Dr. John Wallis His Answer, by Way of Letter to the Publisher, to the Book, Entituled Lux Mathematica, &c. Described in Numb. 86. of These Tracts

Dr. John Wallis his Answer, by way of Letter to the Publisher, to the Book, Entitled Lux Mathematica, &c. described in Numb. 86. of these Tracts. Clarissimo Doctissimo, Viro: Dom. Henrico Oldenburg, Soc. Regi: Secretario, Johannes Wallis, Geom. Prof. Oxon. Sal. Clarissime Vir, Vidi Ego, praeteritâ septimanâ, Hobbii quem memoras librum novum, cui titulus Lux Mathematica. Quod autem Authore R.R. dictatur, factum credo, ut sit qui Hobbium collaudet, si non Alius, saltem aliis literis insignitus Idem, (Roseti Repertor.) Permitto, si placet, ut & Striguras nostras dicas, Authore R.R. ut sit etiam R.R. Roseti Refutator. Inter Manifesta sua, sunt & Manifesti Errores. Speciatim (ne multa memorem,) cum idem esse vult, Decem Pedes, in Decem Pedes, atq; simpli- citer in Decem, Multiplicare; & quae hujus sunt similia non paucæ. Quasi idem est, Decem Centurias in Decem ducere, atq; in Decem Centu- rias, seu, Duas Centesimas in Duas Centesimas, idem atq; in duo; quod ille facit p.31.1.27. Quadratum (inquit) a duabus centesimis aquæ est qua- tuor centesimæ: (cum dicendum erat, Quatuor Decies-millesimæ.) Quod quam sit absurdum si nesciat, per me licet ignoret. Sin displaceat sibi suum Multiplicare: Quis Hobbium jussit, Multi- plicare (de lineis) importune dicere (quò nugis suis locus est) quod Ducere dicunt alii; vel, si quando Multiplicare (sensu laxiore, sed satis intellecto,) tantundem volunt. Quod Controversiam primam, quam vocat, spectat, ex Hobbii Docu- mento quinto desumptum; abundè refutavi in Hobbio debita Correctione Sect. 5. Sin adhuc nesciat, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ minus esse quam $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ (aut illius ad 1, rationem minorem esse, quàm hujus,) pergeat nescire. De Controversia Secunda; quid sit Ratio, quidq; hanc inter & Fra- ctionem conveniat aut intersit, abundè ostendi, (tum alibi, tum) in Hob- bii Heauton timorumen, p.49, &c. ubi Hobbio Dialogo quarto responsum est. Permitto tamen ut ille etiamnum non intelligat. Tertiam quod spectat; De Parabola & Parabolastris, quas habuit Hobbii propositiones Veras, nec suas esse, nec ab eo intellectas, (sed unde habuerit) ostendi, in Elencho Geometria Hobbiana p.83, 84. i- tem 133, 134. (quas Falsas habet, non nego quin suæ sint.) Quam bellè demonstraverit, ibidem ostendi (à pag. 64. ad 83,) ad Hobbii cap. 17. Ut autem suas ipsæ demonstrationes illæ legitimes judicet, sibiq; adjun- get, etiamnum permitto: nempe, ut similia sint labra lactucis. Quid Ego de his, sive in Arithmetica Infinitorum, sive in Commercio Epistolico, sive in Tractatû de Motu, tradidi; ex scriptis meis scitis velim, (ubi & quid dixi, & quare, videas: non ex Hobbio narrante. Quod & u- Hhhhh bique bip, intellectum velim; eiq, de me referenti derogandam fidem, sub- lesta fidei sapientis deprehensio. Quod autem, Triangulum (verbi gratia) Parabola, aliique Figu- rum, etiam Transcendam, completes parallelas Rectas, & illae numero infinitas, & eorum tamen tam primum, tam ultimum, ut in ege, sine Cole- ctismo dici possit (oblitrepeste licet Hobbo) satis fum securus. Ad Quantum quod attinet; quid Duxum Rele in Relem. Numeros in Numerum adeoq; Latus & Radicem, interlit conventivae jam olim offenderam, Operc Arithmeticum, cap. 18. 22. 25. & alibi, item, quo sensu Multiplicatio Angel Multiplacatum. Ut non sit opus ab Hobbo (horum nescio) jum edoceri. Quod 1 per 1 multiplicari non posse, propterea quod quisquid multiplicatur si pluris à puro dicendum erat, qui nondum didicerat, quid sit mul- tiplicare per numerum fractum. Sed, Quod decem (pedales) linee (non in 10, sed) in se ducte, faciunt 100 (pedales) Liniae, non 100 Quadratae quodq; si quadratur, quoties sunt 10 A in 100 A, Quotiens erit (non 10, sed) 10 A; quodq; 100 A B, sit id quod fit ex 10 AB in 10 AB; (& quae sunt hujusmodi;) dicenda erant (non à puro, sed) ab Hobbo lo- lo. Et, Algebrae universam continere se debere intra fines Arithmeticæ, neq; omnino antiquum in causa Geometrica; elt, nescientis quid sit Algebra. Ad Quintum quod habet; Quod scil. Punctum (Mathematicum) sit Quantum, & partes habeat; Linea; Latitudinem, &c. Obtinere debet in Geometria Hobbiana; utpote sine quo ipius Pseudo-graphemata non procedunt, (sed neq; hoc concessio:) non in Euclidea. Dum vero ait, Willium dicere, Atinorem esse (non Aequalem) Angu- lum Semicirculi Recto Rectilineo; & Angulum Contantius dictum, quantum esse; & quidem, ejusdem generis quantum cum Rectilineo; (meq; haec authoritate Clavii docuisse, pag. 38;) Quicunque vel leviter inspex- rit meum De Angulo Contantius & Semicirculi Tractatum,(quem ex pro- fesso tueri horum contraria, coq; nomine editum, res est notoria;) du- bitare non poterit, quam sit subletæ fidei R. R. In Sexta, Septima, & que sequantur; reponit ex Roseto suo (esto enim quamcumque Rosetum,) falsas quas dudum refutavi propositiones; (quasi quidem, sapient repetendo, evasurae tandem forent Veræ.) Re- futationem jam habes editam in Transact. Philosophica pro mensibus Ju- lio & Septembri Anni 1671. Nec opus erit, ea toties repeteere, quoties ille reponit sua Nugamenta. Si sibi nondum satisfactum esse queritur, Ego illud non moror; non enim recuso quia eas ille pro Veris ha- beat: Alii nec sic existiment, procul omni metu sumus. Dicet forsan; Se vel demonstrationes (pridem peccantes) emendas; se vel adornasse novas. (Atq; id quidem, in nonnullis, conatus est; in multis, nec sic quidem.) Verum hoc non facit, ut ergo nova Refuta- tione sit opus; quippe, cum antea, non modo non esse demonstrationes o- ffenderim, sed & falsas esse demonstraverim, nullo unquam Nova De- monstrationis praetextu hieri potest ut evadant Veræ. Si tamen Tæ petis, (nam Hobbi hac in re nullam babendam esse ra- tionem tionem autumno; ut ubi novae, quas subornat, peccent, Tibi saltem indicavero, (ne id solicitus inquiras ipsi;) ex multis pauca (sed quae toti subvertendo operi sufficiant) ubi supra omnem mediam peccatur, attingam breviter. Ad Controversiam Sextam; Lepidam habes Constructionem, & Hobbio dignam: Nempe, si (pag. 13. lin. 6, & 9.) pro, Radio D.A descriptus arcus AX est arcus 30 graduum, posuitisset Punctum X ubivis, in GH reetâ, (etiam utrumque productâ;) demonstratio perinde sequetur atque nunc; ne verbulo quidem mutato. Quod legenti statim patetit; (saltem inspice hanc Figuram; ubi suppto X, non AX arcu, sed in ipso puncto G, non minus succedunt omnia.) Ut positis esse EX quantumvis longa. (Et Hobbins, quantumvis ridiculus; nempe qui hoc ipsum pridem monitus non potuit secundis curis cavere.) Est quidem Figura nostra, ab scopo suo, satis enormis; sed huic pariter atque convenit sua demonstratio. In Demonstratione; Falsum illud (pag. 14.l.5.) Erunt Fβ & X raequales. (Sunt quidem Parallelæ, sed non aequales.) Adeoque falsa quae sequuntur omnia hinc pendentia. Ad Septinam; Objecere me dicit, quod dixerit Hobbins (non quidem dixisse objiciebam, sed quasi sic esset arguisse insinuabam;) Chordas (in eodem circulo) suis arcibus esse proportionales. Negat se quod objectum inveneri posse. Luscus sane vidisset. Indicaveram enim paginam, versum ipsum, locorum saltem. Quaestor ubi hoc fit. Curvedinem quod spectat; dicit Wallisius, in perimetris (vel similibus arcubus) circulorum Majoris atq; minoris, tantundem esse curvedinis; sed hic in Minori, illi in Majori, Longitudine: (pariter atque in aliis Polygonis:) Adeoque Minoris Curvedinem esse, specie seu gradu Majorem, (propter tantundem curvitatis in minori longitudine,) non quantitate Majorem. Id quod in aliis qualitatibus occurrat. Tantundem Caloris, in minore mole facit intensius Calidum, sed non plus calor; h.e. Calorem fieri græum, sed non majorem quantitatem. Sic Hydrargyri unum Pondo, quam unum Pondo Stani, Gravedinem habet (quod ajunt) specie majoris, ut ut Quantitate aequalis; propter tantundem Ponderis in minore Mole. Quae Hobbins de his nugatus est (& nunc & olim) apud ipsum video; (nec enim tanti est ut repeteri.) Nescit ille inter Curvedinem quantitate miorem, & maiorem gradu distinguiere: ut ut eum illud ego expresse docueram, in Hobbio Heaton-timorummeno, pag. 98. & alibi. Controversia Octava. Cramben reponit, toties recusatam, & toties refutatam, ut jam planè fit rancia. Quum nunc subornat, demonstratio peccat saltem in eo (& quae hinc dependent) pag. 17. l. 28. ubi dicitur, non possunt esse; pro quo dicendum erat, non possint non esse. Sed & quae sequuntur putida sunt. In Nonae, peccatur (ut alibi, sic) potissimum pag. 19. l. 29, 30, 31. ubi probandum susceperat, puncta P, p. coincidere. Sensus planè turbidus est, sed, ad mentem suam restitutos, hic critis: Quoniam Argalus pDC est 1/2 unius recti; atque PAR & ARP, ut ergo 1/2 unius recti: Dp cum Hhhhh 2 R P RP aliquo faciet recti, atq; cum AP recti; qui simul sunt recti, quantus est APR: (quod verum est.) At inquit id fieri non possit nisi DP, RP, concurrant in ipso P puncto, ubi concurrant AP, RP. R P. vid. Tab. II. modo, in quaestione, fieri potest si (quod res est) DP secet Fig. II. R P infra P (puta in Q) & post occurrat productae AP supra P (puta in O) triangulum formans OPQ; quippe cujus duo anguli interni ad Q & O (recti & recti) simul sumpti æquantur externo oppolito APR = recti; non minus quam si (quod ille somnias) O, P, p, Q, essent idem punctum. Ad Decimum; hoc eum malè habet, quòd dixerim, Non mirandum est, Hobbius, bis utentem methodis, talem nobis procedere Geometriam; supposito enim circinatus est Calculo accuratior: dictiq; in verbis illis nihil se videre in illam sententiam. Tu judex esto, ubi, inter alia, hæc legeris: Multò probabilius pronunciabit à mensura Mensor diligens, quam qui pronunciabit à falsis principiis. (Logican sive Logisticam vult quam modò ut uncertain condemnaverat; atq; in causa Geometrica non audiendam toties ingeminar: quod ne dubites, sic progreditur,) Algebristam, b. e. Arithmeticum contra Mensuratam disputantem merito irridebit. Aliaq; multa in hunc sensum. Quod sequitur: Hobbius in eo peccatum esse putat; patet, inquam, non affirmat: Nihili est nam ne quidem, si affirmasset, eo magis crederem. Ad Undecimum, (ubi omnia tam miserè putida fuerant, ut abstinere digitos satius duxerit, quàm particularum vel definitionem vel emendationem aggredi,) satis habet insimulare, Argumentum à Radicibus non valere, versaque esse (se judice,) quas ego propositiones falsas esse demonstraveram. Atque similiter ad contro. Decimum tertium seu Ultimum. Ad Duodecimum, (ubi multus est,) Falsum illud in limine pag.23.l.r. (unde dependent omnia) Rectam Dz æqualem esse arcui C L. Sed porro lin. 29, ait, addito PQ, ubi dicendum erat addito CYP. Quo emendato, non habent reliqua quo nitantur. Insuper, pag. 24. l. 26. hæc habet: Habemus ergo Equationem hanc 2CYP - DPV = DPV - 2PQL. (esto: Quid inde?) Quare, cum media quantitates, - DPV & DPV simul additæ æquales sint nihil, 2CYP & 2PQL faciant nihil. Sunt ergo CYP & PQL trilinea æqualis: semper æqualium alteri si quid addas, quòd fiat quantumvis magnum; alteri tantundem demas, quòd fiat quantumvis exiguum, aut etiam minus quam nihil: Tum quid? Num aggregatum illud huic residuo erit æquale? aut ulla hinc eorum æqualitas colligenda? Videamus; Habemus equationem hanc: 10 - 8 = 8 - 6; quare, cum mediae quantitates - 8 & 8 simul additæ æquales sint nihilo, 10 & - 6 faciant nihil. Sunt ergo 10 & - 6, item bovum dimidium, 5 & 3, æqualia. Sic utiq vult Hobbius.) Putasne tu, ad hæc Refutatione opus esse? Deinde, (ne lingulis inflistas) pag. 25.l.25. Leoniam ergo, &c. Usq; ad Inter Dk & DZ, &c. l.33. sunt falla omnia. Tum illud lin. 35. DC ad Dk. Duplicatum esse rationis Dz ad DC, (quærum, ex constructione, altera est Majoris, altera Minoris, inæqualis ratio: Hobbius caput. Item lin. 34.&c. Quoniam ratio DC ad Dz duplicata est rationis Dz ad De, erunt, inquit, (imo, inquam, propterea non erunt) De, Dz, DC, continuè proportionales. Interim ut dicta sua paucis connectam; Erit (inquit. lin.11.) Dh, media proportionalis inter DC & Dk. (Ergò DC, Dh, Dk, continuae proportionales:) Item (lin. 33.) inter Dk & Dz, sumatur media proportionalis, De, (Ergo Dz, De, Dk, continuae proportionales;) & Dz ad Dk duplicata rationis Dz ad De: Sed & (lin. 34.) DS ad Dz est Duplicata rationis Dz ad De; Sunt ergo DC ad Dz, & Dz ad Dk, eadem ratio; adeoque DC, Dz, Dk, continuae proportionales. Sed & erant (ut jam dictum est) DC, Dh, Dk, continuae proportionales. Ergo Dh, Dz, invicem æquales: (quarum illa, per constructionem, ponitur media proportionalis; bæc, duarum mediarum major, inter easdem DC, Dk:) Item propter, tum De, Dz, DC, continuae proportionales, l. 34. tum Dk, Dz, DC, continuae proportionales, per jam dicta, æquales erunt De & Dk (quarum illa, per constructionem, & media proportionalis inter hanc & hujus duplam.) Nempe, si demonstrationibus Hobbianis standum sit. Non mirum itaque, quod, ad hæc quò viam strueret, (pag. 24.l.37) Invalidam pronunciaverit tum Demonstrationem Archimedis, tum Euclidis Propositionem, 20. El. 6. (Quadratorum rationem duplicatam esse rationis Laterum.) Repugnat enim, inquit, non modo longitudini Circumferecenti Circuli inventa ab Hobbesio; sed etiam prop. 19. Roseti, qua inventa sunt dua media proportionales inter rectam datam & ipsius dimidiam. Vides itaque, in quo statu sunt ipsius tum Quadratura Circuli, cum Duplicatio Cubi, (totumq; simul Rosetum ejus;) & quantà strage opus est, quo sibi sternet via. Necdum finitum est; sed probatu adhuc opus est, (quod & probatum se suscipit, &c., si qua fides, probas,) Differentiam inter rectam, & maximam mediarum duarum, inter se & sui semissum, æqualem esse differentiam inter Mediam, inter duas extremas & Minimam: (nempe \( r \cdot \sqrt{c_1} = \sqrt{q_1} - \frac{1}{2} \).) Sed fortis huic opus est ventriculo qui hæc concoquet: Meus certe ne devorare quidem potis est, nedom concoquere. Fac tu periculum. Ad ea duo praesertim respice, (inspecto suo Schemate, quod non tanti est ut repetat,) pag. 27 l.25. Sunt ergo Bi, ic, cE, continuae proportionales; (nempe, Quia DB. Dc :: Bi. ic; & Di, DE :: ic. cE. Ergo Bi, ic, cE :: cum ne dictum quidem sit, nedom demonstratum, DB. DC; & Di, DE, proportionales esse.) Et lin. 28. Quare recta DE, dividit angulum BDC biefariam; (nempe quia, non Cru-ra DB, DC, sed alia quædam rectæ, AB, AE, sunt in eadem ratione cum basis segmentis BE, EC.) Quippe si hæc duo ferre potes, ipse est, ut Bovem tandem feras, qui Vitulum tuleris. Ubi hæc peregeris; ad eas, quæ sequuntur, Propositiones quinque cum veneris; inspecto iterum suo schemate, respice, num spes illi demonstrandi, Rectas omnes à puncto N decras, & inter AT transientes, in eadem ratione secare arcum BG, & IG finum ejus, rectasque huius parallelas AT, Bq, &c. De quo si non despondeas, interitus ad conspectum monstri. monstri, propius admotus, respice ad illa pag. 29. l. 32, &c ubi, tril- fecto arcu BG, in f. i, rectâq; AT, in β, X, praefumit, (quoniam pro- batu erat impossibile) Nβf esse unam rectam, itemque NXi quod fal- sum est: quippe recta NF, per β non transibit, adeoque nec crunt quod ille somniet, Aβ, bf, in ratione NA ad Nb; neq; Nβ pro- ducta transibit per f.) sed neq; NX producta tranfibit per i) aut Ni, per X.) Et similiter de sectionum punctis reliquis. Atque hac usu strage simul corrunt ha Propositiones Quinque: (Adeoq; nec dabitur: Recta Arcui Quadrantali aequalis; nec Dividatur Angulus in ratione data; nec Dato Arcui inveniatur aequalis rectas; nec Da- rectae aequalis Arcus; nec Inscribetur Circulo Polygonum Regulare, da- rum habens numerum Laterum: Proh dolor!) Nos, quid de hujusmo- di nugis sentiendum sit, (Rectas omnes, ab uno aliquo puncto ductas, in eisdem rationibus secare posse curvam aliquam, atq; expolitam rectam; & qua sunt hujusmodi;) jam olim ostendimus, non enim vel semel, vel nunc primum, sed olim & saepius eadem oberravit chor- dâ,) in Elencho Geometriae Hobbiana, pag. 97, 98, 99; 103, 104; 111, 112, 113, &c. & Hobbio Heanton timor. p. 119, 120. & alibi. Tandem (quòd mirum est) ponendum suscipit unam Proposi- tionem Veram; sed quam ille mallet Falsam; quippe id ejus intererat vel maxime:) Nempe, Quod quattuor quintae radii non est major duarum mediarum inter radius, & Semi-radium. Ecquis dixit esse? Certè, si non Hobbius, nemo aliis. Nam \( \frac{5}{3} R = \sqrt{\frac{5}{3} R^2} > \sqrt{\frac{1}{3} R^2} \). Sed videa- mus, quàm ille hoc demonstret Bellè. Nempe hoc ut probet, pag. 33, Est (inquit lin. 12.) Cubus a DC 1000 quorum Cubus a Dt est 512. Mox autem (lin. 22.) Cub. DC & Dr, five 512. & 256; qui neque idem sunt neque in eadem ratione, cum 1000 & 512. Paulò pólt (lin. 24. &c.) Non est (inquit) recta Dt (nempe \( \frac{3}{2} DC \)) media proportionalis inter totam DC & ejus dimidiam, sed eà major; (Recté quidem; sed quanto major?) quantum est duodecim millesime partes Cubi à tota DC; (nempe duarum Rectarum differentia, est Corpus Solidum;) five quantus est Cubus a duabus centesimis ipsius DC (pro eodem utique habet, \( \frac{1}{2} \) Cubi, & Cu- bum ex \( \frac{1}{2} \), h. e. \( \frac{1}{2} \) Cubi: sed pergit,) Nam Quadratum à dua- bus Centesimis recta cujusque quinque, æquale est quattuor Centesimis quadrati to- tius; (Nempe quadratum: \( \frac{1}{2} \), seu \( \frac{1}{2} \), facit ille \( \frac{1}{2} \): (Et Quadra- tum diagonalis ejus (utpote duplium quadrati Lateris) potest 8 quorum duæ centesime potest 4. Ita; super quadratum ex illis duabus centesimis si con- structur Cubus, Cubi istiss diameter potest 12 quorum dua centesima Radii potest 4. (Quorsum hæc? inquires; nempe, inquit.) Demonstravi ideo ergo, quattuor quintas semidiadmetri, duarum mediarum inter Radius & Semi- radius majore, majus esse; & quanto. (Nempe, toto corpore solido quod sit \( \frac{1}{2} \) Cubi ex Radio: idemque, si credes, æquale Cubo ex \( \frac{1}{2} \) Radii.) Spectatum admissi risum teneatis? Sin hæc placeant, ejusdem famæ sequuntur ibidem plura, modo vacat legere. Sed esto. Dabimus enim (utut non ab illo demonstratum, verum ef- fe; nempe. \( \frac{5}{3} \) Radii, non esse majorcm duarum mediarum inter Radius & Semi-Radium. Quid porrò? Nempe, Nempe; cum non sint aequales Dt, quae est & Radii, & Dz, duarum illarum mediarum major, quod se demonstrasse putat si suâ tamen interstit ut hæc Quadrata sint aequalia, quorum unius latus tr, alterius ze. Nec enim, ruituram videt totam suam machinam, quae haec duo quadrata pro eodem habet ostendendum suscipit (pag.35) latitudinem habere suas rectas, & quantam eam esse oporteat tantam faci. (saltet non minorem) quanta est tz, (duarum Dt, Dz, differen- tia;) quò potest (parallelæ) tr, ze, pro eodem ejusdem quadrati Latere haberi. Quæ quidem tz, major minorve erit prout major minorve est expositus Radius: Puta si ponatur Radius 200 pedes, erit tz plusquam unus pes, seu proximè: si Radius 200 milliaria, erit tz plusquam unum milliare. Verum si, quod ille etiam vult sumenda sit Dc æqualis ipsi DF, erit Dz adhuc minor; ipsaq; æ (lineæ latitudinis) miliiaria dux (proximè.) Nam positio DC = 200, erit ejusdem Dt = 160; & major duarum mediarum Dz = 158 fe- rè: Sed quam ille descriptit Dz, = 158 proximè: Ut sit (lineæ latitu- do) zt, partes 2, qualium DC est 200; adeoque cer tesima pars radii: Quæ itaque non est adeò minutula, quid (vel Circino magistro) in Schemate non magno distingui posset, si foret Hobbes saltem Attenor di- ligens. Egregium Commentum, & Hobbio dignum! Quod quidem ni- fic concedamus, (pag. 32.l.6.) Sequitur, inquit, manifestè (quantum longitu- tudo sine latitudine nihil est,) Latus quadrati esse nihil, b.e. nullum esse qua- drati latus. Vid.Tab.II.Fig.III. Atque haec sunt illa, Hobbesi Inventa in Geometria (si credes) multa, nova, excelsa, clara, utilia. Haec ea sunt, propter quae (utut verum sit, nec authoritatem, nec rationem in Mathematicis Hobbesii, apud Anglos multum valere;) Extra, legitur, intelligitur, landatur. Sed ubi terrarum est illud Extra? Imò talia sunt, inquit, ut nec ætas prior majora vidit, nec futura confutabit aut extinguat. Tu, credo, aliter judica- bis. Ejusdem