A Continuation of Dr. Wallis His Second Letter, Publish't in Numb. 39, to the Printed Paper of Mr. Du Laurens

selves up in a bagg, which when you feel, there are certain skilfull Men who with little pain will take them out; having great care to take out the bagg entirely, that none of the brood (which are like Nits) may be left behind, for fear of giving rise to a new generation.* 4. The shining Flyes are a kind of Cantharides, looking green in the day time, but glowing and shining in the night, even when they are dead; this relator affirming, that he hath applyed them dead to a Printed and Written paper in the dark, and read it. 5. The Manchineel-Apple is one of the most beautiful fruits to the Eye, of the agreeablest to the smell, and of the pleasantest to the taste (being thence call'd by many the Eve-Apple), but if eaten, certain death. The wood of it yet green, if rubb'd against the hand, will fetch off the skin, or raise blisters; and if any drops of rain, falling from this Tree, light upon one's hand, or other naked part of the Body, it will also have the aforesaid effect. A Continuation of Dr. Wallis his second Letter, publish't in Numb. 39, to the Printed Paper of Mr. Du Laurens. This other part of Dr. Wallis's second Letter to Mr. Du Laurens, though written and sent to the Publisher at the same time, when the first part was, yet came not then abroad, upon a consideration intimated, in Numb. 38, p. 750, and the same could not find room in these Tracts, till this Month, when 'tis publish't, rather from a desire, further to comply with the said Du Laurens, demanding the reasons of the Animadverter's Censure, than from any proper occasion to disputes. The Publisher can bona fide assure the Author of the Paper, here further animadverted upon, of the reality of what is here affirm'd and profess'd by him, and in particular, that the original of this, what follows, came... Porro (ut minuenda quaedam prateam, ne nimius sim, quatenus ipsa reprehensionem merentur) inter alia, quibus Aequalitatem ob Moderationis virtutem laudat, Inaequalitati interim vitio vertens, quod Excessu & Defectu laboret; hæc occurrent Sect. 18. Tanta est aequalitatis moderatio, ut eas non solum, quas afficit quantitates, augeat, minuat, multiplicet atque dividat, nulla facta in ipsis quoad aequalitatem mutationes, sed etiam, ut quantitates ab inaequalitate affectas per similes operationes tractando, intactam in illis inaequalitatibus notam relinquet. Id credo vult, (nisi velit rhetorico fucum facere,) eadem, quæ prius erat vel æqualitatem vel inaequalitatem, manere immutatam; quaecumque facta fuerit utrinque vel æqualium additio aut subduktion, vel per æqualia multiplicatione aut divisione. Missis autem æqualibus, de inaequalibus dispiciamus. Inaequalitatis nota quam vult, (ni fallor,) est ipsa inaequalium Differentia; & hanc intactam relinquat, est, eadem manere quæ prius fuerat. (Quippe hoc tum ipsa verba spectare videntur, tum argumentum ejus.) Quod quidem in additione & Subductione, verum est; Puta, si expositis 10 & 6, addantur utrinque 2, ut sint 12 & 8; vel subducantur 2, & sint 8 & 4; eadem intacta manet inaequalitatis nota, seu Differentia (4.) Non autem in Multiplicatione & Divisione; Quippe si per 2 vel multiplicetur ut sint 20 & 12; vel dividantur, ut sint 5 & 3; Differentia fit illic 8, hic 2; neutrobique (quæ prius erat) 4. Argumentum ejus est merum sophisma, (quod plus habet in conclusione quam in praemissis: 'Hoc (inquit) facile colligitur ex inaequalitatis ad aequalitatem revocandi ratione: ut enim inaequalis quantitates ad aequalitatem perveniant, necesse est addi minori, vel a majori detrahi, ipsarum quantitatum Differentiam: Sed, per communem æqualium Additionem vel Subductionem, (vides de multiplicatione & Divisione nihil dici,) neque minor quantitas, majoris differentia angetur, neque major eadem differentia contrahitur; cum idem utrique inaequalitatis partis adjiciatur vel dematur; (quod in multiplicatione & Divisione non fit:) Hæc sunt praemissa; videamus conclusionem: Ergo (inquit) sive æqualium additum, aut Multiplicatione, sive æqualium subtractione vel Divisione, inaequalis quantitates augmentur minuanturve, (vides quomodo in conclusione se insinuat Multiplicatio & Divisio, quæ in praemissis non erant;) nunguam hac ratione in aequalitatem incident, hoc est, manebit semper in ipsis inaequalitas; (vides quomodo jam languet illud, manere intactam, in nudum manere; sed mox resumet vires: Verum hoc non est quod erat probandum, inaequalitatem manere aliquam, sed manere intactam; & praemissa, quatenus quicquam probant, hoc probant, propter id in utrique parti adjicium vel demponum: Sed pergit rhetorico; Sic ergo, inquit, Aequalitas seipsum primo, deinde inaequalitatem, per qualibet argumen augmenta vel decrementa, modo aqualia, (quod interim per æqualia multiplicando, vel dividendo non obtinetur, ut ipse putaverat,) deducere valet, nullo vel æqualitatis vel inæqualitatis detrimento: (videlicet, resumptis viribus, linguam illud movere, in cum nullo detrimento manere, jam erigi: quod per rhetoricae virtutem phrasos idem signi iceret, quod prius, intantam relinquì, & nulla fuit necessaria.) Hæc autem fulsis aliquanto deduxi, ut videoas, quæm, in Demonstrando vacillet hic Mathematicus Rhetoricius. Mox autem sect. 19. quoniam Inæqualium quantitatum una Major, sive Excedens; altera minor, sive Deficiens dicitur; hæc autem Excessus atque Defectus nomina, aberrationes a medio significant, (quod vitiorum est;) hoc est, ab æquali, (cujus itaque modo ludita Moderatio, virtus erit:) quo tumdem in vituperata inæqualitatis favorem se insinuat; missis his (qua imperficiam inæqualitatis naturam respicient) nominibus; alia (inquit) hi termini nomina sortiuntur; nam qui Major est, Totum dicitur; qui Minor, Pars: (quasi quidem Pars nomen, non priter imperficiam naturam insinuat, atque Minoris:) Adeoque (novis definitionibus) Totum definit esse quantitatem majorem ad minorem & homogeneam collatam; Partem vero, minorem esse quantitatem ad majorem & homogeneam comparatam. Sed omnino fallitur hic novus Definitio, qui Totum et Partem, tantundem significare autem, atque Majus & Minus, Verum quidem est Totum sua Parte majus esse, (& Partem Toto minorem:) Sed non vice versa, omne Minus cujusque Majoris Partem esse, quod hic insinuat. Lunam ego Telluri Minorem exilissimo; sed non existi, no Telluris Partem esse. Hoc illum forte decept, quod videret apud Euclidem, i def. 5, Partis nomen, peculiaris significatione prout Multiplu opponitur, pro eodem atque Submultiplu, seu aliquota parte, (uti nunc loquimur,) usu pari. Sed aliud significat Pars, prout, peculiaris sensu, est correlatum Multiplu: (i def. 5.) aliud, prout, valgata significatione, opponitur Toti, 9.ax. 1. (nempe, illud quod, cum reliquo, componit Totum.) Atq; ex his, inquit, manifestum fit, Totum majus esse sua parte; (quod est Euclidis Axioma Nonum:) Omnino quidem, nempe si Totum & Pars, idem significant atque Majus & Minus. Sed & inde pariter manifestum est, Euclidem fuisse Asinum, Nempe si in illo Axiomate, hoc solum dictum velit, Majus, Majus est Minore. Quod si forte, pro Definitione, ferri posset, saltem Axioma esset plane ridiculum. Deinde Sect. 21. Commensurabilitatis & Incommensurabilitatis fontem aperire fatagir, (eadem felicitate, qua multitudinis, & Æqualitatis sive Inæqualitatis originem quaesivit:) Nempe, Quando pars aliquoties suprema totum suum precise constituit, Aliquota dicitur: Atque hac pars est toti suo commensurabilis. Belle quidem. Annon vero est hic egregius Definitio, qui Partem commensurabilem, eandem esse Definit, atq; Partem aliquotam? Verum quod si pars ali- qua non possit aliquoties sumpta totum suum praece constituiere? puta si sit ut 4. ad 6.) An propterea non erit commensurabilis? Quid item, si duae sumantur quantitates quarum altera alterius non sit pars? Num propterea non possunt esse commensurabiles? vel etiam duae quantitates invicem æquales; (quarum itaque altera alterius pars esse non posse, cum non sit minor) Annon erunt commensurabiles? Dic tu potius; Duas pluresve quolibet quantitates (sive altera alterius pars aliqua sit, sive non aliqua, sive ne pars quidem,) commensurabiles esse; si nulla quantitas assumi possit (ut ut ab eis omnibus diversa) quæ singulas possit aliquoties repetita adæquare. Noli autem commensurabilitatem coercere ad eam solam, quæ est inter Partem aliquam aliquotam, Totumq; illud cujus ea pars sit, Quippe hoc non est commensurabilitatis fontem aperire, sed obcurare. Mox autem Sect. 24. Partem Aliquantam (quæ ab Aliquota distinguitur) sic definit. Quando vero Pars, aut quantumlibet exigua hujus partis portio aliquoties sumpta, toti sua aqualis fieri nequit, sed vel ipsum semper excedit, vel ab eo semper deficit, tunc Aliquanta vocatur. Atq; hac pars, inquit, est Toti suo Incommensurabilis. Si ego cum singulis, quæ paslim occurrunt, verbis imperite positis, licem movere vellem; infinitus essem. Hæc autem Definitio ita multis faciat mendis, ut ea prius amovenda sint, quam id dicat, quod ille dictum velit. 1. Perperam dicitur, Sed vel ipsum semper excedit, vel ab ipso semper deficit; & satis absurde. Impossibile enim est ut pars ea, ejusve portio, sic sumpta vel semper excedat, vel semper deficiat. Verbi gratia 1, ad √5, talis est, quale illi velit, sed non vel semper excedit, aliquoties sumpta, (nam 1, semel vel bis sumpta, minor est quam √5,) vel semper deficit, (nam ter vel pluries sumpta, major erit; est enim √5, major quam 2. & minor quam 3.) sed aliquando excedit, aliquando deficit, semper autem vel excedit vel deficit, nunguim æqualis est; atq, hoc ipsum est quod ille dictum velit. Pro his itaque verbis, vel semper excedit vel semper deficit, reponendum erit, semper vel excedit vel deficit. 2. Perperam etiam, disjunctive, dicitur, Quando pars, aut hujus partes portio, nequit, &c. Quippe hoc semper contingit, ut vel ipsa Pars, vel saltem hujus aliqua Portio, nequeat aliquoties sumpta toti æqualis fieri: Adeoque per hanc definitionem, pars omnis dicenda esset tum Aliquanta, tum Incommensurabilis cum toto suo: Verbi gratia, si Pars sit ad Totum suum, ut 4. ad 6. non posset ea toties sumi ut toti sit æqualis; nam semel sumpta, minor erit; bis sumpta, major: Si sit ut 4. ad 8.; pars quidem ea bis sumpta, toti æquabitur, sed ejus portio, 3, nequit ita sumi ut æqualis fiat; nam bis sumpta, minor erit; ter sumpta, major quam 8: & quidem semper, vel pars ipsa, vel ejus aliqua portio, (saltem in quantitate continua) ita se habebit. Itaque pro eo quod disjunctive dicitur, civis, Pars, aut hujus partis portio, nequit; dicendum erat copulative, ne- que pars ipsa, neque hujus partis portio, potest. 3° Neque hoc sufficit; si- cet enim potest, ut tum ipsa pars, tum ipsius aliqua portio, (nedum aliquam- multae portiones,) ita se habeant, nec tamen ea pars sit incommensurabilis. Verbi gratia, si persit ad totum, ut 4 ad 5, non potest ipsa pars sic sumi (nam semel sumpta, minor est; bis sumpta, major illo Toto;) sed neque ipsius portio 3 vel 2; (nam portio 3 senem sumpta, minor est quam 5; bis sumpta, major:) Et 2, bis sumpta minor; ter sumpta, major;) potest ta- men ejus alia portio, nempe 1, sic sumi; (nam portio 1 quiaquies sumpta, toti 5 æquatur.) Neque hic opem fereat, inferta clausula quantumlibet ex- igua; certum enim est, in parte, quæ vel maxime commensurabilis sit. su- mi posse portiones quantumlibet exigua, quæ non modo totum non meti- antur, sed ne commensurabiles sint. Dicendum igitur, neque pars ipsa, neque illa hujus partis portio, &c. (Quod ita limitandum erit ut mox dice- tur.) 4° Superest adhuc aliud mendum, quod majoris est momenti, & imperitiam arguit. Quippe si hæc constet definitio, omnino nulla pars erit cum toto suo incommensurabilis. Nam in ea quæ vel maxime sit in- commensurabilis, sumi potest portio aliqua, (nedum innumeræ) quæ To- tum mensurant. Verbi gratia, Latus Quadrati ad Diagonium suum, est incommensurabile; vel (ut hic loquitur) est pars ejus incommensurabi- lis; Sumi tamen potest Lateris aliqua portio, quæ Diagonii Dimidio, vel Quadranti æquetur: quæ itaque bis aut quater sumpta, Toti æquabitur. Quod videtur hic Definitio non animadvertisse; cui vel maxime prospici- endum erat. Non enim sufficit ad commensurabilitatem, ut partes aliqua Portio mensuret Totum, (quod semper fit,) sed ut partes aliqua Pars aliquota totum mensuret. Pro Portio itaque reponendum erit Pars ali- quota. Suntque hæc quatuor menda, tanti momenti singula, ut eorum nullum non evertat totam definitionem: & quartum omnium maxime; quod ego non Incuria, sed Inscitia (prout ipsé distinguit) imputandum exstitimo. Sed esto Definitio, vel maxime ad mentem suam, sic reformata; Quan- do Pars ad Totum suum ita se habeat, ut neque pars ipsa, neque illa hujus par- tis pars aliquota, quantumlibet exigua, possit, aliquoties sumpta, Toti suo æ- qualis fieri, sed semper vel ipsum excedit vel ab eo deficit, tunc Aliquantæ vocatur. Atque hæc pars est toti suo Incommensurabilis. Hæc, inquam, Definitio sic reformata (quæ apud ipsum erat misere deformis) admittit potest pro Partis Incommensurabilis definitione. Si vero sit etiam definitio Partis Aliquantæ; Dic tu mihi, quæsó, (modo Oedipus sis,) Qualem ego partem dicam, numerum 4. numeri 6? Pars Aliquota non est, per Sect. 21, quia non aliquoties sumpta totum precise constituit, (nam semel sumpta, minor est; bis sumpta, major;) Neque est Aliquantæ Pars, per jam definita; quamquam enim non possit ipsa, potest tamen ipsius aliquo- ta pars, ut 2 vel 1, aliquoties sumpta, toti æqualis fieri; (nam 2 ter sumpta, vel 1 sexies, æquantur toti 6.) Cum itaque neque Pars Aliquota sit, nec Ali- quantæ, (partem autem omnem vel Aliquotam vel Aliquantam dicendam, haecenus cenfuerint homines.) Dic mihi, Quam dicam? Sed neque Pars Commensurabilis est, per Sect.21, (Quippe commensurabilem non aliam definit ille, quam Aliquotam;) Nec Incommensurabilis, per jam defini- tio. Ecqua igitur? At interim hic Definitor; qui Partem Commensurabi- lem, idem effe facit cum Aliquota; & partem Aliquantam, idem cum In- commensurabili; male se habitum conqueritur, quod apud eum nonnulla reperiri parum fana dixerim. Statim vero, Sect. 26, (ne sibi non, ut solet, contradiceret,) Numeros omnes, invicem effe commensurabiles, affirmit; quoniam omnes mensu- rat Unitas. Quae quidem vera sunt; sed prius traditis contraria. Quip- pe ille non alias definiverat commensurabiles quantitates, quam quorum al- tera fit alterius aliquota pars: multi autem numeri ita se non habent; pu- ta 4 & 6. Neque illas commensurabiles dixerat, quas aliqua tertia com- mensurat, (quod definitivse oportuit.) Sed quarum altera mensurat re- liquam, sitque ejus aliquota pars. Adeoque ut ut 1 fit ad 4 & ad 6,com- mensu abilis, (quoniam utrumq; metitur) non tamen erit (per illus tradita) numerus 4 ad 6.commensurabilis quorum neuter metitur reliquam, fitve ipsi- us aliquota pars.Eandemenim ille, & Partis Aliquota, & partis Commensura- bilis, definitionem fecerat,Sect.21,Sicut &(illi contradistinctam)Partem Ali- quantam, eandem esse definit atque Incommensurabilem, Sect. 26. Quae quidem ego inter ipsius Nova Principia, hucufque nondum tradita (nec- dum recipienda,) annumeranda censeo. Sed & Sect. 25, Commensurabilitatis & Incommensurabilitatis fontes, porro investigatum it. Omnis, inquit, numerus juxta possibiles qua sunt in eo Sectiones divisus, tandem relinquit unitatem, seu particularum sui minimam. Docimus enim, inquit, omnem numerum divisibilitatis fin- terminos habere, ultra quos Sellio non procedit. Fatoer hæc dixisse,(do- cuisse, non dico: Ecquis enim ante nescivit.) Sed & contraria docuit, (nempe, si quis Discere velit,) Ait enim, Sect.7, Multitudo numerum i:a divisa est, ut pluribus aliis modis secari non posset. Veluti numerus Du- denarius non ita divisus est in partes duodecimas, ut in tertias, quartas, sex- tas, & adhuc alias quasdam sine nomine dividì nequeat. Sed esto; ea jam dicit. Quid poltea? Ergo (infert) Ex naturali numerorum structu- ra commensurabilitas exurgit. Commensurabilitas, inquam, Numerorum, ex sua numerorum natura exsurgit, (non minus quam ex sua Linearum na- tura, Commensurabilitas Linearum;) Hoc est, ex numerorum natura fit, quod illis(quæ & aliis quantitatibus convenit) conveniat commensurabili- tas, (sicut & ex omnium omnino rerum natura oritur, quod eas, quas h. bent, habeant affectiones;) & quidem omnibus, (quoniam omnes mensurat unitas.) Sed Commensurabilitatis simpliciter (quæ & aliis quan- titatibus cum numero communis est) non minus ex sua cujusque quantitatis natura, vel ipsa Quantitas, quæ est omnibus communis,petenda est ratio, Sed air, ex naturali magnitudinis constitutione Incommensurabilitas exoritur. Recte quidem. Sed & Commensurabilitas. Sed & pariter ea quæ in Sonis est, & quæ in Ponderibus, vel Durationibus, tum Commensurabi- litas tum Incommensurabilitas, exipsa Sonorum, Ponderum, Durationum, constitutione exoritur. Quippe omnium horum naturae ita sunt comparatae, ut Soni, Pondera, Tempora, &c. sint Incommensurabilitatis capacia: sed & Commensurabilitatis non minus. Quod vero illa persusum iret, Incommensurabilitatis quae in magnitudinibus est, rationem ex magnitudinum natura petendam; illius autem quae in eisdem est Commensurabilitatis, non ex ipsa Magnitudinis, sed ex Numerorum natura orti: omnino est ridiculum. Non minus enim est ex magnitudinis natura, ut possit in partes Commensurabiles dividendi, quamut posse in Incommensurabiles. Quod & eo magis absurdum est, quod ea quae jam est numerorum constitutio, ex humano instituto oritur. Sed et si ipsi adhucenda fides, ipsa numerorum natura, (adeoque, & horum Commensurabilitatis) ex continui divisione orti putanda erat. Sect. 10. Sed, ceteris missis, videamus quam hic Demonstrator proberet, (non quidem Incommensurabilitatem ex magnitudinis natura ortam, sed) omnino ulkas esse posse magnitudines Incommensurabiles. (Quamquam enim ego illud non negem, sed aliunde probari posse sciam: Nego tamen eum, et si hoc probandum suscipiat, omnino probasse.) Omnis, inquit, Magnitude in infinitum divisiva non relinquit particularum qua propterea quod parva sit secari non possit, quin illa in infinitum secta infinitas efficit particulas, quarum singula in infinitas minores sectiles sunt, ut res finem habita non fit, si quis minutias omnes consecutari velit. (Quippe hoc est, quod aliter dici solet, continuum esse divisibile in semper divisibilium.) Nunquam igitur, inquit, ex infinita magnitudinis divisione, ad aliquam particulam devenietur, qua minima ei debet: qua pro communi omnium mensura sumi quaeat. Elto, Hallucinatur autem omnino si hinc oriri sentiat Incommensurabilitatem: Non enim ex sectione interminabili, sed ex modo sectionis, probasse oportuit Incommensurabilitatem. Certum enim est sectionem in infinitum continuari posse, sine ulla Incommensurabilitate, (Crassamq; arguit naturae Incommensurabilitatis ignorationem, hoc nescire.) Verbi gratia. Si exposita re (aliave magnitudo) intelligatur continua bis-sectione dividi quoque, libet: Certum est, Commensurabilem illam esse dimidiis suis, & dimidiorum dimidiis, & sic deinceps in infinitum, ut ad minimum nunquam pervenitur, (quod Tyro quilibet in Mathematicis facile demonstrabit; tantusq; Magister non debuit ignorare.) Nam aliquoæ partis aliqua pars (quantumlibet continuetur sección) erit & totius aliqua pars; & omnes invicem commensurabiles. (Quodq; de Bi-sectione dicitur, de aliis sectionibus in partes commensurabiles, pariter ostendi potest, etiam in infinitum continuatis.) Nunquamigitur, hac ratione, ad Incommensurabilitatem pervenietur. Adeoque argumentum ejus, ab interminabili divisibilitate continui, ad partium Incommensurabilitatem; non modo non probat quod susceperat probandum; sed probat eum Commensurabilitatis & Incommensurabilitatis naturam. naturam non satis intelligere. Quod ex proxime dicendis confirmabitur. Nam, Sect. 29. Utrum fortuito oblata Problemata sive Theoremata, in quibus Commensurabilitas vel Incommensurabilitas ex ipsis terminis non statim appareat, Geometrica solum an vero Numerica simul sint, idest, utrum solis magnitudinibus, an & numeris etiam accommodari possint, hac (inquit) ratione dignoscere. Si ad illorum constructionem arbitraria tantum requiratur quantitatum Divisio, vel Multiplicatio, indubitabile signum est, ipsa de utraque quantitatum specie simul exponi: Si vero per appositam in quaestione conditionem determinata vel multiplicationes vel divisiones necessaria sint ad quaestionem faciendum, tunc generales Commensurabilitatis vel Incommensurabilitatis regula docent, utrum numerorum essentia talibus multiplicationibus ferendis idoneae sint. Quippe nullae vel Additiones, vel Subductiones, vel etiam Multiplicationes, vel Divisiones, (inter terminos invicem commensurabiles peragendi,) ullam unquam Incommensurabilitatem inducent. Oritur utiq; hæc ex Radicum extracti- onibus; (quoties nempe faciendæ requirantur, nec absolvii possunt.) Adeoque si nulla requiritur Radicum extractione, (seu quod huic tantundem est;) sed Additionibus, Subductionibus, Multiplicationibus, & Divisionibus, (inter terminos Commensurabiles peragendi,) quæcumq; demum illæ, vel quælescumq; fuerint, peragenda sint omnia: nullus erit Incommensu- rabilitatis metus. Admodum igitur imperite, & absurde satis, de Multipli- cationibus & Divisionibus, hac in re, praecipua tradit. Quod & Indubitabile signum est, (ut cum ipso loquar) Commensurabilitatis atq; Incommensurabilitatis naturam, huius minime perspectam esse. Porro, Sect. 31. Rationem definit esse, Determinatam quandam æqualitatis, inæqualitatisve, speciem. Cujus contrarium verum est. Sunt enim æqualitas & inæqualitas, species rationis. Mox Sect. 32. Cum Rationem in Arithmeticam & Geometricam divideret; De Ratione indiscriminatim pronunciat Rationis terminos, in infinitum augeri posse, manente semper eadem ratione: quasi idem in Arithmetica ratione, (quæ Differentiis, æstimatur, non Quotientibus,) paritur verum effert atq; in Geometrica. Sed tædet plura commemorare. Hæc interim eorum aliqua sunt (nec tamen omnia) quæ in ipsius Libri primi Capite primo, vetanda censui. Ex quibus possis de reliquis conjecturam facere. Totum vero librum ita recensere atq; ad Examen vocare, mihi neq; vacat, neq; animus est: sed neq; operæ pretium fore autumo. Hæc autem sunt de quibus gloriarur, quæ adhuc, observavit nemo; quæ huc usq; nondum tradita. Tu vero boni consulas; Vale.