Clarissimo Viro, D. Guilielmo Pontio, Anglice Bridgeman, Johannes Wallis. S.

Clarissimo Viro, D. Guilielmo Pontio, Anglice Bridgeman, Johannes Wallis. Oxoniæ, Sept. 2. 1692. Accepti, Vir Clarissime, nudius tertius (noctu decubiturus) Literas tuas pridie datas Londini (Augusti 30. sera nocte;) quibus heri non vacabat, alias occupato, respondere: Eisque inclusam Chartulam, typis impressam, cui asscriptus est dies 4 April. 1692. Quam aus Florentia te accepisse mihi mittendam. Cui responsum meum expetis, quod Florentiam te remissurum polliceris. Continet ea Chartula Ænigma Geometricum, quod (verborum involucris exemptum) hoc innuere judico Problemata; Ab Hemisphærii curva superficie, Segmenta quatuor inter se æqualia sic amputare, ut reliquum sit Tetragonismi capax. Simulque videtur innuere, In veteris Graeciae monumentis etiamnum extare quidpiam quo illud fiat. Hoc esse existimo Hippocratis Chii Quadraturam Lunulae. Quippe cum Archimedes demonstravit, Curvam Hemisphærii superficiem æqualem duobus Circulis ejusdem Spæræ maximis, (id est quattor Semicirculis;) Docuitque Hippocrates Chius Lunulam quadrare quandam: Si singulis Hemisphærici hujusc Fornicis quadrantibus, tantundem eximatur, quanto deficit à Semicirculo ea Lunula; Reliquum æquabitur Quadrato, quod Circulo Sphaeræ maximo (qui hic insistit Fornix Hemisphæricus) inscribatur. Sic habes, Vir Clarissime, tum Ænigmatis Enodationem, tum Solutionem Problematis. Si tamen, praeter Ænigmaticam Problematis involutionem, subit aliquid (de Templo) Historicum: putaverim ego, S. Sophiae (quod est Constantinopoli) Templum hic insinuatum. SCOLIUM. Per Hippocrates Chii Quadraturam Lunulae (1° Physicorum Aristotelis, & Simplicii in eum locum Commentariis, indicatam,) Si semicirculo ABD, in duos quadrantes ACD BCD deviso, aptetur AD subtensa quadrantis arcus, radio CE bisecta in H: & centro H scribatur semicirculus ADF: Erit (propter quadratum rectæ AD subduplum quadrati rectæ AB) semicirculus ADF subduplicis semicirculi ABD; adeoque quadranti ACD æqualis. Et (dempto utrinque communi segmento ADE) residua Lunula AEDF residuo Triangulo ADC æqualis. Talesque quatuor Lunulae, talibus quatuor Triangulis; hoc est, Quadrato toti circulo inscripto ADBG. Porro; per Archimedis demonstrata; Æquatur Sphæræ superficies, quatuor Circulis in ea Sphæra Maximis. Adeoque Hemisphærii superficies curva, talibus quatuor Semicirculis: talisque superficiei Hemisphæricæ Quadrans, uni semicirculo. Circulus ADBG esto jam Basis Hemisphæricæ superficie curvæ: cujus polus P, axis CP, plano basis perpendicularis, ejusque quadrans unus DPA; qui plano EPC per axem transeunte bisectetur. Ponantur item (ob commodiorem calculum) Circuli radius R, diameter D=2R, peripheria P, expositus arcus a. Positoque quadrantali arcu DEA = a = RP; est semicirculus ABD = a R = RP: triangulum ADC = R = RD; reliquumque semicirculi (dempto hoc triangulo) RP = RD; cui æquale auferendum est ex DPA (quadrante superficie hemisphæricæ curvæ, æquali semiciculo ABD) quo residuum æquetur exposito triangulo ADC. Quod quum variis modis fieri possit; per ea quæ nos dudum docuimus Anno 1659. (ad calcem Tractatus de Cycloide, tum Editi, pag. 122. inferenda ad § 68.) iterumque Anno 1670 (in Tractatus de Motu capite V, prop. 24.) de Figura Plana, æquali cuivis in superficie Sphærica figuræ, circulis quibusvis (sive maximis, sive minoribus) terminatæ. Sic fiat simplicissime; Cum superficie Sphæricæ segmenta, parallelis planis abscissa, sint Axis segmentis proportionalia (quod de exposita quadrantalis Cunei superficie DPA pariter valet:) Si sumatur, in axe CP, ut semicirculus RP, ad semicirculum dempto triangulo RP = RD; hoc est, ut P ad P = D; sic CP ad CY: (sive, quod tantundem est, ut P ad D, sic CP ad PY:) planum per YZ basi parellelum, abscindet hujus superficiæ curvae portionem polo adjacentem, æqualem triangulo ADC. Quod cum, in reliquis superficiæ curvæ quadrantibus, pariter fiat: æquabitur totum Abscissum (Polo adjacens) toti quadrato basi inscripto: Et sic tensum ut opportuit. Quod erat faciendum. Vel sic brevius. Est Hemisphærii superficies curva (utpote duobus circulis maximis æqualis) = RP. Quadratum circulo maximo inscriptum, = RR = RD. Illudque ad hoc, ut P ad D. Adeoque (propter segmenta superficiæ parallelis planis abscissa, segmentis axis proportionalia) sumptis CP ad PY ut P ad D, erit tum tota superficies = RP, tum portio ad Polum, plano ZY Fig. 2. abscissa, \(=RD\) quadrato basi inscripto. Quod erat faciendum. Si dicatur; Processium hic esse ex praesumti Circuli Quadratura, aut ratione quam habet circuli Perimeter ad Diametrum: Id omnino verum est. Sed non est objiciendum. Quia non postulat Ænigma propositum, ut Hemisphæricæ superficiei portiones Abscissæ, (quas Fenestræ vocat) sed ut portio Superstes, sit Tetragonifimi capax. Et quidem si utrumque postularet, postularet Circuli quadraturam absolute Geometricam: quod haberi non posse satis constat. Opificium quod spectat; super basem planam, extra basem Hemisphærii positam, sed ipsi contiguam; cujus duo latera in angulum coeant ad A, intra protractas DA GA rectas, (quo Fenestrarum quas vocat utrinque adjacentium liber prospectus pateat, non impeditus,) extruatur. Moles satis firma; ita quidam ut, assurgente structura, promineat ejus Acies, angulo suffulta, circuli arcum efficiens qualis est DZ, ad altitudinem Y assurgens. Et similiter ad reliquos angulos DBG. Atque his demum structuris (quasi totidem Columnis) ad eam altitudinem provectis, imponatur Testudo, sic intus excavata ut poscit Hemisphærica superficies. Adeoque totum opus imperatum obsolvitur. ALITER. Idem fiet si, pro Quadrato basi inscripto, exponatur Quadratum quodvis QQ, (quod minus sit quam Hemisphærica superficies curva.) Quippe si sumatur, ut RP (hemisphærica superficies curva) ad QQ (expositum Quadratum,) sic CP (axis hemisphærii) ad PT (axis portionem polo adjacentem;) planum ZY (basi parallelum) abscindet portionem superficiæ sphæricæ Tetragonifimi capacem: Utpote æqualem exposito quadrato QQ. ALITER ALITER. Idem sic aliter absolvi potest; sed majore solicitudine. Cum sit (ut jam ostensum est) Hemisphaericae superficiei curvae Quadrans DPA, æqualis Semicirculo ABD; ejusque segmenta planis basi parallelis abscissa, segmentis Axis proportionalia: Sumatur in DP quadrantali arcu, arcus PQ graduum 60; (quod mihi Caswellus suggerit.) Fig. 2. Polo P detcriptus Circulus QTS bifecabit Axem (propor- ter sinum versum grad. 60. = R:) adeoque quadrantem hemisphaericae superficiei curvae DPA dirimet in duo segmenta inter se æqualia. Quorum alterum, DQTS quadrilinium, æquat quadrantem circularem BCD; reliquumque Trilineum PQTS æquat quadrantem ACD. Unde si porro auferatur QRST bilineum; æquale segmento circuli ADE: reliquum trilineum PQRS, æquabat ADC triangulum. Taliaque quatuor, in quatuor Quadrantibus Hemisphaerii, æquabunt Quadratum basi inscriptum. Habebitur autem illud Bilineum per ea quæ nos dudum docuimus locis modo ci- tatis. Idem universalius sic fit. Sumpto Q ubivis in arcu DZ (ne major sit DQ quam DZ;) Et, Quanto deficit quadrilineum DQTSQA à toto auferendo, tantundem suppleat Bilineum QRST: Reliquum æquabit ADC triangulum. Et quidem, si sumatur Q in D (quo evanescat Quad- rilineum) sumendum erit Bilineum æquale toti auferen- do. Sin sumatur Q in Z (ut Bilineo non fit opus) æ- quabitur Quadrilineum toti auferendo. Eademque omnia (de Quadrilineo & Bilineo quæ si- mul compleant totum auferendum) pariter accommoda- danda erunt (mutatis mutandis) si, pro Quadrato basi inscripto, inscripto, substituatur Q. Q quadratum quodvis; quod tota superficie curva hemisphaerica non sit majus. Sed quum processus hic (de bilineo sumendo) sit paulo operosior; sufficit simpliciorem praxin adhibuisse. MONITUM. Postquam haec scripta fuerant, erantque sub prelo, recivi tandem huic idem Problemati responsum dedisse Cl. Virum D. Leibnitz, illudq; in Actis Lipsicis comparere pro Mense Junio 1692. Quod fecit ut prelum suflaminandum curaverim per aliquot septimanas donec illud conspicerem; quod ægre tandem obtinui (nam apud Bibliopolas nostros liber non estabat) exeunte Decembri nostro. Videoque Cl. Virum juxta mecum sentire, non esse Problema Determinatum, sed mille modis (nendum infinitis) solubile. Methodum ejus non repeto. Quam ibi quaerat Lector, ut utramque si libet conferat. Citat ille suam Geometriam Incomparabilium, & Analysis Infinitorum, in Actis Eruditorum exstantes; sed quas ego nondum vidi (nam eorum libri fero ad nos perveniunt) nec tamen inde minus æstimo; sed tanto Viro dignas praesumo. Et quidem, si temporis vidissem, potuissem cum Newtoni & Gregorii methodis (his forte non assimiles) nostris inferuisse. Sed, cum alibi existent, id minus erit opus. Est ejus Solutio Problematis (satis ingeniosa) ex comparatis superficiebus Sphaerica & Cylindrica, atque Ungularum Doctrina (quas & nos alibi tractavimus) petita; & secundum Indivisibilium methodum demonstrata; (aliis interim adhibitis lineis quam Circularibus;) eodem die praestita (ut in re non admodum difficili) quo acceperit Problema. Nec in Problemate requiri existimat (uti nec ego) ut partes Abscissæ sed saltem ut pars Residua sit Quadrabilis. IV. The