Ejusdem Doctoris Wallis II Non-Nulla, De Centro Gravitatis Hyperbolae, Praegreffae Epistolae Subnexa

Ejuïdem Doctoris WALLISII Non-nulla, De Centro Gravitatis Hyperbolæ, Prægressæ Epistolæ subnexa. Tandem vero, ne nihil habeas præter Consutatum Hobbium, (qua fortè non tanti res est, ut de ea multum sis sollicitus;) libet hic anneciere, De Centro Gravitatis Hyperboles nonnulli; (præterito Anno conscriptum;) Miscellaneis illis, si placet subjungendum, que habemus ad Prop. I. Cap.XV. De Motu. Nempe, pag.753. l.26, ibidem. Post §. IO. Hac addantur. II. Etiam hoc addo Spatii Hyperbolici, sive interioris sive exterioris, non quidem ipsum Gravitatis Centrum, sed Reitam in quâ est, seu Axem Aequilibrii exhiberi posse, etiam si ignoretur Plani Magnitudo. Est enim exposita Hyperbola H h V, Centrum A, axis AX, vertex V, latus rectum L, axis transversus T=S, axes intercepti VD=D, Vd=d, ordinatim-applicata HD=H, he=h, axis conjugatus AD, ad quem ordinatim-applicate HA=K, hs=k, asymptotarum alteri Ao parallela HS=B ad alteram AS=A ordinatim-applicetur, & VO'ad AO=E, & hs ad As; atq; intelligatur S Ao angulus rectus; fitque OS (=A-E)=O. Sunt (propter h = √ : d L + L d²) ordinatarum ad axem semi-quadrata, seu momenta respectu AD, ½ L d + L d²; & (propter Omn. d = 1 D², & Omn. d² = ½ D³,) simul omnia, seu Momentum totius HVD respectu AX, ½ L D² + L d³. Idem (propter k = √ : S² + T h²) ordinatarum ad axem conjugatum semi-quadrata, seu momenta respectu AD, ½ S² + T h²; & (propter Omn. h² = ½ H³,) simul omnia, seu totius AVHΔ, momentum respectu AD, ½ T² H + ½ L H³. Quod ex (totius ADHΔ momento) ½ K² H = ½ S² H + ½ H³ subductum, relinquit residui HVD, respectu AD, momentum ½ L H³. Ergo (propter distantias momentis proportionales,) in DH, sumpti DG, qua sit ad AD, ut ½ L D² + ½ D³ ad ½ L H³; hoc est, 3 TL² D² + 2 L² D³ ad 4 T² H³; erit in (juncta) AG, ipsius HVD centrum Gravitatis; utpote cujus puncta singula in cæ ratione distant ab AD, AD. Idem obtinebitur ope momenti ipsius HVD respectu Asymptote Ao. Est (per § D Prop.31. Cap.5.) ipsius OVHS, respectu Ao, momentum ABO. Est autem Trianguli ASX (= ½ A²,) respectu ejusdem Ao, momentum ½ A²; & Trianguli AOV momentum ½ E³; positique HX (=A-B)=X, & DB (parallela Ao)=Y, adeoque HDX=½ XY, hujusque ab Ao distantia centri Gravitatis A-½ Y, erit Trianguli HDX, respectu Ao, momentum ½ AXY-½ XY². Ergo (propter HVD=ASX-AOV-OVHS-HDX) ipsius HVD, respectu Ao, momentum ½ A³ - ½ E³ - ABO - ½ AXY + ½ XY². Ergo Ergo (propter distantias momentis proportionales) in DH sumpta DQ, qua sit ad AS, ut \( \frac{1}{4} LD^2 + \frac{1}{6} D^3 \) ad \( \frac{1}{3} A^3 - \frac{1}{3} E^3 \cdot ABO - \frac{1}{2} AX + \frac{1}{6} XY^2 \); ducta que QK parallela AX occurrente SX in K; erit in (juncta) AK, (ut prope cujus singula puncta in earatione distant ab AD, AO,) Centrum gravitatis HVD. Qua quidem AK est eadem positione recta cum AG; quoniam utraque sum per A transit, tum per Centrum Gravitatis HVD. Similiter (ob eandem causam,) in ΔH sumpta ΔL, qua sit ad AS, ut \( \frac{1}{4} H^3 \) ad \( \frac{1}{3} A^3 - \frac{1}{3} E^3 \cdot ABO - \frac{1}{2} AX + \frac{1}{6} XY^2 \); ductaque LK parallela AD, occurrente SX in K; erit in (juncta) AK (cujus unicum singula puncta in earatione distant ab AD, AO,) centrum gravitatis HVD. Erit autem hoc K idem quod prius, ob causam modo insinuatae. 12. Simili processu utendum in spatio exteriori OVHS. Est enim (ut jam ostensum) hujus respectu AO, momentum ABO. Item, respectu AX, Trianguli ASX = \( \frac{1}{2} A^2 \) est (propter centri ab AX distantiam \( \frac{1}{3} A \sqrt{\frac{1}{2}} \)) momentum \( \frac{1}{3} A^3 \sqrt{\frac{1}{2}} \); & similiter, Trianguli AOV, momentum \( \frac{1}{3} E^3 \sqrt{\frac{1}{2}} \); Trianguique HDX = \( \frac{1}{2} XY \) (propter distantiam \( \frac{1}{3} H \)) momentum \( \frac{1}{3} XTH \); ipsiusque HVD (ut modo) \( \frac{1}{4} LD^2 + \frac{1}{6} D^3 \). Ergo (propter OVHS = ASX - AOV - HDX - HVD,) ipsius OVHS, respectu AX, momentum \( \frac{1}{3} A^3 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} E^3 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} XTH - \frac{1}{4} LD^2 - \frac{1}{6} D^3 \). Ergo (propter distantias momentis proportionales,) in DH sumpta DI, qua sit, ad AS, ut \( \frac{1}{3} A^3 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} E^3 \sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} XTH - \frac{1}{4} LD^2 - \frac{1}{6} D^3 \) ad ABO: ducta que IF parallela AX, occurrente SX in F; erit in (juncta) AF (cujus puncta singula inea ratione distant ab AX, AO,) centrum gravitatis OVHS. Idem obtinebitur comparando ejusdem OVHS momenta respectu AO, & AD; vel AX, & AD; eadem autem AF prodire necesse erit, ut qua transire debat tum per A, tum per ipsius OVHS centrum gravitatis. 13. Simili item processu utendum est in spatio exteriori AVHD. Est enim (ut modo) hujus respectu AD momentum \( \frac{1}{2} S^2 H + \frac{1}{6} H^3 \). Idem, respectu AX; rectanguli ADHD momentum \( \frac{1}{2} KH^2 \); unde subducto ipsius HVD momento \( \frac{1}{4} LD^2 + \frac{1}{6} D^3 \); habebitur ipsius AVHD respectu AX momentum \( \frac{1}{2} KH^2 - \frac{1}{4} LD^2 - \frac{1}{6} D^3 \). Ergo, in ΔH, sumpta ΔM, qua sit ad DH, ut \( \frac{1}{2} S^2 H + \frac{1}{6} H^3 \) ad \( \frac{1}{2} KH^2 - \frac{1}{4} LD^2 - \frac{1}{6} D^3 \); erit in (juncta) AM (cujus singula puncta in earatione distant ab AD, AX,) centrum gravitatis AVHD. Idemque obtinebitur comparatis ejusdem momentis respectu AD, & AO; vel respectu AX, & AO; eadem autem AM prodire necesse erit, ob causam ante insinuatae: Ut non sit spatium inde, ob duas ejusmodi rectas, se mutuo decussantes, ipsum centrum obtinendi, absque Planis magnitudine. Si vero in his omnibus vel non sit S AS ang. rectus; vel Hyperbola, vel Scalenae (sumpta Diametro quavis alia loco Axis AX;) similis adhibenda est accommodatio cum ea, quam de Scalene insinuavimus ad § K prop. 31. c. 5. Dab. Oxon. Aug. 31. 1672.