An Extract of a Letter from the Excellent Ronatus Franciseus Slufius, Canon of Liege and Counsellor to His Electoral Highness of Collen, Written to the Publisher in Order to be Communicated to the R. Society; Concerning His Short and Easie Method of Drawing Tangents to All Geometrical Curves without Any Labour of Calculation: Here Inserted in the Same Language, in Which It Was Written

An Extract of a Letter from the Excellent Renatus Franciscus Slavus, Canon of Liege and Counsellor to his Electoral Highness of Collen, written to the Publisher in order to be communicated to the R. Society; concerning his short and easy Method of drawing Tangents to all Geometrical Curves without any labour of Calculation: Here inserted in the same language, in which it was written. Methodum meam ducendarum ad Curvas quaslibet Geometricas Tangentium mitto ad Te, & Virorum Doctissimorum R. Societatis consensu submitto. Brevis mihi visa est ac facilis, quippe quam puer Æquationes doceri possit, & qua absque ullo calculi labore ad omnes omnino lineas extendatur: Malo tamen alia talis videre quam mihi, cum in rebus nostris caute peregrinique soleamus. Fig. 1. Data sit igitur qualibet Curva DQ, ejus puncta omnia referantur ad Rectam quamlibet datam EAB per Rectam DA; sive EAB sit diameter seu alia qualibet, sive etiam alia simul linea data sint, qua vel quorum potestates Æquationem ingrediatur; parum id referat. In Æquatione Analytica, facilitioris explicationis causa, DA perpetuo dicatur v, BA, y. EB vero & alia quantitates datae, Consonantibus exprimantur. Tum supponatur ducta DC, tangens curvam in D, & occurrens EB, producta, si opus sit, in puncto C; & CA perpetuo quoque dicatur a. Ad inveniendam AC vel a, hic erit Regula Generalis; 1. Rejectis ab equatione partibus, in quibus y vel v non invenitur; statuantur ab uno latere omnes in quibus est y, & ab altero illa in quibus habetur v, cum suis signis + vel —. Hoc, dextrum, illud, sinistrum latus, facilitatis causa, vocabimus. 2. In latere dextro, praefigatur singulis partibus exponens potestatis quam in illis obtinet v; seu, quod idem est, in illum ducantur partes. 3. Fiat idem in latere sinistro, preponendo scil. unicuique illius parti Exponentem potestatis quam in illa habet y. Sed & hoc amplius: Vnum y in singulis partibus vertatur in a. Ajo, Æquationem sic reformata modum ostendere ducenda Tangentis ad punctum D datum. Cum enim eo dato, pariter data sint y & v, & earum quantitates, que Consonantibus exprimantur; a non poteritis ignari. Si quid forte sit obscuritatis in Regula, aliquot exemplis illustrabitur: Data sit hæc Æquatio \( b y - y^2 = v \); in qua \( EB \) sit \( b \), \( RA \), \( y \), \( DA \), \( v \), & queratur \( a \) sive \( AC \) talis, ut juncta \( DC \) tangat Cur- vam \( DQ \) in \( D \). Ex regula, nihil rejiciendum est ab hac Æquatione, cum in singulis ejus partibus reperiatur \( y \) vel \( v \). Ita quoque disposita est, ut ab uno latere sint omnes illius partes in quibus \( y \) & ab altero, omnes in quibus \( v \). Singulis itaque tantum praesidens est Exponens potestatis, quam in illis habet \( y \) vel \( v \); & in latere sinistro unum \( y \) vertendum in \( a \), ut fiat \( b x - 2 y + a = 2vv \). Ajo nunc, hanc Æquationem ostendere modum ducenda Tangentis ad punctum \( D \), sive \( a = \frac{y}{v} = AC \). Sic si data fuerit aquatio \( qq + by - yy = vv \); eadem planè fieret cum priori Æquatio pro Tangente, abjecto scil. \( q \), ut Regula praescribit. Sic ex \( 2by + y^3 = v^3 \) fit \( 4by - 3yya = 3v^3 \) sive \( a = \frac{2b}{3v^2} \): Ex \( bby + zyy + y^3 = qvv \), fit \( bba + 2zya + 3yya = 2qvv \) & \( a = \frac{2q}{6v^2} \): Ex \( b^4 + by^3 - y^4 = qqvv + zzv^3 \), fit \( 3byya - 4y^3a = 2qqvv + 3zv^3 \) & \( a = \frac{2qvv + 3zv^3}{3byya - 4y^3a} \). Verum in similibus equationibus nullam arbitrari accidere posse difficul- tam. Aliqua fortasse in illis occurrit, quarum partes quaedam constant ex productis \( y \) in \( v \): \( vyv \), \( yv \times y \times v \), &c. Sed hæc quoque levis est, ut exemplis patet. Detur enim \( y^3 = bvv - yvv \). Nihil ab illa rejiciendum erit, cum in singulis ejus partibus reperiatur \( y \) vel \( v \). Sed ut ex Regula praescripto disponatur, bis sumendum erit \( yvv \), & faciendum tam in latere dextro, in quo sunt partes \( y \) habent \( v \), quam in sinistro, cujus partes habent \( y \); quandoquidem \( yvv \), tam \( y \) quam \( v \) continuat. Faciendum igitur erit \[ y^3 + vyv = bvv - yvv. \] Tum mutata, ut prius, hac equatione in aliam \( 3yya + vva = 2bvv - 2yvv \), dabatur \( a = \frac{2b}{3v^2} \). Ita enim intelligenda est Regula, ut nempe in latere non consideretur potestas ipsius \( v \), idoque ipsi \( yvv \) Exponens \( vv \) praesidi non debat, sed tantum ipsius \( y \): Sic contra ab alto latere, in \( yvv \) considerari non ide- bit potestas ipsius \( y \), sed \( vv \) tantum, eique suis Exponens præponi. Sic fit \( y^3 + by^2 = 2qqv^2 - yvv \), faciendum est \( y^3 + by^2 + vvv \) \( = 2qqv^2 - yvv \); & habetur aquatio pro Tangente \( 5y^4a + 4by^3a + 2v^2ya = 6qqv^3 - 3yvv^3 \) & \( a = \frac{6qqv^3 - 3yvv^3}{5y^4a + 4by^3a + 2v^2ya} \). Arque his Exemplis arbitrari, me omnem, que dari possit, Calum varietatem complexum effe. Ceterum non erit fortasse innute, si ea qua generatim exposui, ad lineam aliquam singularem applicem. Data sit igitur Curva \( BD \), cujus ea sit proprietas, ut sumpto in illa qualibet puncto \( D \), si jungatur \( BD \), & erigatur ad illam normalis \( DE \), occur- rent recta \( BE \) in \( E \), recta \( DE \) sit semper aequalis datæ rectæ \( BF \). Ut habeatur (5145) habeatur Aequatio in terminis Analyticis, sit DA = v, BA = y, BF Fig.2 vel DE = q. Erit itaque EA = \(\frac{v}{y}\). Et cum quadratum DE aequali sit duobus DA, AE; erit equatio \(qq = \frac{v^2}{y} + vv\); sive \(qqyy = v^2 + yyvv\); qua pro Tangente, ex Regula praescripto, sic reformanda erit, \[qqyy - vvvv = v^2 + yyvv\] \[2qqya - 2vvya = 4v^2 + 2yyvv\] \[a = \frac{4v^2 + 2yyvv}{2qqy - 2vvv}\] Quomodo autem Aequationes hujusmodi ad facilitiores terminos pro constructione reduci debant, id sane soler-tem Geometram minime latebit. Ut ecce in hoc Exemplo, quoniam Rectangulum BAE supponitur aequali Quadrato AD, si EA dicatur e, erit \(vv = ye\), & \(v^2 = yyee\), & \(qq = ye + ee\). Itaque pro illis, positio in aquatione eorum valore, sit \[a = \frac{4yyee + 2yy}{2ye + 2yy - ye}\] sive \(a = \frac{yy + yy}{e}\), hoc est, \(a = 2ey + yy\) & addito \(ee\) utrinque \(ae + ee = eet + 2ey + yy\). Erant itaque tres \(e + y + e + a\), sive \(EA, EB, EC\), in continna analogia, & facillima evadet constructio. Ceterum, quoniam hactenus supposita videatur, Tangentem versus partes B ducendam esse, cum tamen ex datis accidere possit, ut vel parallela sit ipsi AB, vel etiam ducenda ad partes contrarias; definitio nunc superest, quomodo hoc Casum diversitas in Aequationibus distinguiatur. Factaigitur Fractione pro a, ut in Exemplis supra adductis, considerande sunt partes tam Numeratoris quam Denominatoris, & earum signa. 1. Nam si in utroque, partes vel habeant omnes signum +, vel saltem Affirmate prevalent Negatis, ducenda erit Tangens versus B. 2. Si Affirmate prevalent Negatis in Numeratore, sed aequales sint in Denominatore, recta per D ducta, parallela AB tangit Curvam in D: hoc enim in casu, a est infinita longitudinis. 3. Si tam in Denominatore, quam Numeratore, partes Affirmate minores sint negatis; mutatis omnibus signis, ducenda erit rursus Tangens versus B: hic enim casus cum primo in idem recidit. 4. Si in Denominatore prevalent, in Numeratore minores sint, vel contra; mutatis signis illius in quo sunt minores, ducenda erit Tangens versus partes contrarias, b.e. AC sumenda erit versus E. 5. Ae tandem si in Numeratore partes Affirmate sint aequales Negatis, quomodocunque habeant in Denominatore, abilit in nihilum. Itaque vel ipsa AD erit Tangens, vel ipsa EA, aut ei parallela; quod ex datis facile agnoscitur. Horum autem Casuum varietas explicari potest per Aequationes ad circulum. Vid. Vid. Fig. 3. Sit enim Semi-circulus, cujus diameter EB, & in eo punctum D datum, ex quo cadat normalis DA = v. Sit BA = y, BE = b; erit equatio \( b \cdot y - y^2 = v^2 \). & ducta Tangente DC, erit AC sive \( a = \frac{b \cdot v}{y} \). Nunc si b major sit 2 y, ducenda est tangens versus B; si aequalis, fit parallela EB; si autem minor, ducenda est versus E; ut n. 1. 2. & 4. diximus. Vid. Fig. 4. Detur rursus alius Semi-circulus inversus, cujus puncta referri intelligantur ad Rectam diametro parallelam, & eadem aqualem, ut in schemate. Denominatis, ut prius, partibus, & NB = d, fit equatio \( by - y^2 = dd + vv - 2dv \). Igitur \( AC = \frac{b \cdot v - 2dv}{b - y} \). Cum vero in exemplo supposuerimus, v semper esse minorem d; si b sit major 2 y, ducenda erit Tangens versus E; si aequalis, erit parallela; si minor, mittatis omnibus signis, ducenda erit versus B; ut n. 4. 5. & 3. Nulla autem ducenda esset Tangens, seu Tangens foret ipsa EB, si supposuissetis NB aequalem semi-diametro, sive 2 d = b; ut n. 5. V. Fig. 5. Sit tandem alius Semi-circulus, cujus diameter NB normalis sit ad rectam BE, ad quam ejus puncta referri intelliganter. NB dicatur b, & alia partes denominentur ut supra; fit \( Aequatio yy = bv - vv \); & \( a = \frac{bv - vv}{y} \). Nam si b sit major 2 v, Tangens ducenda erit versus B; si minor, versus E; si autem aequalis, ipsa DA erit Tangens; ut n. 1. 4. & 5. Et hac est, mi fallor, Casum omnium varietas, qua ex Aequationum consideratione deprehendi potest. Quomodo vero ex doctrina Tangentium constiuentur Aequationum Limites, non est ut pluribus exponam, cum evidens esse existimem, maximum vel minimum applicatarum vel utramque simul determinari à Tangente parallela: de quo & aliis ad Te scripsi, & aliquid etiam attigi. Miscelaneorum caput &c., quâratione flexus contrarii curvarum ex Tangentibus inveniantur, ostendi. Eadem ratione reperitur quoque curvae ἀπόστασις, ut vocat Pappus, & multa alia; qua si explicare vellem, liber mihi scribendus esset. Nam & in Physico-mathematicis Usus quoque hujus Regula opinione major est: Licet enim falsum sit Axioma, Naturam agere per lineam brevissimam; verissimum tamen est, Viam sequi determinatam, & ubi nullam invenit, agere desipisse. De quo aliis plura, si tanti Tibi visum fuerit: jam enim epistola modum excessit, ac vereor, ne, dum obscuritatem vitare satago, in prolixitatem incidere. Addo tantum, me Regula mea Demonstrationem * habere facilem, & qua solis constet Lemmatibus, quod mirum Tibi fortasse videbitur. Valet. Dabam Leodii d. 17. Januar. CIDIDCLXXIII. * Non dubitamus, quin rogau nostro Illustri & Candidus hic Author Demonstrationem hic indigitatam Nobis etiam brevi sit communicaturus. An Accompt of some Books. I. A Discourse concerning the Origin and Properties of WIND, &c. By R. Bohun Fellow of N. Coll. in Oxon. Printed at Oxford 1671. in 8°. The Industrious Author of this Discourse, having consider'd with himself, how little Progress had been made, as in general, in the History of Nature, so, in particular, concerning the History of Winds, till our Voyages to the East and West-Indies, and the great advancement of Navigation in this and the precedent Age, furnish't us with so many new Discoveries and improvements in all Natural knowledge, especially in the Motions of the Winds and Seas, that we must acknowledge the Insufficiency of the Theories received from the Schools of the Antients; having, I say, considered this, and withall met with frequent opportunities of conversing with the most Experienced of our Sea-Captains, giving him good information of the Course of the Trade-winds, the Indian Monsoons, the several sorts of Breezes in the African and American Climates, Hurricanes, and other tempestuous Winds: Endeavoureth in this Discourse to give a fuller Accompt of this Subject than former Writers have done, proceeding therein, as he assureth the Reader, with great caution, in seldom making use of any Account of Voyagers, but when several Relations did agree in the same Particulars, or when he