Excerpta ex Epistolis Non-Nullis, Ultro Citroque ab Illustrissimis Viris, Slusio & Hugenio, ad Editorem Scriptis, de Famigerato Alhazeni Problemate Circa Punctum Reflexionis in Speculis Cavis aut Convexis; & Primo Quidem ex Prima Hugenii, 26 Funii 1669. Scripta

Excerpta ex Epistolis non-nullis, ultrò citróque ab Illustrissimis Viris, Slusio & Hugenio, ad Editorem scriptis, de famigerato Alhazenii Problemate circa Punctum Reflexionis in Speculis cavis aut convexis; & primò quidem ex Prima Hugenii, 26 Iunii 1669. scripta: — Itto Tibi hac occasione Constructionem Problematis Alhazeni nuper à me inventam, & à Collegis meis feliçem satis judicatam. Problema est; Dato speculo cavo aut convexo, itemque oculo & puncto rei visæ, invenire Punctum Reflexionis. Esto speculum ex sphera qua Centrum habeat A punctum, oculus vero sit in B, & punctum visibile in C, planumque ductum per A,B,C, faciat in spara circulum D d, in quo invenienda sint Reflexionis puncta. Per tria puncta A,B,C, describatur circuli circumferentia; cujus sit centrum Z, occurrat autem ei producta AE, perpend. BC in R, & sit duabus RA, OA, tertia proportionalis NA, eritque NM, parallela BC, altera asymptoten. Rursus sint proportionales EA, AO, AI, & summà IX æquali IN, ducatur YM parallela AZ; eaque erit altera asymptotes. Denique summis IX, IS, que singulae possint dimidium quadratum AO, unà cum quadrato AI; erunt puncta x & S in hyperbola, aut sectionibus oppositis D d, ad invenias asymptotos descriptis, quarum intersectiones cum circumferentia DO, ostendent puncta Reflexionis quaestæ. Constructio hæc, in omni Casu, quo Problema Solidum est, locum habet, praeterquam in uno, ubi non hyperbola sed parabola descripta est; cum minimorum circumferentia per puncta A,B,C descripta, tangit rectam AE. Hæc Dn.Hugenius, quorum cum fecisset Editor copiam Dn. Slusio 24 Sept. 1670; hic d. 22. Novemb. ejusdem anni hoc modo respondit; Ut ad jucundissimas tuas respondeam, quas nuper admodum accepì, cum variis de rebus agant, ab illa incipiam qua mihi statim in oculos incurrìt, ab Alhazenii nimirum Problemate, cujus constructionem à Viro Nobilissimo ad vos transmissam ut vidi, protinus eandem esse cum measuspiciatus sum; sed in pecatis Adversariis Sarius meis non leve discrimen reperi, ut mox videbis, & jam sane vidisses nisi me prolixitas ante hac scribendo deterruisse. Nequid tamen dissimulem, cum Nobilissimi Hugenii constructionem ad calculos revocarem, eandem omnino mecum analysin secutum esse deprehendi; sed cum ex illa dua nascentur effectiones, utraque per hyperbolam circa asymptotos; ille unam, ego alteram, ut facile. Vid. Tab. II. rem, selegeram. Evidens est autem nihil aliquid quari Fig II, III, IV. hoc Problemate (stilud ad terminos merè Geometricos revocamus) nisi in dato circulo, (cujus centrum A, radius AP) punitum aliquod ut P, à quo ductis ad puncta data E B, inaequaliter à centro A distantia, rectis PE, PB, recta AP producta biæcet angulum EPB. Quod quidem varios casus recipit. Vel enim normalis ex A in rectam EB, nimium AO, cadit inter E & B; vel ultra B. Si ultra, vel rectangulum EOB æquale est quadrato AO, vel majus vel minus. De casu æqualitatis videbimus infrà; nunc vero tres alios casus eadem ferè constructione completemur. Per tria puncta AEB transeat circulus, ad cujus circumferentiam producatur AO in D. Ac si quidem punctum O cadat inter E & B, recta AO versus O producenda erit; sin autem ultra B, sitque rectangulum EOB majus quadrato AO, producenda erit versus A; sitque rectangulum quadrato minus fuerit, circulus in ipso puncto D, radam AO secabit. Tum ducta AX parallela EB, secante circulum datum in N, fiat ut rectangulum DAO ad quadratum AN, ita XA ad AH, que sumenda erit versus X, si O cadat inter E & B, aut rectangulum EOB minus sit quadrato OA; at ex parte contraria, si sit majus. Ponatur nunc OQ æqualis AH (in directum EB primo & secundo caso, tertio vero versus E:) Tum sint proportionales XANAHK, sumenda omni caso versus X: sed äque AO in V, ut sit eadem ratio KA ad AV, qua AD ad AX; jungatur KV, ac producatur donec occurrat recta EM parallela OA, indefinitè productæ, in puncto L; erunt omni caso KL & QL asymptoti Hyperbolæ, qua per punctum O descripta, propposito satisfaciet: Hoe tantum discrimine, quod primo & secundo Casu hyperbola per O, Problema solvet in speculo convexo, seèt o vero ei opposita in concavo; at 3°, caso contrá, Hyperbola per O serviet concavo, ejus opposita convexo. Atque id quidem, cum punctum V cadit inter A & O; nam si ultra O cadet, unica Hyperbola inter ea/dem QL, KL descripta, tam speculo convexo quam concavo satisfacerei. Cæterum si V caderet in ipsum punctum O, Problema tunc tunc planum esset, & ipsa rectae L Q, L K illud absolverent. Unde patet, Problematis hujus dari caus infinitus, qui per locum planum solvi possunt: quo magis venia digni videntur ij, qui illud per eundem locum universè solvi posse censuerunt, quòd ipsi aliquoties calculus feliciter cecidisset. Nulla enim dari potest trium punctorum A, E, B positio, (de causa æqualitatis rectanguli E O B, & quadrati O A mox videbimus,) qua non admittat circulum aliquem ex centro A describendum, ad cujus circumferentiam Problema per locum planum solvi queat. Hujus autem circuli radius, si tanti est, ita invenietur: In primo & secundo caso superioris constructionis fiat ut quadratum A X unicum duplo rectangulo O A D, ad duplum quadratum A D; ita quadratum A O ad quadratum AN, erit AN radius questus. At in 3° caso, faciendum est, ut quadratum A X minus duplo rectangulo OAD, ad duplum quadratum AD; ita quadratum A O ad quadratum AN. Construendus nunc superest alius casus, æqualitatis nempe rectanguli E O B & quadrati A O, sive in quo circulus, per puncta A, B, E descriptus, tangit rectam A O. Rectè autem monuit Clarissimus Hugenius, hoc caso describendam esse Parabolam, quod tamen non ita intelligendum est, quasi per Hyperbolam solvi non posset, cum & Hyperbolam & Ellipsen, imo infinitas (si quis methodo nostrà uti velit) admittat; sed quod Parabolam quoque recipiat, quam ali caus responsum. Eadem ratione temperandum est quod ait; Constructionem suam omni caso quo problema solidum est, locum habere; intelligit enim, levi mutatione semper inveniri Hyperbolam quæ proposito serviat: quod casus à nobis imperius constructos cum ejus constructione comparanti planum fiet. Ut autem ad casum æqualitatis redeam, & ne quid temerè asservisse videar, Ecce tibi, non unam, sed duas parabolas, ac praetera hyperbolas oppositas quæ propositum absolvent. Sint, Fig.V. ut prius, puncta data E, B, circulus ex centro A, ac alius per tria puncta A, E, B, cujus tangens sit AO, centrum D. Duca diametro N A D X, sint tres proportionales X A, N A, Z A, cujus dimidium sit A L. Fiant iterum tres proportionales 2 O A, N A, I A, cujus dimidium sit K A, & persiciatur rectangulum L A O V; producaturque LV in S, donec VS sit tercia proportionalis ipsarum A I, O V; axe S L, latere recto A L, vertice S, describatur parabola; hic enim circulum fecabit in punctis P, P quaestis. Tantundem faciet alia, si perfecto rectangulo D A H C, & producta K C in T, ita ut ut \(CT\) sit tertia proportionalis ipsarum \(AZ, DC\), describatur circa axem \(TK\), vertice \(T\), latere recto, \(ZA\): occurret enim circulo in Vid. Tab. II. iisdem punctis \(PP\). Facilior adhuc est constructio per fig. VI. sectiones oppositas; satis enim, ut prius, tribus proportionalibus \(XA, NA, ZA\), demittatur \(ZI\) normalis, tertia proportionalis dupla \(AO, AN\). Erit itaque \(ZI\) major \(ZA\), cum dupla \(AO\) minor sit \(XA\): Tum in puncto \(I\), inclinentur utrinque angulo semirecto ad lineam \(IZ\), rectae \(IQ, IM\), & ab utraque parte indefinitè producantur; demum circa illas tanquam asymptotos describatur per \(A\) hyperbola, & alia ipsi opposita; hæc enim satisfaciet Problematis in speculo convexo, illa in concavo. Cum vero, ut ostendimus, \(ZI\) semper major sit recta \(ZA\), recta \(IM\) nunquam transibit per \(A\). Non dabitur itaque casus, quo ex hac constructione, velut in precedentibus, Problema per ipsas asymptotos solvi possit: Et tamen hoc quoque aliquando locum planum admittit; cum scilicet accidat, ut recta \(XO\) ducta ad centrum \(D\) tangat circum \(NPP\); ipsum enim punctum contactus questionem solvit. Et hæc quidem de Problemate, quod haec tenus multorum ingenia exercuit, & cujus solutionem ante aliquot annos absolvi, urgente clar. Gutiscovio, Lovaniensi Matheæos Professore, qui sibi usu futurum aiebat; moliebatur enim necio quid in Catoptricis: Sed mors manum injecit, neque enim, ut hoc obiter addam, quidquam hujusmodi in schedis ejus repertum esse intellexi. Haecenus Dn. Slusius; cujus Epistolæ Apographum cum, Authore conscio, Editor communicasset Dn. Hugenio, simulque ex aliis laudati Slusii literis, 9 Martii 1671. datis, innuisset, inventisse ipsum duas alias ejuædem Problematis Analysis, priori illa faciliores, & constructione inter se, & ab illa, diversas; quin imò præparationem quandam Generalem, ex qua Problematum omnium, quæ ad Puictum Reflexionis in Speculis Sphericis, concavis & convexis, determinandum spectant, Analysis facile deduci possit: Dn Hugenius Gallicè rescriptit 7 Novem. 1671. (tardiùs, ob incommodam puto valetudinem,) in hanc sententiam; Obstrictum me tibi fatores, eo quod Slusianam Problematis Alhazenici constructionem impertiri voluisti. Exurgit illa, ut recte notavit, ex eadem Analyticum mea, ab eaque non longe discrepat; videatur tamen, neam esse naturalem magis, idque ob Hyperbolæ Asymptotam dispositionem, nec tamen plus operæ requirit quam Slusiana. Oportet Oportet equidem, ut ipse hab de re cum eo agam, qui est Geometrarum, quos novi, omnium doctissimus candidissimusque; saltem ut copiam ab ipso petam facilioris adhuc illius Analyseos, quam invenisse se de hoc Problemate affirmat. Sic Dn. Hugenius; qui cum aliis fortè negotiis, vel etiam adverfa valetudine impeditus, ipsi Dn. Slusius de hoc argumento scribere differet, Slusius vero dicti Hugenii mentem ab harum Editore accepisset, ipsi (Slusius, inquam.) literas hìc subjonctas, Editori missas, reposuit. Antequam ad literas suas, 22° mensis elapsi datas, respondam, officii mei ratio postulat hoc Anni novi principio, ut faustum illum ac felicem cum longa similiam serie, Tibi, Vir Clarissime, ac Societati Illustrissima & optimo beneficio, appreces, quò ea qua felicibus adeo auspiciis capta sunt, porro prosequi ac tandem, magna Reip. literaria emolumenta, ad exitum perducere Vobis iacet. Literae verò tuas quod attinet, gratias habeo maximas pro is, quem me solita humanitate scire voluisti. Caterum à Cl. Hugenio nihil adhuc accipi, aliis, ut exstimo, studia occupato. Quoniam autem Tu, V C. videri vis meas esse aliquid putare nugas, accipe, qua circa Alhazeni Problema, curis secundis, meditatus sum. Datus sit Circulus, cujus centrum A, puncta data sunt D & d. Supponatur factum quod quaritur; sitque Radius incidens DE, reflexus ED & ex puncto reflexionis E cadat in junctam DA normalis EI, & in eandem, ex d, normalis d N, occurrantque eidem Tangens EC & Radius d E, productus in B. Sit nunc DA = z. A = a. NA = n. EI = e. dN = b. BA = y. AE = q. CA = x. Igitur, cum anguli, DEC, CEB, sint aquales, & angulus CEA rectus, ex hypothesi, erunt tres, DA, CA, BA, harmonice proportionales, (hoc enim facile ostenditur.) Erat itaque ut DA ad BA, ita DC ad CB; sive in terminis Analyticis, \( z \mid y \mid z \cdot x \mid x - y \); & \( z \cdot y - xy = z \cdot x \) sive \( \frac{z}{x} = \frac{x}{y} = x \). Cum autem Rectangulum C A I, sive xa sit aquale Quadrato AE sive qq, erit \( x = \frac{q}{a} \), & per consequens \( \frac{z}{x} = \frac{q}{a} \) sive \( \frac{z}{x} = \frac{q}{a} = y \). Porro, est ut dN ad EI, ita NB ad IB; sive \( b \mid e \mid y - n \mid y - a \). Itaque ye ne = by - ba; & \( y = \frac{ba - nc}{b - a} \). Igitur \( \frac{z}{x} = \frac{q}{a} \) sive \( \frac{z}{x} = \frac{q}{a} = y \). Quae aquatio est ad Hyperbolam circa asymptotos, cujus constructio cum Circulo dato, Problemati satisfacit. Cum vero, ob Circulum, fit qq = a at e, si loca \( 2bzaa \) ponatur ejus valor \( 2bzzq - 2bze \), habeatur alia pariter ad Hyperbolam circa asymptotos, \( bzzq - 2bze \cdot 2znae - qqba + qqne = zzqe \). Et hac methodo, atque illà, quam in libello nostro de Analysis expositis, prodibant infinita Aequationes ad Hyperbolas & Ellipses, qua cum Circulo dato Problema absolvent; nisi quod Effectiones planarumque intricatores evadant quam ut opera pretium sit illas aggredi: Construi tamen poterunt eo modo, quo usu summum in Ellipsis, ejusdem libelli nostri p. 62. Sssss Retuli. Retulimus, ut vides, calculi nostri summam ad lineam DA; sed satis animadvertis, non majori difficultate referri potuisse ad dA (qua pariter data est,) ductis scil. lineis, quas in Schemate punctis adumbravimus. Verum novo calculi labore non est opus. Si enim recta dA, ejusque partibus, eodem ac prius terminos analyticos adhibeas, b.e si ipsam dA facias aqualem L, D n = b, n A = n. A I = a, I E = e, &c.; prodit eadem equatio qua prius; & infinitas ulter Hyperbolae Ellipso obtinebant, quae cum Circulo dato Problemati satisfacient. Posilude essem, si singulos casus prosequi vellem, cum illorum Aquationes sola signatur + & - variatione discernantur. Unum tamen excipio, num. cum angulus dAD est rectus; ejus enim equatio habetur, expunctis a prori aequatione partibus, in quibus n (qua in nihilum abit) invenitur: nempe hic, zbaa - qqba = bzqq - zzqe, vel (pro zbaa a positio ejus valorem) zbbq - qqba = zbee - zzqe. Sed animadvertendum est, quod, licet referendo Analysis ad rectam DA, statim sece offerant in aequatione dua Hyperbola; & alia totidem a prioribus diversa, cum referatur ad rectam dA; eadem tamen omnino Parabolas haberet, ad utramvis rectarum dA vel DA referatur Analysis: cujus rei ratio levi consideratione Tibi occurret. Patere nunc, V. Cl. ut superiorem Analysis omnibus, qua circa Speculorum Sphericorum reflexionem proponi solent, Problematibus applicem, novo facto Schemate. Sit igitur, ut prius, Circulus, cujus centrum A, punctum D datum, & ab eo radius incidens DE, cujus reflexus sit EQ. Juncta DA, ducatur ad illam Tangens EC, & normalis EI; & producatur ad eandem, resta QEB; denominentur partes ut prius DA = z, CA = x, AE = q, BA = y. AI = a, IE = e. Igitur, propter tres DA, CA, BA, Harmonice proportionales, & tres CA, AE, AI, Geometricae, semper habebitur equatio \( y = \frac{z^2}{2z^2 - q^2} \), in quoquoque Circuli punctum cadat DE. Itaque, si queratur punctum E, in quo si radius DE incidat, reflectatur magna-rios diametro LA V normali ad DA; reflexus QE, productus transbit per I, ut patet; & I ac B coincident. Igitur \( a = y = \frac{z^2}{2z^2 - q^2} \); sive, \( a = \frac{1}{2} q^2 = \frac{1}{2} q q \), & Problema per plana solvetur. Si queratur punctum, a quo radius reflectatur parallelus alteri cuiilibet linea, ut AK (ducta ex centro A;) ducatur ad illam, ex puncto I, Tangens KL = d. Evidens est, Triangula AKL, EIB, fore similia, cum omnia latera unius parallela sint lateribus alterius. Itaque AL ad LK ut EI ad IB, sive \( q | d | e | a - y \); & \( \frac{q^2 - d^2}{q} = y = \frac{z^2}{2z^2 - q^2} \); & \( zq^3 = 2qzaa - 2zdae - q^3 + qqde \); sive, pro a a positio qq - ee, \( zq^3 = 2zq^3 - 2zqee - 2zdae - q^3 + qqde \). Utique autem equatio est ad Hyperbolam circa asymptoticos, qua cum Circulo dato Problema absolvit. Pro- Proponatur nunc efficere, ut radius reflexus transeat per datum punctum N (ut in Problemate Alhazeni,) vel ut productus versus punctum reflexionis E occurrat dato puncto N. Ex N cadat in AL normalis NO = n, sitque AO = b. Patet esse, ut AO ad differentiam ipsarum ON, AB, ita EI ad IB, h.e. b | n - y | e | a - y; vel b | y - n | e | a - y. Igitur \[ \frac{b + n}{b - c} = \frac{y}{z}. \] Unde \(2zb + a - 2zn + ae - qqb + qq = bzqq - zqqe\); nim. illa ipsa equatio Problematis Alhazeniani quam supradinnuitus: Vel, secundo caso, \[ \frac{b + n}{b - c} = \frac{y}{z}, \] sive \(2zb + a + 2zn + ae - qqb - qq = zbq + zqqe\). De quibus equationibus plura non addo, cum vel nimia sint fortasse qua supradinnuitus. Atque hac sunt Problemata, qua circa Punctum reflexionis proponi solent in quibus tamen finitam puncti D dati distantiam supponimus. Sed facilitior erit Analysis, si supponamus infinitam. Sed enim CA bifariam in G, constat ex proprietate trium, DA, CA, BA, Harmonice proportionalium, tres DG, CG, BG, fore Geometricè proportionales, supposita quacunque puncti D distantia. Itaque, si supponatur Infinita, BG abibit in nihilum, & punctum B cum puncto G coincidet. Igitur AB erit perpetuo aequalis BC; erit itaque CA = 2y, & Rectangulum CAI, aequalis Quadrato AE, dabit, in terminis Analyticis, 2ay = qq, sive \(y = \frac{q}{2a}\). Cumque distantia puncti D supponatur infinita, erit ED parallela AC. Itaque, si queratur radius reflexus parallelus AL, quoniam eo casu a & y coincident, erit \(a = y = \frac{q}{2a}\), sive \(a = \frac{1}{2}qq\): Si queratur ut parallelus sit AK, erit rursus q | d | e | a - y; \(q + \frac{a - d}{c} = y = \frac{q}{2a}\), sive \(2qa - 2da = q^2\). Si petatur ut transeat per N, erit, ut supradinnuitus, \[ \frac{b + n}{b - c} = \frac{y}{z}, \] & \(2ba + 2nae = bqq + qq\): quae aequationes sunt quoque ad Hyperbolas circa Asymptotos, nisi N punctum esse supponatur in AL; nam, cum tunc n abeat in nihilum, subiatis ab aequatione partibus, in quibus n continetur, residue dant aequationem ad Parabolam, ut supradinnuitus. Non exspectas, V Cl. ut cum specula Concava haec tenus in exemplum adducerim, nunc agam de Convexis. Scilicet, eadem esse profus Analytin, & Aequationes solè signorum + & — variatione distingui. Sint Parabolam vel Ellipsin, quae unum satisfacit, satisfacere alteri; & si Hyperbola in Convexo problema absolvent, ejus oppositam pariam facere in Concavo. His itaque omissis, addo tantum, eadem Analytin haberi in Speculis Concavis focos & spatia, quae radii occupant in axe, datà qualibet puncti lucentis distantia: Sed mirà facilitate, cum radii supponuntur paralleli; quod tamen nonnullo circuitu à quibusdam demonstrari vidi. Nam in Speculo Concavo EE, cujus centrum A, si radius extremus reflecti intelligatur ad axem AR in B, ductà tangente EC, erit CB = BA. Bisectur semi-axis AR AR in Q; erit itaque Q focus. & QB spatium quaestum. Est autem QB dimidia CR (ob aequales AQ, QR, AB, BC,) h.e. dimidia excessus secantis arcus ER supra sinum totum. Igitur si arcus ER sit (e.g.) grad. 9, erit AC 101246, & BQ \( \frac{623}{10000} \) ipsius AR. Sed nimium Te moror in tricis hisce Geometricis, quibus me defunctum existimabam, nisi quod occurrant sepe vel alind agenti. Itaque si Deus vitam & otium dederit, hoc vere fortassis in publicum emittam mea, de Problematum determinatione, μὴ ἀναγκαῖον ἄρα, de Tangentibus Curvarum, μελέτησαι; praesertim cum Cl. Riccius me monerat, à se, studiis alia occupato, nihil expectandum esse; & nuper ἀπεργοῦσι τε inciderim in methodum facillimam ea demonstrandi, qua longiore circuitu olim inveneram, utrāque tamen via in brevissimam ac facillimam Regulam desinente. Sed quid futurum sit, Θεῶν ἐν γάλαξι κύριος: Ego enim Pyrrhoniano more habentus ἢ σὺ ὀπίσω.* *Quid hic de Tangentibus Curvarum pollicetur Vir Illusterrimus, praetita ab eo vide in Transact. N°.95. Hæc Dn. Slusius; quæ quomodo placuerint Dn. Hugenio, quidque hic iis rescripserit, aliâ occasione, cum una vice omnia huc spectantia tradi commodé nequeant, Deo dante, exhibebimus. An Accompt