Propositio Generalis Arearum Dimensionem Exhibens in Universo Illo Curvarum Genere Quae Revolutione Aequabili Circuli Super Basin Quamuis Uel Rectilineam Uel Circularem Describi Possint, etc.

PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS. For the Months of November and December, 1695. The CONTENTS. I. Propositio Generalis Arearum dimensionem exhibens in universo illo Curvarum Genere, quae revolutione aquabili Circuli super Basin quamvis, vel rectilineam vel Circularem describi possint; nempe omnium Cycloidum vel Epicycloidum, quovis modo genitarum. Cum Demonstrazione Quadraturæ portionis Epicycloidis à Domino Caswell inventæ, (Numb.217. p.114. promissæ) per E. Halley. II. An Extract of the Journals of two several Voyages of the English Merchants of the Factory of Aleppo, to Tadmor, anciently call'd Palmyra. III. Some Account of the ancient State of the City of Palmyra, with some short Remarks on the Inscriptions found there: With an Observation of the Latitude of Aleppo, and the ascertaining of the Geographical Site of the Ancient Aracta, and several Cities in Syria. By E. Halley. I. Propositio Generalis Arearum dimensionem exhibens in universo illo Curvarum Genere qua revolutione aquabili Circuli super Basin quamvis vel rectilineam vel Circularem describi possint, &c. Notum est Cycloide primariam, sicut etiam Prolatam ac Contractam (quas Trochoïdes vocant) à Celeberrimo Wallisio aliisque uberrime tractatas suisse; earumque proprietates dudum innotuisse: ut jam vix liceat quicquam novi de iis comminisci. comminisci. At in nupero tractatu Cl. de la Hire, nonnulla de Epicycloidis primariae proprietatibus prodidit: cujus occa- sione ingeniosissimus Cawellus, non solum dimensionem Areæ totius spatii Epicycloidalis etiam in partibus obtinere locum invenit: sed etiam perfectam Spatii Curvilinei \( V P L \) Quadra- turam exhibuit. Ejusdem vero demonstrationem, (cum mi- nime obvia sit, ac ab Inventore nondum prodita) dum qua- rerem, incidi forte in Generalem hanc quam damus Propositionem, quâ mensurantur spatia Curvilinea omnia Generis Cycloidalis vel Epicycloidalis, tam tota, quam per partes. Atque etiam non solum Spatia \( V P L \), sed etiam innumerabili \( Q T P \) ac \( V Q T L \) accuratae Quadraturæ capacia esse demon- stravi; idque non tantum in Epicycloidibus primariis, sed etiam in prolatis vel contraëtis. Propositio autem hæc est. Area Cycloidalis vel Epicycloidalis, sive Primaria sive Contracta vel Prolata, est ad Aream Circuli Generantis; atque etiam Areæ par- tium genitarum in iisdem Curvis, ad Areas analogorum segmento- rum Circuli :: ut summa dupla Velocitatis centri ac velocitatis ma- tus circularis, ad Velocitatem motus circularis. Demonstratio. Describatur Epicyclois quævis \( Y P S Q V B \) revolutione circuli \( V L B \) super Basi circu- lari \( Y M N B \); ponatur cen- trum circuli generantis in \( c \), duc- taque \( c M K \), insiftat circulus Basi in puncto \( M \); fitque punc- tum lineans \( S \). Jam divisis mo- tibus, transferatur primum motu circulare punctum \( S \) in \( R \), ut augeatur arcus \( S M \) particulâ indivisibili \( R S \); deinde pro- grediatur centrum \( c \) in \( C \); hoc motu, traducto segmento \( R S M \) in situm \( Q T N \), punctum \( Q \) tan- get Curvam. Patet Triangulum \( R S M \) esse momentum sive fluxionem Areæ segmenti cir- culi: Trapezium vero \( Q S M N \) esse fluxionem Areæ spatii cur- vilinei simul geniti. Jam cum puncto inter se differre intelli- gantur, gantur, concipe areolam \( QSMN \) constare ex tribus secto- ribus \( RMS, RMQ, MQN \); adeoque areolam \( RMS \) esse ad Areolam \( QSMN \), ut est angulus \( RMS \) ad summam trium angulorum \( RMS + RMQ + MQN \). At anguli \( RMQ + MQN \) æquantur angulis \( MCN + MKN \), sive angulo \( cMC \); propter lineas \( RM, QN \), invicem incli- natæ sub angulo ipsi \( MKN \) æquali, ac propter angulum \( MQN \) ipsius \( MCN \) dimidium (per Eucl. 3. 20.) Proinde angulus \( RMS \) est ad angulos \( RMS + cMC \), hoc est, (per eandem 3.20.) arcus \( \frac{1}{2}RS \) ad duos arcus \( Cc + \frac{1}{2}RS \), sive \( RS \) ad \( 2Cc + RS \); ut areola \( RSM \), ad areolam \( QSMN \): sive ut momentum segmenti circularis \( QTN \) ad momentum segmenti in Epicycloide simul geniti \( QSYMN \). Cumque hæc momenta semper sint in eadem illa ratione, ubicunque af- sumperis punctum \( Q \), constat Areas ipsas \( QTN, QSYMN \) his momentis genitas, eadem constantem habere rationem, nempe velocitatis motus circularis \( RS \), ad duplam velocitatem centri addito motu circulari, sive \( 2Cc + RS \). Sicut etiam Aream \( VBP \) ad Aream \( QVBN \), ac proinde semicirculum. \( VLB \) ad spatium Curvilineum \( VQYNB \). Ergo constat Propositio. Nulla autem alia est differentia in modo demon- strandi, sic circulus genitor super arcu Basis Concavæ moveatur, nisi quod angulus \( cMC \), hoc in casu, sit differentia angulo- rum \( MCN, MKN \). Si vero Basis sit linea recta, evanescente \( MKN \), ac ob \( RM, QN \) parallelas, etiam facilitior erit pro- batio. Deducendis ex hac propositione Corollariis, cum in promptu sint, libenter absteineo: In omnibus autem hujusmodi Curvis portiones analogæ portionibus illis, quas in Cycloide primaria perfecta Quadraturæ capaces invenit Cl. Wallisius, sunt æque quadrabiles, quod quidem facile consequitur ex præmissis. Centro \( K \), per punctum \( Q \) duc circularem arcum \( QZ \), ac age \( ZB \) abscindens segmentum \( ZLB \) æquale segmento \( QTN \). Dein biseca semicirculum \( VB \) in \( L \), ac per punctum \( L \), centro- etiam \( K \), describe arcum \( PL \), secante Epicycloidem in \( P \), circulum Genitorem in \( T \), ac Chordas \( QN, ZB \) in \( y & X \). Jam sit Arcus \( VZ = a \), ejusque sinus \( = s \), Radius Genitoris \( = r \), Radius vero Basis \( = R \); fitque arcus \( CE \) sive motus centri \( = m \). Patet sectorem \( CKE \) eam rationem habere ad spatium \( XyNB \), quam habet quadratum ex \( KE \), ad differ- entiam quadratorum ex \( KL & KB \); sive ut \( RR + 2RR - rr \) ad ad \(2Rr + \frac{1}{2}rr\); hoc est ut \(R + r\) ad \(2r\), vel \(KE\) ad \(BV\); ac proinde rectangulum \(BE\) in \(CE\) sive \(rm\) æquari (spatio \(XYNB\)). Spatium vero \(VZB\) æquale est rectang. \(\frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}sr\); adeoque, juxta nostram propositionem, erit ut \(a\) ad \(2m\), ita \(\frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}sr\), ad \(\frac{mar + msr}{a}\), æquale Spatio Curvilineo \(QVZLBQNQ\): Ex hoc subduc spatium \(XYNB = rm\), & remanebit spatium \(QVZXy = \frac{mr}{a}\). Cumque spatia \(ZXL, QyT\) æquentur inter se, spatium \(QVLQT\) etiam æquabitur ipsi \(\frac{mr}{a}\): Quoties itaque \(a\) ad \(m\), sive motus circularis ad progressivum centri, fuerit in data ratione, dabitur etiam perfecta Quadratura spatiorum curvilineorum \(QVLQT\): Totumque spatium \(VPL\) ad Quadratum Radii \(BE\) erit in eadem ratione motuum \(m\) ad \(a\), hoc est, in omni Epicycloide primaria, in ratione radiorum \(KE\) ad \(KB\), quæ est ipsa Domini Casselli Propositio. Spatia autem minora. \(QVLQT\) erunt inter se ut sinus Arcuum \(VZ\); ac spatia Triangularia \(QTP\) eodem argumento erunt ut Sinus Versi arcuum \(QT\) vel \(ZL\): ac proinde etiam Quadrantur. Pari modo probabantur spatia \(P\Lambda\gamma, P\Lambda u, p\Lambda\gamma\) semper esse ad Radii \(BE\) quadratum (in omnibus his figuris) in praedicta ratione \(m\) ad \(a\); eorumque portiones \(pq\tau\), ut Sinus Versi arcuum interceptorum \(qt\). Residua autem segmenta, ut \(q\tau\Lambda, q\tau\Lambda, \&c.\) erunt ut Sinus recti complimentorum eorundem arcuum \(qt\). Componitur autem ratio velocitatum \(m\) ad \(a\), ex ratione radiorum \(KE, BE\), ac ratione angulorum simul æquabiliter descriptorum \(CKE, VEZ\): ac proinde data etiam illâ angulorum ratione, etiam Quadrabuntur spatia omnia Epicycloidalia praedicta. Omnibus his Curvis Tangentes ducere in promptu est, earumque Longitudines sive Rectificationes, ex Areis quibusdam ipsis analogis, jam invenisse mihi videor: cujus rei occasione Familia hæc Curvarum uberior aliando forsan tractabitur. II. An