An Answer of Dr. Wallis to Mr. Hobbes's Rosetum Geometricum in a Letter to a Friend in London, Dated July 16. 1671

degrees, to the place marked o in the Figure of Bayerus *. * We cannot omit taking notice here of what was communicated to the R. Society, about the same subject, in a Letter of April 30. 1670. by Signor Montanari, the Learn'd Professor of the Mathematicks in Bologna, in these words: *Malia possem certe novae de Calo Vobis tradere, qua ad multos annos obseruo, atque Firmamento meo Inflabili ex- armando ad propediem evulgando suppedita- vero; sed unum, quod catenis admirabilibus est, proferam. Deunt in Calo duo Stella Sec- undae Magnitudinis in Puppi Navis e- jus ad Tauritis, Bayero & Co., prope Canem majorem, a me aliis, occasione praestim Cometa A. 1664. observata & recognita. Earum Dispositionem cui Anno debeam, non movi; hoc indubitum, quod die 10. April. 1668. ne velegium quemad illarum adeisse amplius obseruo; catenis circa eas, etiam quarta & quinta magnitudinis, immotis Plura de aliarum Stellarum mutationibus, plus quam centenis, at non tanti ponderis annotatis, &c.* New ones: And it is very probable, that with that in the Neck of the Whale, which was not observed at first, but when it was already of the third magnitude; although it hath been since found, that it is not really so great when it begins to appear, but that, being very small in the beginning, it increaseth insensibly until it come to that greatness. However, these Phenomena deserve always to be carefully observed by all Astronomers. An Answer of Dr. Wallis to Mr. Hobbes's Rosetum Geometricum in a Letter to a friend in London, dated July 16. 1671. Clarissime vir, Perlegi Hobbij fave Rosetum, fave Finetum, (nam utrumque olet;) in quo antiquum obtinet: Mirumque est, ut nec sibi in animum inducere pos- sit, nec ab amicis suaderi, ne sic delirando persistat se contemptui exponere. No- tata quadam hic tibi mitto: non quasi metuerim, te talibus ratiociniis faciui posse, sed ut tu, aliique, quibuscum hac forte communicaveris, sine anxia consideratione dennò instituendà, statim videatis ubi potissimum peccatur. Prima Propositionis, five Problematis, constructio (ut ut in re facili) falsa est. Rectam extremâ & mediâ ratione fecare; docuerat Euclides, & demonstraverat, prop. 30. El. 6. (qui & aliì hæc tenus consenserunt.) Secun- dum quem, postâ rectâ secundâ iR, erit majus segmentum $\frac{1}{2}$ R; adeoque segmentum segmentum reliquum \( \frac{3}{2} R \), quod in totam \( 1R \) ductum, efficit \( \frac{3}{2} R^2 \), quod est ipsum majoris quadratum. Hobbius autem hic novam proponit constructionem; secundum quam (ad calculum redactam) segmentum majus erit \( \frac{5}{2} R \). Nam, posita secunda recta, seu quadrantis Radio, \( DA = 1R \), adeoque \( DH = \frac{1}{2} R \), erit \( HX = \sqrt{\frac{3}{4} R^2 - \frac{1}{2} R} \), et \( IX = \sqrt{\frac{3}{4} R^2 - \frac{1}{2} R} \), cujus quadratum \( R^2 - R^2 \sqrt{\frac{3}{4}} \), et (propter quadratum \( EI = \frac{1}{4} R^2 \)) quadratum \( EX = \frac{5}{4} R^2 - R^2 \sqrt{\frac{3}{4}} \), hoc est \( \frac{5}{4} R^2 \): ergo ipsa \( EX = \frac{5}{4} R \), segmentum majus (si Hobbio credas) secunda \( DA = 1R \); adeoque segmentum minus, \( 1R - \frac{5}{4} R \). Num vero Euclidis (atque, post illum, alius hæc tenus) an Hobbio credendum sit, tuum eft juicium. Sin neuerius authoritati credendum putes, sed ratione examinamus (ut jam Euclidis,) sic Hobbii constructionem. Reclam extremâ & media ratione secare, eft ita secare, ut quadratum segmenti majoris aquetur rectangulo ex minori segmento & tota secunda. (Quod nôrunt omnes, nec Hobbius differtur.) Sed illud ex tota \( 1R \) & minori segmento \( 1R - \frac{5}{4} R \), eft \( R^2 - \frac{5}{4} R^2 \); quod aequalis eft majoris \( EX \) quadrato, sed non eft; quippe hoc jam inventum eft \( \frac{5}{4} R^2 \). Falsa eft Hobbii constructione. Et (propter hanc falsam) ruunt etiam quae annecit Corollarium & Consecutarium. Menda in ipsius quâ constructione, quâ (pretensa) demonstratione, prater minora multa, sunt hæc saltem tria grandia. 1. In Constructione, pro Describatur centro \( D \) quadrans \( DAC \) secans \( FE \) & \( GH \) in \( K \) & \( X \); dici non minus potuisse, sumatur \( X \) ubivis in \( IG \) rectâ: Nam & sic non minus procederet, Ducatur denique \( EX \), (& quæ sequuntur omnia,) ne unà quidem vel voce vel syllabâ mutata. Vel etiam, ubivis in \( IG \) rectâ, utunque in utramvis partem productâ: Nam etiam hoc posito, si pag. 2. lin. 17. pro secans \( AE \), ponatur secans \( AE \) faltem productam, omnia similiter procedent. (Quod legenti statim patebit:) ut possit esse, per ipsius demonstrationem, segmentum majus quamumvis longum. 2. In Demonstratione: Cum ostenderat pag. 2. lin. 18, 19. duos rectos \( mXI \), \( IXI \), æquales quinque angulis \( mXF \), \( FXy \), \( yXz \), \( zXE \), \( EXI \), (ne insinuato quidem, nedium probato, hos omnes esse inter æquales:) Hinc probatum it (quasi jam probasset, omnes illos quinque invicem æquales esse,) angulos \( zEX \), \( zXE \), esse invicem æquales, quia, si secus, duo illi recti non sic dividerentur Quinquifariam, seu in quinque partes invicem æquales, (pag. 3. lin. 4, 5.) de quo in praecedentibus nihil dictum eft. Sunt quidem tres, \( mXF \), \( yXz \), \( EXI \), invicem æquales; item duo, \( FXy \), \( zXE \), invicem æquales: sed utrumvis horum utrvis illorum æqualem eft, neque demonstratum eft, neque verum. 3. Ubi, ex eo quod anguli \( yXz \), \( Xy \), sint æquales; item \( yXr \), \( yrX \), æquales; & \( yXz \), \( zEX \), æquales; infert (pag. 2. lin. 17, 18.) Quare anguli \( X \) & \( E \) trianguli \( zEX \) sunt æquales: Nulla eft consequentia vis: quod attendenti patebit. Præter hæc omnia; Propositionis secundæ constructione, hanc primæ refutat. Nam, si ponamus illic totam \( AG \) vel \( CE = 1R \), segmentum majus \( AB \) vel \( AC \) vel \( EF \) eft \( \frac{5}{4} R \). Nam ut \( AG = CE \) ad \( CA = AB \), sic \( CA \) ad \( CF \). Eft autem \( CA \) ad \( CF \) ut 2 ad \( \sqrt{5} - 1 \), (quod vult Euclides:) non, ut 2 ad \( \sqrt{5} - 2 \sqrt{3} \): quod vult Hobbii prop. 1. Tam turpiter autem titubasse Hobbium in in ipso limine, eo magis mirandum est, & minùs condonandum, quòd problematis constructio vera (facilis) in ipsis elementis extet (pr.30.El.6.) estque pueris nota. Propositio Tertia (multimembri) de Polygonis Regularibus (cum Consectariis suis) dependet tota ex hac consequentia, Quoniam chordae Cb, bc, ad chordas Ci, ic, (in eodem circulo) sunt ut 8 ad 7; propterea etiam arcus Cc=Cb+bc ad arcum CE=Ci+iE ut 8 ad 7 (pag.11.lin.2.) atque in aliis proportionibus similiter, p.13.l.23,26. p.14.l.20,24. p.15.l.4. &c. Quasi quidem, in eodem circulo, Arcus essent chordis proportionalis. Quod quam ridiculum sit, non diēn opus est. Hinc infert, EH (subtenam Octantis) ad EF (subtenam Sextantis) esse ut 3 ad 4, (quia Arcus sunt in eà ratione,) p.30.l.23. Item, EF (subtenam partis Duodecima) ad EH (partis decima subtenam) ut 5 ad 6 (in ratione arcuum) p.14.l.19, &c. Satis erude. Prop. Quarta; postquam Circuli peripheriam curvam esse ostenditur, curvedinémque à flexione oriri dicitur, curvedinúmque aliam aliâ majorem: Ostensum it, primò, quòd quam rationem habet, in eodem circulo, angulus in circumferentia (major) ad angulum in circumferentia (minorem,) eandem habet curvedo majoris arcûs ad curve- dinem minoris. (Putà, curvedo arcûs quadrantalis ad semiquadrantalis curvedinem, ut 2 ad 1, propter duplo plures in illo quàm in hoc flexiones.) Deinde, quòd, In diversis circulis curvedo majoris perimetri minor est curvedine minoris. Quasi quidem non tot essent in majori perimetro quàt in minori Flexiones. Quod absurdum est. Ut enim in arcibus longitudine aequalibus pariores essent in majori circulo quàm in minori flexiones (eo quòd illé minorem angulum subtendat:) certè in totá perimetro majore (aut etiam partibus proportionalibus, ut que aequales angulos subtendunt,) non pauciores erunt flexiones quàm in minore. Quoque totam circuli circa Terram maximi curvedinem simul conspiciat, vel hujus partem aliquotam quà non minus curvedinis cernet quàm in Anullo, hujusve parte proportionali. Hac itaque cum praecedentibus non satis coherent. Sin dicat, se alio sensu hic, alio illic, majoritatem curvedinis intelligere; Equivocè loquitur. Propositio Quinta, (qua exhibet rationem Radii ad Perimetrum circuli, ut R ad 10R, hoc est, ut 10000 ad plusquam 63245, quam aliì faciunt ut 10000 ad minus quam 62832;) dependet ex hac consequentia (p.18.l.5.) Quoniam ut DC ad DR (radius ad radius) sic arcus CA ad arcum RS (similem;) ita quadrantalis arcus descriptus radio DC, id est, arcus CA, ad arcum descriptum (radio DR, hoc est, arcum RS, sic dicendum erat; sed illé) radio RS extenso in rectitudinem. Quod absurde dictum esse, per se liquet. Propositio Sexta, cum ejusdem Scholio & Consectario; Item Propositio Septima, cum ejus Corollario & Consectariis quatuor; Item Propositio Octava quaque hac nituntur; dependent a prop.5 (ut patet, pag.20.lin.4,6,8,10. p.21.l.6. p.22.l.5. p.23.l.8,14,28. p.24.l.2. p.25.l.1,14,16. p.26.l.18. p.27.l.5,17.p.28.l.4. p.30. p. 30. l. 21, 22. nec difficiliter Hobbius: ) Ergo, cum illâ ruinit. Propositio Nona (de sectione anguli in ratione data) codem misero tibicine fulcitur cum prop. 3, nempe, in eodem circulo Chordas Arcubus proportionales est: Adeoque juxta cum illâ cadit. Propositionis Decima Corollarium verum est, si sumatur P in producta Db; non autem, si in productâ AK. Cum vero hoc duo P habeat Hobbius pro eodem hallucinatur. Non enim coeunt AK, Db, in eodem rectâ BC puncto P; ut post dictatur. Propositio Undecima falsa est; nempe Tangentes grad. 30 & grad. 22½ simul æquari Radio. Hoc est (per Canonem Tangentium) in numeris absolutis quam proxime $5773503 + 4142136 = 1000000$: vel (accurate) in radix $\frac{3}{2} \sqrt{3}, \frac{1}{2} \sqrt{2} - 1 = 1$. (satis absurdè.) Nec probat ille (quod in demon- stratione assumitur,) rectas AK, Db, productas incidere in (Recta BC) punctum P. Potest utique punctum concursùs (non obstante probatione suâ) vel supra vel infra rectam BC contingere. Quod enim in probationem adducit, pag. 37. lin. 21. Cum enim &c. non sequitur. Ut enim angulus quem faciant (producta) AK, Db, sit $\frac{3}{2}$ unius recti; & quem cum BC facit (pro- ducta) AK, $\frac{3}{2}$; & quem cum eadem BC facit (producta) Db, $\frac{2}{2}$ unius recti; non tamen hinc magis sequitur, punctum concursùs rectarum AK, Db, in rectâ BC contingere, quam in (huic parallelâ) rectâ GH. Nam hic eadem verbatim dicenda essent; Cum enim angulus CPD (vel HRD) sit Novem, & angulus (GSA) quem facit tangens 30 graduum cum suâ secante sit Octo, (duodecima unius recti;) & reliquus angulus (quem faciunt pro- ducta AK, Db, nempe septem duodecimae) complementum ad duos rectos; Ergo, quid? Num, Ergo rectarum AK, Db, punctum concursùs est in rectâ BC? Imò non minus sequitur, Ergo est in rectâ GH. Sed hoc non sequi, fatebitur Hobbius. Ergo nec illud. Consecutarium anà ruinit cum propositione. Propositio Duodecima falsum est Corollarium. Non enim sunt a- quales CO & $\frac{1}{2}$ AT. Sed (posito Radio DA, vel DC, = R,) erit graduum 30 Tangens AT = $\frac{1}{2}$ R $\sqrt{3}$ (utpote dimidia secantis $\frac{1}{2}$ R $\sqrt{3}$, cujus quadratum com- plet quadrata AD & AT,) adeoque $\frac{1}{2}$ AT = $\frac{1}{2}$ R $\sqrt{3}$. Sed CO = R - $\frac{1}{2}$ R $\sqrt{2}$ (excessus radii DC supra DO sinum grad. 45.) Non sunt ergo CO & $\frac{1}{2}$ AT aquales. Sed nec illæ aquales esse demonstrat. Et ubi hoc aggreditur (coroll. prop. 10.) hallucinatur. Supponit enim (quod non probat, ut ad prop. 11. ostensum est) rectas AK & Db in eodem rectâ BC puncto P concurrere. Propositio Decimateria subvertit primam. Nam hic agnoscitur & ad- hibetur sectionis rectâ in extremâ & media ratione constructio Euclidea; ubi rectâ secunda ad segmentum majus est ut $\frac{2}{\sqrt{5}} : 1$, non (ut in Hobbiana, prop. 1.) ut 2 ad $\sqrt{5} : 5 - 2 \sqrt{3}$. Propositio Decimaquarta falsa est. Est enim graduum 30 secans $\frac{2}{\sqrt{3}}$ R $\sqrt{3}$; adeoque extrema & media ratione secta segmentum majus $\frac{2}{\sqrt{5}} : \frac{1}{\sqrt{3}}$ R $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ R $\sqrt{3}$. Sed Semidiagonalis quadrati ex Radio, $\frac{1}{2}$ R $\sqrt{2}$. Non sunt igitur aquales. Ubi autem (in probatione) dicit, Ostensum enim est prop. 10. rectam BP du- plam esse rectâ CO: ludit in ambiguo. Ostenderat enim BP, residuum tan- gentis gentis CP (grad. 22°) ad radium, duplam esse CO; sed non BP tangente grad. 30. Quas cum ille pro eadem habet, hallucinatur; ut ad prop. 11. ostendimus. Prop. Decima quinta, novam commendat Geometrizandi methodum, quam credo ipse sequitur. Sua sum utique it (non probatum) In omni quaestione Geometrica, multò prudentius esse, Mechanice mensurando magnitudinem quam sit quam potest fieri veritati proximam, & deinde causam inquirere propinquitatis; quam credens incertae Logicæ vel Logisticae pronunciare. Et multò credibilius à Mensura pronunciare Mensorem diligentem, quam Algebristam seu Arithmeticum. (Non itaque mirandum est, Hobbium, his methodis utentem, talem nobis producere Geometriam; utpote cui Circinus est Calculo accuratior.) Sed & Studiosum veritatis non putandum esse, qui sententiam videns suæ contrariam, fultam verisimilibus argumentis (puta, circini indicio) contentus sit pugnare contra demonstrationem. (Quasi quidem, in re explorata & sapient demonstrata, non sufficeret impugnantis paralogismos detegere. Sed neque hæ dejectum; nam sua non modo Indemonstrata, sed Falsa esse demonstramus.) Hoc est; Audiendum esse Hobbium, verisimiliter (ex circini indicio in angusto Schemae) sine demonstratione pronunciantem; quam demonstrativæ ratiocinantem alios: Nec satis, eum redarguunt esse, ostensis ratiocinis sui paralogismis & demonstrationum defectibus; aut argumentis in contrarium sine ex Logicâ sine Logisticâ petitis: Quippe hæc omnia cedere vult Circino & suis Verisimilibus. Bellum equidem Geometram! Ego, contra, Hobbio suaderem potius ut Verisimilia sua & Mechanicam mensuram (ubi argübita Geometrica spectatur) Demonstrationi (sive ex Arithmetica sive ex Geometria petita) posthabeat; quo (qua hæ vox est) minus irrideatur. Propositione Decima sexta, affert (si credes) Demonstrationem, quæ nisi confutetur, audiendi ulterius non erunt arguentes à potentia linearum. (Ergo nec Hobbius, qui subjiciet, sic arguit; ut & alii methodis quas alibi damnat.) Sed confutatione facilis est. Quod enim assumit (pag.46. lin.29.) Manifestum est tum Kd tum ba esse ad ae ut 3 ad 1; falsum est. Verum quidem est Kd ad ae sic esse; sed non ba. Neque affert ille quicquam quo vel probet Kd, ba, invicem aequales esse; vel, ba ad ae esse ut 3 ad 1. Sed neque verum est: Est enim Kd ad AD ut $\frac{3}{4}\sqrt{5}$ ad 1; sed ba ad AD ut $\frac{1}{4}\sqrt{5}$ ad 1. Non sunt igitur (quod ille gratis & fallo assumit) invicem aequales Kd & ba. Et propterea falsum est (quod porrò habet) ba esse ad Hc ut 3 ad 2; item, fa ad ae ut 3 ad 2; item, junctam cd esse parallelam ID, & dH, Hb, invicem aequales; item, bK, da aequales esse: (Nam hæc omnia presumunt, Kd, aequali recta ba, reæque KH trientem esse:) item (qua hinc dependent). Md esse quater duo, quorum MK est ter tria; adeoque MK ad MD live MF ut 9 ad 8. Sed & mox dum ait, MK quintuplem potest FK sive Mb; supponit (gratis quidem & fallo) FK, Mb, (invicem aequales esse. Gratus, inquam; nam ne bilum quidem affert quo probet, (nisi forsan, circino rem explorans, hoc inde collegerit;) & Fallo est enim FK ad AD ut $\frac{3}{4}$ ad 1; sed Mb ad AD ut \( \frac{3}{5} \) ad \( r \). Adeoque falsum porro est, si detrahatur \( FK \) à rectâ \( MK \); reliquam esse \( bK \). Sed & (propter non aquales \( dK, ba \)) falsum etiam est, \( bK \) æqualem esse da. Falsum igitur est quod ab his infert, \( MK \) esse 9, quorum \( Md \) est 8, \( Ma \) 3, & da 5. Neque hinc Euclides, vel argu- entes à potestate linearum, evincetur. Quippe illi falsum esse pronunci- aren; nec probat Hobbius esse verum. Propositio Decima septima, dependet ex prop. 14. (ut licet pag. 49. lin. 14.) quam falsam esse deprehendimus: Ergo & hoc simul ruat. Sed & à consec. 3. prop. 7. dependet, (pag. 50. l. 15.) quod falsum esse ostendimus: Adeoque duplici rimâ habitur. Sed & alia subsumit falsa; ut (pag. 50. l. 22.) rectam \( Bf \) quintae partis lateris \( AB \) potentia quintuplam esse; hoc est, (posita \( AC = 1 \)) \( \frac{5}{5} \); cum tamen sit \( \frac{6}{5} \). Item, pag. 50. lin. 4. ponit latus Icosaedri \( ac \); sed idem facit, \( ay \), lin. 10. 11. Item, lin. 9. vult ut sumamus arcus \( PO, y \), (in circulis inaequalibus) invicem æquales, (non, similes,) quod quomodo faciamus, nec docuit ille, nec docebit. Item, (lin.10.) Arcûs \( PO \), radio \( BP \) descripti, radium alterum \( BO \) (utpote ipsi \( BP \) aequalem) probat inde æqualem rectâ \( ay \) (qua ex constructione est ipsi \( BP \) aequalis, pag. 49. l.6.12.) sed mox, (pag. 50. l.11.12.) vult eandem \( BO \) minorem esse quam \( BP \) (radium ejusdem circuli,) arcûmque radio \( BO \) descriptum, fecare rectam \( BP \) in \( c \); Rectamque \( BO \) (non ipsi \( BP \), sed) \( Be \) æqualem, hoc est, tertiarì parti rectâ \( Bb \) (quam rectam ille perperam supponit aequalem arcui \( AC \)); & (lin. 19) eadem \( Be \) æqualem esse vult rectam \( ay \) (qua tamen ex constructione pag. 49. lin.12.) fuerat aequalis \( BP \), cuius pars est \( Be \) ex constructione, pag. 48. l.22.) Adeoque, nunc al nunc \( ay \) ponens pro Icosaedri latere, rectamque \( ay \) seu \( BO \) nunc aequalem nunc minorem rectâ \( BP \), omnia ponit in confusa. Postque hac ita confusa omnia, & falsis suffulta, sibiæ invicem opposita; rationem suam assignatum it verilimilem, quam demonstrationem vocat (ineptam sais,) sed quam rectè conjicit Algebristas damnaturos, sed & alios, (quippe qui verisimilitudinem ullam inibi deprehendunt;) Quà quidem, si demonstrandi vim haberet ullam, probaretur, non, (quod erat ab initio propositum.) rectam \( ac \) latus Icosaedri, (ut pag. 50. l. 3.5;) sed, (quò jam per oscillantiam delapsus est,) rectam \( ay \) latus Icosaedri (ut lin. 9.10.) æqualem esse tertiarì parti (arcûs) semicirculi: (Adeo illi indifferens est, sive \( ac \), sive \( ay \), sit latus Icosaedri.) Adeoque subvertit illud quod probandum insuperat. Quà tamen oscillantia non obstante, maë habet quòd pro legitima demonstratione non simus habituri. Propositio Decima octava, (de Circuli quadratura,) est Crambe (non bis tantum, sed) sapius recolta; atque hoc eadem constructione jam tertio saltem in casum introducta. In demonstratione (pro ut jam tertio tentata prodit,) illud (pag 54.lin.17,18.) Quare reliquis \( DYP \) duplus est, tum Trilinei \( CYP \), (non; sed, sectoris \( Dbi \),) tum quadrilinei \( IPbi \); nul- lam habet vel spectiem consequentiae. Dum enim, pro Sectorio \( Dbi \), (quod dis- cendum erat,) substituit Trilineum \( CYP \), quasi hæc essent aequalia; prel- mit id quod erat probandum. Quæ hinc dependet Duplicatio Cubi, nihil itaque firmior est: Quam ut defendat, admittit (tamquam non inconvexum) 10. decimas sextas, & 16 vicesimas quintas, æquales esse; (pag. 55. l. 10, 13.) ponique, pag. 56. l. 2. (ut suis effatis consonum) non modo 50, 40, 32, sed etiam 50, 40, 31\(\frac{1}{4}\), continuè proportionales. Qua pueris ridenda relinqu. Propositio Decima nona, dependet à prop. 5. (ut liquet pag. 58. lin. 8.) quam falsam deprehendimus. Item falsum illud (pag. 58. lin. 12.) circulum centro \(l\), radio \(lF\) descriptum, transiturum per \(G\) simul & \(C\) (Transibit quidem per \(C\), propter bisectam \(FC\) in \(l\); sed non per \(G\).) Probatio ejus (pag. 58. l. 20.) dependet à prop. 6 & 7, quas falsas deprehendimus. Deinde, pag. 59. l. 4. presumit, rectas \(AH\) & \(DE\) productas, ad \(F\) (punctum in \(CB\) producìa assignatum) pertingere. Quorum nevirum probatum est; imò ne affirmatum, sed tacite presumptum; idque falso. Adeoque & falsa qua sequuntur. Propositio Vicesima falsa est; utpote qua (pag. 61. l. 22.) dependet à prop. 18. quam falsam esse ostendimus. Sed, ut ut hoc in fundamento vitium non esset; qua sequitur (pag. 62. l. 1, 2, 3, 4.) est lepida designatio Centri gravitatis: unde, qui res bas intelligit, facile perspiciet, quam Hobbius eas non intelligit. Consectarium (utpote inde dependens) est eisdem commatis: Sed & alio nomine vitiosum, eo quòd dependeat etiam à prop. 5, que istidem est falsa. Propositio Vicesima prima (qua & Ultima) item falsa est. In Probatione; illud, (pag. 63. l. 14.) Gnomon \(YBM\) est quinta pars quadrati \(DYQM\); falsum est. (Nam differentia duorum quadratorum qua sunt inter se ut 5 ad 4, est quadrati Minoris pars Quarta, non quinta; Quinta vero, Majoris.) Sed, demus hoc: Falsum quod sequitur, id est, pars quinta quadrantis \(DAC\): Dependet enim à prop. 18. (quam falsam ostendimus) ubi putat se probasse, Quadrati \(DYQM\) & Quadrantis \(DAC\) æqualitatem. Item, illud, Quare etiam Trilineum \(ABCLA\) est quinta pars quadrati \(ABCD\); est pluribus nominibus Falsum. Nam, primò dicendum erat ad mentem suam, quadrati \(DYQM\), non quadrati \(ABCD\): (quippe Æ quadrantis \(DAC\), ab eo ponitur æqualis Æ \(DYQM\), non Æ \(ABCD\).) Sed neque de \(DYQM\) verum est: presumit enim (ex prop. 18.) Trilinea \(CYP\), \(PQL\), Æ inter se æqualia Æ quod falsum est. Sed &., Qualis est ea consequentia; Quoniam Gnomon est Quinta pars quadrati Minoris; Ergo Trilineum (quod gnomoni presumitur æquale) est Quinta pars Majoris? Sed tales ejus esse solent consequentiae. Quod autem inter duo quadrata \(DYQM\), \(ABCD\), subsultim ludat, (nunc de hoc, nunc de illo, idem affirmans,) pro solita sua oscillantia factum est. Ceteraque qua sequuntur, tanquam ab his pendentia, falsa sunt. Adeoque percurrimus elens Rosetum, brevibus stricturis Mendas ex innumeris multa notantes: Alia quamplurima consultò præterentes, ut vel minoris momenti, vel qua opus non erat ad subvertendas propositiones. Sed talis expectanda erat Geometria ab eo, qui, magnitudines circino dimensus, quas quas ita non deprehendit inaequales, pro aequalibus tuendas existimat, etiam indemonstratas, & contra demonstrationum autoritatem; quam ille circino postponit. Gloriatum tamen audio (sic sua deperire solet,) ex omnibus ab eo editis, hunc librum esse optimum. Qua autem de me habet, sive ad libri Calcem sive ad Frontem, contemnenda sint. Quippe, praeter pueriles quasdam circa voces ineptias (quas in perversionem sensum frustra conatur detorquere,) catena fere huc tendunt. Se Symbola non intelligere; Arithmeticae speciosam, & Logisticam sibi non placere; sed nec Geometriam Indivisibilium; aut, Arithmeticam Infinitorum. (Et quidem mihi perinde est, sive sic, sive secus. Nam jamdiu est quod Hobbijs authoritas in Mathematicis ne bilum valuerit, ejusque ratiocinium, tantundem.) Sunt autem ea omnia tam crude, insulse, pueriliter ab eo dicta; ut, quicunque rerum harum intelligens, ad loca notata respiciat, pro me facile, etiam non monitus, sit responsurus. Tuus Johannes Wallis. The Short of this Answer, dated June 27, 1671. (which is still with the Publisher) was intended to have been inserted in the former Tract of June; but since it could not then be conveniently done for want of room, the Answerer thought fit, somewhat to enlarge it for this opportunity.