Specimina Quaedam Illustria Doctrinae Fluxionum Sive Exempla Quibus Methodi Istius Usus et Praestantia in Solvendis Problematis Geometricis Elucidatur, ex Epistola Peritissimi Mathematici D. Ab. de Moivre Desumpta

III. Specimina quaedam illustria Doctrinæ Fluxionum sive exempla quibus Methodi istius Usum & praestantia in solvendis Problematis Geometricis elucidatur, ex Epistola Peritissimi Mathematici D. Ab. de Moivre desumpta. Habes insuper Methodum quam pollicitus eram de Figurearum Curvilinearum Quadraturis; de Solidorum à rotatione plani genitorum eorumque Superficierum dimensione; de rectificatione Curvarum, deque Centri Gravitatis Calculo. Ea à multis doctissimis viris tractata fuisse (cio ———— non ideo hoc meum qualecunque tentamen tibi displiciturum existimavi, si modo mihi contigerit ad hæc viam expeditiorem quam quæ vulgo nota est reperisse. Verum priusquam ulterius progrediar hoc te monitum velim me usurpare illa quæ demonstravit Clarissimus Newtonus in pag. 251, 252 & 253 Princ. Phil. circa momentanea incrementa vel decrementa quantitatum quæ fluxu continuo crescunt vel decrescunt, praefertim quod dignitatis cujuscunque \( A^m \) momentum sit \( \frac{n}{m} a A^m - 1 \). Porro data fluxione \( \frac{n}{m} a A^m - 1 \) vicissim reperiri potest quantitas fluens \( A^m \), 1° tollendo \( a \) de fluxione, 2° fluxionis Indicem unitate augendo, 3° denique fluxionem dividendo per Indicem sic unitate auctum. Curvae abscissa designabitur deinceps per \( x \), ejus fluxio per \( x \), ordinatim applicata per \( y \), ejusque fluxio per \( y \). His positis ut ad quadraturas deveniamus, 1° assumatur valor ordinatim applicatae opæ æquationis naturam Curvae experimentis. 2° Multiplicetur hic valor per fluxionem abscissæ; Rectangulum hinc ortum erit fluxio areae. 3° Data fluxione Areae reperiatur quantitas fluens, habebitur Area quaæsta. Proponatur æquatio \( x^m = y^n \) cujusvis Paraboloidos natram exprimens, valor ordinatim applicatae \( y \) est \( x^{\frac{m}{n}} \) qui si multipli- multiplicetur per \( x \), rectangulum \( x^n \) erit fluxio Areae, proindeque Area quaesita erit \( \frac{n}{m+n}x^{\frac{m}{n}} + 1 \), seu (posito \( y \) pra \( x^n \)) \( \frac{n}{m+n}x^{\frac{m}{n}}y \). Rursum proponatur Curva cujus æquatio sit, \( x^4 + aa xx = yy \) (illa scilicet quæ inter exempla Cl. Craigii extat prima) assumpto \( x\sqrt{x^2 + aa} = y \), fluxio Areae erit \( x\dot{x}\sqrt{x^2 + aa} \); Cum autem sub Radicalitate involvatur, supponatur \( \sqrt{x^2 + aa} = z \), hinc \( xx + aa = z^2 \), ideoque \( x\dot{x} = z\dot{z} \); positisque \( z\dot{z} & z \) pro \( x\dot{x} & \sqrt{x^2 + aa} \), fluxio à Surdis liberata erit \( z^3 \), quam si ad originem suam \( \frac{1}{3}z^3 \) revocaverimus, repositoque \( \sqrt{x^2 + aa} \) pro \( z \), habebitur \( \frac{1}{3}xx + aa\sqrt{x^2 + aa} \) pro Area quaesita. Sed quo magis constet quam facili negotio conficiantur hujusmodi quadraturæ, unum amplius exemplum proferre visum est; æquatio Curvae talis sit \( \frac{x^2}{x+a} = y^2 \), igitur \( y = \frac{x}{\sqrt{x+a}} \) ideoque \( \frac{x\dot{x}}{\sqrt{x+a}} \) est fluxio Areae: supponatur \( \sqrt{x+a} = z \), hinc \( x = zz - a, & x\dot{x} = 2z\dot{z} \), Itaque \( \frac{x\dot{x}}{\sqrt{x+a}} = 2z^2\dot{z} - 2a\dot{z} \), ac proinde \( \frac{1}{3}z^3 - 2az \) seu \( \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}a\sqrt{x+a} \) erit Area quaesita. Verum sœpe accidit ut quædam Curvae, quales Circulus & Hyperbola, ejus naturæ sint, ut frustra tentaveris earum fluxiones Surdis immunès facere; tunc valore ordinatæ in seriem infinitam conjecto, singulisque hujus seriei terminis per fluxionem abscissæ, ut supra, multiplicatis, reperiatur singulorum terminorum quantitas fluens, orietur nova series quæ quadraturam Curvae exhibebit. Methodus hæc eadem facilitate ad dimensionem Solidorum à plani circumvolutione genitorum accomodatur, nempe assumendo pro eorum fluxione productum ex fluxione abscissæ per circulum basis; Ratio quadrati ad circulum sibi inscriptum vocetur \( \frac{n}{1} \), æquatio circulo competens est \( y = dx - xx \), igitur \( \frac{4}{n} \frac{d^2 x - x^3}{x^n} \) est fluxio portionis Sphaeræ, igitur \( \frac{4}{n} \frac{d^2 x - x^3}{x^n} \) est portio ipsa, huic circumscriptus cylindrus est \( \frac{4}{n} \frac{d^2 x - x^3}{x^n} \), ideoque ratio portionis Sphaeræ ad circumscriptum cylindrum est ut \( \frac{1}{2} d - \frac{1}{3} x \) ad \( d - x \). Rectificatio curvarum obtinebitur, si Hypothenusæ Trianguli rectanguli cujus latera sunt fluxiones abscissæ & ordinatæ, tanquam Curva fluxio consideretur, sed curandum est ut, in expressione istius hypothenusæ, alterutra fluxionum solummodo superstet, ac una tantum indeterminatarum, illa scilicet cujus fluxio retinetur. Res Exemplis clarior fiet. Ex dato sinu recto CB arcum AC invenire, positis \( A B = x \), \( C B = y \), \( O A = r \); fit CE fluxio abscissæ, ED fluxio ordinatim applicatae, CD fluxio arcus CA; Ex Circuli proprietate \( 2 r x - xx = yy \), unde \( 2 r x - 2 xx = 2 yy \), ideoque \[ \begin{align*} \text{Fig. prima. } & x = \frac{yy}{r - x}, \text{ sed } CD q = yy + xx = yy + \frac{y^2 yy}{rr - 2 rx + xx} \\ & = yy + \frac{y^2 yy}{rr - yy} = \frac{rr yy}{rr - yy} \text{ igitur } CD = \frac{ry}{\sqrt{rr - yy}}, \text{ sed } \\ & \frac{ry}{\sqrt{rr - yy}} \text{ factum est ex } \frac{1}{\sqrt{rr - yy}} \text{ seu } rr - yy = \frac{1}{2} \text{ in } ry \\ \end{align*} \] proindeque si \( rr - yy \) conjiciatur in seriem infinitam cujus singula membra per \( ry \) multiplicentur, & ex unoquoque producto ad quantitatem fluentem fiat retrogressus, habebitur longitudo arcus AC. Non absimili modo ex dato sinu verso reperietur idem arcus; Resumatur æquatio supra inventa \( 2 r x - 2 xx = 2 yy \), fit \( y = \frac{rx - xx}{2y} \), sed \( CD q = xx + yy = \) \[ \begin{align*} & xx + \frac{rr xx - 2 rx xx + x^2 xx}{yy} = xx + \frac{rr xx - 2 rx xx + x^2 xx}{2 rx - xx} \\ \end{align*} \] seu (omnibus sub eodem denominatore reductis, expunctisque iis quae sub diversis signis continentur) \( = \frac{rr xx}{2 rx - xx} \) unde \( CD = \frac{rx}{\sqrt{2 rx - xx}} \), ideoque longitudo arcus AC per ea quae jam dicta sunt facile obtinebitur. Fluxio See Page 54. Fluxio curvæ facilius interdum reperitur per comparationem inter Triangula similia CED, CBO, institui enim potest hæc proportio, CB, CO :: CE, CD, hoc est, pro circulo, \( \sqrt{2r}x - xx, r :: x, \frac{r}{\sqrt{2r}x - xx}. \) Curva Cycloidis eadem opera cognosci poterit. Sit ALK semicyclois cujus circulus genitor ADL. Assumpto in diametro AL quovis puncto B, ducatur BJ parallela basi LK, peripheriae circuli in puncto D occurrens; compleatur rectangulum AEJB ducaturque FH rectæ EJ parallela, eademque infinite vicina, BJ producetam secans in G, curvamque AK in H; ponatur AL = d, AB = EJ = x, GH = z; Notum est rectam BG esse ubique aggregatum arcus AD & sinus recti BD, hinc manifestum est fluxionem jG esse aggregatum fluxionum arcus AD & sinus recti BD. Porro fluxio arcus AD reperta est \( \frac{\dot{x}}{\sqrt{dx - xx}}, \) fluxio autem sinus recti BD repertur \( \frac{d\dot{x} - 2xx\dot{x}}{2\sqrt{dx - xx}}, \) igitur jG = \( \frac{d\dot{x} - xx\dot{x}}{\sqrt{dx - xx}}, \) ideoque \( jHq = jGq + GHq = \frac{dd\dot{x} - dx\dot{x}}{dx - xx}, \) Quamobrem \( jH = \frac{\dot{x}\sqrt{dd - dx}}{\sqrt{dx - xx}} = \frac{\dot{x}\sqrt{d}}{\sqrt{x}} = d^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}, \) proindeque A j = \( 2d^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{dx} = 2AD. \) Hæc conclusio minimo cum labore deduci potest ex nota proprietate Tangentis, cum enim illius portiuncula jH semper fit parallela chordæ AD, fit ut Triangula jGH, ABD sint similia, unde AR, AD :: GH, jH, hoc est x, \( \sqrt{dx} :: \dot{x}, \) \( \frac{\dot{x}\sqrt{dx}}{x} = d^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}. \) Sed nihil vetat quominus adhibito fluxionis jH auxilio, ipsam Cycloidis aream investigemus. Fluxio Area AEJ est rectangulum EJG = \( \frac{dx\dot{x} - x^2\dot{x}}{\sqrt{dx - xx}} = \dot{x}\sqrt{dx - xx}, \) sed fluxio portionis ABD non alia est ab illa: Itaque Area AEJ, correspondensque circuli portio ABD semper sunt æquales. Esto A.B curva Parabolæ cujus Axis AF, parameter \( a; \) ponatur AE = x, EB = y, ABz, BD = x, DC = y, BC = z, assumptâ æquatione Parabolæ naturam constitutæ, K 2 vide- videlicet \( ax = yy \), fit \( a \dot{x} = 2yy \), unde \( x = \frac{2yy}{a} \), sed \[ BCq = BDq + CDq, \text{ hoc est } \ddot{\zeta} = \ddot{x} + \ddot{y} = \frac{4y^2yy}{aa} + \] \[ + \ddot{y} = \frac{4y^2yy + aa\ddot{y}}{aa}, \text{ ideoq; } \ddot{\zeta} = y \sqrt{\frac{4y^2 + aa}{aa}} \text{ vel, quod idem est, } \ddot{\zeta} = y \sqrt{\frac{y^2 + \frac{1}{4}aa}{\frac{1}{2}a}} : \text{ si ergo } y \sqrt{\frac{y^2 + \frac{1}{4}aa}{\frac{1}{2}a}} \text{ in feriem infinitam transformetur, Curva A B haud difficulter innotescet.} Insuper, statim appareat, dato Hyperbolico spatio curvam hanc dari, & vicissim. Nam \( \frac{1}{2}a\ddot{\zeta} = y \sqrt{\frac{y^2 + \frac{1}{4}aa}{aa}}, \text{ ac pro-} \) \[ \text{inde } \frac{1}{2}a\ddot{x} = (\text{spatio cujus fluxio est } y \sqrt{\frac{y^2 + \frac{1}{4}aa}{aa}}, \text{ sed hujus-} \) \[ \text{modi spatium nihil aliud est quam hyperbola æquilatera ex-} \] \[ \text{terior A B E G, cujus fæmiaxis A B = } \frac{1}{2}a, \text{ abscissa A E = } y, \] \[ \text{ordinatim applicata E G = } x. \] Ad dimetiendam superficiem conversione curvae circa suum Axem descriptam, assumi debet pro ejus fluxione Cylindrica superficies cujus altitudo est ipsa curvae fluxio, cujusque distantia ab Axe est ordinatim applicata huic fluxioni conveniens. Sit Ex. gr. A C circuli areus qui circa Axem A D revolven- \[ \text{do superficiem Sphericam generet, quamque dimetiri statua-} \] \[ \text{mus; D C arcus fluxio jam reperta est } \frac{rx}{\sqrt{2rx - xx}} \text{ hanc si} \] \[ \text{multiplicemus per circumferentiam ad radium B C pertinen-} \] \[ \text{tem, hoc est per } \frac{c}{r} \sqrt{2rx - xx} \text{ (posita ratione circumfe-} \] \[ \text{rentiae ad radium = } \frac{c}{r} \text{ ) habebimus fluxionem superficie} \] \[ \text{Sphericæ = c } \dot{x}; \text{ adeoque superficies ipsa est } c x. \] Ad centra gravitatis quod attinet, repertâ superficie solidive fluxione, hacque ducta in suam à Vertice distantiam, ad quantitatem fluentem recurrentem est: qua divisa per Super- \[ \text{ficieem ipsam Solidumve ipsum, prodibit distantia centri Gra-} \] \[ \text{avitatis à Vertice.} \] Inveniendum Inveniendum fit centrum gravitatis omnium Paraboloidum horum fluxio sic generaliter exprimitur \( x^n \dot{x} \), hanc multiplicà per \( x \), fit \( x^{m+n+1} \dot{x} \); cujus quantitatem fluentem \( \frac{n}{m+2n} x^{m+n+2} \) divide per Paraboloidos area\( m \) puta \( \frac{n}{m+n} x^{m+n+1} \); prodibit \( \frac{m+n}{m+2n} x \), distantia centri gravitatis à Vertice. Centrum gravitatis in portione Sphaeræ eodem modo colligitur, namque illius fluxione \( 4 \frac{d^2 x - x^3 \dot{x}}{n} \) in \( x \) ductâ fit \( 4 \frac{d^2 x - x^3 \dot{x}}{n} \), cujus quantitas fluens \( 4 \frac{\frac{5}{2} d x^2 - \frac{1}{4} x^4}{n} \) per Portionis soliditatem divìla, puta \( 4 \frac{\frac{5}{2} d x^2 - \frac{1}{4} x^4}{n} \) exhibet \( \frac{5}{2} d - \frac{1}{4} x \), seu \( \frac{4}{6} d - \frac{3}{4} x \) distantiam centri gravitatis à Vertice. Non statutum habui omnes difficultates quibus calculus iste obnoxius est hic prosequi, mihi sufficiat ad majora viam aperisse, Tu interim, Vir Clarissime, Vale & me ama.