Continuatio Excerptorum ex Epistolis Slusianis & Hugenianis, Super Alhazeni Problemate Optico, in Aitis is Philosophicis Proxime Pragressis Commemorato

Transact. N° 98 Whilst the Sea runneth from West to East in Flowing, through this Westra Frith, there are no greater Surges, than in any other place of the Sea; and in a calm day, it is as smooth as any Lake, though there is constantly a great current, in the flux and reflux of the Sea. Yet at the South-East end of the aforementioned little Island, the Sea so sooner begins to run westward in Ebbing, but there beginneth a surge to appear, which continually increaseth, until the Ebb be half spent, and afterwards it decreaseth, until it be low water; at which time there appeareth no such thing. East and west from this great Surge, there are some few lesser surges seen, which are gradually less, towards the east and west, after this manner. I having occasion to pass that way, in a little boat, when we had passed over the Eastmost surges, and were beginning to ascend the biggest, upon the tenth of April, at one of the clock in the afternoon, the surge before us was so high, that it intercepted the sight of the Sun, and some deg. of the firmament above it. This surge is about a quarter of a mile in length. When there is any wind, which occasioneth the breaking of the tops of the Surges, there is no passing that way. The current of the Tyde is so strong there, that there is no need of Sails or of Oars, save only to direct the boat, as doth the helm. Continuatio Excerptorum ex Epistolis Slutianis & Hugenianis, super Albazeni Problemate Optico, in Artis Philosophicis proximè progressis commemorato. Dn. Hugenum ad novissimum Dn. Slufii, p.6123. & seqq. Num. 97. Editum, rescriptit Editori, Lutetiae Parisiorum Apr. 9. 1672. in hanc sententiam; Est quod Tibi gratias agam, quòd non fuisti gravatus Dn. Slufii super problema Albaziano analysin mihi transmittere. Est illa doctissima & Authore suo dignissima; fuitque in causa, dum eam bisce disibus examinarem, ut noscir circa problema illua meditationibus me tradarem, eo spectantibus, ut constructionem quam possim compendiosissimam maximeque genuinam obtinerem; quam tandem me consecutum esse reor. Eam hic adscribam, postquam Tibi compensationem illud tradidero, quod codem tempore inveni circ. primam, ab initio tibi communicatione. Id autem tale est*: Dati linea AT, parallela CB, eaque bisecta in I, punctum hoc est illud, per quod transire debet una hyperbolarum oppositarum, quarum asymptoti inventae fuerunt YM, MN. Sed en Tibi bonam illam constructionem, que in omnibus casibus obi- vet†. Sit Circulus datum ED, cujus centrum est A; puncta da- ta, B & C. Ductis lineis AB, AC, sint proportionales BA (radius circuli) & FA: Eodem modo CA, (radius circuli) & GA. Tum jungatur FG, eaque biseetur in H. E per hoc punctum ducatur linea LHK, MHN, se invicem intersectantes ad angulos rectos, quarumque LHK sit parallela ei, que bisecat angulum BAC. His sunt dua Asymptori Hyperbolarum describendarum per puncta F & G, & quarum una transibit etiam per centrum A, quarum intersectiones cum circuli peripheria notabunt puncta Reflexionis quaestae. Hucusque Dn. Hugenius, Quae Dn. Slusius ad hæc reposuit trinis epistolis, sic se habent; 1. Quae ad Alhazeni problema meditatus fui haec tenus, radia licet & impolita, qui juris sunt. De his igitur dispone prout lubet. Simplicissima est & maxime ingeniosa Nobilissimi Hugenii constructione. Vedit quippe Vir acutissimus, qua ratione ad omnes casus extendi posse Hyperbola aequalium latorum, quam in casu anguli recti se statim offerre precedentibus meis insinuaveram. Posset quoque ex infinitis Ellipsisbus, que adhiberi possint, una felici non difficilis constructionis: sed piget tamen in eodem Problemate herere. Supereft tamen aliquid, quod contemplationem habet non injucundam; nam cum sektiones, qua cum circulo dato ad Problematis solutionem adhibentur, illam in quatuor punctis facient, quorum duo tantum reflectioni serviant, quæ posse, quodnam Problema solvant duo reliqua, & quænam verborum formæ concepienda sit Propositio, ut quatuor illos casus complectatur. Deinde, anno etiam idem quatuor casus occurrent cum puncta data aequaliter distant à centro? Vale. Dabam Leodiæ VIII Junii CIOCLXXII. 2. Clar. Hugenius non alià utitur analytis quam meà, que Parabolam uno tantum caso admittit. Quod ut evidentius tibi constet, equationem quam construxit hic adscribam. Repete memoria, si placet, qua secundis curis ad te scripsi, & invenies me duas equationes, problemati per Hyperbolam circa asymptotos solvendo idoneas, assignasse, has minime: \[ zbaa - zznae - qqba + qqne = bzqq - zzqe, \] Et bzqq - zznae - qqba + qqne = zzbec - zzqe; ac (subjectisse, levi mutatione (substituendo, ex gr. pro qq, ejus valorem aa + ee) inveniri posse infinitas Hyperbolas & Ellipses, que cum circulo dato Problematis solverent. Nunc in priore ex his equationibus pro bzqq ponatur ejus valor, sicut \[ zbaa - zznae - qqba + qqne = bzee - zzqe, \] Sive \( aa \cdot \frac{zz}{3} = ee \cdot \frac{zz}{3} + \frac{zz}{6} - \frac{zz}{2}. \) Atque hac est equatio, quam magno ingenii acumine, ac pari facilitate construxit vir doctissimus. Quod ut tibi pluribus probem opus non est, quando labor non multo rem ad calculos revocando id agnoscere poteris. Vale. Dab. Leodiæ X Junii CIOCLXXII. 3. Problematis Alhazeni memoriam dudum objeceram, Vir Cl., sed literis tuis admonitus temperare mibi non potui, quin faciliorem ejusdem constructionem quaererem. Incidit autem nuper in sequentem, quæ breviorum cum dati posse vix credam, committere nolui, quin eam judicio ac censure tuae siomitterem. Sint igitur puncta data E B*, circulus cujus centrum A; junctis EA, BA, secantibus circulum in F & C; sint tres proportionales EA, FA, VA, & tres iterum BA, CA, XA: tum juncta VX, ac producta utcumque, (vertice X, latere transverso VX, ac recto ipsi aequali,) describatur Hyperbola XP, cujus applicata ad diametrum VXG, parallele sint reïste AB: illa enim satisficit propuesto in casu speculi convexi, ut ejus opposita in casu concavi. Si asymptotos desideres, facile reperiri possunt, productâ VX, donec cum EB, pariter productâ, concurrat in L; deinde bis sellâ VX in I, ac sumtâ LD aequali LI; juncta enim DI erit asymptota una, in quam alia normaliter incidit ad punctum I. Sed fortasse ingratum tibi non erit intelligere, quâ viâ ad hanc construc- tionem pervenerim. Scias itaque, me ex priori mea Analyse de- * V.Fig.IV. duxisse hoc modo.* Datis isdem qua prius, cadat in EB norma- lis AO, fitque punctum quae situm P, ex quo in AO cadat norma- lis PR. Si AO sit b, EO, z, OB, d, AP, q, PR, e, AR, a; facile colligitur hæc equatio \[2zdae + 2bbae + ee = aa - \frac{1}{2} qq - \frac{1}{2} qq - \frac{1}{2} qq\] \[zb - bd\] Hujus ultime constructionem olim ad te misi; alterius verò, Cl. Hugenius. Primam autem, licet se statim in spectaculum dedisset; ferme neglexeram, quod difficilioris constructionis esse praesumerem. Sed me vano timore delusum ag- novi, cum in hac, quam ad te mitto, constructionem desinere nuper sum ex- pertus. Sit enim, brevioris calculi causâ, z - d = K, zd + bb = bm; fiet. \[ee - 2qqe + 2mae = aa - \frac{1}{2} qq\] Et additis urinq; \(q^4 + mmaa - 2qqma\), erit \[ee - 2qqe + mae + q^4 + mmaa - 2qqma, hoc est, quadratum ex e - \frac{1}{2} qq + ma\] \[k k\] \[equale aa - \frac{1}{2} qq + q^4 + mmaa - 2qqma.\] Fiet igitur ἀναλογίας \(k k\) \[kk + mm | aa - kkqq + 2qqma + q^4\] \[bkk + bmm\] \[k k + mm\] \[& quadratum e - \frac{1}{2} qq + ma\] \[k k\] qui ad equationem faciliorem reduci potest, si, positio kk + mm = pp, fiat \[ky = a;\] fit enim tandem, quadratum ex e - \(\frac{1}{2} qq + my = yy - \frac{1}{2} qqky - 2qqmy\) \[p p\] \[+ q^4;\] quam equationem superiori constructioni respondere animadvertes, si calculos applicueris; ac simul observabitis, ad quancunque linearum EA, AB, BE, referatur Analyseos summa, easdem semper haberi posse sectiones, quam- vis longiore circuitu & equationibus valde diversis. Ex hac constructione, nef ἀναλογίαν deducere licet alterius Problematis effectionem, cum scil. quaeritur punctum, à quo radius reflexus * Vid.Fig.V. parallelus sit cui liber linea datæ; ut, si dato puncto luminoso * B, circulo ex centro A, quaeretur radius reflexus parallelus recte velte AE. Idem enim est, ac si, in alio Problemate, distantia punctorum A & E supponeretur infinita; quo casu tertia proportionalis ipsarum EA, FA, abiret in nihilum, & puncta A & V coinciderent: Itaque VX esset aequalis AX, & AE parallela PE. Applica igitur superiorum constructionem, & Problema absolves. Descripta sefi (vertice X, lateve transverso VX, vel AX, & retto ipsi aequali,) Hyperbolà XP, cujus applicata ad diametrum AX, parallela sint recta AE. Alia tertiae. Vereor enim, ne ut olim silentium meum, ita nunc obviam ac scribendi intemperiem incuses. Vale itaque, meq; tui observantissimum amare perge. Dab. Leodii XXII Junii CLXXXII. Sic se habent epistolae Slusiana, quibus subjicienda nunc, quae eas proximè secuta est, Hugenii, data 1. Julii, 1672. Parisis, in hunc fensum; Volupte mihi erat cognoscere, qua mihi nuper ex literis Dn. Slusi communicare voluisti, ipsius nempe Approbationem, nec non doctissimas notas de Problematis Alhaziani constructione. Ecce tibi calculum meum ultimum, à calculo insignis illius Geometra differentem, quique nativà indole ducit ad Constructionem illam bonam, quam ante hac ad te misi. Verum est, quin imò mirandum, eam quoque inveniri per calculum quem ipse de ea instituit + post mutationem qq in aa + ee ; at hoc videtur fieri casu, nec ibi apparet Constructionis simplicitas nisi postquam eam peragere satgimus. Problema Alhazeni. Dato Circulo, cujus centrum A, radius AD, & punctis duobus B, C; invenire punctum H in circumferentia circuli dati, unde ductae HB, HC, faciant ad circumferentiam angulos æquales †. Ponatur inventum, ductaque AM recta, qua bifariam socet angulum BAC, ducatur ei perpendicularis HF, itemque BM, CL, jungatur porrò AH, cui perpend. fit HE, rectisque BH, HC, occurrat AM in punctis K, G. Sit jam AM = a Quia ergo aequales anguli KHE & CHZ, sive EHG; MB = b estque EHA angulus rectus, erit ut KE ad EG, ita KA AL = c ad AG. Quia vero BM ad MD, ut HF ad FK, LC = n erit, Radius AD = d ut BM + HF ad HF, ita MF ad FK AF = x b + y —— y —— a - x | ay - xv FH = y b + y add FA x Rursus, quia CL ad LG, ut HF ad FG, erit permutando & dividendo CL - HF ad HF, ut LF ad FG, n - y —— y —— c - x —— cy - xy, quâ ablata ab AF = x. fit GA = nx - cy n - y. Est autem EA = dd x, quia proportionales FA, AH, AH, AE. Ergo \( EA - GA \), hoc est, \( EG = \frac{dd}{x} - \frac{nx + cy}{n - y} \). Et \( KA \) EA, hoc est, \( KE = \frac{ay + bx - dd}{b + y} \). Sed diximus, quod \( KE \) ad \( EG \), ut \( KA \) ad \( AG \) Ergo \( ay + bx - dd \) \( \frac{dd - nx + cy}{x} \) \( \frac{ay + bx}{b + y} \) \( \frac{nx - cy}{n - y} \). Unde invenitur \( 2anxy + 2bnx^3 - dbbnx - ddnxy = naddy + nbddx - 2acxyy - 2bcxy + dbcy + dccyy = addyy - bddxy \). Et quia \( n = \frac{bc}{a} \) fit \( \frac{2bbc}{a} x^3 - \frac{bbddcx}{a} - \frac{2bbcyyx}{a} \), quia \( xx = dd - yy \) Est autem \( \frac{2bbc}{a} x^3 = \frac{2bbcdx}{a} - \frac{2bbcyyx}{a} \), quia \( xx = dd - yy \) Ergo \( \frac{-2bbcxyy - dbbcxy}{a} - 2acxyy + dccyy = addyy - bddxy \). Et divisis omnibus per \( y \) et duilibs in \( a \), \(-2bbcxy - dbbcx - 2aacxy + dccay = - aaddy - bddax \) \(abbdx - cbddx + acddy + aaddy = 2aacxy + 2bbcxy \) \(abbdx - cbddx + acddy + aaddy = xy \), qua equatio est \(2aac + 2bbc \) (ad hyperbolam. Vel quia \( bc = na \), \( abdd - anddx + acddy + aaddy = xy \). Sit \( \frac{add}{aa + bb} = p \); Ergo \( pbx - pnx + pcy + pay = xy \). * V. Fig. 7. Unde porrò non difficulter invenitur sequens Constructio *: Jungantur \( BA, AC \), & applicato seorsim ad utramque quadrato radii \( AD \), stant inde \( AP, AQ \), & juncta \( P, Q \), dividatur ipsa bifariam in \( R \), & per punctum \( R \) ducantur \( RD, RN \), seje ad rectos angulos secantes, quorumque \( RD \) sit parallela \( AD \), qua dividit bifariam angulium \( BAC \). Erunt jam \( RD, RN \) asymptoti oppositarum Hyperbolarum, quarum altera per centrum \( A \) transire debet, queque secabunt Circumferentiam in punctis \( H \) questis. Transibunt autem Hyperbola per puncta \( P, G \). Ratio Constructionis apparet, ductis \( PY \) & \( QZ \) perpendicularibus in \( AM \): Fit enim \( Ay = \frac{add}{aa + bb} \) sive \( P \); & \( A \zeta = \frac{ap}{c} \). Item \( PY = \frac{pc}{c} \) & \( QZ = \frac{pb}{c} \). Quare \( AO = \frac{pc + pa}{2c} \), & \( OR = \frac{pb - pn}{c} \) Unde catena familia. Haecenus Da. Hugenius. Quibus Da. Slusius hæc rescripsit. Mirari desine, Vir Clarissime, eadem in Alhazeniano Problemate Constructionem ex diversis Aequationibus deduci, quandoquidem illa omnes, quibus habentus est sumus, in una eademque generali Analysis contineantur. Quod ut ostendam, datum sit circulus *, cujus * V.Fig.VIII. centrum A, puncta H & I; siquies punctum quaestum K, ad quod ex punctis I & H ducatur recta HK, IK, & Turgens KD. Tum ex A ducatur quelibet AG, occurrens HK in E, IK in B, Turgenti KD in D (si nim, productis, quis produci est opus.) His positis evidens est, ob angulos EKD, DKB, aequalis, & angulum AKD rectum, tres AE, BE, DE fore semper harmonice proportionales. Itaque duxit ad AE normalibus KC, IF, HG, ac denominatis partibus, AK.q habeatur methodo, quam in secunda hujus Problematis analysi elim AC.a aahibui, hec generalis Aequatio, CK.e ndaa bzia nqqa+bgqa=ndee-zheet2bnaeet2zdae-dqqcz zqqe HG.b AG.d Finge nunc, AG esse perpendiculararem ad HI, nihil varietatis erit in FA.z equatione, nisi quod AF & AG, hoc est, d & z, erunt aequales. FI.n Posto itaque d pro z, fit ndaa - bdaa - nqqa + bgqa = ndee - dbec + 2bnae + 2ddae - 2dqqe. Sive applicatis omnibus ad nd - db \[ \frac{aa - qqa}{d} = \frac{ee + 2bnae + 2ddae - 2dqqe}{nd - bd} \] Eadem nomine, quam ex prima mea Analyti, licet alia via, deduxeram, & quam neper, modo facili construam, ade te mis. Pone deinde, AG coincidere cum AH; abitigitur HG sive b in nihilum. Expedit itaque ubi equatione paribus, in quibus b reperitur, remanebit, ndaa - nqqa = ndee + 2zdae - dqqe - qqzz. Hanc autem, si meminiisti, curis secundis invensi, & alien huic similem, in casu quo resta AG transire intelligere per I. Supponamus demum, restam AG secare bifariam angulum HAI; erit ob similicitudinem triangulorum HAG, IAF, ut HG ad GA, ita IF ad FD, sive ut b ad d, tan. ad z, & nd = bq. Ablatis igitur aequalibus, fit, bqq - nqqa = 2bnae + 2ziae - dqqe - qqzz: illipso, quam, ut ex literis suis super intellecti, Cl.Hugenius construit. Intelligatur tumdem eadem resta H & secare bifariam rectam HI; erunt igitur aequales HG, IG, hoc est, b = n; siquies, ablatis aequalibus, b1a1 - b2a2 = bdee - bzeet + 2bnae + 2ziae - dqqe - qqzz; quam, licet non admodum difficilis, nemmo nostrum habentus construxit. Ha autem, ut & ipsa Generalis aquatio, in duas alias dividii possint, posse, ut nos, pro aav vel ee, ejus valore qq-ee vel qq-aa. Vides igitur, quicquid habentus praestitum est, in eandem Analyti resolvi; que & infinitas alias Constructiones per Circulum datum & Parabolam complectatur. Sed eas investigare non est tanti, cum in hoc Problemate, et enim fortassis inopia, sic nunc copia laborerem. Addam tumdem Constructionem per Parabolam, idque via duplici, quo licet aliis per Hyperbolam inter reliquis sectiones communicatur, operam compensat. Iisdem igitur datis, jungatur * A1, & producatur in S, donec AS fiat aequalis AH, junctaque HS, & bisecta IS in M, ducatur per M recta RM, normalis ad HS, in quam cadat ex A normalis AQ, & cui parallelus ducatur radius AC. Tum factis tribus proportionalibus IA, AC, AE, fiat ut SA ad AE, ita MQ ad AD, & RS ad AP (in recta AQ versus L;) & in eadem ab alia parte summatur DO aequalis DC. Denunca, bisecta PD in X, inclinetur per X, angulo semi-recto ad AX, recta VXL, occurrens normalis in Dereste in puncto V, & in quam ex O cadat normalis OB Ajo, si fiat ut VX ad XB, ita XB ad BL, punctum L esse verticem, LV axem, XV latus rectum Parabola, qua Problematis satisfacit omnibus; secans nimium Circulum datum in punctis K, quorum supremum & infimum ad Problema Alhazenianum pertinent, reliqua ad aliud, de quo nuper ad te scripsi. Datur, ne supra indicavi, alia quoque Parabola, que cum hac paria facit, & cujus descriptio ex hac adeo facile deducitur, ut novi non sit opus. Sumatur enim AS, in directum DA, & ipsa aequalis, & in directum OA, ipsi quoque aequalis, AO. Tum bisecta PS in ξ, ducatur per ξ recta ξβ, normalis ad XB, concurrens cum δε, normali ad OA, in ξ, & in quam cadat normalis ξβ; ac fiat ut ξξ ad ξβ, ita hæc ai βα: Erit ξ vertex, ξ axis, ξΕ latus rectum Parabole, que in iisdem cum priore punctis Circulum datum fecabit. Sed de Problemate Alhazeni jam plus quam satis. Vale, & quo soles affectu, tui semper observantissimum porrò prosequi perge. Dab. Leodii prid. Kal. Septemb. ClolCLXXXII. Epistola Doct. Johannis Wallisii, PRIMAM Inventionem & Demonstrationem Aequalitatis lineæ Curvae Paraboloidis cum Recta, anno 1657. factam, Dn. Gulielmo Neile p.m. aferens; proximeque Dn. Christophoro Wren Equiti, Inventionem lineæ Rectæ aequalis Cycloidi ejusque partibus, anno 1658. Clarissimo Viro, Henrico Oldenburg; Johannes Wallis S. Octob. 4. 1673. Oxoniæ. Clarissime Vir, Quod ad Rectificationem istius Curve spectat, quam ego Paraboloidem Semi-cubicalem appellare solo omnino errat Cl Hugenius (pag.71, Horologii Oscillatorii) cum ejus inventionem primam tribuit Johanni Heuratio Harlemensi, Anno 1659. Quippe certum est, eandem Biennio prius invenisse & demonstrasse Gulielmum Nellum Anglum, Equitis Pauli filium: Et, post illum, id ipsum demonstrasse (ne plures nominem) Honoratissimum D. Vice-comitem Brounckerum, & Cl. Wrennium, Anglos; circiter mensis junii, juliiique, Anni 1657. atque rem jam tum apud nostrum notissimum fuisse; ursus inter eos (Geometras alioque,) qui (Societatis Regiae appellationem nondum adepi, tum solebant in Greshamensi collegio (poti habita ibidem praelectiones Mathematicae) statim diebus convenire, publicatione cum plana acceptam. Idque mihi literis suis, Augusto magno tum sequente, a me Oxonium datis, indicavit Honoratissimus D. Vice-comites Brouncker, juxta