Epistola Doct. Johannis Wallisii, Primam Inventionem & Demonstrationem Aequalitatis Lineae Curvae Paraboloidis cum Recta, Anno 1657. Factam, Dn. Guilielmo Neile p. m. Afferens; Proximeque Dn. Christophoro Wren Equiti, Inventionem Lineae Rectae Aequalis Cycloidi Ejufque Partibus, Anno 1658

Iisdem igitur datis, jungatur * A1, & producatur in S, donec AS fiat aequalis AH, junctaque HS, & bisecta IS in M, ducatur per M recta RM, normalis ad HS, in quam cadat ex A normalis AQ, & cui parallelus ducatur radius AC. Tum factis tribus proportionalibus IA, AC, AE, fiat ut SA ad AE, ita MQ ad AD, & RS ad AP (in recta AQ versus L;) & in eadem ab alia parte summatur DO aequalis DC. Demum, bisecta PD in X, inclinetur per X, angulo semi-recto ad AX, recta VX, occurrens normalis in Dereste in puncto V, & in quam ex O cadat normalis OB Ajo, si fiat ut VX ad XB, ita XB ad BL, punctum L esse verticem, LV axem, XV latus rectum Parabola, qua Problematis satisfacit omnibus; secans minime Circulum datum in punctis K, quorum supremum & infimum ad Problema Alhazenianum pertinent, reliqua ad aliud, de quo nuper ad te scripsi. Datur, ne supra indicavi, alia quoque Parabola, que cum hac paria facit, & cujus descriptio ex hac adeo facile deducitur, ut novi non sit opus. Sumatur enim AS, in directum DA, & ipsa aequalis, & in directum OA, ipsa quoque aequalis, AO. Tum bisecta PS in ξ, ducatur per ξ recta ξβ, normalis ad XB, concurrens cum δε, normali ad OA, in ζ, & in quam cadat normalis ζβ; ac fiat ut ξζ ad ξβ, ita hoc ai βα: Erit ξ vertex, ξ axis, ξΕ latus rectum Parabole, que in iisdem cum priore punctis Circulum datum secabit. Sed de Problemate Alhazeni jam plus quam satis. Vale, & quo soles affectu, tui semper observantissimum porrò prosequi perge. Dab. Leodii prid. Kal. Septemb. ClolCLXXII. Epistola Doct. Johannis Wallisii, PRIMAM Inventionem & Demonstrationem Aequalitatis lineæ Curvae Paraboloidis cum Recta, anno 1657. factam, Dn. Gulielmo Neile p.m. aferens; proximeque Dn. Christophoro Wren Equiti, Inventionem lineæ Rectæ aequalis Cycloidi ejusque partibus, anno 1658. Clarissimo Viro, Henrico Oldenburg; Johannes Wallis S. Octob. 4. 1673. Oxoniæ. Clarissime Vir, Quod ad Rectificationem istius Curve spectat, quam ego Paraboloidem Semi-cubicalem appellare solem omnino errat Cl Hugenius (pag.71, Horologii Oscillatorii) cum ejus inventionem primam tribuit Johanni Heuratio Harlemensi, Anno 1659. Quippe certum est, eandem Biennio prius invenisse & demonstrasse Gulielmum Nellum Anglum, Equitis Pauli filium: Et, post illum, id ipsum demonstrasse (ne plures nominem) Honoratissimum D. Vice-comitem Brounckerum, & Cl. Wrennium, Anglos; circiter mensis junii, juliiique, Anni 1657. atque rem jam tum apud nostrum notissimum fuisse; ursus inter eos (Geometras aliquosque,) qui (Societatis Regiae appellationem nondum adepi, tum solebant in Greshamensi collegio (post habita ibidem praelectiones Mathematicae) statim diebus convenire, publicationem cum planis acceptam. Idque mihi literis suis, Augusto magno tum sequente, a me Oxonium datis, indicavit Honoratissimus D. Vice-comites Brouncker, juamque quamque simul demonstrationem tunc misit; ipsissimam illam, quam, Latine redditam, (ne verbulo, quod (iam, mutato) meamque simul (qua paulo servies secuta erat,) in mea ad Cl. Hugenum epistolâ, tractatus de Cycloide subjunctâ, post edidi Anno 1659, pag. 93. totamque simul rei geste Historiam candide & sincerè inserui. Ut mirum sit, Cl. Hugenum prioritatem temporis Heuratio jam tribuere, si ad ilia satiris attenderit que tum scripti; Idq; hoc solo pratextu, quòd non apud exteras gentes (nam apud nostros res percrebuit) statim exclamaverit éupnea. Interea temporis, Cl. Wrennium nostrum, Anno 1658, Cycloidis Curva (ejusque partibus) aqualem invenisse Rectam, res erat jam tum nota, non in Angliâ tantum sed & in Galiciâ Belgique; ipsique speciatim D. Hugenio (ut ex suis ad me literis constat) ignorato adhuc Heuratii invento; cumque omnium primum id invenisse, in confesso est. Atqui ne ipse quidem Wrennius pretendit se primum omnium invenisse Rectam Curva aqualem: Noverat utique, nec dissimulat, id invenisse Nelium anno praecedente. (Nec quidem ignorare poterat; nam, hac occasione, ipse, inter alios, tum statim, post Nelium, id ipsum demonstraverat:) Hanc tantum sibi prerogativam faciens; quòd ipse Curvam Oblatam Rectificaverit; Nelius autem Curvam potius quaesivit Rectificationis capacem, (de Paraboloidum quidem familia, sed quam nemo, quod sciam, Nelio prior speciatim consideraverat.) Wrennii verba hæc sunt, (ad calcem (ua de Cycloide demonstrationis, quam ab ipso acceptam subjunxi meo de Cycloide Tractatu, pag. 80. seu rectius 73. nam paginarum ibidem numerus perperam notatur;) Quod de nulla Curva haecens nota (ne quidem assumptâ Circuli quadratura) prius demonstratum fuit quam ego hæc de Cycloide primariâ amicis communicaveram; nisi quòd Illustris Juvenis Gulielmus Nelius, curvam quandoam ita construendam, ut sit Euthymii capax, summa cum laude invenerat. Que certè Wrennii non dicitur esse, si Euthysmus ille Nelii non fuisset suo prior: quo tamen posteriori effe Heuratianum in confesso est. Eandem autem Nelii curvam esse atque Heuratii, non ambigitur. Eam vero Paraboloidem esse, non magis dixit Heuratius in demonstratione si: a, quàm in suâ; Nelius sed neque ex earum numero esse quarum puncta quælibet Geometricè definiuntur, quod in Neliana desiderat Hugenus; (ut neque hic Heuratii partes sint quam Nelii posteriores:) quanquam ex utriusvis demonstratione id facile elicetur, (ut nec hic nec ille propter eam censendus sit id ignorasse,) ut & ex illa Honoratissimi Brounckeri: (ut de mea nihil dicam; qua nominatim dicitur, & demonstratur esse, Paraboloides Semicubicalis:) Et quidem res erat tam manifesta, ut nemo nostrum (quod sciam) de illo quicquam dubitaverit. Et quidem demonstratio Nelii, prout eam ille primo publicavit, prolixior fuit & fusius explicata; sed Wrennii consilio, in breviorem formam statim contracta, (quam, mibi petenti missam, edidi,) rescissis omnibus que non erant ad Enthysmi demonstrationem praecè necessaria; (ut non mirum sit, ibidem non omnia comparere, que alias de natura curvae dici potuissent, utpote ad praesens negotium non spectantia.) Quod postquam à Wrennio reciveram, cu- piebam quidem, ut & fusiori illam formulam consiperem; sed, cum, ut à Nelio mihi mitteretur, literis petebam, pro responso nuncium accepi, obiisse Nelium; unde factum est, ut illam non viderim. Sed perinde est: nam & eodem sensu, (vim demonstrationis quod spectat,) & eodem quasi tempore comparuit utraque; necno an pancorum dierum inter- valo; certe non tanto, ut aliquius sit momenti, Heuratium quod spectat. Et quidem, contraeetior illa formula, omnia habet ad demonstrationem necessaria; ipso quidem Hugenio profitebatur (literis suis ad me datis 15 Julii 1660) his verbis: Fermati libellum novum simul ad me misit Carcavius, de Cur- varum linearum cum rectis comparatione; in quo praecipue agitur de Paraboloidi illa, quam jam ante apud nos Heuratius, apud vos Gu. Nelius recte lineae adequaret. Post quod non speraveram, ab Hugenio dictum iri (quod jam video) non multum quidem ab invento illo Nelium abfuisse, neque tamen id planè asscutum esse. Atque ego Geometrarum omnium (qui vel D. Brounkeri, vel Nelii demonstrationem à me editam con- spexerint) fidem testor, Annon fuerit rem demonstrans susceptam plane af- fectatus. Sed & Honoratisimum D. Brounkerum testor, annon sua fuerit, urque ejusdem temporis, quam suae nomine Demonstrationem ediderem: Et Cl. Wrennium, (qui & ipse Nelio superstes est,) annon prolixior Nelii demon- strationis, fuerit (ejus consilio) in eam formam redacta, atque tum temporis, quam ego edidi. Anidebam porro, sub idem tempus, idem ab aliis Londini fuisse demon- stratum: Sed postquam demonstrationem unam atque alteram vidissim, fue- ritque (nemine reclamante) pro demonstrato habitum, non eram solicitus plures conquirendi. Atque cùm Cl. Schotenius librum ab ipso tum nuper editum (qui Heuratianum hoc inventionem subjunctit) mihi (pro humanitate sua) dono misisset, memini, me proximis ad eum literis significasse, Inventum hoc Heuratii id ipsum esse, quod ante duos annos invenerat Nelius; quodque ex eo tempore apud nostras pervulgatum fuit, & à variis demonstratum: quod ipsa (si extant) testabantur litera Novemb. 26. 1659, data. Idemque in suis, eodem ipso die ad me scriptis, habet Honoratisimum D. Brounkerus, his verbis, And indeed Heuraets invention is perfectly equipollent to Mr. Neil's, and for ought I know, he might have it from thence. Et quidem abunde testimonia esse posset (dum temporum momenta erant in recenti memoria,) si alla foret suspicio, post tot tandem annos, litem de hoc negotio mo- tum iri. Et quidem quod ad reliquas istius Curvae proprietates spectat, ejusque genui- nam naturam, (quas Heuratius non magis quam Nelius tradidit, sed di- sertis verbis declinat;) saltem Fermatius (ut ut Vir magnus) non modo non tradidisse sed neque tum perspectisse cenendus erit. Quippe ille (quod certe non foret facturus, si satis intellectisset curva illius naturam,) varia se invenisse Curvarum genera gloriarunt; qua non sunt nisi eadem ipssima Paraboloides, simplicis tantum pro vertice punctis ejusdem curvae alis atque aliis. Quod in meis ad D. Kenelmum Digby literis Parisios datis 24 Aug. 1660 (biduo postquam libellum illum, à D. Digbæo ad me missum, primum inspexeram,) demonstravi: Idemque in meis ad D. Hugenium, ejusdem mensis die 31 datis, indicavi. Sed metuo ne nimius videar in re perspicua. Nolim Nolim autem ut hac malo animo dicta putes, sive in Heuratium (qui mihi neque beneficio neque injuria notus est,) sive in Cl. Hugenium, quem magni semper habui, atque habiturus sum, & amicissime semper tractavi; ejusq; atq; inventorum suorum non iniquis fuerim estimator; nedom in Fermatium, summum virum: sed ut nuda veritate testimoniae perhiberem, Nelioque jam de mortuo; siique ex nostris omnibus, qui, jamdudum ante Heuratium, id ipsim demonstraverant; atque, ne male fidei habebar, in ea quam hac de re narrationem prius edidi. Vale. Two other Letters to the same purpose with the former: The first of the Right Honourable the Lord Vis-count Brouncker, Chancellor to her Majesty, and President of the R.Society, &c. SIR, It is very sure, that Mr. William Neil had in the year 1657 found out and demonstrated a Streight line equal to a Paraboloid; and did then communicate and publish the same (though not in print) to myself and others, who used to meet at Gresham College, and it was there received with good approbation; and the same was, presently afterwards, otherwise demonstrated by myself and others: And therefore ancienier than that of Monsieur Heurat, which (as it seems,) is not pretended to have been done before the year 1659; and ancienier too than that of Sr. Ch.Wren, finding a Streight line equal to a Cycloid in the year 1658; and by him admitted so to be. Nor ought it at all to prejudice Mr. Neil, that M. Heuraet's was somewhat sooner abroad in print, than that of M. Neil, (though both in the same year 1659;) since it is well known to many of us, that Mr. Neil's was done before. Otherwise M. Hugens, by the same reason, will grant the precedence to Heuraet, of that which he now claims to be his own invention (that Rectifying the Parabolical Line and Squaring the Hyperbolical Space do mutually depend on each other:) for this was published in print by M. Heuraet (or M. Schooten for him) in the year 1659, and not by M. Hugens till now, 1673: "And yet M. Hugens thinks, he may well claim that invention to be his own, because he now tells us, that he found it out about the end of the year 1657, and did (some time after) communicate it privately to some friends. And whereas, he doth suppose, that this invention of his might give occasion to that other of Heuraet; we may also as well suppose, that he might have taken such occasion from hearing of Mr. Neil having done the like, (for this had been then commonly known for a great while:) Or might have taken occasion (as well as Mr. Neil) from that of Dr. Wallis Schol. prop.38. Arith. Infinit. or from that of Sr. Ch.Wren having found a Streight equal to another Curve the year before: Or, if it were necessary to know their symbolization between the Parabolical Line and the Hyperbolical Space; he might have had it earlier from Dr. Wallis. For, when he had demonstrated (Schol. prop.38. Ar.Infinit.) that the Particles which compose the