x \sqrt{2ax + x^2} = CA \times BD + CB \times AD. \] Quare CA × BD + CB × AD = (quoniam simul nascitur, dictæ superficiæ Cylindricæ =) momento Curvae FAD super axe PH libratæ. Unde distantia centri gravitatis Curvae FAD à puncto C est $\frac{CA \times BD + CB \times AD}{2AD}$ five $\frac{1}{2} \frac{CA \times BD}{AD} + \frac{1}{2} CB$. Porro ob Z K parallelam A R, est AD . BD :: (AR . ZK ::) $\frac{CA \times BD}{AD}$, unde C'Z = $\frac{CA \times BD}{AD}$, & igitur CE quae per constructionem est $= \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} CZ$, erit $= \frac{1}{2} \frac{CA \times BD}{AD} + \frac{1}{2} BC$: hoc est Curva FAD centrum gravitatis, & E punctum ex constructione definitum, æqualiter distant à C; sed & in eadem recta & versus easdem partes sita sunt, ergo coincidunt illa. Poteat & coincidentia puncti E ut supra determinati, cum centro æquilibrii Prop. 5. hujus definito, synthetice sic ostendi. Per Corol. i. Prop. 5. 2 BAX = AYD + BA x AR. Unde AH + 2 BAX = (ACHD + BA x AR = per præced. Corol.) AR x CA + BA x AR: hoc est BD x AC + 2 BAX = AR x CB; five BD x AC = AR x CB — 2 BAX. Unde BD x AC + AD x BC = (AD x BC + AR x CB — 2 BAX = 2 AD x BC — 2 BAX =) 2 AD x AC + 2 AD x AB — 2 BAX. Et applicando ad 2 AD, erit $\frac{1}{2} \frac{BD \times AC}{AD} + \frac{1}{2} BC$ $= (AC + \frac{AB \times AD - BAX}{AD} =) CA + \frac{ARX}{AR}$. Sed $\frac{ARX}{AR}$ est distantia centri æquilibrii Catenæ à vertice A, per Prop. 5. hujus determinata, ac proinde, secundum dictam Prop. 5. CA + $\frac{ARX}{AR}$ est distantia puncti E à C, & $\frac{1}{2} \frac{BD \times AC}{AD} + \frac{1}{2} BC$ est ejusdem E distantia ab eodem C secundum hoc Corol. 6. Unde patet duas istas determinationes puncti E eodem recedere, quoniam CA + $\frac{ARX}{AR} = \frac{1}{2} \frac{BD \times AC}{AD} + \frac{1}{2} BC$. 7. Spatii P F A D H centrum gravitatis est in I medio puncto rectæ C E. Cum centrum gravitatis fluxionis ipsius A D five D d & F f, duplo magis distet à PH quam centrum gravitatis fluxionis ipsius ACHD five DH h d & F p f, & Dd + Ff x AC datam, æquale D dh H + F fp P, patet & fluentis F A D centrum gravitatis E duplo magis distare à PH, quam fluentis P F A D H centrum I. Sed libet propositum aliter & ad modum superiorum ostendere. Intelligatur super figura P F A D H erectus Cylindricus rectus & reiectus plano per PH transeunte, cum plano baseos angulum semirectum comprehendente; exponet istud solidum, momentum figuræ P F A D H super axe PH libratæ: Hujsq; solidi five praedicti momenti fluxio, (solida nempe erecta super P F f p & H D d h) producitur, si momentum fluxionis, five fluxio momenti ipsius A D, ducatur in \( \frac{1}{2} \) A C datam. Nam per Corol. 5. hujus Prop. H D d h = D d x A C: Quare ipsum momentum fluens producitur ducento momentum Curvæ F A D respectu axis P H, superiore Corol. determinatum, nempe CA x BD + CB x AD, in \( \frac{1}{2} \) A C; eritq; proinde \( \frac{1}{2} \) A C x A C x BD + \( \frac{1}{2} \) A C x CB x A D. Adeoque si hoc applicetur ad figuram libratam P F A D H five 2 C A x A D per hujus Prop. Corol. 5, fiet distantia centri gravitatis figuræ P F A D H ab axe PH \[ = \left( \frac{CA \times BD}{AD} + \frac{CB}{4} \right) \text{dimidia rectæ C E superius determinate.} \] 8. Si per N punctum ubi D T tangens Catenariam in D, secat AR, ducatur recta parallela ipfi B C, occurrens rectæ per E ad AR parallelæ in O; erit O centrum gravitatis curvae A D. Nam per Corol. 6, centrum gravitatis curvae A D est in recta E O, sed demonstrabitur illud esse in N O recta, & proinde erit ipsum O punctum. Intelligatur DA librari circa HL axem; hujus momentum est curva DA ducta in distantiam centri gravitatis ab HL: Et ejus proinde fluxio = DA x H h (H h est fluxio distantiae axis librationis à gravitatis centro) = \( \sqrt{2ax + x^2} \times \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} = ax \). Ac proinde ipsum momentum Curvae gravis DA circa axem HL libratæ = ax. Et igitur distantia centri gravitatis ab eodem axe est ax applicata ad AD, five \[ \frac{AC \times DY}{AR} \] Sed quia DT tangit Catenariam, per Corol. 4. hujus Prop. angulus BD T five DN Y = AC R, & anguli ad A & Y sunt recti, quare in triangulis æquiangulis RA C, DY N; RA . AC :: DY . YN. Unde YN = \( \frac{AC \times DY}{RA} \), hoc est YN est distantia centri gravitatis Catenæ A D ab axe HL, five centrum praedictum est in recta NO. 9. Si 9. Si per I ducatur recta ad A R parallela, rectae O N productae occurrens in W, erit W centrum gravitatis spatii A C H D. Nam per Corol. 7. centrum gravitatis spatii A C H D est in recta I W, sed ut mox ostendetur, est in N W, & proinde est ipsum W punctum. Eodem enim modo quo in Corol. praeced. fluxio momenti spatii A C H D circa H L librati ostenditur esse \[(A C H D \times H h = A C \times A D \times H h = a \times \sqrt{2ax + x^2} \times \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} = a^2 x.\] Ac proinde ipsum momentum spatii A C H D circa axem H L librati, æquale est fluenti cujus \(a^2 x\) est fluxio, hoc est ipsi \(a^2 x\). Hoc igitur applicatum ad ipsum spatium A C H D five \(a \times \sqrt{2ax + x^2}\), dat distantiam centri gravitatis spatii A C H D ab H L \(= \frac{ax}{\sqrt{2ax + x^2}} = \frac{AC \times DY}{RA}\). Sed Corol. praeced. ostensa est Y N \(= \frac{AC \times DY}{RA}\). Et igitur centrum gravitatis spatii A C H D est in N W. Atque ex duobus hisce ultimis Corollariorum invenitur centrum gravitatis cujusvis portionis Catenæ etiam ad verticem A non pertingentis; vel cujusvis spatii Catenariæ portione quavis, & alius rectis praeter praedictas comprehensi. 10. Hinc mensurantur superficies & solida genita rotatione Catenæ, aut spatii sub illa & rectis comprehensi, circa axes datos. Nam figura rotatione genita æquatur, ut vulgo notum, figuræ rotatae ductæ in peripheriam à centro gravitatis inter rotandum percurfam, etiam datam cum detur illius radius five distantia centri gravitatis ab axe dato. Sic si Catenæ A D rotetur circa axem A B, \(\frac{\pi}{p} \times AN \times AD = \frac{\pi}{p} \times AN \times AR\). Hoc est circulus cujus radius potest duplum rectangulum R A N, æquabitur superficiei à Catenæ A D rotatione circa axem A B genita. Pari modo solidum genitum rotatione spatii A C H D circa A C, æquale ostendetur Cylindro cujus basis est praedictus circulus, altitudo vero æqualis A C. Similiterque superficies & solida, ex rotatione harum figurarum circa alios quosvis datos axes facta mensurantur. Nam dato centro gravitatis hæc non latebunt.